AI T
ce qui prouve que le temps v^ant à croître, les ondes planes,
comme les plans qui les terminent, se déplaceront dans le système
de molécules donné avec une vitesse de propagation «* = ~
III. Ce RB — ST est la demi-amplitude des vibrations relatives à l'axe que l'on considère. G est la valeur de cette amplitude correspondant à t =0, R = o, ou sa valeur initiale en chaque point du plan invariable Ux + Vy + Wz = o. On ne pourra pas supposer que l'amplitude et par conséquent Texposant KR — St croisse indéfiniment avec le temps, puisqu'il s'agit de mouvements infiniment petits. Il faudra donc que dans cet exposant le coefficient S soit nul ou positif; dans le premier cas, l'amplitude des vibrations sera constante, et le mouvement simple sera durable et persistant. Dans le second cas, au contraire, cette amplitude décroîtra indéfiniment et pour des valeurs croissantes du temps le mouvement s'éteindra de plus en plus. Le coefficient S a reçu pour cette raison le nom de coefficient d'extinction relatif au temps. Quant au coeffîciçnt |t par lequel se trouve multipliée la distance B de la molécule du plan iuvariable Ux + Vy + Wjk=:o , on pourra toiyours le supposer né-
O^ft 9âarvu que l*on choisisse couvtmaltlement le seni suivant Ifn quel se eeiupertereat ies valeurs positires de R. Alors, pour dfs valeurs positives croissantes de H, ou verra encore l'amplitude des vibrations décroitre Indéflnimeut , ce qui montre que pour un instanl dowé, le mouvem^t deviendra de plus en plus insensible à mesura que Ton 8*éloignera davantage dans un certain sens du plan invariable Vx + Yy -\- V^z = o. Il était naturel de donner au coefficient K le nom de coefficient d extinction relatif à Tespace. Si les deux coefiQcients d*extinction étaient nuls à la fois, c'est-à-41re li ron avait K = o, Ssso» outre que le mouvement serait pepsis* taiit, toutes les molécules décriraient des courbes parallèles les usas aux fiutres.
IV. Enfin, p^idant que W moléoile aefaève aa vibration, sa distance à Taio quf Tou considère varie , ef cette Yariation est tfu^ surée en partie par Tangle a qui joue un très grand rMe deaa la production de plusieurs phénoinènes importants.
En résumé, dani^ un mouvement s rople : t *" la iipe décrite par ete' que molécule est une courba plane ; ^ cette courbe plane est ea gé^éit rai nne eUlp» qui , dan? cenMnf» cas partiouliers, se réduit à une eir« oonfirenoe de cercle eu à une ligne droite; 3» le plan de cette ellipie est dans nn même système constamment parallèle à un premier plan invariable V; 4** toutes les molécules situées sur une mime ligne parallèle èi'interseeliondedeux autres plans invariables P^^ F'S ae trouvent toi^our» au mime instant délacées d'une mime manière et d'mie même quantité; 6^ le déplacement mesuré parallèlement à un axe fixe a*éyanouit à un instant donné pour toutes les qiolépules situées daMdfis plana paralièlesau second plan invariable P'^ Ces plansdivi^ sent le système de mol|kHiles en tranches id*une épaisseur eonatanta. Ces ^anehee stmt albernativement de première ou de seooBdf espèce, en ce lee» que les molécules qui en font partie s'^eaetinl altemativeaieot à droite en à gauebe d'une ligne déterminée. Deux tiMnehes eonséentives forment ce qu'on ^^pelle une onde i^ane, dont répaiwenr I s'aroelle auesi kmguevr 4*ondnlati0n( 6'' peur nue molécule donoéci le déplecement, mesuré parallèlement à un axe fixe, s'évanouit à des instants séparés les uns des autres par dei intervidlea de temps ^ux è un 1/2 T. Ces intervalles serfmt eux« mécies alternativement de première on de seconde espèce, paref
8 THÉORIE MATHÉMATIi^DR
qu6 la molécule s'écartera alteniativeraent à droite et à gauche. Api*ès deux intervalles consécutifs , la molécule se retrouvera dans les mêmes conditions; de sorte que le temps T représente la durée invariable des vibrations ou oscillations moléculaires mesurées parallèlement à un axe fixe ; 7" le temps venant à croître, Tonde plane s'éloigne du second plan invariable P''^ et le mouvement se propage avec
une vitesse « = z;, représentée par le rapport de l'épaisseur d'une
onde plane à la durée d'une vibration moléculaire ; 8<* le mouvement simple peut être durable et persistant, ou tendre sans cesse à s'éteindre; dans le premier cas, toutes les molécules décrivent des ellipses parallèles les unes aux autres , et dételle sorte que le rayon vecteur, mené du centre de l'ellipse à la molécule, trace des aires proportionnelles au temps, et reste parallèle à lui-même et dirigé dans le même sens quand on fait varier la distance de la molécule au second plan invariable de l'épaisseur d'une onde plane , ou d'un multiple de cette épaisseur ; dans le second cas , au contraire , cette amplitude décroîtra indéfiniment, tandis qu'on s'éloignera d'un certain plan, qui sera le troisième plan invariable P"', et chaque molécule s'approchera indéfiniment de la position qu'elle occupait dans l'état d'équilibre en décrivant une spirale autour de cette position. U importait que l'analyse indiquât ces différences qui se trouvent réalisées dans la nature. La lumière se propage sans presque s'affaiblir dans le vide , dans l'air, et dans certains corps transparents , tandis qu'elle s'éteint avec une excessive rapidité en se propageant dans les corps opaques ; 9** un mouvement simple quelconque peut toujours être considéré comme résultant de la superposition de trois ou même de deux mouvements rectilignes simples, dans chacun desquels les vibrations des molécules s'effectueraient sur de petites droites parallèles à trois ou à deux lignes déterminées. Telles sont les propriétés nettes et précises d'un mouvement élémoitaire.
