COROLLAIRE

( 55 ) Tout ce qui vient d’être dit au sujet de5 équations imparfaites, doit s’entendre également des proportions > propositions et raisonnemens quelconques susceptibles d’être traduits par de semblables équations.

En quoi con- ( 36 ) Tels sont les principes généraux auxdfêetMaua- quels se réduit la théorie du calcul infinité-

lyse.

simal. On voit par ces principes que , si ayant exprimé par des équations imparfaites les conditions d’un problème y on parvient ensuite par des transformations semblables à celle qui est indiquée dans le théorème premier, on parvient, dis-je , à éliminer de ces équations toutes les quantités auxiliaires ou non-désignées y il faudra nécessairement qu’il se soit opéré dans le cours du calcul une compensation d’erreurs 5 et que l’avantage de ce calcul

du Calcul infinitésimal ,

consiste en ce que les conditions d’une question étant souvent fort difficiles â exprimer exactement et par des équations rigoureuses, tandis qu il seroit aisé de le faire par des équa- 10ns imparfaites, il donne le moyen de tirer de ces équations imparfaites les mêmes résultats et des rapports tout aussi certains que si les équations primitives eussentété véritablement , la plus parfaite exactitude, et cela par la simple élimination des quantités dont la présence occasioimoit ces erreurs.

La raison de cela est simple : qu’on ait à découvrir les relations qui existent entre plu-

trouve q T lUéS Pr ° P0SéeSi s>il est difficile de trouver directement des équations qui expriment ces relations, il est naturel de recourir a quelques quantités intermédiaires qui leur servent de termes de comparaison, par ce moyen on pourra obtenir, sinon les équations memes cherchées , au moins d’autres équations où les quantités proposées se trouveront melées avec ces quantités auxiliaires, il ne sera donc plus question que d’éliminer cellesci. Mais si en outre les Valeurs de ces quantités auxiliaires sont arbitraires et peuvent être supposées aussi petites qu’on veut sans rien changer aux quantités proposées , il est aisé de sentir que si dans les équations qui ex-

Css

priment les relations cherchées, les quantités arbitraires se trouvent mêlées avec les quantités proposées, chacune de ces équations pourra se décomposer en deux autres , dont l'une ne contiendra que des quantités désignées , et l'autre renfermera des arbitraires ,à peu près de même qu'une équation qui contient des quantités réelles et des quantités imaginaires peut se décomposer en deux, l'une entre quantités réelles, l'autre entre quantités imaginaires. Or, comme on n'a besoin que de l'équation qui existe entre les quantités proposées , il est clair qu'on peut sans inconvénient, dans celles où elles se trouvent mêlées avec les arbitraires , négliger les quantités qui embarrassent le calcul, lorsque les erreurs qui doivent en résulter ne peuvent tomber que sur l'équation entre arbitraires qu'elle renferme. Or c'est précisément ce qui arrive dans le calcul infinitésimal, lorsqu'on traite comme milles , en comparaison des quantités finies, celles que nous avons nommées infiniment petites.

Afin de rendre cette explication plus sensible encore, reprenons l'exemple traité ci-y dessus. Nous avons trouvé (9)

üT-HT'TBsyXRz et

MZ

RZ

zy + RZ 2«-.u-MZ î

du Calcul infinitésimal. ^7

équations parfaitement exactes l’une et 1 autre , quelles que-soient les valeurs de M Z et de RZ 5 tirant donc de la première de ces

équations la valeur de ^ , et la substituant

dans la seconde, j’ai

TP+T'T ay-h R Z

y 2 ax—— M>Z *

équation exacte et qui doit avoir lieu r quelle que soit la distance qu’on voudra mettre entre les lignes RS et MP.

Or , il est aisé de voir que je puis mettre cette équation sous la forme suivante :

/TP y \ /T'T jyMZq-aRZ—-xRZ\^

V7 y O— xK*a— ax—MZ/"°>

dans laquelle le premier terme ne contient que des quantités données ou déterminées par les conditions du problème r et dont le second contient des arbitraires , et peut être supposé aussi petit qu’on veut sans rien changer aux quantités qui sont contenues dans le premier terme , puisqu’on est maître de supposer RS aussi proche qu’on veut de MP; Donc, suivant la théorie des indéterminées »

chacun des termes de cette équation, pris séparément, doit être égal à zéro ; c’est-adire, que cette équation peut se décomposer

38 Réflexions sur la Métaphysique en ces deux autres :

IT__Z-ssq et T>T z MZ + aRZ ~^ z

y ,a— x y (a—T*)(aa—-a**—MZ) k ~° #

desquelles la première ne contient que des quantités désignées , et la seconde contient des arbitraires. Mais nous n’avons besoin que de la première , puisque c'est celle qui nous donne la valeur cherchée de TP, telle que nous lavons déjà trouvée ci-devant. Donc, quand même nous aurions commis des erreurs dans le cours du calcul, pourvu, que ces erreurs ne fussent tombées que sur la dernière équation ^ Inexactitude du résultat cherché n’en auroit point souffert } et c’est effectivement ce qui seroit arrivé si nous eussions traité MZ , R Z etT'T comme milles par comparai-, son aux quantités proposées a , x y y , dans les équations primitives j nous eussions à la venté commis des erreurs dans l'expression des conditions du problème, mais ces erreurs, se fussent détruites d'elles-mêmes par compensation , et le résultat dont nous avons.

