S RÉFLEXIONS

plus générale que l’énoncé, et qu’elle est la traduction algébrique de plusieurs énoncés différents dont l’algèbre ne peut exprimer la différence. >< Quelques algébristes, dit-il, regardent cette généralité comme » une richesse de l’algèbre, qui répond, non-seulement à ce qu’on » lui demande, mais encore à ce qu’on ne lui demandait pas et qu’on » ne songeait pas à lui demander.... Pour moi, ajoute d’Alembert, je » ne puis m’empêcher d’avouer que cette richesse prétendue me pa- » rait un inconvénient. Souvent il en résulte qu’une équation monte » à un degré beaucoup plus haut qu’elle ne monterait, si elle ne ren- » fermait que les racines propres à la vraie solution de la question telle » qu’elle est proposée. U est vrai cpie cet inconvénient serait moindre, » et serait même, en un sens, une véritable richesse , si l’on avait une » méthode générale pour résoudre les équations de tous les degrés. Il » ne s’agirait plus que de démêler parmi les racines celles dont on » aurait vraiment besoin ; mais malheureusement on se trouve arrêté » dès le quatrième degré. Il serait donc à souhaiter, puisqu’on ne peut » résoudre toute équation , qu’on pût au moins l’abaisser au degré de » la question , c’est-à-dire à n’avoir qu’autant d’unités dans l’exposant » de son degré, que la question a de solutions vraies et directes; mais » la nature de l’algebre ne parait pas le permettre, »

Telles sont à ce sujet les réflexions de d’Alembert, philosophe à qui l’on doit sans doute beaucoup de lumières sur d’autres points de la science; mais il me semble qu’ici ses réflexions manquent à la fois de force et de justesse, et qu’elles ne vont point au fond de la question philosophique dont il s’agit. Cette généralité de l’algèbre n’est ni une richesse ni un inconvénient : c’est le simple caractère d’une science exacte et parfaite ; car l’algèbre ne nous donne exactement que ce qu’un raisonnement parfait nous aurait donné lui même.

Supposons, en effet, que le problème dont on s’occupe soit émincé d’une manière parfaite : l’énoncé ne renfermera que la relation précise qui existe entre l’inconnue et les données du problème, et qui seule forme entre elles une équation. Il est clair que tout ce qu’on pourrait ajouter à cet énoncé, ou y sous-entendre, serait au moins inutile, et quelquefois même pourrait être une contradiction. Car, puisque l’inconnue se trouve déjà fixée par cette seule partie de l’énoncé qui forme l’équation , il est évident qu’on n’est plus le maître

de rien ajouter; comme, par exemple, cette condition que l’inconnue sera plus grande ou plus petite qu’une certaine quantité, ou que la ligne cherchée tombera dans telle ou telle partie de la figure, etc. ; conditions qui ne dépendent plus de nous, que l’esprit peut supposer mal à propos, et qui souvent n’ont pas lieu dans la question proposée. On voit donc que si l’énoncé du problème est parfait , il 11’est rien autre chose que l’équation meme qui le traduit en algèbre. Si donc cette équation nous présente plusieurs racines ou valeurs différentes de l’inconnue, l’énoncé lui-mème doit également présenter, à l’esprit attentif, cette même multiplicité de solutions dans le problème dont il s’agit.

L’algèbre ne donne donc rien au delà de ce qu’on lui demande; elle n’est pas plus générale que la logique considérée dans sa perfection, et le degré où l’équation s’élève est le degré même de la question , si elle parfaitement posée.

Mais le plus souvent nos énoncés sont très-imparfaits; je veux dire, qu’indépendamment de cette relation qui lie aux données l’inconnue et qui la détermine, notre esprit y mêle encore certaines conditions inutiles et souvent contradictoires; et voici alors ce qui nous arrive. Gomme ces sortes de restrictions ne donnent point d’équation , et ne sont pas ainsi de nature à s’écrire en algèbre, l’équation qu’on tire de l enoncé se trouve exactement la même que si ces suppositions n’avaient point lieu, et, par conséquent, cette équation a les mêmes racines ou solutions différentes dont le problème est susceptible en le supposant bien exprimé. Cependant, comme notre esprit reste toujours préoccupé par la considération particulière de ces limites où il borne la question, il s’étonne d’abord de cette multiplicité de solutions qu’il n’avait point en vue, et il cherche ensuite à les interpréter par les lignes , ou par les quantités dont il s’agit dans la question proposée. S’il en vient à bout, il attribue à l’algèbre, qui lui a donné ces solutions inattendues, une généralité propre qu’il n’avait pas trouvée dans le raisonnement ordinaire; s’il ne peut expliquer toutes ces valeurs, il reproche à l’algèbre cette trop grande généralité, comme un inconvénient, et une imperfection qui mêle la vraie valeur de l’inconnue a des valeurs étrangères. Mais on voit qu’il n’y a ici d’autre imperfection que celle de l’esprit et du langage. L’algèbre, encore une fois, 11e