4. Pour mieux faire saisir la nature de ce genre de mouvement, disons ce qu'il est lorsque la trajectoire de chaque molécule est rectiligne. Si l'on considère dans ce cas les molécules qui se trouvaient primitivement sur une même ligne droite, on verra qu'à une époque quelconque quelques unes deces molécules conserveront leur position primitive, c'est-À-dire les positions qu'elles occupaient dans l'état
d'équilibre ; les autres s*en écarteront à droite ou à gauche » et leur ensemble, comparable à une corde vibrante , prendra (fig. 1) la forme d*UDe ligne sinueuse composée d*arcs alternativement situés de part et d*autre de la direction primitive. Les nœuds seront à chaque instant les points ou les molécules conserveront ou reprendront leurs positions initiales ; seulement les noeuds qui sont fixes dans une corde vibrante se déplaceront ici d*un instant à l'autre, et seront d*ailleurs de deux espèces, chaque nœud étant de première ou de sedonce espèce, suivant que les molécules dont il s'approchera en se déptoçant dans l'espace se trouveront situées d'un côté ou de Tautre par rapport à sa directi<m primitive. L'épaisseur d'une onde plane, où la longueur d'une ondulation ne sera pas autre chose que la distance entre deux nœuds de même espèce, et la vitesse avec laquelle chaque nœud se déplacera en passant d'une molécule à l'autre, sera ce qu'on nomme la vitesse de propagation. Si la ligne décrite par chaque molécule était non pas une droite, mais un cercle ou une ellipse, on se ferait une idée du mouvement simple en se iigarant toutes les molécules situées primitivement sur une même ligne droite comme formant une espèce d'hélice ou de spirale à double courbure.
5. Nous avons surtout rappelé ces formules, ailù de montrer comment M. Cauchy, échappant à toutes les abstractions mathématiques, était arrivé à une théorie complètement physique des faits. Son équation fondamentale renferme, indépendamment du temps , huit quantités qui toutes ont une signification physique très précise. G est l'ampUtude initiale d'un certain nombre de molécules; K , un premier coefficient d'extinction relatif à l'espace ; R , la distance du plan à partir duquel ce premier genre d'extinction a lieu ; S, un second coefficient d'extinction relatif au temps ; k, une quantité inversement proportionnelle à la longueur d'ondulation 1 , ou à répaisseur d'une onde plane; r, la distance A un plan invariable parallde aux plans de toutes les ondes; s, une quantité inversement proportionnelle à la durée des vibrations moléculaires T; de a enfin dépeùA en partie la phase de la molécule ou l'angle variable dont le cosinus représente le rapport actuel du déplacement de la molécnle à la demi-amplitude des vibrations, mesurée parallèlement à on certain axe flxe. Pour arriver à constituer complètement le mou-
io rniomu mathi^matiquis
vemtntinflniiDçnt petit, il fallait encore une autre quantité, la vitesse de propagatiou des ondes : cette vitesse est le rapport imtre la longueur d'ondulation et la durée d'une vi|)ration molécul^r^.
6. Si/sans connaître la valeur desdéplaceinents moléculaires et (es lois du mouvement y on se demaadait à priori quelles quantités peuvent et doivent entrer dans l'idée complète de ces déplacem^pts ou de ces lois , U nous semble qu'il serait impossible de ne pas ra* venir à rénumération que nous venons de faire , et cette impossibilité est unepreuve certaine de la vérité de la théorie qu^ nou^ exposons. Ce que nous veuons de dire rend pour nous inexplicable l'attaque si brusque de M. Mac-CuUagh contre la théorie de M. Cai)cby, Dani la réunion de l'Association britannique, tenue <i Manchester, |e savant irlandais a soutenu que la théorie des ondes manque du principes physiques ( qu'elle est presque purement mathématique i que des faits certains, le fait, par exemple, de lu polarisation cimiflaire, contredisent les principes de M. Caucby, tels qu'ils sont expri^ mes dans son équation fondamentale. Nous avons entendu M. Um^ Cullagb ; il a développé devant nous ses objections , mais sana noua convaincre nullement : bien loin delà, la théorie de M. Caucby n'eii est devenue pour nous que plus évidente; cgoutons que les nott-« velles applications fiâtes depuis par l'illustre académicien Arançeis à l'étude des ombres et de la diffraction ^ dissipent tous les nuagtt. Que M. Mac-Cullagb publie procfinioement , comme Ten a prié te congrès , sa prétendue réfutation mathématique de la théorie d« M. Couchy, c'est pour lui un engagement d'h^Hinêur.
