TOISE

Il ne faut pas confondre le toisé avec la géométrie classique, qui consiste dans un long enchainement de théorèmes à démontrer. Le toisé des écoles primaires ne comprei.d que des notions élémentaires sur les principales figures et leur mensuràtion. Il faut cependant que ces notions soient bien piécises, et qu'elles puissent fournir aux élèves les moyens d'évaluer les surfaces et les volumes qui se présen-

tent dans les usages de la vie.

Le caractère de l’enseignement du toisé doit donc être essentiellement intuitif et pratique.

On prendra des figures et on les mettra entre les mains des élèves ; il sera, tout au moins, indispensable de dessiner fidèlement au tableau noir les figures qui doivent faire le sujet des leçons. L'étués» intuitive, analytique et raisonnée de chaque figure en amènerait la définition et la représentation par les élèves; ensuite le maître en fera mesurer les dimensions naturelles et évaluer la surface et le volume réel, avant d'opérer sur des corps imaginaires ou absents. Comme exercice de contrôle, et afin ‘+ mieux graver dans l'intelligence et la mémoire des élèves les notions étudiées, ceux-ci seront appelés non seulement à définir les figures analysées, mais aussi à les décrire de vive voix—d’abord en présence de ces formes, ensuite de mémoire. Ces descriptions, corrigées avec soin et complétées au besoin par le maitre, forment en outre des exercices d’élocution spécialement recommandés, parce qu'ils constituent un excellent moyen de donner de la précision à la pensée et au langage.

Les démonstrations trop scientifiques ne sont pas données; mais c’est en analysant et en construisant des figures exactes, en les combinant, en les superposant, en examinant leurs rapports, que les élèves sont amenés à découvrir d'eux-mêmes des démonstrations élémentaires suffisantes. C'est ainsi qu’à l’aide de simples tracés graphiques, il est aisé de leur faire remarquer qu'un triangle est la moitié d'un re:tangle de même base et de même hauteur, qu’un parallélogramme quelconque a la même surface qu’un rectangle de même base et de même hauteur. De même pour les solides, rien n'est plus facile que de montrer au moyen d’un prisme triangulaire

On suit des procédés analogues pour toutes les formules élémentaires que l’élève a besoin de connaître.

Enfin le maître rendra cet enseignement pratique s’il fait remarquer, dans l'école, différentes surfaces qui se rapportent aux figures expliquées: s’il étend la dénomination des corps étudiés aux produits naturels et industriels pour en caractériser les formes — exemp'e cylindre = Crayon, porte-plume, conduite de gaz, rouleau du laboureur; s'il faut mesurer les surfaces régulières et irrégulières que les Clèves ont sous les yeux, en ramenant par la décomposition les secondes aux premières, etc.

7e | Année

Mathématiques

ALGEBRE

COURS ACADEMIQUE (Primaire supérieur)

(a) Préliminai- |

res; valeurs numtriques.

(b) Les opérations ; tions.

quatre frac-

(ce) Equations du |

premier degré.

(d) Applications | questions | d'arithmétique et |

à des

(a) Petits problèmes d’arithmétique donnant lieu à des équations numériques très simples ; notation algébrique suivie d'exercices faciles sur 1es valeurs numériques des expressions algébriques ; coefficient, exposant.

(b) Addition, soustraction, division; facteurs, fractions.

(c) Equations numériques diverses; équations littérales.

(d) Applications nombreuses à des questions pratiques d’arithmétique et de toisé.

multiplication,

de toisé.

(a) Revue de :a septième année.

(b) Equations du second degré à une inconnue.

(ce) Applications à des questions d'arithmétique et ! de toisé.

(a) De plus, carré et racine carrée d’expressions alzébriques.

(b) Equations incomplètes; équations complètes.

(c) Généraliser les questions d’arithmétique (percentage, intérêt, etc.) par la recherche des formules.

Dans l'enseignement de l’algèbre, on se servira de l’arithmétique comme fendement et comme moyen.

Cette méthode offre plus d’un avantage.

En premier lieu, la ressemblance des procédés dans ces deux spécialités fera comprendre l’une par l’autre: et puis l'identité du but qu’elles se proposent, c’està-dire la résolution des problèmes, permettra au maître de donner une base concrète et positive aux notions indispensables de la théorie algébrique.

En application de cette méthode, on ne devra pas commencer l'algèbre par les quatre premières opérations. Sans doute, c’est la marche suivie dans plusieurs livres. Maïs ces traités sont composés en vue d’enchainer les démonstrations de certains théorèmes et d'éviter les redites. Aver les élèves des écoles primaires, on peut se proposer un but tout différent : vouloir : 1seigner d’abord la pratique; mettre ensuite les règles dans un ordre tel aw’ell:: intéressent davantage et que leur utilité éclate plus vite aux yeux. Voilà l’ordre vraiment naturel pour des enfants. S'il y a des redites, ce serait peut-être un inconvénient dans un livre, mais non dans un cours oral. Au contraire, il faut, à maintes reprises, appliquer les élèves sur un même objet, afin que l'impression soit durable dans leur cerveau. Si le maître ne revient pas souvent sur ses pas pour s'assurer qu'il a été compris et que ses explications ont été tenues, il constatera bientôt des méprises ou des oublis incroyables chez la gran:c majorité des écoliers.

Cela posé, il semble :.-éférable de débuter par des équations numériques, provenant de problèmes très simples d’arithmétique, et même d’arithmétique mentale.

Prenons un exemple: Louis a trois fois autant de pommes que Joseph, et ensemble ils en ont 24; combien chacun en a-t-il?

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Mathématiques

ALGEBRE-— (Suite)

Par l’aritimétique, nous raisonnerons ainsi: le nombre de Joseph, plus trois

fois ce même nombre, égale 24 Donc quatre fois le nombre de Joseph égale 24, et une fois ce nombre égale % = 6; etc.

Maintenant si, pour abréger le langage, nous représentons par + le nombre de Joseph, nous dirons simplement : x, plus 3 fois + (ou 3 x), égale 24; donc 4x = 24 d'où # = 6 et 3x = 18.

Nous avons ainsi passé sans difficulté du langage des choses ou de l’arithmétique au langage des symboles ou de l'algèbre.

Ces petits exercices peuvent être multipliés à volonté, ils serviront grandement à montrer comment les lettres peuvent entrer dans le calcul.

L'élève sera charmé de voir que maintenant il arrive plus vite aux solutions, et d’une manière mécanique beaucoup plus commode que par les lourds raisonnements. Le voilà gagné à l'étude de algèbre ce qui est un résultat immense. Au lieu de se plaindre sans cesse que cette étude ne mène à rien, il veut s’y perfectionner. On profite de ces dispositions pour introduire quelques lettres dans les équations et donner la notion du coefficient et de l’exposant.

. L'élève reconnaît qu'il a un nouvel art à apprendre, celui de manier ces expressions littérales. Et le plus souvent, il demandera de lui-même à étudier les quatre opérations fondamentales.

Le maitre se hâtera de céder à ces aspirations. Toutefois, afin de familiariser quelque peu la classe avec les symboles algébriques, il sera bon de faire précéder opérations d'exercices assez faciles sur les valeurs numériques données aux

tLres.

Puis, dans une première exposition, on se bornera à faire justifier simplement les règles de chacune, par des considérations tirées toujours de la connaissance ‘e l’arithmétique. Mais, en vue de rompre les élèves aux notions algébriques, il im-

rte de donner ici beaucoup d'applications bien graduées et bien en rapport avec Les exemples expliqués préalablement au tableau noir.

On pourra alors continuer par la décomposition d'expressions simples, par les

simplifications de fractions, et par la résolution d'équations et de problèmes du premier degré.

Arrivé à ce point, le maître reprendra les notions acquises pour les expliquer plus complètement avant de poursuivre ses leçons, qui pourront dans la suite revêtir un caractère plus scientifique.

S'il paraissait difficile de suivre ce plan rationnel, il faudrait tâcher du moins de s’en approcher le plus possible, en glissant sur les quatre premières règles, pour aborder le plus vite possible les équations numériques et littérales, sauf À revenir plus tard sur les premières pages du manuel,