L’analyse besoin n'en eût été aucunement altéré.

infinitésimale

n’est autre .

chose qu’une (07) 11 est aise d apperçevoir , d apres ce oïuiïn “u’t qui vient d'être dit, que l’analyse infinitéside la méthode male n’est autre chose qu’une application, ou mhié«. déter ~ si Ton veut, une extension de la méthode des

du Calcul infinitésimal . 3£

indéterminées ; car, suivant cette méthode > je dis que lorsqu'on néglige Une quantité in* finiment petite , on ne fait, à proprement parler, que la sous-entendre et non la sup-*poser nulle $ par exemple , lorsqu'au lieu des

deux équations exactes TP-f-l ,/ T=MPXj^2

et ~ = — 2,y+RZ — trouvées (9), j’emploiè R Z 2<x—24: MZ

les deux équations imparfaites

M Z MZ

TP=MPXT5 et

- ; je sais fort

bien que je commets une erreur et je les mets» pour ainsi dire, mentalement sous cette forme

— X MP=TP-+- <? et “ + f'i <f> e «

<p/ étant des quantités telles qu'il les faut pour que ces équations aient lieu exactement : de

même dans l'équation — =±s-, résultante

1 MP a—x

des deux équations imparfaites ci-dessus, je sous - entends la quantité qui, telle quf

^ Z? t- ^ 4. <p" —o soit une équation

exacte ; mais je reconnois bientôt que cette dernière quantité <p" est égale à zéro, parce que si elle n’étoit pas nulle , elle ne pourront

< 4 ç Réflexions sur la Métaphysique

f tre qu’infiniment petite , tandis qu’il n’entre aucune quantité infinitésimale dans le premier terme ; or cela est impossible , à moins que chaçun de ces termes, pris séparément,ne soit égal à zéro5 d’où je conclus qu’on a exac-r TP y

tentent — = • et partant, les quantités

<P, <p' et ont été, non pas supprimées comme nulles, mais simplement sous-entendues pouf simplifier le calcul. En effet, si X , par exemple, est une quantité arbitraire qui puisse être rendue aussi petite qu’on voudra, et qu’oit ait une équation de cette forme,

A - 4 - B X -h C X a -f- etc. ~ o -,

A, B, C, etc, étant indépendantes de X, cette équation ne peut avoir lieu sans que l’on ait A=o , B = o , C=o , etc., c’esUdiie, sans que chaque terme pris séparément ne soit égal à zéro , quel que soit le nombre de ces termes. Or, par la même raison , si l’on a en général unë équation de cette forme, P* 4 -Q=JO, telle que P soit une fonction des quaniités données ou déterminées par les conditions du problème, et au contraire , Q une quantité qu’on soit maître de supposër aussi petite qu\m veut, on aura nécessaire., paent P—Q et Q=Oj mais telle est prér-

du Calcul infinitésimal . 4 *

cisément la nature de l’équation trouvée ci-dessus ,

/TP y y /T'T j-MZ+aRZ —xRZ \

\ y a—x) V y ( a — x){ici—-'lx —M Z))

Donc chacun des termes de cette équation, pris séparément, est égal à zéro -, donc on auroit pu négliger dans le cours du calcul les quantités T/T, M Z , R Z , qui n’entrent point dans le premier de ces termes , sans altérer ce premier terme ; donc l’analyse infinitésimale ne différé de la méthode des indéterminées , qu’en ce que dans la première on traite comme nulles,ou plutôt on sous-entend dans le cours du calcul des quantités qui se détruiroient toujours d’elles-mêmes dans le résultat, si on les laissoit subsister 3 au lieu que dans la méthode des indéterminées, on attend la fin du calcul pour faire disparoître les quantités arbitraires qui doivent être éliminées, Cette dernière méthode pourroit donc suppléer assez facilement à l’analyse infinitésimale sans employer le secours des équations imparfaites, et sans commettre jamais aucune erreur dans le cours du calcul.

( 38 ) Il est encore un autre moyen de suppléer à l’analyse infinitésimale par le calcul

4 a Réflexions sur la Métaphysique

algébrique ordinaire $ c’est la méthode des limites ou dernières raisons. Car, quoique cette analyse soit fondée entièrement sur les propriétés des limites et dernières raisons , elle diffère cependant de ce qu’on nomme proprement méthode des limites , en ce que dans celle-ci on ne fait point entrer séparément dans le calcul les quantités que nous avons nommées infinitésimales , ni même leurs rapports, mais seulement les dernières valeurs de ces rapports , lesquelles étant des grandeurs finies , font de cette méthode y moins un calcul particulier, comme je viens de le dire, qu’une simple application du calcul algébrique ordinaire.

Il s’agit donc, en se bornant a introduire dans l’algèbre ordinaire , non des quantités infinitésimales , mais les dernières raisons de ces quantités , de suppléer aux moyens que fournit l’analyse infinitésimale pour découvrir lps propriétés, rapports et relations quelconques des grandeurs qui composent un système proposé, et voila ce qu’on nomme proprement méthode des limites.

Pour en expliquer la marche et eu donner l’esprit, reprenons encore l’exemple traité ci-devant.

du Calcul infinitésimal.

Il est clair, par ce qui a été diug), que ^

MZ . , , TP des limites

quoique —- ne soit point égale a ; cepen- proprement

dant la première de ces quantités diffère d’autant moins de la seconde , que R S est

MZ

plus proche de MP, c’est-à-dire, que — —