Ce qui précède montre aussijusqu'àrévidenee que la méthode suivie par Mp Caucby n'fst pas la méthode d'interpqlatfoii; elle en diffère autant que la nuit dn jour. La fi^rme des ^uatiims de M. Cauehy et le nombre de leurs coefficients sont complètement déterminés et nullement arbitraires : aussi ce qu'il^obtient d- abord n'est pas, comme dans l'interpolation, le calcul de certains faits dans dm limites déterminées, mais des lois sans nombre dont la généralité étonne, et qui seules pouvaient expliquer des séries entières de phénomènes d'ordre très différents. M. Caucby ne s's|>puie pas , comme Fres^ nel , sur des analogies piua ou moins vraisemblables, sur dee ior terprétatioDS pins ou moins beureoses des indications obscures de l'analyse : il établit d^ formules générales dont les oonséqa
DV LA LDMltHE. Il
ioaX îfiévitdA^. U ne demaiide pas à robiervation des nombres déduits d'ei(périeiices analogaes à celles qu*il veut calculer, mais seulement ce qui est nécessaire pour définir et particulariser la nature du mouvement et des milieux dans lesquels il s^effectue. Ainsi ^ par exempte , quand M. Caucby aura à déterminer la quantité de hiinière répécbie à la sur&ce d*un métal, il demandera, non pas des expériences pbotométriques faites sous certaines incidences, mais seulement deux angles qui définissent ce métal et le séparent de tous les autres en fournissant Tindice de réfraction et le ooefi}«> cientd*extinction qui lui sont propres. Comme une semblable tbéorh est inflexible, une seule expérience suffit à la renverser ; mais aussi quand, par des comparaisons nombreuses avec Tobservation , on s'est assuré de la vérité , on peut tout en attendre, car elle est essentiellement féconde.
7. On nous pardonnera ces réflexions*, que nous ne pouvions placer plus t6t , et qui pouvaient seules donner une idée bien exacte de la manière de M. Gauchy. Elles renferment d'ailleurs la réponse aux principales objections dont sa théorie a été Tobjet. On lui a reproché encore de n-avoir pas suivi une marche assez logique : puisqu'il se proposait d'établir les lois du mouvement de Téther, il devait, disait-on , commencer par définir, par constituer son éther en lui donnant un nombre suffisant de propriétés caractéristiques; ces propriétés l'auraient conduit aux véritables équations du mouvement; l'intégration de ces équations devait seule mettre en évidence Tensemble des phénomènes. M. Gauchy a repoussé cette marche, parce qu'il Ta crue dangereuse et stérile; nos lecteurs peuvent dé^ jugwr s'il a bien fait. Une comparaison éclairera peut-être ccftte dlseusrion. Quand les anciens géomètres voulaient étudier les propriétés de l'ellipse , de Thypertiole ou de la parabole, ils déft- Bissaient chacune de ces courlws par un caractère exclusif; plus tard on apprit à les réunir à l'aide d'une propriété commune et d'une même équation ; dans le xix* siècle , enfin , on crut faire un grand pas eo partant de l'éqoation la plus générale du second degré , qui, en M particularisant tonr à tour par une marche élc'gante et sûre , flMttait bient6t en évidence les propriétés des nombreuses variétés de eourbe qu'elle représentait. C'était évidemment un progrès qmt M. Cauchy n'a pas voulu méconnaître* Il s'est trouvé ainsi
la THiiORIE mâth^matiqut:
amené à envisager d*alM)rd sous un point de vue tout^-fait général le mouvement d'un système de molécules qui s'attirent ou se repoussent. De ridée d'un mouvement quelconque il est descendu à Tidée d*un mouvement infiniment petit ; IMdée d'un mouvement infiniment petit l'a conduit à l'idée du mouvement simple ; arrivé à l'idée d'un mouvement simple, il sent la nécessité de particulariser encore, et de considérer séparément les deux mouvements simples dans lesquels les vibrations moléculaires longitudinales ou transversales s'exécutent parallèlement ou perpendiculairement à la direction suivant laquelle les ondes se propagent.
Boable syiième de vibration • longitndînalcf et transvenalef. — PolarisAtioti du moaTemeiit. — Applioatâon à le lumière.
8. Le calcul prouve en effet que lorsqu'un mouvement simple et persistant se propage dans un milieu isotrope, il ne peut donner naissance en réalité qu'à deux espèces de vibrations, les unes longitudinales et dirigées perpendiculairement au plan des ondes ou daas le sens de la propagation du mouvement , \e& autres transversales et parallèles au plan des ondes. Ces deux systèmes de vibrations constituent deux mouvements élémentaires particuliers que nous désignerons pour abréger sous les noms de mouvement longitudinal et transversal. Dans le mouvement transversal la dilatation du volume est nulle, ou en d'autres termes la densité du milieu demeure constante. Il n'en est pas de même du mouvement longitudinal. Ces deux espèces de mouvements doivent évidemment donner naissance à des ordres de phénomènes tout-^à-fait distincts. On a toujours pensé jusqu'ici que les phénomènes du son avaient pour cause la propagation dans les corps solides et liquides ou gazeux, et surtout dans l'air, d'un mouvement élémentaire longitudinal; et Fresnel a tout mis eu œuvre pour prouver que le mouvement de l'éther qui donne naissance aux phénomènes lumineux était un mouvement transvei^sal ou sans changement de densité. M. Cauchy défend la même thèse que Fresnel , et nous offre une démonstration rigoureuse des hypothèses du savant physicien. Cette démonstration consiste à déterminer par l'analyse toutes les propriétés du mouvement transversal , tous les phénomènes qui résultent de sa pro-
ne LA LUMiiSRE. l3
pagftticM], pour les comparer plus tard aux phénoinèues produits par la lumière, et voir si Tidentité est réellement complète.
