SUR

Par M. POINSOT

L Extrait du Journal de Mathématiques pures et appliquées , tome X? i845.]

Je me propose de parcourir et de démontrer dans cet écrit les principales propositions qui servent de base à la théorie des nombres. Quoique les géomètres en aient déjà donné des démonstrations plus ou moins ingénieuses, je ne crois pas inutile d’en présenter encore de nouvelles, qui me paraissent à la fois plus simples et plus directes, ou qui, étant tirées d un nouvel ordre de considérations, sont propres à mettre la doctrine dans un nouveau jour [*].

[ ] J avais jeté sur le papier ces réflexions et ces démonstrations relatives à la théorie des nombres, dans la seule intention d éclaircir, pour quelques personnes, les premiers principes de cette importante théorie. On m’a persuadé qu’il pouvait être utile de les publier; mais je prie le lecteur de les recevoir avec indulgence, parce que je les donne

ici telles qu elles se sont présentées dans le cours de cette espèce de conversation mathématique.

Ces démonstrations pourraient entrer facilement dans nos ouvrages élémentaires, et par là contribuer, bien plus qu’on ne l’imagine, aux véritables progrès de la science. Car si la théorie des nombres est en core peu avancée, malgré les efforts des plus grands géomètres, ce n'est point uniquement à la difficulté propre de la matière qu’on doit attribuer la lenteur de ces progrès : elle tient peut-être encore plus à cette espèce d’isolement et d’abandon où l’on a laissé jusqu’ici cette première partie de nos études mathématiques. Il faut observer que la théorie des nombres est tout à fait négligée dans nos Éléments, et que l’esprit ne s’y exerçant pas d’assez bonne heure, n’est peut-être plus capable de s’en rendre ensuite les principes assez familiers. Les Anciens y donnaient plus de soin dans leurs ouvrages; on dirait qu’ils en avaient mieux senti l’importance, et leurs livres, à cet égard, ont encore de l’avantage sur les nôtres. Mais depuis longtemps il semble que les auteurs aient regardé la théorie des nombres comme une spéculation singulière, qui ne se lie à rien ni dans l’Analyse ni dans la Géométrie, et qui n’offre ainsi à l’esprit que des vérités plus curieuses qu’utiles. A peine en trouvet-on quelques traces dans les Traités ordinaires d’Arithmétique et d’Algèbre. Et cependant, pour peu qu’on y veuille réfléchir, il est aisé de voir que cette arithmétique transcendante est comme le principe et la source de l’algèbre proprement dite. C’est une vérité qu’on pourrait établir par le raisonnement, comme je le montrerai tout à l’heure, mais qu’on peut aussi prouver en quelque sorte par l’expérience. Car, observez que ce peu qu’on ajoute de temps à autre à l'algèbre vient du peu qu’on découvre par intervalles dans la science des propriétés des nombres. On en a surtout un bel exemple dans cet heureux rapprochement qui a fait connaître à M. Gauss la résolution algébrique des équations binômes de tous les degrés, et la nature des nombres premiers par lesquels on peut diviser régulièrement le cercle au moyen de la règle et du compas C’est un pas inattendu et bien remarquable, que la théorie des nombres a fait faire à la fois à l’algebre et à la géométrie. L’algèbre, à son tour, par ses signes, et la géométrie même, par ses figures, peuvent s’appliquer aussi heureusement à la théorie des nombres, y faire éclore de nouvelles idées et de nouveaux théorèmes, indiquer de nouvelles routes dans la science, et nous apprendre enfin quelque chose sur l’art encore inconnu de nous y con-

(luire. C’est ce que j’ai tâché de montrer d’une manière assez frappante, dans un Mémoire étendu où j’ai donné le premier essai de cette singulière application , et où l’on a vu les imaginaires mêmes servir à la représentation analytique de certains nombres dont la loi nous était entièrement inconnue [*j.

Ces rapprochements et quelques autres semblables montrent assez la liaison de l’algèbre et de la théorie des nombres; mais, comme je l’ai dit plus haut, c’est ce qu’on peut voir aussi, indépendamment de ces exemples, et pour ainsi dire à priori, en s’élevant à l’idée qu’on doit se faire de la science mathématique considérée de la manière la plus générale. Cette réflexion mérite d’ètre développée.

ÏI.

On définit ordinairement les mathématiques la science des grandeurs cm général, ou la science des quantités } c’est-à-dire, au fond , la science des rapports; c’est la définition la plus générale qu’on ait donnée jusqu’ici du mot de mathématiques. Mais, quoique cette définition paraisse embrasser la science tout entière, il me semble qu’elle n’en donne encore une idée ni assez profonde ni assez étendue. Les mathématiques ne sont pas seulement la science des rapports, je veux dire que l’esprit n’y a pas uniquement en vue la proportion ou la mesure; il peut encore considérer le nombre en lui-mème, Y ordre et la situation des choses, sans aucune idée de leurs rapports, ni des distances plus ou moins grandes cpù les séparent. Si l’on parcourt les différentes parties des mathématiques, on y trouve partout ces deux objets de nos spéculations.

