TE = ES — ST = ES — SO

Il viendra donc

RE’= (RO - SO)’ + (ES - SO)’ - RT x TE.

Toutes les quantités qui entrent dans cette égalitésont connues à l’exception de RE, qui le devient au moyen des opérations les plus simples.

Troisième cas. — Soient les deux points inaccessibles R et F et sa base DC. On demande la longueur de la droite RF comprise entre ces deux points. Faisons les angles tiers F PB et ROD ou ROK. Les projections PG et KO donneront la valeur de PF et de RO ; et nous aurons immédiatement

RF’ = RM’ + MF’ — RM X MF.

Mais le triangle OMP devant être équilatéral, il vient RF*= {RO + OP)’ + (FP + OP)’- (RO + OP) x (FP + OP) .

Il résulte de là que, quelle que soit la position des points inaccessibles relativement à la base, on peut toujours trouver la distance qui les sépare sans récourir à aucune formule trigonométrique, n’ayant d’autres soins à prendre que de se munir du plus simple des instruments, X équerre d'arpenteur.

Cela étant établi, il n’y a aucun effort à faire pour voir que ce procédé peut être avantageusement employé au levé des plans et à l’arpentage. Si l’on avait par exemple à lever le plan de la surface RIF, lors même que l’on ne pourrait se mouvoir sur aueun de ses côtés, on déterminerait facilement, comme on l’a indiqué plus haut, la longueur des lignes RI, IF et RF qui serviraient à donner une figure égale ou semblable au triangle RIF. Il est clair que l’on pourrait, par la même marche, en trouver la surface. De sorte qu’il reste prouvé, que toutes les opérations sur le terrain relatives à la géodésie, peuvent être faites rapidement et d’une manière très simple par la méthode que nous avons exposée, sans demander aucun secours aux sinus et aux cosinus.

La théorie et les considérations qui précèdent prouvent jusqu’à la dernière évidence que l’introduction des unités logiques dans la Géométrie ne détruit en rien son ensemble et que le tout dont elle est formée prend au contraire un caractère rationnel qui relie plus visiblement et plus fortement entre elles les différentes parties dont il se compose. On peut même dire que l’adoption de l’oblique donne réellement un bras de plus à ce grand corps qui n’en possédait qu’un et qui agissait avec tant de lenteur. Désormais il pourra se mouvoir avec plus d’élégance et plus de vie. Il est clair que l’augmentation des forces dont il jouissait d’abord ne saurait lui ôter aucun de ses avantages, et que la Trigonométrie, construite d’après les données posées en géométrie, loin de devenir impossible, s’établit d’üne manière très naturelle et très simple. Quoi de plus vrai que cette proposition cent fois répétée à propos de

méthode, qu’il faut aller du simple au composé? Or c'est en nous y conformant rigoureusement que nous sommes arrivé à poser les bases principales d'une trigonométrie vraiment rationnelle, c’est-à-dire qui part du triangle équilatéral pourlinir par le triangle le plus compliqué.

L’emploi de l’angle tiers, conjointement avec l’angle droit, débarrassera la science de beaucoup d’entraves, et la rendra plus libre et plus puissante. Elle pénétrera avec plus de facilité partout où elle s'introduisait primitivement, et donnera des secours non moins importants à l’astronomie, à la géogra-, plrie, à la navigation. Je n’ai pas besoin d’ajouter que les résultats qu’elle a acquis dans la position où elle se trouve peuvent être transformés immédiatement, et que toute expression peut prendre facilement la forme celative à sa nouvelle signification. J’ajoute toutefois qu’il faut recourir le moins possible à ce moyen, qui consiste à multiplier une formule donnée par un certain rapport déterminé à cet effet. 11 est beaucoup plus logique de chercher l’expression de telle ou telle quantité en ne s’appuyant que sur les bases de la méthode à laquelle elle appartient. Si l’on demandait par exemple quelle est la formule qui donne la surfaçe d’un triangle quelconque en fonctions des trois côtés lorsque le triangle équilatéral est l’unité de surface, oq pourrait assurément obtenir ce résultat en divisant la formule qui donne cette surface exprimée en carrés par le rapport racine deuxième de trois sur quatre, mais il vaut mieux déterminer la formule appropriée au cas dont il s’agit, d’une manière directe, en suivant une marche à peu près analogue à celle qui a conduit à trouver celle dont on fait usage.

Telles sont, en résumé, les bases fondamentales sur lesquelles doit reposer une Trigonométrie se déduisant rigoureusement des considérations géométriques établies dans les autres parties de ce travail . Il y aura donc bien un tout complet qui reliera entre elles les diverses branches de la géométrie, et qui embrassera aussi l’algèbre comme nous le verrons plus tard. On peut espérer sans trop de présomption que des difficultés impossibles à vaincre à J’aide d’une méthode illogique trou-

Teronl leur solution par celle que nous exposons et que nous croyons naturelle. 11 faut qu’il n’y ait pas un seul résultat, obtenu de n’importe quelle manière, qui ne puisse trouver son explication, montrer sa raison d'être ; c’est même en cela que consiste la véritable pierre de touche de toute théorie. Tout système qui se heurte à un obstacle qu’il ne peut vaincre est un système faux; le caractère le plus indispensable à la certitude lui fait défaut, et la seule raison qui pourrait le faire triompher et l'établir, le condamne à l’impuissance et le fait rejeter pour toujours.