9. Avant d'étudier les propriétés d'un mouvement simple transversal,leslois de sapropagation, etc., disons que ce qui constitue le mode de polarisation d* un semblable mouvement, c'est la nature de la courbe décrite par chaque molécule. Dans un milieu qui n'éteint pas le mouvement, cette courbe sera toujours une ellipse, un cercle ou une droite, et la polarisation du mouvement simple sera elliptique dans le premier cas , circulaire dans le second , rectiligne dans le troisième. Ces trois modes de polarisation peuvent aussi se présenter dans un milieu qui éteint le mouvement, lorsque la ligne décrite par chaque molécule est renfermée dans un plan parallèle au troisième plan invariable, c'est-à-dire quand le troisième plan invariable P'" se ccmfond avec le premier. Nous verrons bientôt quelles sont les propriétés caractéristiques de ces divers genres de polarisation, et à l'aide de quels phénomènes on peut les mettre en évidence. Dans le cas particulier où la polarisation du mouvement est rectiligne, le plan de cequ*on peut alors appeler le rayon, et son plan de polarisation, sont deux plans, rectangulaires entre eux, qui passent par la direction de propagation du mouvement, et dont le premier contient en outre les directions des vibrations moléculaires. Alors aussi Ton dit que le rayon est renfermé dans le premier plan et polarisé suivant le second. Dans son premier Mémoire sur la théorie mathématique de la lumière, publié en 1829, M. Cauchy avait modifié les définitions de Fresnel ; il avait cru que Fresnel s'était trompé en admettant que les vibrations des molécules éthérées étaient sensiblement perpen- . diculaires au plan de polarisation. Dans la réalité, disait M. Gauehy, le plan de polarisation renferme la direction du rayon et celle des vibrations de Téther. Une étude plus approfondie des faits et de ses formules a ramené le géomètre aux conclusions du physicien. Définitivement, le plan de la polarisation est perpendiculaire aux directions des vibrations moléculaires. Pourquoi faut-il que les géomètres anglais , allemands et même français , qui prirent parti conti^ Fresnel, persistent à marcher dans une voie qui les éloigne de plus en plus de la vérité? Puissent-ils bientôt imiter M. Cauchy, et rendre, comme lui, hommage à Tillustre promoteur de la théorie des ondu-
ations ! Que M. Mac-GuUagh mette dcmc bas les armes, puisqu*U
l4 THÉOUIE MATH^MAtlQUE
est prouvé f Igoareuscmcnt que le rayon réfléchi tie peut disparaître sous aucune incidence quand Tlndice de réfraction ne se réduit pas à I*unlté; d*où II résulte nécessairement qu'un rayon polarisé dans un plan est, comme le croyait Fresnel , un rayon simple dans lequel les vibrations sont perpendiculaires à ce plan , ou, en d'autres termes , que le plan de polarisation d*un rayon simple est le plan perpendiculaire aux droites suivant lesquelles sont dirigées les vibrations rectillgnes des molécules éthérées.
10. On démontre sans peine que dans un milieu Isotrope et qui n'éteint pas, un mouvement simple polarisé, soîtrectilignement, soit elMptlquetnent, soit circulairement, peut toujours être considéré comme résultant de la superposition de deux mouvements simples pola> risés rectllignement et renfermés dans deux plans perpendiculaires Tun à Vautre. L'amplitude des vibrations moléculaires, ainsi que la quantité dont dépend en partie la phase de la molécule , changera généralement de valeur quand on passera de l'un des mouvements simples composants à l'autre. Pour que le mouvement résultant sol^ polarisé en ligne droite. Il faut que les quantités «, a' relatives aux deux rayons composants soient égales ou offrent pour différence un multiple du nombre k , ce qui exprime que les deux rayons composants, qui pourront d'ailleurs avoir des amplitudes différentes , offrent les mêmes nœuds ; les nœuds de première espèce de l'un pouvant coïncider avec les nœuds de première ou de seconde espèce de l'autre. Si d'ailleurs on suppose que dans le milieu donné la propagation du mouvement s'effectue en tous sens suivant les mêmes lois , le plan de la polarisation du rayon résultant formera avec les plans de polarisation des rayons composants des angles dont^Ies tangentes trlgonométriques seront les rapports directs et inverses de l'amplitude des vibrations de l'un à l'amplitude des vibrations de l'autre.
Le mouvement résultant sera polarisé drculalrement si les amplitudes des vibrations moléculaires sont les mêmes dans les deux rayons composants, et si, de plus, les quantités a, a diffèrent dans ces deux rayons, ou de l'angle droit représenté par ir/2, ou du produit de cet angle par un nombre impair , en sorte que la distance entre deux nœuds consécutifs appartenant à l'un et à l'autre mouvement, soit précisément le quart d'une ondulation lumineuse.
Si les amplitudes des vibrations ne sont pas égalés, et si les nœuds
DK LA LUMiJr.RE. l5
des deux mouvements ne coïncident pas , ou même si seulement les nœuds ne sont pas à la distance d'un quart d'ondulation , le mouvement simple sera polarisé elliptiquement.
