M Z TP

la fraction est plus grande que — ; ces

deux fractions ne deviennent égales qu’au moment où M Z et R Z se réduisent à zéro i

il est vrai qu’alors j^est aussi bien égal©

TP o

à toute autre quantité qu’à —, puisque —

est une quantité absolument arbitraire3 mais

parmi les diverses valeurs qu’on peut attri-

, ,MZ TP . . . . . .

buer a — est la seule qui soit assujettie

à la loi de continuité et déterminée par elle j car si l’on construisoit une courbe dont

l’abscisse

du Calcul infinitésimal. 4 g

l’abscisse fût la quantité indéfiniment petite

MZ,et l'ordonnée proportionnelle à—, celle

qui répondroit à l’abscisse nulle, seroit re- TP

presentee par , et non par une quantité

arbitraire : or, c'est ce qui distingue les quantités que je nomme évanouissantes de celles qui sont simplement nulles.

Ainsi, quoiqu’en général on ait 0=2 X o= 3 X o=4 x o= etc., on ne peut pas dire d'une quantité évanouissante telle queMZ,MZ= 2MZ=3MZ=4MZ= etc. j car la loi de continuité ne peut assigner entre M Z et MZ d'autre rapport que celui d'égalité, ni d'autre relation que celle d’identité.

(43) Nous avons vu qu'en introduisant dans le calcul des quantités indéfiniment petites , et en les négligeant par comparaison aux quantités finies , les équations devenoient imparfaites , et que les erreurs auxquelles on donnoit lieu ne se compensoient que dans le résultat cherché. ,On peut maintenant éviter, si l'on veut , celte espèce d’inconvénient par le moyen des évanouissantes , qui, n'étant autre chose que les dernières valeurs des quantités indéfiniment petites correspondantes , peuvent , comme toutes autres var

5o Réflexions sur la Métaphysique

leurs, être attribuées à ces quantités indéfiniment petites ; et qui, d’un autre coté , étant absolument nulles, peuvent se négliger, lorsqu’elles se trouvent ajoutées à quelques quantités effectives, sans que le calcul cesse d’être parfaitement rigoureux.

(44) On peut donc envisager l’analyse infinitésimale sous deux points de vue différens ; en considérant les quantités infiniment petites ou comme des quantités effectives y ou comme des quantités absolument nulles. Dans le premier cas , l’analyse infinitésimale n’est autre chose qu’un calcul d’erreurs compensées y et dans le second, c’estl’art de comparer des quantités évanouissantes entre elles et avec d’autres, pour tirer de ces comparaisons les rapports et relations quelconques qui existent entre des quantités proposées.

Comme égales à zéro, ces quantités évanouissantes doivent se négliger dans le calcul, lorsqu’elles se trouvent ajoutées à quelque quantité effective ou qu’elles en sont retranchées } mais elles n’en ont pas moins, comme on vient de le voir , des rapports très-intéressans à connoître , rapports qui sont déterminés par la loi de continuité à laquelle est assujetti le système des quantités auxiliaires dans son changement. Or, pour saisir aisé-

du Calcul infinitésimal . 5i

ment cette loi de continuité , il est aisé de sentir qu’on est obligé de considérer les quantités en question à quelque distance du terme où elles s’évanouissent entièrement, sinon elles n’offriroienl que le rapport indéfini de zéro à zéro $ mais cette distance est arbitraire et n’a d’autre objet que de faire juger plus facilement des rapports qui existent entre ces quantités évanouissantes : ce sont ces rapports qu’on a en vue en regardant les quantités infiniment petites comme absolument nulles , et non pas ceux qui existent entre les quantités qui ne sont pas encore parvenues au terme de leur anéantissement.

Celles-ci, que j’ai nommées indéfiniment petites , ne sont point destinées à entrer ellesmêmes dans le calcul envisagé sous le point de vue dont il s’agit dans ce moment, mais employées seulement pour aider l'imagination, et indiquer la loi de continuité qui détermine lesrapports etles relations quelconques des quantités évanouissantes auxquelles elles répondent.

