Reforme de la geometrie

On désigne sous le nom de Trigonométrie , la partie de la géométrie, qui a principalement pour but, de trouver la valeur d’un certain nombre d'éléments d’un triangle, lorsque ce triangle est déterminé. Tout triangle dont ôn connaît les trois côtés, un côté et deux angles ou un angle et deux côtés, est déterminé. Ses côtés peuvent être formés par trois lignes droites qui se coupent deux à deux, ou par des arcs de grands cercles; de là deux sortes de triangles, les rectilignes et les sphériques-, et, par suite, deux parties distinctes dans la trigonométrie qui est appelée rectiligne ou sphérique selon qu’elle s'occupe de l’une ou de l’autre espèce de triangles. Nous ne nous occuperons ici que de la trigonométrie rectiligne, car ce que nous en dirons se transportera de soi à la trigonométrie sphérique.

Quelle méthode allons-nous suivre pour arriver le plus promptement possible au but que nous nous sommes proposé d’atteindre? La nature même des questions que nous avons à traiter nous l’indique. Il est évident qu’il faut d’abord se placer dans le cas le plus facile, et voir quelle marche l’esprit choisit naturellement. Or ce cas est visiblement celui où il s’agit du triangle équilatéral, qui est déterminé par la con-

naissance de l’un de ses côtés. Alors comment trouveronsnous la valeur de trois éléments de ce triangle lorsque les trois autres éléments seront connus ? 11 ne saurait y avoir de difficulté à répondre à cette question, et rien n’est plus facile que de trouver une réponse pour les différentes formes qu’elle peut prendre. Si les trois côtés sont donnés, on voit immédiatement que les angles sont tiers ; si I on donne au contraire un angle et deux côtés, la valeur des autres éléments s’ensuit d’uue manière claire pour chacun, et l’on voit, sans la moindre peine, que pour le triangle équilatéral, la trigonométrie ne saurait poser une question à laquelle on ne puisse répondre aussitôt et sans que l’esprit ait besoin de se livrer à

aucune recherche.

Supposons maintenant que le triangle que nous avons examiné devienne scalène, que l’angle au sommet reste tiers, et que nous ayons pour but de trouver la valeur du côté opposé. Ce problème est fort peu embarrassant, car nous avons vu en géométrie plane que le côté a?, opposé à un angle tiers, était é^al à la racine deuxième de la somme qu’on obtient en ajoutant les deuxièmes produits des deux autres côtés et de laquelle on retranche le produit de ces mêmes côtés : c’est-

à-dire que l’on a : x* = a 5 + b* — ab.

Mais là ne s’arrête, point la liste de tous les cas qui peuvent se présenter. 11 pourrait se faire que le triangle équilatéral devînt isocèle, que l’angle au sommet augmentât ou diminuât, et que l’on eût à apprécier la longueur du côté opposé pour une augmentation ou une diminution quelconque de 1 angle. Telle est la question fondamentale de la Trigonométrie. Il ne faudrait pas penser qu’il suffirait d’obtenir premièrement la valeur du côté pour un angle sixième, puis pour un angle douzième , etc., et cela par la formule donnée en géométrie, laquelle permet de calculer la valeur du côté d’un po ygone double de côtés lorsqu’on connaîtle côté du premier polygone et le rayon du cercle circonscrit. La moindre réflexion ferait voir que ce procédé ne pourrait fournir la longueur du côté que pour des angles doubles l’un de l’autre, et que les angles

d’un nombre quelconque de degrés resteraient sans solution possible, ün est donc obligé de recourir à un autre moyen qu i puisse donner le côté pour toute valeur de l’angle.

Admettons que deux côtés varieront en faisant un angle constant qui sera tiers et que le troisième conservera la même longueur pour tous les cas. Envisageons, pour fixer les idées, le triangle équilatéral 10B (fig. 1). La ligne IB fait avecOB

un angle tiers. Si nous faisons mouvoir le point I dans le sens de IB il s’approchera déplus en plus du point B : supposonsle arrivé en H. Ce sera alors [la ligne HC qui fera avec OB prolongé un angle tiers HCO. On voit facilement que l’obliqua abaissée de l’extrémité du rayon sur l’autre côté diminuera avec l’angle, et qu’elle augmeulera jusqu’à l’angle demi où elle atteindra sa valeur maximum.