11. On volt par ce qui précède que l'analyse fournit des moyens très nets de distinguer Tun de l'autre ces trois genres de polarisation. Ils sont complètement déterminés quand, dans la formule qui donne le déplacement d = CeKR-si cos (kr-st-f a), on connaît l'amplitude Cew-st, et l'angle a, que M. Cauchy appelle le paramètre angulaire relatif au mouvement dont il s'agit. Lorsque le milieu dans lequel la propagation a lieu n'éteint pas du tout le mouvement , on a K=0 , S=0 ,.d=C cos (kr-st+a) ; et alors pour savoir quel est le genre de polarisation , il sufût de connaître, pour les deux rayons composants, l'amplitude C et le paramètre a ; le rapport de ces amplitudes donnera de plus la direction du plan de polarisation dans le cas où la polarisation sera rectiligne.
M. Cauchy détermine avec une extrême facilité les modifications que subissent » après un nombre quelconque de réflexions ou de réfractions « Taniplitude Ce^i^-st et je paramètre angulaire a; il peut donc, après toutes ces réflexions et tous ces réfractions, assigner le mode de polarisation du mouvement, et dire s'il sera rectiligne, circulaire ou elliptique.
12. D'un autre côté , les physiciens donnent des moyens sûrs de reconnaître si un rayon lumineux est polarisé rectilignement , circulairement ou elliptiquement. Ainsi : l"" un rayon lumineux polarisé rectilignement est incapable de réflexion sous un certain angle sur un plan perpendiculaire au plan de polarisation ^ il ne peut pas être transmis par une tourmaline perpendiculaire au rayon , et dont l'axe se trouve dans le plan de polarisation ; il ne donne qu'une image quand il traverse un spath d'Islande dont la section principale est parallèle ou pei*pendiculaire au plan de polarisation ; 2"* un rayon polarisé circulairement offre constamment, en traversant un prisme biréfringent , deux images de même intensité , et se partage , en traversant une lame de cristal parallèlement à l'axe, en deux rayons de couleurs complémentaires, etc. Il sera donc possible de faire à chaque instant l'application de la théorie aux phénomènes de la nature, et de comparer les résultats du calcul aux données de l'expérience. Mais Ton conçoit que l'analyse aura d'immenses avantages sur la méthode
d'expérimentation , toujours entourée de mille difficultés quand il s*agit de déterminer, non pas seulement la direction d*un rayon lumineux , mais Tamplitude des vibrations ou Tintensité de la lumière, et le déplacement des nœuds. Ces déterminations seraient même impossibles si la théorie n'avait mis au Jour les relations nécessaires qui lient cette amplitude et ces déplacements insaisissables en euxmêmes avec ie mode de polarisation et la direction du plan dans lequel cette polarisation a lieu , quand elle est rectiligne. Remarquons encore que M. Gauchy peut calculer les variations d'amplitude et les déplacements des nœuds , non seulement quand le mouvement se réfléchit à la surface des corps non métalliques , ou quand il se propage par réflexion ou par réfraction dans des milieux isotropes et qui n* éteignent pas, mais encore lorsque le mouvement se réfléchit à la surface des métaux ou pénètre dans des corps non isotropes et qui réteignent plus ou moins. Sa théorie a toute la généralité possible, et se distingue de toutes les théories plus ou moins particulières , plus ou moins hypothétiques de Fresnel , de MM. Herschell, Airy, Newmann, etc., parce qu'il a été assez heureux pour faire dépendre l'amplitude du déplacement des deux coefficients d'extiuctiou K et S , l'un relatif à l'espace , l'autre relatif au temps. Par ce moyen , l'action des métaux sur la lumière , qui avait paru inexplicable à Malus , que Fresnel appelait une bouteille à l'encre, que MM. Brewster et Biot avaient essayé d'éclaircir à Taide d'expériences aussi ingénieuses que délicates , est devenue l'objet d'une des plus belles et des plus faciles applications de l'analyse.
13. Cette théorie des mouvements simples trouve-t-elle réellement son application lorsqu'il s'agit de la lumière? Peut-on dire que la lumière est le résultat d*un mouvement simple ou élémentaire qui se propagerait dans le système de molécules connu sous le nom d'éther, ou que du moins les phénomènes lumineux ont leur source dans la superposition d'un nombre fini ou indéfini de semblables mouvements? Les molécules lumineuses décrivent-elles réellement, non pas, comme le supposait Newton , des lignes droites indéfinies, mais de petites lignes droites, de petits cercles, ou enfin de petites Hlipses ([u'eiles parcourent de manière à repasser après des intervalles de temps égaux par les mômes points? Telle est , nous le répé-
tons, la grande question agitée de nos Jours, et que M. Cauchy croit avoir résolue.
On peut arriver à cette solution par deux votes différentes, Tune directe, l'antre indirecte ; M. Cauchy les a suivies tour à tour. On peut chercher d'abord à déterminer par expérience si les molécules lumineuses décrivent réellement la ligne que le calcul leur assigne dans des circonstances déterminées. Ainsi, [par exemple, Fanalyse prouve que les molécules qui forment un rayon lumineux réfléchi par certaines surfaces sous un angle déterminé , pour le verre par exemple, sous l'angle de 35**, doivent décrire de petites lignes droites et reproduire le mouvement élémentaire déftni n^ 3. Cda a-t-il lieu en effet? L'expérience semble dire effectivement que oui, car tous les phénomènes résultant de cette réflexion particulière s'expliquent très bien dans cette hypotiièse. De même M. Cauchy affirme que si un rayon lumineux est réfléchi à la surface extérieure de certains corps, des métaux polis par exemple, etc., les molécules qui cil font partie décrivent un cercle et plus généralement une èUlpee ; il indique même le moyen de déterminer expérimentalement le ra^ort entre les deux axes de cette ellipse ; il va plus loin, il regurde cette expérioice comme déjà réalisée, parce qu'elle est la conséquence immédiate d'autres expériences ftdtes par M. Brewster, et qui s'acoordent admirablement avec ses calculs. Sans avoir aucune raison de révoquer en doute les assertions du savant géomètre, nous osons dire que notre conviction sera plus entière quand quelque ha- Inle physicien aura fait l'expérience demandée, et montré par des observations précises que le rapport des deux axes dereliipse étant ce que le calcul annonce, cette ellipse, loin d'être imaginaire, est bien la oourbedécrite par la molécule lumineuse. Le Jour qui éclairera cette expérienee sera pour la science un grand Jour ; nous l'appelons de tDoanos vœux.