Ainsi, d’après cette hypothèse, dans laproportion MZ : RZ :: TP : MP, les quantités représentées par MZ et RZ sont bien supposées absolument égales à zéro ; mais comme c’est

de leur rapport qu’on a besoin , il faut pour

bl Réflexions sur la Métaphysique

appercevoir son égalité avec —, considérer

les quantités indéfiniment petites qui répondent à ces quantités nul]es, non afin de les introduire elles-mêmes dans le calcul, mais afin d’y faire entrer sous la dénomination de MZ et de RZ,les quantités évanouissantes qui en sont les dernières valeurs.

(45) Ces expressions MZ, RZ représentent donc ici des quantités nulles, et on ne les emploie sous les formes MZ, R Z, plutôt que sous la forme commune o , que parce que si on les employoit en effet sous cette dernière forme , on ne pourroit plus distinguer , dans les opérations où elles se trouveroient mêlées, leurs diverses origines , c’est-à-dire , quelles sont les diverses quantités indéfiniment petites qui leur répondent. Or, la considération, au moins mentale, de celles-ci, est nécessaire pour saisir la loi de continuité qui détermine le rapport cherché des quantités évanouissantes qu’elles ont pour limites, etpar conséquent il est essentiel de ne pas les perdre de vue et de les caractériser par des expressions qui empêchent de les confondre.

(46) Les quantités évanouissantes qui font le sujet du calcul infinitésimal envisagé sous ce nouveau point de vue ? sont à la vérité

du Calcul infinitésimal .

es êtres de raison ; mais cela n’empêche pas qu’elles n’aient des propriétés mathématiques , et qu’on ne puisse les comparer tout aussi bien qu’on compare des quantités imaginaires qui n’existent pas davantage } car il est tout aussi vrai de dire , par exemple, que

60 = 204-40 que

Or, personne ne révoque en doute l’exactitude des résultats qu’on obtient parle calcul des imaginaires, quoiqu’elles ne soient que des formes algébriques et des hiéroglyphes de quantités absurdes 5 à plus forte raison ne peut-on donner l’exclusion aux quantités évanouissantes qui sont au moins des limites de quantités effectives, et touchent pour ainsi dire à l’existence. Qu’importe en effet que ces quantités soient ou non des êtres chimériques , si leurs rapports ne le sont pas, et que ces rapports soient la seule chose qui nous intéresse ! On est donc entièrement maître, en soumettant au calcul les quantités que nous avons nommées infinitésimales, de regarder ces quantités comme des quantités effectives, ou comme absolument nulles ; et la différence qui se trouve entre ces deux manières d’envisager la question , consiste en ce que regardant ces quantités comme nulles, les propos

si lions , équations et résultats quelconques , sont toujours exacts et rigoureux , mais se rapportent à des quantités qui sont des etres de raison, et expriment des relations qui existent entre quantités qui n'existent pas elles-mêmes : au lieu qu'en regardant les quantités infiniment petites comme quelque chose d’effectif, les propositions , équations et résultats quelconques ont bien pour sujet de véritables- quantités $ mais ces propositions, équations et résultats sont faux , ou plutôt ils sont imparfaits, et ne deviennent exacts à la fin que par la compensation de leurs erreurs , compensation cependant qui est une suite nécessaire et infaillible des opérations du calcul. •

( 47 ) La métaphysique qui vient d'être exposée fournit aisément des réponses à toutes les objections qui ont été faites contre l’analyse infinitésimale dont plusieurs Geometres ont cru le principe fautif et capable d induire en erreur;mais ils ont été accables, si 1 on peut s'éxprimer ainsi,par la multitude des prodiges, et par l'éclat des vérités qui sortoient en foulé de ce principe.

Ces objections peuvent se réduire à celleci : ouïes quantités qu '011 nomme infiniment pelites sont absolument nulles, ou non; car

du Calcul infinitésimal.

il est ridicule de supposer qu’il existe des êtres qui tiennent le milieu entre la quantité et le zéro. Or, si elles sont absolumentnuUes, leur comparaison ne mène à rien, puisque le rapport de O à o n’est pas plus a que b , ou toute autre quantité quelconque } et si elles sont des quantités effectives, on ne peut sans erreur les traiter comme nulles, ainsi que le prescrivent les règles de l’analyse infinie tésiroale.