Pour abréger l’expression, et pour n’employer que le moins possible des mots nouveaux, nous appellerons cette ligne le sinus de l’arc ou de l’angle ; OC prendra le nom de cosinus et AC sera la tangente, puis OA la sécante. Ces dénominations sont loin d’être rationnelles» mais l’usage que l'on en fait me décide à les conserver ici.

Il résulte des conventions précédentes que pour un angle

tiers, le rayon esl égal au sinus, est égal au cosinus; que pour un angle sixième, la tangente est égale au sinus. Pour un angle demi le sinus est égal au rayon divisé par la racine deuxième de 3 sur 4; la tangente est le double de la sécante de l’angle tiers, et le cosinus est la moitié du sinus. L’angle deux tiers a le même sinus que celui de l’angle tiers, son cosinus est égal au rayon et pour ce cas la tangente est infinie.

On voit par là quel changement éprouvent les lignes trigonométriques par la variation de l’angle ou de l’arc et comment on peut les mettre en relation les unes avec les autres. Rien n’est plus facile que de tirer, des considérations précédentes, les formules qui doivent servir de fondement à tous les calculs trigonométriques ; et il est inutile d’insister pour montrer les simplifications considérables qui résultent du rétablissement de la véritable unité. Il est prouvé pour la centième fois que l’on a fait fausse roule en géométrie et que le carré ainsi que l’angle droit y ont introduit de nombreuses complications. Je n’entrerai pas ici dans l’énumération de tous les écarts auxquels ils entraînaient, car il est clair au premier abord que les lignes trigonométriques que l’on avait choisies, juraient avec la nature même des choses, qu’on leur faisait occuper des positions inharmoniques et que l’on était forcé d’en multiplier le nombre d’une manière presque ridicule. Tout, dans la trigonométrie telle qu’elle est faite, ressemble à une charpente factice impropre à soutenir le moindre édifice. Cependant il faut avouer qu’elle était d’une élasticité surprenante, et que, les cosécantes et les cotangentes aidant, on faisait se développer un régiment de lignes qui produisait la plus délicieuse'; fantasmagorie.

La première question que l’on se pose, après avoirformulé les relations des lignes trigonométriques entre elles , par la comparaison de triangles semblables, faciles à choisir, est de savoir comment, étant donnés les sinus de deux arcs, on parvient à trouver le sinus de leur somme et de leur différence. Le seul examen de la fig. 1 suffit pour voir que rien n’est plus simple que la détermination de ces différentes va-

leurs et que la considération do quelques triangles semblables conduirait promptement à des formules qu’il est inutile de donner ici, et desquelles il serait facile de déduire le sinus du double d’un arc ou de la moitié de cet arc.

A l’aide de ces différentes formules on construirait les tables des lignes trigonomélriqueS sans qu’il soit nécessaire de prendre pour le rayon la valeur 10, élevée à la dixième puissance. On peut ici prendre le rayon égal à un, puisque, dans tous les cas, il y a toujours une ligne trigonométrique qui lui est supérieure. Dans tous les angles plus petits que l’angle tiers le cosinus est plus grand que le rayon, et dans tous les angles compris entre un tiers et deux tiers le sinus et la tangente sont plus grands que le rayon. Ajoutons que les approximations seront à peu près l’exactitude, car on sait que si le sinus est la perpendiculair e, l’excès de l’arc sur son sinus est moindre que le quart de la troisième puissance de ce! arc. Or si le sinus devient l’oblique que nous adoptons, il est évident que la différence de l’arc et du sinus sera beaucoup moins considérable et que l’erreur deviendra réellement inappréciable.

