L. v j ) qui est unç quantité finie

deïs^îusdï ^ 9 ) cette méthode étoit toujours aussi ficiie à mettre facile à mettre en usage que l’analvse infi-

«0 pratique • / . , t • ,, 1 J

que l’analyse uuesimale ordinaire y elle pourroit paroitre infinitésimale p r éfé ra bl e 5 car elle auroit l’avantage de conduire aux mêmes résultats par une route directe et toujours lumineuse, au lieu que celle-ci ne conduit au vrai qu’après avoir fait parcourir , s’il est permis de parler ainsi, le pays des erreurs.

Mais il faut convenir que la méthode des limites est sujette à une difficulté considérable qui n’a pas lieu dans l’analyse infinitésimale ordinaire 5 cFest que ne pouvant y séparer, comme dans celle-ci, lés quantités infiniment petites l’une de l’autre , et ces quantités se trouvant toujours liées deux à deux y on ne peut faire entrer dans les combinaisons les propriétés qui appartiennent à chacune d’elles, en particulier, ni faire subir aux équations où elles se rencontrent toutes les transformations qui pourroient aider à les éliminer 5 et cette difficulté se fait bien moins sentir dans les opérations même du calcul, que dans les propositions et les raisonnement qui préparent ou suppléent à ces opérations.

Origine de la dénomination

imités ( 4o ) 11 P« 9 Ît, par ce que nous avons dit (2) «imeat P eti- sur l'origine que peut avoir eue l’analyse

du Calcul infinitésimal.

infinitésimale , que les quantités qu’on a nommées infiniment petites , ont reçu cette dénomination , parce qu’on croyoit en effet dans les commencemens qu’il falloit, pour le succès des calculs où l’on en fait usage , attribuer à ces arbitraires des valeurs qui fussent réellement moindres que tout ce qui peut tomber sous les sens et que tout ce que l’imagination peut concevoir 5 mais une métaphysique plus réfléchie a fait voir que cela est inutile > parce que le succès du calcul vient, non de l'atténuation de ces quantités arbitraires, mais uniquement de la compensation des erreurs qu’elles occasionnent dans ce calcul.

En effet, nous avons vu dans l’exemple traité que les procédés et les résultats du calcul étoient absolument les mêmes, quelque valeur qu’on attribuât aux quantités infiniment petites M Z, R Z , et que par conséquent le caractère des quantités de cette espèce ne consiste pas dans leur petitesse réelle, mais bien plutôt dans leur indétermination absolue , c’est-à-dire, dans la propriété qu’elles ont de rester arbitraires pendant tout le calcul, et tellement indépendantes des quantités proposées, qu’on demeure toujours maître de les prendre aussi petites qu’on veut sans rien changer aux conditions du problème.

Les quantités infinitésimales, comme je Lai déjà dit ( 24 ), ne sont donc pas des êtres chimériques , mais de simples quantités variables caractérisées par la nature de leur limite j qui est o, pour les quantités infiniment petites , et -j pour les quantités infiniment

grandes. On peut donc attribuer successivement à ces indéterminées, de même qu’à toutes les autres quantités indéfinies j diverses valeurs arbitraires , et parmi ces valeurs, on doit compter la dernière de toutes qui est O pour les quantités infiniment petites , et

— pour les quantités infinies;

derSfinima- C* 1 ) Cette observation donne lieu de distininfini^ensü)ie § uer Infini mathématique en deux espèces 5 et infini abso- savoir, l’infini sensible ou assignable , et l'infini absolu ou métaphysique , lequel n'est autre chose que la limite du premier.

Si donc on assigne à une quantité quelconque infiniment petite une trtdeur déterminée qui ne soit point o , cette valeur sera ce que j’appelle quantité infiniment petite , sensible ou assignable , et que je désignerai aussi par le nom d ’infiniment petite ; au lieu que si cette valeur est la dernière de toutes, c'est-* à-dire, si elle est absolument nulle , elle sera

du Calcul infinitésimal.

alors ce que j’appelle quantité infiniment petite absolue ou métaphysique , et que je désignerai aussi par le nom de quantité évanouissante.

Ainsi, une quantité évanouissante n’est pas ce qu’on appelle en général quantité infiniment petite, mais seulement la dernière valeur de cette quantité} ce n’est, dis-je, qu’une valeur déterminée qu’on peut attribuer comme toute autre à cette grandeur arbitraire qu’on nomme en général infiniment petite.

(42) La considération de ces quantités évanouissantes seroit à peu-prés inutile , si on se bornoit à les traiter dans le calcul comme des quantités simplement nulles} car elles n’ofFriroient plus alors que le rapport vague de o à o, qui n’est pas plus égal à 2 qu’à 3 ou à une autre quantité quelconque } mais il ne faut pas perdre de vue que ces quantités nulles ont ici des propriétés particulières comme dernières valeurs des quantités indéfiniment petites dont elles sont limites , et qu’on ne leur donne la dénomination particulière d’évanouissantes que pour avertir que de tous les rapports et relations dont elles «ont susceptibles en qualité de quantités nul*

les, on ne veut considérer et faire entrer dans les combinaisons du calcul que celles qui leur sont assignées par la loi de continuité , lorsque Ton imagine le système dés quanti-^ tés auxiliaires s’approchant par degrés insensibles du système des quantités désignées : c’est ce que de grands Géomètres ont cru pouvoir exprimer en disant que les évanouissantes étoient des quantités considérées , non avant qu’elles s’évanouissent, non après qu’elles sont évanouies, mais à l’instant même qu’elles s’évanouissent.

Dans le cas traité ci-devant, par exemple, tant qüe RS ne coïncide point avec MP,