La réponse est simple : bien loin de ne pouvoir en effet considérer les quantitps infiniment petites, ni comme quelque chose de.

réel, ni comme rien, on peut dire au cçmfrairq qu’on peut à volonté les regarder commo nulles ou comme de véritables quantités j car ceux qui voudront les regarder comme nulles, peuvent répondre que ce qu'ils nomment quantités infiniment petites ne sont point des quantités nulles quelconques, mais des quantités nulles assignées par une loi de continuité qui en détermine la relation ; que parmi tous les rapports dont ces quantités sont susceptibles comme zéro, ils ne considèrent que ceux qui sont déterminés par cette loi de continuité} et qu enfin ces rapports ne sont point vagues et arbitraires , puisque cette loi de continuité n’assigne point, par exempt j

plusieurs rapports différens aux différentielles de 1 abscisse et de l’ordonnée d’une courbe lorsque ' ces différentielles s’évanouissent, mais Un seul , qui est celui de la sous-tangente à l’ordonnée. D’un autre côté, ceux qui regardent lies quantités infiniment peti Les comme de véritables quantités , peuvent répondre que ce qu’ils appellent infiniment-petit n’est qu’une grandeur arbitraire et indépendante des quantités proposées -, que dès-lors , sans

la supposer nulle, on peut cependant la traiter comme telle sans qu’il s’ensuive aucune erreur dansle résultat, puisque cette erreur, si elleàvorilieu, seroit arbitraire comme la quan-* tfte qui I’àuroit occasionnée. Or, il est évident qu’une pareille erreur ne peut exister qu’entre des quantités dont quelqu’une au moins soit arbitraire. Donc lorsqu’on est parvenu à un résultat qui n’en contient plus, et qui exprimé'une relation quelconque entre les quanmes données et celles qui sont déterminées par es conditions du problème , on peut assurer que ce résultat est exact, et que par conséquent les erreurs qui auroient dû être commises en exprimant ces conditions ont pu se compenser et disparoîlre par une suite nécessaire et infaillible des opérations du calcul (*8) D’autres Géomètres, embarrassés ap-

du Calcul infinitésimal.

paremment par l’objection qu’on vient de discuter, se sont attachés simplement à prouver que la méthode des limites dont les procédés sont rigoureusement exacts dans tous les points , devoit nécessairement conduire aux mêmes résultats que l’analyse infinitésimale. Mais en convenant que le principe de cette méthode est très-lumineux , on ne peut se dissimuler qu’ils ne font qu’éluder la difficulté sans la résoudre -, que la méthode des limites ne mèiie aux résultats de l’analyse infinitésimale que par une route difficile et détournée ; etqu’enfin cetteméthode , loin d’être la même que celle du calcul de l’infini, n’est au contraire que l’art de s’en passer et d’y suppléer parle calcul algébrique ordinaire : en quoi l’on réussiroit d’une manière plus simple, à ce qu’il me semble, par la méthode des indéterminées.

Mais pourquoi adopteroit-on l’une de ces méthodes à l’exclusion des autres , puisqu’elles peuvent se prêter un secours mutuel ? Employons donc tout ensemble , et l’analyse infinitésimale proprement dite, et la méthode des limites, et celle des indéterminées, suivant que les circonstances l’indiquent, et ne négligeons aucun des moyens qui peuvent nous conduire a la connoissance de la vérité, ou en simplifier la recherche.

Il me reste à montrer par quelques exemples l'application des principes généraux que je viens d'expliquer; et c'est ce que je vais faire en donnant une idée des calculs diffé- , rentiel et inLégral, lesquels sont, à proprement

parler, l’analyse infinitésimale elle-même réduite en pratique.

cateuu^iffé* ^ ^ on attr À^ ti e successivement à une

rentiel et in- même quantité variable deux valeurs infiniment peu différentes l’une de l'autre , la différence de la seconde de ces deux valeurs à la première sera nommée différentielle de cette première valeur.