Examinons maintenant, afin de donner satisfaction aux esprits pratiques, comment la méthode que nous recommandons parviendra à se faire adopter et à régner définitivement. L’esprit routinier, dit-on, s’opposera de toutes ses forces à son établissement, et n’épargnera rien pour lui barrer la route et l’empêcher de se propager ; il emploiera la ruse et la mauvaise foi, soulèvera des objections spécieuses et sans valeur, lui fera dire ce qu’elle repousse, et finira par en retarder la réalisation, peut-être même par l’anéantir. On peut répondre sans aucune hésitation que toutes ces armes, et beaucoup d'autres auxquelles on pourrait avoir recours, fussent-elles employées sans ménagement, sont fort peu à craindre. Personne n’ignore combien de fois on leur a demandé appui, et chacun sait qu’elles n’ont jamais servi à remporter la moindre victoire. On résiste presque impunément à leurs attaques, et, bien loin de nuire à l'esprit chercheur qui est toujours certain de les rencontrer à chaque instant, elles contribuent à augmenter ses forces en l’obligeant à être constamment sur ses gardes. Ce serait une faiblesse indigne, une véritable lâcheté qucde faire à leur vue reculer le moindre effort, disparaître le plus faible désir de conquête dans le vaste domaine de la connaissance : on peut les braver sans cesse lorsqu’on a la raison pour escorte et pour guide.

Quant aux objections que l’on peut présenter, il en est une que j’ai cru inutile de me faire et qui pourrait cependant avoir une certaine valeur auprès de quelques personnes. On dit que

l’on a choisi le carré pour unité de surface, et que l’on doit continuer d'en faire usage parce que les objets façonnés par la main' de l'homme ont en général une forme rectangulaire, et qu’il importe de choisir pour unité la figure qui s’approche le plus de cette forme elle-même. Il est vrai que l’angle detrti domine dans la constryetion des édifices, et qu’il faudrait, pour être conséquent, adopter le rectangle et non le carré, pour unité de surface ; mais l’irrégularité est tellement grande dans les propriétés territoriales que le plan cadastral renferme les figures les plus bizarres, et qu’il n'y en a réellement aucune qui soit un rectangle parfait, un carré parfait. Maintenant, le contraire aurait lieu, on ne verrait partout que rectangles et carrés, que parallélipi pèdes et cubes, que cela ne justifierait pas l’emploi du carré et du cube comme unités des surfaces et des volumes. La Géométrie est une science transcendantale qui ne se compose que d'idées pures, et qui ne doit se plier en rien aux exigences de l’empirisme ; son unité doit se tirer de sa nature même et non des formes que tel ou tel individu peut donner à sa maison, à sa chambre ou à son jardin. - N

Une objection d’une autre nature a été faite par un savant professeur. On a pris le carré pour unité, disait-il, parce que la perpendiculaire est un minimum. Pressé de développer sa pensée et de montrer comment ce distinct de la perpendiculaire pouvait constituer son titre à faire prévaloir le carré, il a ajouté quelques phrases qui ont fait suffisamment comprendre qu’il n’y avait là qu’un mot ; et que la ligne, jouissant de la propriété d’être la plus courte d’un point à une ligne, restait indifférente à l’espèce d’unité, et ne défendait en rien la cause de principes et d’axiomes chimériques, de démonstrations et de preuves ridicules, et qu’elle ne forçait nullement l’esprit humain à se torturer dans des complications interminables.

U n’y a donc rien de sérieux dans les observations qui précèdent, et la méthode à laquelle elles s’attaquent ne s’en trouve nullement affaiblie. On peut affirmer a priori que son avenir est assuré, et que sous peu on sera obligé de faire un

pas dans la voie qu’elle a ouverte, puis, enfin, d’y marcher jusqu’au bout. Il n.’y a donc aucune crainte à avoir pour le triomphe de la vérité ; l’expérience de tous les jours prouve du reste qu’elle marche beaucoup plus rapidement qu’on ne l’imagine, et qu’au milieu des luttes où elle paraît si fortement engagée elle a toujours un moment pour agrandir son domaine. Ces luttes peuvent être plus ou moins longues ; mais on ne saurait perdre confiance quand on songe qu’il est dans la nature de la vérité de ne pouvoir être jamais vaincue.

Fin de la quatrième livraison, publiée dans l'ami des Sciences,, n° du 21 juin 1857.^

P«i if. — .Imprimerie de J. -B. Cros et OnssAtiD, rue Cassette, 9.