Ainsi l’Arithmétique nous offre d’abord l’arithmétique ordinaire, qui n’est guère autre chose que l’art de la numération , et qui peut s’établir d’une infinité de manières, selon l’échelle ou la base que l’on veut choisir. Mais les nombres, considérés en eux-mêmes, ont des propriétés qui ne dépendent point du tout de la manière dont on les représente, ou dont on opère actuellement sur eux. Ainsi il y a des nombres

[*] Voyez le volume XIV et dernier de la Classe des Sciences mathématiques de l’Institut , et le tome IV des Mémoires de V Académie des Sciences

qui ne peuvent être divises par aucun autre, et qu’on nomme premiers, ou simples, parce que tous les autres s’en composent par la multiplication; il y a les différentes puissances des nombres, qu’on produit en les multipliant plusieurs fois par eux-mêmes; et une foule d’autres formés par diverses lois, et par toutes les combinaisons régulières de celles-là. Or tous ces nombres et leurs propriétés demeurent toujours les mêmes dans tous les systèmes possibles de numération ; et de là résulte un certain genre de spéculations et de vérités mathématiques, qui constituent cette arithmétique transcendante qu’on nomme aujourd’hui la théorie des nombres.

Si vous considérez l’Algèbre , vous y voyez également deux parties très-distinctes. Et d’abord, l’algèbre ordinaire, qu’on peut très-bien nommer Y arithmétique universelle. Cette algèbre, en effet, n’est autre chose qu’une arithmétique généralisée, c’est-à-dire étendue des nombres particuliers à des nombres quelconques, et, par conséquent, des opérations actuelles qu’on exécutait à des opérations qu’on ne fait plus qu’indiquer par des signes ; de manière que , dans cette première spéculation de l’esprit , on songe moins à obtenir le résultat de ces opérations successives qu’à en tracer le tableau , et à découvrir ainsi des formules générales pour la solution de tous les problèmes du même genre.

Mais il y a une algèbre supérieure, qui repose tout entière sur la théorie de l’ordre et des combinaisons, qui s'occupe de la nature et de la composition des formules considérées en elles-mêmes, comme de purs symboles, et sans aucune idée de valeur ou de quantité. C’est à cette partie qu’on doit rapporter la théorie profonde des équations, celle des expressions imaginaires , et tout l’art des transformations algébriques; et c’est même cette seule partie élevée de la science qui mérite, à proprement parler, le nom d'algèbre.

Si l’on passe maintenant à la Géométrie, qu’on définit la science de Y étendue figurée, on y voit d’abord la géométrie ordinaire, qui étudie les propriétés des figures sous le seul point de vue des rapports de grandeur, et qui n’a ainsi d’autre objet que la proportion ou la mesure. Mais on distingue ensuite une autre géométrie, qui ne regarde, pour ainsi dire, que les lieux dans l’espace, c’est-à-dire l’ordre et la situation des choses, sans aucune considération de leur grandeur ou de leur figure. C’est une science encore neuve, que Leibnitz paraît avoir le

premier entrevue, et qu’il a nommée la géométrie de situation. Il en avait pris l’idée dans la considération de quelques jeux remarquables , dont la loi ne dépend que de la situation des différentes pièces qu’on y emploie; mais elle s’étend à beaucoup d’autres questions importantes, et c’est à cette géométrie que j’ai cru devoir rapporter les polygones et les polyèdres étoilés, et plusieurs problèmes d’ordre et de situation que j’ai proposés et résolus pour la première fois dans un Mémoire qui a été imprimé dans le Recueil de V Institut et dans le Journal de l’École Polytechnique.

La Mécanique elle-même nous présenterait également deux espèces de mécanique. Et d’abord celle qui calcule la quantité des mouvements, les forces, les vitesses; ensuite celle qui n’a en vue que la disposition des corps, leur jeu réciproque, la manière dont ils croisent leurs routes, et cela sans avoir égard ni à la direction de ces lignes, ni au temps que les corps mettent à les décrire, ni aux forces qui sont nécessaires pour les mouvoir. Telles sont plusieurs machines ou mécaniques ingénieuses, où l’on ne considéré ni la force ni la grandeur du mouvement, mais uniquement la situation et le mouvement géométrique des différentes pièces qui les composent. Mais il est clair que cette espèce de mécanique serait toute fondée sur la géométrie de situation , et se confondrait, pour ain^i dire, avec elle.

Quoi qu’il en soit , vous voyez que les mathématiques nous offrent partout ces deux objets de spéculation : d’un côté, la grandeur ou la quantité , c’est-à-dire la proportion ou la mesure des grandeurs; de l’autre, le nombre, Y ordre et la situation des choses, sans aucune idée de mesure ou de quantité. De sorte que les mathématiques, considérées de la manière la plus générale, pourraient être définies la science qui a pour objet le nombre, Y ordre et la mesure.