Soit, par exemple , AMN ( Fig. 2 ) une courbe relativement à laquelle on ait une question quelconque à résoudre , et telle que l'ordonnée MP soit une des quantités désignées par cette question. Je suppose de plus que pour faciliter la solution , l'on mène parallèlement à M P et à une distance arbitraire de cette ordonnée , une ligne auxiliaire N Q, et qu'ensuite cette ligne se rapproche continuellement de MP jusqu'à ce qu'elle coïncide avec elle ; la ligne N O, ou N Q—M P sera donc ( 19 ) une quantité infiniment petite. Or comme elle est la différence des deux valeurs NQ, MP , attribuées successivement à Pordonnée, on est convenu de la désigner dans le

du Calcul infinit ésimal. 5 9

discours par l’expression diminutive de différentielle de la variable MP , et de la représenter dans le calcul par cette même variable précédée de la caractéristique d : ainsi, en nommant y l’ordonnée M P, dy signifiera la même chose que différentielle de M P •

Mais supposer, comme nous Pavons fort, que NQ s’approche perpétuellement de MP,

c’est supposer que AQ s’approche aussi perpétuellement de AP ; caria première de ces

deux suppositions entraîne nécessairement la

seconde; donc en nommant * l’abscisse Ai , P Q ou M O sera la différentielle de x , et l’on aura MO = d* en même -tenus que

N O =dy.

Si l’on suppose de plus NQ==r' et AQ=*', on aura y'^y+dy et x'^x+dx; c est-adire , que les différentielles dy et dx ne sont autre chose que les accroissemens des variables correspondantes y et x , ou les quantités dont elles augmentent lorsquelles deviennent

y ' etx',

(5o) Maintenant soit attribuée à l’ordonnee une nouvelle valeur RS, telle que P Q et

QS diffèrent infiniment peu l’une de l’autre ,

ou aient pour dernière raison une raison d egalité 5 pour que cela soit, il faut évidemment,

puisque N Q p ar ] a première hypothèse est de MP T T/T 0 ^ P er P®tueIlem e nt

aussYn ’ ,Y d ‘ S ' ,e ’ qUe RS s ’ a PPr°che aussi perpétuellement de la même ligne MP

e maniéré qu’elle finisse comme N O par coïncider avec elle; autrement il est clatque le rapport de QS à PQ , I e q„ e l doit par hypothèse s approcher sfins cesse de l’unité s’en eloigneroit : ainsi les rapports de NQ à MP «le *S à MP, de RS à NQ et deQSàPQ auront tous pour limite le rapport d’égalité.’

I est visible de plus qu’à cause de la loi de continuité , le rapport de R Z à NO sera dans e meme cas. Donc , suivant la notion générale que nous venons de donner ci-dessus des quanutes ^fferentieUes , QS doit être la dmerentielle de A Q , RZ celle de NQ OS —PQ ou N Z—MO celle de PO Y ’ c

R vrr- jeNo " i '»«-i’-NÏ

on NQ M p ,]. M p Donc con|ir

"t a la convention faite au sujet de l a manière exprimer les différentielles dans le calcul, nous devons avoir QS= dx', RZ = dy', QS PQ—af ( mo ), RZ—NO=tf (NO).

ais nous avons déjà trouvé M O— dx NO

Tfî 7 C Q' S ~ N <?=^, RZ-NoJ^v;

c,est-a-d.re, que les quantités ddx et ddy (qu on écrit aussi de cette manière^, dy )

du Calcul infinitésimal. 6i

seront les différentielles des différentielles de# et jp, et c’ést ce que, pour abréger, on nomme encore différences secondes ou différentielles du second ordre ,* c’est-à-dire , que ddx est la différentielle du second ordre ou la différence seconde de x , et ddy celle de y.

Or , puisque QS et PQ sont supposées infiniment peu différentes l’une de l’autre, leur différence ddx est infiniment petite relativement à chacune d’elles ( 28 ). Donc les différences du second ordre sont infiniment petites relativement aux différentielles premières ou du premier ordre (*).

(5i) On peut différentier pareillement à leur tour'les différentielles du second ordre , et de cette différentiation résulteront les

(*) Si au lieu de mener la nouvelle ligne auxiliaire RS de manière que les lignes QS et PQ diffèrent infiniment peu l’une de l’autre , on la mène telle que QS soit précisément égale à PQ, c’est-à-dire , telle que AP, AQ, AS soient en progression arithmétique, on aura ddx-=. o, ou dx constant : ainsi on peut supposer l'une des différentielles constante j mais de ce que AP, AQ , AS sont en progression arithmétique, il ne s’ensuit pas que MP, NQ, RS , y soient aussi, à moins que la ligne AMN ne soit droite : ainsi , de ce que ddx seroit supposée égale à zéro , il ne s'ensuivait pas que l’on eût aussi ddyxzo.