Sans déterminer directement, ce çrt est plus difficile peutrétre, si la ligne décrite par les molécules est bien dans la nature ce qu'elle est dans les équaticms du mouvement, M. Cauchy pouvait esj^r de metfre en évidence la vérité du système des ondulations en exnninant si la propagation d*un ou de plusieurs mouvements élémen- ^ taires peut donner naissance à des phâiomènes parfaitement identiques avec ce que nous sommes convenus de désigner sous le nom
l8 THÉORIE MATHÉMATIQUE
de phénomènes lumineux ; si un semblable mouvement est réfléchi, réfracté, etc. ; si les lois de cette réflexion , de cette réfraction , etc. , sont réellement les lois de la réflexion et de la réfraction de la lumière.... Suivons-le dans cette comparaison.
et réfrttotîoii d« mouvemeat mnple. *— Oonditâosi ftoz — Dîreetiom des ondes réfUobîes et réfreetées.
14. Il serait déraisonnable de chercher à établir les lois de la ré^ flexion et de la réfraction d*un mouvement simple avant d'avoir déflni les équations de conditions relatives aux limites des corps, ou qui doivent se trouver vérifiées à la surface de séparation de deux milieux. Malgré les nombreux travaux des géomètres sur cette question , il est vrai de dire qu'il n'existait pas de méthode générale propre à conduire à ces équations. Dans les divers cas particuliers traités Jusqu'à ce jour, on se bornait à faire des hypothèses plus ou moins vraisemblables sur la forme des conditions aux limitesi sans chercher à les déduire de méthodes rigoureuses. C'est ainsi que dans la théorie des liquides , des corps élastiques, etc. , on suppo^ sait, sans le démontrer, les pressions intérieures et extérieures égales entre elles à de petites distances des surfaces qui terminent ces corps ou ces liquides. Mais de semblables hypothèses n'offhdent rien de satisfaisant à l'esprit \ souvent même elles étaient fausses, et d'immenses travaux se trouvant pai* là frappés de stér(lité, ne conduisaient qu'à un très petit nombre de résultats conformes à l'ex* périence. M. Cauchy a été assez heureux pour obtenir enfin la méthode génà'ale qu'il poursuivait depuis si long-temps: c'est un progrès immense ; un nouveau champ est désoimais ouvert à la physique mathéDMtique. Entrons à ce sujet dans quelques détails.
1 5. Il est clair que les déplacements moléculaires, et celles de leurs dérivées que ne déterminent pas les équations aux dérivées partielles des mouvements infiniment petits, ne sauraient varier d'une manière brusque, tandis que Ton passera d'un milifiu à l'autre: donc ces déplaceo^ents et ces dérivées , calculés successivesseat pour l'un et l'autre nijlieq, devront satisfaire à la f^ndition de reprendre toiyours les mêmes valeurs en chaque point de la surface de séparation. Gomme les altérations qu éprouve la constitution de
t>& LA tOMliSlIR. 19
ehaqne système dans le voisinage delà surftieeréilëchtsiante, ne sont sensibles qa*à une très petite distance de la surface, la conclusion précédente doit être étendue au cas même où Ton tient compte de ces altérations, pourvu que lediamètrede la sphère â'aetivité senstbledes molécules éthérées soit très i^etit relativement à la longueur d'une ondulation. Cette condition , donnée par le caleul , pouvait être assez &eilement prévue : on conçoit en effet que , dans le cas où elle ne serait pas remplie, les mouvements simples ou par ondes pla<* nés se trouveraient sensiblement altérés par Tlnfluenee de la surftee réfléchissante à des distances trop considérables epcore pour qu'ils pussent franchir ces distances , et pénétrer en se modifiant dans ce second milieu. SI» ^u contraire, la condition ci«dessus éBOQoée se trouve remplie y on déduira immédiatement du principe que nous venons d'énoncer les lois de la réflexion et de la réfraction produites par la surface de séparation de deux milieux transparents ou opaques ; mais il sera rigoureusement nécessaire d'avoir égard aux trois espèces de mouvements qui peuvent généralement se propager dans ebaqne milieu. Si l'on tenait compte seulement des deux («des à vibrations transversales > ou qui p«iyent être perçues par l'csii dans les milieux tranqiarents , les six équations de condition relatives à la surface réfléchissante ne pourraient plus être vérifiées que dans des cas particuliers, par exemple, pour certaines directiims particulières de l'onde incidente. Au reste, nous ne devons pas être surpris que, dans chaque milieu ^ la réflexion ou la réfraction produise seulement deux ondes sensibles à TobII, et que le troisième moavonent réflédii ou réfracté reste inaperçu ; car le calcul fait voir qœ œ troisième mouvement, qui, s'il pouvait se propager sans s'affkl- Uir, offrirait des vibrations longitudinales, est de la nature des ondes qui pénètrent dans les corps opaques, et s'éteint comme elles à une très petite distance de la surface réfléchissante. Mais cette circonstance ne nous autorise en aucune manière à le considérer comme non «vsnu , attendu que , sur la surface même , les amplitudes des vibra* tfons moléculaires sont du même ordre, dans les trois espèces de mou* vcments léflédiis ou réfractés. D'aiiieurs, quoique la troisième onde ne soit pas sensible , son existence et même sa nature sont clairement indiquées par le calcul, et il est Impossible qu'un mouvement simple, tombaiit sur la sorfiMse de séparation de deux milieux, ne ftisaa
aO THÉORIE MATHEMATIQUE
pas nattre dans chacun de ces milieux trois mouvements simples, réfléchis ou réfractés. Ces trois mouvements simples» et les trois systèmes d*ondes planes qu'ils présentent, correspondent aux trois racines inégales d'une certaine équation caractéristique résolue par rapport au carré du coefficient qui détermine la durée des vibrations moléculaires. Ces trois racines eUe»-mémes se trou-> vent introduites dans Téquation dont il s'agît en raison des trois coordonnées qui appartiennent à chaque point , et qui correspondent aux trois dimensions de l'espace : ainsi le nombre des dimensi<Misde l'esMce exprime nécessairement le nombre des mouvements réflé* (^ ou réfractés par une surface plane.