Je mets la théorie des nombres en premier lieu , parce qu’elle est nécessairement la première qui doive s’offrir dans la chaîne naturelle de nos idées, et que la science des rapports y a elle-même ses premiers principes. Et, en effet, il n’est guère de problème mathématique, quelque simple qu’il soit, qui ne présente plusieurs choses à considérer, et qui n’ait ainsi de premières difficultés relatives au nombre de ces choses; de sorte que les premiers principes de la solution doivent être nécessairement puisés dans la théorie des nombres.

Cependant cette spéculation, que je mets la première dans la suite de nos idées, paraît ne s’étre présentée que la seconde; et même on a vu les diverses branches des mathématiques s’élever à une assez grande hauteur, sans rien emprunter à la théorie des nombres, qui est restée, pour ainsi dire, isolée, et comme sans usage dans l’analyse et la géométrie. Mais il y a là-dessus une remarque essentielle à faire.

Il faut observer que la plupart des questions traitées jusqu’ici par les géomètres ont exigé , si j’ose le dire, encore plus d’adresse et de sagacité que de force et de profondeur. N’ayant presque jamais en vue que la quantité, ils ont pu la saisir, et même la suivre jusque dans les affections des grandeurs qui varient par nuances insensibles. Dans les premiers problèmes qui nous intéressent, il y a si peu d’éléments à considérer, que les difficultés qui tiennent au nombre et à l’ordre de ces éléments disparaissent pour ainsi dire d’elles-mémes , et ne peuvent guère retarder la solution qu’on se propose d’obtenir. Mais sitôt qu’on a voulu résoudre des questions un peu moins simples, ces difficultés se sont fait sentir, et nous ont paru insurmontables. Dans ces sortes de recherches, on a à peine effleuré la matière; et les solutions particulières, qu’on avait obtenues dans quelques cas simples, n’étant pas tirées des principes généraux , n’ont pu donner aucune lumière sur les questions du même genre. C’est ce qu’on peut voir et rendre sensible par plusieurs exemples, et, entre autres, par cet exemple remarquable que j’ai cité plus haut. Ainsi les Anciens ont trouvé qu’on pouvait construire, par la règle et le compas, le côté du triangle équilatéral, et même le côté du pentagone régulier, inscrits à un cercle donné; et, quoiqu’ils aient trouvé dans ces deux cas des constructions exactes, ils n’ont rien vu au delà, et ils ont même cru qu’on ne pouvait aller plus loin. Ils ont pu résoudre le problème pour ces deux nombres premiers 3 et 5, parce que la difficulté qui vient des nombres est ici presque nulle, et n’est pas même aperçue. Mais il n’en est pas de même pour ies nombres premiers supérieurs, et ils ont été arrêtés tout à coup dans leur recherche, parce que les vrais principes de la solution, qui ne peuvent être pris que dans la théorie des nombres, leur ont entièrement échappé. Et, en effet, s'ils avaient eu ces principes, ils auraient vu que la possibilité de diviser géométriquement le cercle en 3 ou 5 parties égales tient essentiellement à une propriété qui est commune

à ces deux nombres premiers, et qui consiste en ce que chacun d’eux, étant diminué de l’unité, fait une puissance exacte de 2; et de là ils auraient conclu que la solution est également possible pour les autres nombres premiers, tels que 17, 267, etc., qui jouissent aussi de la même propriété; mais c'est ce que leur solution , trouvée dans le cas de 3 et 5, ne leur avait pas même fait soupçonner, parce que ce n’était, pour ainsi dire, qu’une solution de fait, et qui ne venait pas de cette propriété des nombres, qui seule la fait réussir.

Il résulte donc de ces réflexions que la théorie des nombres, qui, au premier coup d’oeil, ne paraît qu’une spéculation singidière en mathématiques, s’y présente au contraire dîme manière naturelle , et qu elle forme même la première partie essentielle de la doctrine, comme étant celle où la science générale des rapports a elle même ses premiers fondements. C’est par cette théorie de l’ordre et des nombres qu’on peut connaître la nature propre de l’algèbre, et rendre raison de cette équivoque, ou multiplicité de sens , qu’elle attache à ses signes, et qui nous présente souvent plusieurs racines ou solutions différentes dans un problème où notre esprit n’en voit qu’une seule : propriété singulière de l’algèbre, dont on ne s’est point encore bien rendu compte, et que je vais tâcher d’approfondir afin de jeter un nouveau jour sur la philosophie de la science.

Quand on applique l’algèbre à la solution d’un problème , on trouve souvent une équation de degré supérieur, qui a plusieurs racines , et qui donne ainsi , outre la valeur propre à résoudre le problème tel que l’esprit le considère, d’autres valeurs auxquelles on n’avait pas songé, et qu’il paraît quelquefois impossible d’interpréter par les nombres ou par les lignes dont il s’agit dans la question proposée.

D’Alembert a fait là-dessus des réflexions dans plusieurs de ses écrits, et notamment dans le dictionnaire de l’Encyclopédie, au mot Equation. Il parcourt quelques questions très-simples, où l’algèbre donne à la fois plusieurs solutions différentes, quoique le problème paraisse n’en avoir qu’une seule dans le sens précis de son énoncé ; et il tâche d’expliquer cette multiplicité, en faisant voir que l’équation est souvent