différentielles du troisième ordre ; de la différentiation de celle-ci résulteront celles du quatrième ordre , et ainsi de suite : de manière que dddy, ou */ s y,sera la différence troisième dey; ddddy , ou d*y , la différentielle du quatrième ordre , etc. Or, d’après ce que nous venons de dire sur la génération des différentielles du premier et du second ordre , il est aisé de comprendre comment doit se faire celle des ordres supérieurs $ ainsi je ne m'y arrêterai pas ; je dirai seulement que c’est en attribuant pour chaque nouvel ordre une nouvelle valeur auxiliaire à chacune des variables, telle que, non-seulement chacune de ces nouvelles valeurs diffère infiniment peu de celle qui la précède, mais que la même chose ait lieu entre leurs différentielles, les différentielles de leurs différentielles, et ainsi de suite.

(5î) Diflerentier une quantité, c’est assigner sa différentielle ; c’est-à-dire , que si X , par exemple , est une fonction quelconque de x , la différentier ce sera assigner la quantité dont cette fonction augmentera en supposant que x augmente de dx.

Intégrer ou sommer une différentielle , au contraire, c’est revenir de cette différentielle

du Calcul infinitésimal.

à la quantité qui Ta produite par sa différentiation , et cette dernière quantité s’appelle intégrale ou somme de la différentielle proposée : ainsi x par exemple , est l’intégrale ou la somme de dx, et intégrer ou sommer dx n’est autre chose qu’assigner cette quantité x qui en est la somme ou l’intégrale.

Nous avons vu que la différentielle d’une quantité s’exprime dans le calcul par cette même quantité précédée de la caractéristique d ÿ réciproquement, on est convenu d’exprimer l’intégrale ou la somme d’une différentielle quelconque par cette même différentielle précédée de la caractéristique f ; c’està-dire , que fidx, par exemple, signifie la même chose que somme de dx : ainsi Ton a évidemment x = f d x.

(53) On nomme calculs différentiel et in tégral l’art de trouver les rapports et relations quelconques qui existent entre des quantités proposées, par le secours-de leurs différentielles. Le nom de calcul différentiel s’appliquant proprement à l’art de rechercher les rapports ou relations des quantités différentielles et de les éliminer ensuite par les règles ordinaires de l’algèbre , et celui de calcul intégral à l’art d’intégrer ou d’éliminer ces

64 Réflexions sur Ici M.etciphy siquQ

mêmes quantités différentielles par les procédés qui enseignent à revenir d’une différentielle a son intégrale.

Mon but ici n’est point d’écrire un traité de ces calculs ; mais seulement d’en indiquer les règles fondamentales , et de montrer que ces règles ne sont autre chose qu’une application des principes généraux qui viennent d’être exposés.

(54) Proposons-nous donc d’abord d’assigner la différentielle de la somme x-\-y-+x-h etc. de plusieurs variables.

Par hypothèse x devient x~\-dx , y devient y-hcfy , etc. Donc la somme proposée devient a:-h dx-hy -h dy-j-z -j-dz-j- etc. • donc elle augmente de dx-hdy-i-dz-h- etc., et cette augmentation est précisément ce que nous avons appelé différentielle.

(55) On demande maintenant la différen¬

tielle de a-hb-j-c-h etc. -j-x-hy-hz-h etc. : a^b^c, etc. étant des constantes,et etc.

des variables.

Par hypothèse , a reste a , b reste b , creste c,etc., x devien t irt-dx, y devient y-^rdy, etc. Donc la somme proposée devient a-f-5-f-c, etc. -HH -dx-+- etc. ; donc elle augmente de dx-\-dy-\-dz -H etc. et cette augmentation est

du Calcul infinitésimal. 65

la différentielle cherchée ; donc celte différentielle est la même que s'il n'y avoit point de constantes dans la somme proposée;

On demande la différentielle de ax.

Par hypothèse, a reste a, et x devient x H~dx. Donc ax devient ax-\~adx ; donc il augmente de adx , et cette augmentation est la différentielle cherchée.

(56) On demande la différentielle de xy.