En considérant la flg. 4 on voit que l’arc IHB est plus grand que son sinus IB et plus petit que sa tangente AC ; si nous envisageons au contraire l'arc HB, qui est la moitié du premier, on s’aperçoit que le sinus est égal à la tangente et que cette tangente est plus grande que l’arc : il y a donc eu un moment où le sinus a été égal à l’arc. La détermination de ce point permettrait d’avoir pour les sinus des valeurs exactes, et résoudrait définitivement le désespérant problème de la quadrature du cercle.

La trigonométrie, telle qu’elle est enseignée, après avoir fait li théorie des lignes qui lui servent de base, tfbordela résolution des triangles et s’arrête , comme cas particulier et simple, à ceux qui ont un angle demi. Nous avons évidemment, par le choix de l’oblique, fait entrer dans celte catégorie tous les triangles qui ont un angle -sixième, tiers ou deux tiers, et dont les éléments peuvent être appréciés avec la plus

grande facilité. La chose est tellement visible qu’il n’est besoin d’aucune explication et qu’il y a lieu à renvoyer à un livre élémentaire sur la matière les formules servant à exprimer la valeur de ces divers éléments.

Ce travail fait, on comprend qu’il n’y a plus qu’à entrer dans le champ de l’application et à montrer comment les formules trouvées servent à la détermination de certaines quantités dont on ne peut avoir la mesure d’une manière directe. Premièrement on peut recourir à ces formules pour ob'enir la hauteur d’un- édifice, d’une montagne,etc., puisqu’il s’agirait d’avoir la longueur d’un côté d’un triangle lorsque ce triangle serait déterminé. Mais il est facile de s’apercevoir qu’au moyen de l'oblique on peut avoir les hauteurs dont il s'agit sans qu’il soit nécessaire de recourir à la moindre formule trigonométrique. Supposons (fig. 1) qu’on ait à trouver la longueur de RK représentant la hauteur d’uue tour par exemple. En faisant au point O, l’angle tiers RKO et en mesurant KO qui est la moitié de RO, on aurait immédiatement KR. Dans le cas où l’angle tiers ne pourrait pas être employé par suite d’obstacles insurmontables, il faudrait avoir recours aux angles sixième et deux tiers et même à l’angle quart qui fourniraient également la valeur de RK.

Si maintenant il était impossible de faire ces angles dans le plan RKO, on pourrait lesfairedansle planNKO.KN représentant la tour couchée sur le terrain dans une direction perpendiculaire àDC. 11 n’y aurait plus alors qu’à trouver le point O, ou tout autre qui ferait avec DC un des angles tiers , quart, sixième dont il a été question et qui donneraient presque sans calcul la quantité cherchée.

Deuxièmement, on a souvent recours à la trigonométrie pour évaluef les distances entre des points inaccessibles. Or, nous allons voir que ce but peut être atteint par un procédé tellement simple qu’il y aura lieu de penser que les formules trigonométriques n’auront plus aucun usage en ces matières, >et qu’au lieu de traîner après soi tables de logarithmes, tables de sinus, graphomètre, l’opérateur aura tout bonnement

besoin de mettre dans sa poche une équerre d’arpenteur, sur laquelle on aura pratiqué un angle tiers. ;

Prenons les deux points R et I (fig. 1), que nous supposerons inaccessibles. Supposons que l’on soit placé sur la base DC* Trois cas peuvent se présenter :

Premier cas. — Il peut se faire que les deux points R et I soient dans une position telle que l’on puisse faire au point O l’angle tiers ROI. Il est clair alors qu’on obtiendrait immédiatement RO et 01 au moyen des projections KO et OP, et que l’on aurait : RI* = RO’ + 01’ — RO X 01.

Deuxième cas. — Supposons qu’il s’agisse de déterminer la distance RE et que l’on se trouve toujours placé sur la baseDC.

Si nousfaisons les angles tiers ESO et ROK, nous pourrons obtenir ES et RO par les projections SO, KO. Le triangle STO étant équilatéral nous aurons: