SECTION PREMIÈRE

ANALYSE DES TRAVAUX DE M. CAIICHY SDR LA THl^ORIE MATHEHATIQUE DE LA LUMIÈRE.

I.a théorie mathématique de la lumière qui , depuis un grnnd nombre d'années, est devenue l'objet dos recherches du plus ingénieux, du plus fécond , du plus infatigable de nos géomètres, de M. Cauchy, est aujourd'hui presque complète, et répond à toutes les exigences des faits. Les phénomènes si multipliés et si mystérieux de la propagation de la lumière, de la réflexion . de la réfraction , de la polarisation , de la dispersion , de la diffraction et des ombres , trouvent dans les formules du savant académicien une ( xplication simple et rigoureuse ; Ils ne sont pas seufement constatés, ils sont prédits et calculés d'avance. L'analyse mathématique , si nuageuse en apparence et si abstraite, a vu sortir de son sein cette admirable synthèse qui embrasse la plus belle partie des seienees physiques, et que la postérité placera à côté du système de rattractioD universelle dont elle est un brillant corollaire. Quoique le nom de M. Cauchy ait retenti souvent au sein de l'Académie et soit devenu populaire , bien peu de personnes ont été jusqu'ici initiées aux secrets de son analyse. Les géomètres s'égarent dans cotte multitude de mémoires autographiés , lithographies, imprimes à Prague , c^ Turin , h Paris ; les physiciens reculent effrayés ù la seule

pensée de demander à des notations arides , à des symboles imaginaires des faits qui frappent si vfvement lears regards, Et cependant la théorie de M. Caueby est vraiment simple, facile et lumineuse* AppelQUS 4e tous nos vœux le jour où, réunissant eja corps de deelriâe sesmombreux mémoires, il aura triomphé de toutes les oppositions, et conquis l'admiration universelle. En attendant, qu*il nous permette de lever'un coin du voile par une exposition élémentaire de ses travaux sur la lumière , nous dirons avec simplicité et avec une conviction sincère ce que nous avons compris et ce que nous avons admiré.

VHnetpes généraux. — Fropagation du moaTemant.

1. Dans un mémoire présentée l'Académie le 12 janvier 1839, M. Cauchy crut pouvoir affirmer pour la première fois : l® que les équations du mouvement de la lumière sont renfermées comme cas particulier daus les équations générales qui expriment le mouvement d'un système de molécules très peu écartées de leur position d'équilibre, et sollicitées par des forces d'attraction ou de répulsion mutuelle ; 2*" que les phénomènes lumineux ont leur source et leur explication dans les vibrations des molécules de i'éther^ en admettant toutefois que ces vibrations ont lieu sans changement de densité. Mais , comme l'avait très bien observé Fresnel , un mou* vemeut sans changement de densité ne peut avoir lieu qu'autant que les vibrations des molécules sont transversales ou perpendiculaires au rayon suivant lequel le mouvement se propage ; il fallait donc démontrer avant tout la possibilité de ce genre de vibrations ; c'est ce que fit d'ubord M. Cauchy. L'hypothèse ingénieuse et savante de Fresnel devint une réalité; il fut admis par tous que les vibrations transversales sont compatibles avec la constitution d'un système de molécules qui s'attirent ou se repoussent mutuellement, du moins lorsque ce système est isotrope , c'est-à-dire lorsque le mouvement s'y propage de la même manière en tous sens.

Les vibrations d'un système de molécules peuvent d'ailleurs être étudiées sous deux points de vue différents et à des époques distinctes : 1° on peut rechercher de quelle manière un mouvement l'abord imprimé à Téther en une portion de l'espace, donne nais-

DE LA tUMlÈRB. 3

mee à des ondes terminées par des surfaces courbes , mais qui s'éteDdeat bientôt de manière à pouvoir être confondues sans erreur NDîible avec leurs plans tangents ; T on peut se borner à considérer kl ondes d^à propagées, parvoiues à une grande distance du ttatre d'ébranlanent, réduites par conséquent à leurs plans tangents, et calculer immédiatement les lois de la propagation de ces oades planes dans les milieux isotropes ou non isotropes. M. Caudiy a examiné la question tour à tour sous ce double point de vue. n démontra d*abord que le mouvement ne se propage pas toujours iiHtantanément , ou ne s'étend pas nécessairement dès le premief initant Jusqu'aux limites du système de molécules données , mais qoe dans un grand nombre de droonstances et coiûmé Fexige la |»fopagatton successive du son et de la lumière , le mouvement se transmet par ondes. M. Gauchy assigna même , en partie du moins » des Bmites au mouvement, et prouva, toujours en partant dH équations générales ou de l'hypothèse d'un ébranlement central, que le mouvement , à un Instant donné , n'était plus sensible en-deçà d'une certaine limite intérieure à la surfaoe enveloppe des ondes. Il restait à mettre en évidence l'existence d'une limite extérieure ou à prouver qu'il n'y a en général ni déplacement, ni vitesse au-delà de la plus grande nappe des ondes. M. Blanchet y est parvenu par me analyse très remarquable ; les divers Mémoires qu'il a publiés sur ce sujet dlf&cile et important constituent un des plus beaux travaux de physique mathématique, et lui donnent un rang distingué panni les géomètres. Gomme d'ailleurs M. Poisson, et après hii M. Blanchet, se sont assurés, en partant des équations générales du mouvement ^ qu'à une distance suffisamment grande de l'ébran» haent primitif, il n'existe réellement que deux espèces de vibra* ti0Q8 moléculaires, dirigées les unes suivant le rayon, les autres perpendiculairement au rayon, on peut aujourd'hui regarder comme rigoureusement démontré le théorème suivant que M. Gauchy avait déduit de la considération hypothétique des ondes planes : le mouvement, supposé d'abord circonscrit dans un très petit espace autour de Forigine des coordonuées , ne sera sensible au bout du temps t que dans une zone terminée par deux surfaces qui sont les enveloppes intérieure et extérieure des positions successives qu'occuperait la surface des ondes si en la rendant mobile avec soû centre on ftiîsait

4 THÉORIE Mathématique

eoiDcider ce même centre avec chacuoedes molécules primitivement

déplacées ou mises en mouvement.

2. Après s'être bien assuré de lldentité des résultats obtenus par les deux méthodes , M. Cauchy abandonna la considération de râ>ranlement primitif, qui sera toujours un mystère, pour se livrer à rétude plus attrayante et plus féconde de la propagation des ondes planes. Il avait vu dès le premier instant qu'il réaliserait de cette manière le calcul numérique des phénomènes, et qu*encouragé par la comparaison fecîle de ses formules avec les observations , il arriverait enfin à fonder une théorie générale qui pût devancer à son tour Vexpérience et révéler des lois encore inconnues. Du reste, quel qu*ait été Tétat initial du système, on pourra toiyours, Jusqu'à un certain point, le représenter par un système d'ondes planes superposées en nombre infini et réduites à celles de leurs parties que renferme Tespace dans lequel le mouvement se trouvait primitivement circonscrit, ou s*étendant jusqu'aux dernières limites du système de molécules, mais de telle sorte qu'elles se neutralisent partout , excepté dans l'espace dont il s'agit. Les parties eificaces de ces mènes ondes se transporteront dans diverses directions indiquées par les rayons vecteurs de la surface enveloppe des positions simultanées des ondes, de telle sorte qu'au bout du temps t les seules dont la superposition subsiste soient des ««des planes contenues dans des plans très peu inclinés les uns sur les autres, et passant par un même point de la surfoce des ondes. Les plans venant à se déplacer ultérieurement , leur point de rencontre se déplacera lui-même suivant une droite avec une vitesse de propagation distincte de celle des ondes planes. La série des positions que prend ce point de rencontre tandis que les ondes se déplacent , constitue dans la ttiéorie de la lumière ce qu'on nomme un rayon lumineux.

et ««raolèref d'an monvement naple.

3. Dans un milieu bom<^ne, gazeux , liquide ou cristallisé, les trois équations du mouvement infiniment petit ou les trois équations qui donnent les déplacements infiniment petits d'une molécule quelconque, prennent la forme très simple d'équations linéaii'es à

U£ LA LUMifeRK. 5

(coefficients cmistants. Or, on sait que si plusieurs valeurs des deplacements satisfont à de semblables équations, la somme de ces valeurs y satisfera encore; donc, lorsque plusieurs mouvemoits infiniment petits seront compatibles avec la constitution d'un système de molécules, ce système pourra prendre un autre mouvement dans lequel les déplacements des molécules seraient représentés par les sommes algébriques des déplacements produits dans les premiers mouvements.

Un moyen fort simple de satisfaire aux équations des mouvements infiniment petits, consiste à supposer que le déplacement parallèle aux axes coordonnés est au bout du temps t donné par des équations de la forme

if= ce«*+«'y+«'* — »i

dans laquelle les coefficients c, u^ v, w, m peuvent d'ailleurs, suivant les circonstances, être réels ou imaginaires. Pour n'avoir à considérer que des quantités réelles , posons

f=:s+Sv/^^ (; = Ce«>/— ^

K = v/u»-|- v> + w»^ K = v/lJ»-j-V' + M», Kr=vx + vy + wz, KR =Uaî + Vy + Wjj;

On trouvera de cette manière :

d=:CeKR-Sie(kr-si + «) >/~t

d=eCR —SI cos ;kr— ^l + a) + }/~i sin(kr — st + a).

La partie réelle du second membre de cette équation sera précisément la valeur du déplacement effectif de la molécule mesuré parallèlement à Taxe dont il s'agit. En l'appelant d, on aura:

d = Ceiti^-Si cos kr — 8t4-«)-

Ce déplacement constitue une espèce particulière de mouvement infiniment petit que M. Gaucby a désigné sous le nom de mouvement simple et élémentaire. Il est facile à définir par ses propriétés.

6 THÉORIB MATHÉMATIQUE