On voit par ce qui précède quelle est ydx-f:

ydy+dxdy, c'est-à-dire, qu’on a d.xy=ydx+ xdy-\-dxdy.

Mais j’observe, à l’égard de cette équation, que dx et dy étant infiniment petits relativement a x et y , le dernier terme dxdy est lui-meme infiniment petit relativement à chacun des autres, c’est-à-dire, que le quotient de ce dernier terme par chacun des autres est une quantité infiniment petite. Donc si on le néglige dans l’équation précédente, qui deviendra pour lors d.xy = x dy-yjdx cette équation sera ce que j’ai nommé uné équation imparfaite. Mais puisque les équations imparfaites peuvent ( 3 1 ,34 ) s’employer comme des équations rigoureuses, sans qu’il $ ensmve aucune erreur dans le résultat cherche, il est évident que je puis faire usage de pette dermere équation au l ieude la prem ière,-

et comme elle est plus simple, j’abrégerai et je faciliterai dans l’occasion par son secours les opérations de mon calcul.

Je dirai donc que la différentielle d’une quantité qui est le produit de deux variables est égale au produit de la première variable, par la différentielle de la seconde, plus à celui de la seconde variable par la différentielle de la première; et cette proposition sera de celles que j’ai nommées (35) propositions imparfaites, c’est-à-dire , susceptibles d’être traduites par une équation imparfaite , et ne pouvant comme elle, conduire qu’à des résultats rigoureusement exacts (*).

(*) Si de l’équation imparfaite d. xy = * dy -±-y dx ; je voulois tirer une équation rigoureuse , je le pourrois d’abord en restituant au second membre le terme dx dy qui lui manque j mais je le pourrois aussi de là manière suivante : je diviserois tout par dy , par exemple, et

j’aurois la nouvelle équation imparfaite ^^-z=.y-^-\-x;

et comme ( 19 ) une quantité auxiliaire diffère iufiniment peu de sa limite, je puis, dans l’équation précédente,

mettre Km. (~^) à la place de et Km. (~)

à la place de -j— , sans que l'équation cesse d’être imparfaite (3 2 ). Or elle devient alors Jim. X

Jim . H 'rst} mais toute limite est par la définition

du Calcul infinitésimal.

( 57 ) On trouvera par les mêmes procédés que ci-dessus, qu’on a l’équalion imparfaite d.xy z=xydz-]-x z dy-\-y zdx.

On trouvera de même l’équation imparfaite

^ x ydx-~-xdy

On trouvera de même l’équation imparfaite d. x m =^rnx m - 1 dx, etc.

(58) Telles sont les principales règles du calcul différentiel; passons maintenant à celles du calcul intégral qui est la méthode inverse.

i Q . Puisque la différentielle de x est dx> l’intégrale de dx sera x, c’est-à-dire, qu’on aura fclx=x. Mais comme la différentielle d© a-\-x est egalement x dx(55) , il s’ensuit que l’intégrale de dx est aussi bien a-\-x que x seul, et qu’en général chaque différentielle a autant d’intégrales diverses qu’on veut lui en donner $ mais que toutes ces intégrales ne

mcmc ( 17 ) une quantité désignée. Donc, quoique dx et dy soient auxiliaires , lim. et lim. sont

des quantités désignées ; donc tous les termes de l’équation précédente lim. X Hm. ) -(-x, sont

des quantités désignées j donc (34) cette équation est nécessairement et rigoureusement exacte,

diffèrent que d’une quantité constante. Il suffit donc d’en déterminer une quelconque , et d’y ajouter une constante arbitraire pour représenter toutes les autres : c’est-à-dire, que toutes les intégrales possibles de clx seront représentées par jm-A , A étant une constante arbitraire.

2 q . Puisque la différentielle de x-hy-hz H-éfc. e‘st dx-j-dy-j-dz-t- etc., l’intégrale de cette différentielle sera x-hy-)-z-he tc.-J-A, A étant une constante arbitraire.

3°. La différentielle de arrêtant xdy-^r ydx(56) aussi bien que celle de xy-*rA^ l’intégrale de xdy-\-ydx sera réciproquement xy-h A, A étant une constante arbitraire.

4°. On trouvera de même que l’intégrale de >. d JL-.ï£y est : +A.

yy y

5°. On trouvera de même que l’intégrale de m x m 1 dx est x m -\~ A , etc.