pi les deux milieux deviennadt isq^lianes , les trois ondes réflë-» c)|ies ou réfractées se réduiront à deux , et de plus les vibrations nflipiéculaires des mouvements réfléchis et réfhictés qui s'éteindront 4 une petite distance de la surface réfléchissante, resteront cmnprises 49ns le plan d'incidence, et par suite , on pourra fUre abstraction de ces deux mouvements , si les vibrations des moiéculea dans lé lipuvement mcident sont perpendiculaires au plan d^inddenoe, ou si le mouvement est polarisé dans ce plan.
Si les vibrations des molécules dans le mouvement incident étaient, non plus perpendiculaires au plan d'incidence, mais renfermées dans ce plan, alors, dans la recherche des lois de la réflexion et de la réfraction, on devra nécessairement tenir compte des ondes qui s'éteignent à une petite distance de la face réfléchissante. Cette heureuse nécessité dispensera de recourir au principe erroné de la prétendue équivalence des vibrations moléculaires dans les deux milieux; principe que Fresnel iq[>pliquait sans erreur à la réflexioudes vibrations perp^dlculaires au plan d'incidence, mais qœ rien ne Justifie dans la théorie de M. Mac-<:nllagk, qui l'étend à tous les cas , sans tenir eompte des mouvements qui s'éteignent à une petite distance de la surface réfléchissante. Répétons-le encore : il résulte d'une analyse rigoureuse , que pour rendre compte de txNis les phénomènes de la i-éflexion et de la réfraction , il faut Johidre au mouvement incident les mouvements réfléchis et réfractés à vibrations transversales qui restent sensibles à une grande distance et de plus le mouvement aux vibrations longitudinales qui n'est passensiUe à l'œil et s'éteint à une petite distance de la surface réfléchissante.
16. Il neserapasinutile de présenter ces considérations SOUS un Dou* veau point de vue. Lorsqu'un mouvement incident donne naissance, dans un milieu isophane, à un mouvement simple réfléchi et à un mouvemoit simple réiVacté, qui, comme lui, se propage sans s'affaiblir y al<Hrs il arrive de deux choses Tune : ou le système des mouvements incident et réfléchi , propagés dans le premier milieu , s'accorde en chaque point de la surface réfléchissante, avec le mouvement réfracté qui se propage dans le second milieu, de sorte que , sur cette surface , les déplacements moléculaires et leurs dérivées , calculés dans le premier et le second milieu , reprennent toujours les mêmes valeurs; ou cet accord n'existe point, et, pour le rétablir, cm sera obligé de superposer aux trois mouvements , incident, réfléchi, réfracté, qui, par hypothèse, se propagent sans s'afbiblir, d'autres mouvements correspondants, qui , étant insensibles à de grandes distances de la surface, deviennent sensibles dans son voisinage. Dans le premier cas , le système des mouvements incident et réfléchi se transformera de lui-même, et sans transition brusque , en traversant la surface réfléchissante, en mouvement réfracté. Mais dans le second cas , cette transformation sans transition brusque ne deviendra possible que par la superposition indiquée. Le premier cas se présente dans la théorie de la lumière réfractée par la surface de séparation de deux milieux isophanes, lorsqu'on suppose le rayon lumineux polarisé suivant le plan d'incidence, c'està-dire, en d'autres termes, lorsqu'on suppose les vibrations du fluide éthéré parallèles à la surface réfléchissante. Alors les lois de la réflexion et de la réfraction sont beaucoup plus faciles à établir que dans toute autre supposition, et il est permis de ihire abstraction des mouvements simples qui pourraient se propager dans l'éther, sans occasionner des phénomènes lumineux. Mais il n'en est plus ainsi dans la supposition contraire, et c'est ce qui explique pourquoi Fresnel a eu plus de peine à découvrir les formules relatives à la réflexion d'un rayon de lumière polarisé perpendiculairement au plan d'incidence.