Telles sont les principales règles du calcul intégral ; il nous reste à montrer par quelques exemples particuliers l'application de ces règles et de celles du calcul différentiel; c’est ce que nous allons faire le plus succinctement qu’il nous sera possible.

du Calcul infinitésimal .

PROBLÈME I er .

(5g) Étant donnée une courbe elliptique AMB {Fig. 5.), trouver la sous-tangente quelque» TP qui répond à un point quelconque donné, exeœP M, de cette courbe.

Que AB soit le grand axe de la courbe :

PM* nous aurons donc — ( 2 ax —

Cela posé } soit menée une nouvelle ordonnée NQ infiniment proche de MP, c'est-à-dire, que cette ligne auxiliaire N Q soit d'abord menée à une distance quelconque arbitraire de MP, et qu'ensuite elle soit imaginée s'en rapprocher continuellement, de sorte que leur dernière raison soit une raison d'égalité; les lignes MO, NO seront donc (4g) les différentielles respectives de x et y. Or les triangles semblables

TPM , MZO donnent — = — = — - - 5 MP Z O NO-hZN*

Mais il est évident que plus NQ s'approche de MP, pl us ZN diminue relativement à N O , et que leur dernière raison est o. Donc Z N est infiniment petite relativement à NO ; ™ MO

donc

NÔ - est une équation impar-

TP dx

faite (3i) ; c'est-à-dire , que— = — est une équation imparfaite.

D’un autre côté, l’équation de la courbe étant yy= ( ' iax — xx ) > nous aurons, en la différentiant, cette autre équation imparfaite, ydy= h ~ (adx — xdx)-, substituant donc

dans cette dernière la valeur de dx tirée de la première, et réduisant, nous aurons

TP= — X équation qui, ne renfer^

mant plus de quantités infinitésimales , est nécessairement et rigoureusement exacte(34).

( 60 ) ulutre solution. Considérons la courbe proposée comme un polygone d une infinité de côtés ; c’est à-dire , prenons à la place de la courbe proposée un polygone d’un nombre quelconque de côtés , et supposons ensuite que ce nombre de côtés augmente perpétuellement , de manière que la dernière relation de ce polygone avec la courbe soit une relation d’identité. Comme il est absolument impos" gible que la courbe puisse être exactement considérée comme un polygone , les équations par lesquelles j’exprimerai les conditions du problème en partant de cette hypothèse ne seront

du Calcul infinitésimal . 71

point exactes $ mais puisque le potygone est supposé s’approcher sans cesse de la courbe, les erreurs qui pourront se trouver dans ces équations s’atténueront autant qu’on le voudra., et parlant, ces mêmes équations seront de celles que j’ai nommées imparfaites.

Ainsi les triangles T'MP,MNO me don- T'P MO

nent l’équation — = — ; substituant TP à

T'P qui en diffère infiniment peu, on aura cette MO TP dx équation imparfaite, ^ = — ou y — —,

la même que celle qui a été trouvée ci-dessus, et qui, combinée avec celle de la courbe , me donnera le même résultat.

( 61 ) On peut encore , si l’on veut , appliquer à cette question la méthode des indéterminées sans rien changer au procédé du calcul. En effet, après avoir trouvé les deux TP dx 7

équations imparfaites — = — et 2 y ay —

— (2 a dx — 2 xdx ), j’ajoute mentalement à l’un des membres de la première, pour la rendre rigoureusement exacte , une quantité <p ; j’introduis pareillement dans la seconde une quantité <p' qui la rende de même rigoureusement exacte : les quantités sous-entendues et <p 7 sont donc infiniment petites

relativement à celles auxquelles on les ajoute mentalement. Cela posé , je compare les deux équations précédentes sans avoir égard à ces

quantités <p et «péréquation TP = ~ -IZ.

qui en résultera , pouvant n’être pas exacte,, j y ajoute encore mentalement une quantité «P^ qui la rende telle. Mais comme cette quantité ne peut quatre infiniment petite^ je reconnoïs bientôt qu’elle est absolument nulle , parce que les autres termes de l’équation iie renferment plus de quantités infinitésimales ; car en faisant passer tous les termes dans un seul membre , l’équation qui

a alors (