17. Dans ce qui précède nous avons supposé que chaque milieu renferme un seul système de molécules , toutes les molécules étant de même nature, mais leur arrangement pouvant n'être pas le même dans le premier milieu et dans le second. Le vide ou Fétber isolé peut
Sta THÉORIE MATHEMATIQUE
offrir un tel milieu, et ce milieu est certainement isophane. Chacun des autres milieux renferme nécessairement un ou plusieurs systèmes de molécules, par exemple les molécules de Téther et les molécules d'un corps solide, liquide ou gazeux. Donc appliquer aux seules molécules â*éther les principes ci-dessus établis , c'est supposer que , dans le calcul des phénomènes relatif^ à la réflexion et à la réfraction de la lumière , on peut , sans erreur sensible , faire abstraction des vibrations imprimées aux molécules des corps. On s'approchera davantage de la réalité, si Ton tient compte de ces dernières vibrations. Mais alors le nombre des mouvements réfléchis et réfractés sera doublé, aussi bien que le nombre des racines de Téquation caractéristique et le nombre des équations de condition relative à la surface réfléchissante. Alors aussi trois racines de Téquation caractéristique seront analogues à celles qui fournissent les mouvements simples de Tcther dans le vide , trois autres se rapporteront plus spécialement aux vibrations des molécules des corps. On pourrait dans ce cas distinguer parmi les mouvements réfléchis et réfractés, ceux qui proviendront directement du rayon immédiat, et ceux qui en proviendront indirectement, étant produits par les vibrations des molécules renfermées dans le second milieu. Ces conclusions seraient conformes à des expériences remarquables publiées par M. Arago sur la lumière qui émane des corps incandescents, et àrexplication que Tillustre physicien en a donnée.
Il est d'ailleurs naturel de penser que les rayons dont il s'agit, avec les six mouvements simples qui leur correspondent, et auxquels participent à leur manière les molécules des corps, fourniront l'explication des phénomènes dus à ce qu'on nomme les rayons chimiques, calorifiques.
Il nous semble que ces considérations si neuves, si précises, si délicates, su fllsent seules éprouver rétonnante supériorltédeM.Cauchy.
18. Un mouvement simple se réfléchit donc réellement et se réfracte; et remarquons que dans la théorie si simple et si générale que nous analysons, cette réflexion et cette réfraction ne sont pas seulement admises comme des faits qu'il s'agit d'expliquer d'une manière quelconque: leur existence est démontrée d'une manière entièrement conforme à la nature ; elles existent parce qu'elles sont la conséquence naturelle et nécessaire du mouvement incident
DE LA LUMllÈRE. ^3
Voici d'ailleurs quelles sont les lois de la réflexion ou de la réfraction du mouvement incident.
1* La durée des vibrations moléculaires mesurées parallèlement à un axe fixe restera la même dans les ondes incidentes, réfléchies et réfractées.
9? Les traces du second et du troisième plan invariable sur la surfoce|réfléch{ssante, demeureront fixes lorsqu'on passera du mouvement donné au mouvement réfléchi ou réfracté, et coïncideront toujours avec une droite unique parallèle aux plans de toutes les ondes, c'est-à-dire aux plans qui termineront les ondes incidentes réflécliies et réfractées.
Si par un point de cette droite on élève des perpendiculaires aux plans des trois espèces d'ondes , ces perpendiculaires formeront avec la normale, à la surface réfléchissante, des angles égaux à ceux que forment les plans des ondes avec la surface elle-même , et se trouveront d'ailleurs comprises dans un même plan normal à la surface. Les angles d'incidence, de réflexion et de réfraction, seront les angles aigus formés par les perpendiculaires dont il s'agit avec la normale à la surface réfléchissante, ou en d'autres termes par les plans des trois espèces d'ondes avec la surface elle-même. Le plan unique qui renfermera les trois perpendiculaires pouiTa être nommé à volonté le plan d'incidence, de réflexion ou de réfraction. Gela posé :
3* Le rapport entre le sinus d'incidence, c'est-à-dire le sinus de l'angle d'incidence, et l'épaisseur d'une onde incidente sera le même que le rapport entre le sinus de réflexion et l'épaisseur d'une onde réfléchie , le même aussi que le rapport entre le sinus de réfraction et l'épaisseur d'une onde réfractée. Si Ton nommait , pour abréger, indices de réflexion et de réfraction les rapports que l'on obtient en divisant l'épaisseur des ondes incidentes par les épaisseurs des ondes réfléchies et réfractées , cette dernière loi pourrait s'énoncer comme fl suit : Les rapports du sinus d'incidence au sinus de réflexion, ou de sinus d'incidence ail sinus de réfraction sont toujours ^ux respectivement aux indices de réflexion et de réfraction.
4* Supposons que les deux milieux soient isotropes, ou que la propagation du mouvement s'y effectue de la même manière en tous sens , et de plus que chacun des mouvements simples qui répon-
a4 TfilioRlE MATHEMATIQUE
dent aux ondes incidentes , réfléchies, réfractées , soit un mouvement persistant; alors l'épaisseur de Fonde réfléchie sera la mém3 que celle des ondes incidentes, et par conséquent Tangle de réflexion sera égal à l'angle d'incidence. L'épaisseur des ondes réfractées sera au contraire différente , ordinairement du moins, de l'épaisseur des ondes incidentes; mais ces deux épaisseurs seront constantes, et par suite le rapport entre le sinus d'incidence et le sinus de réfraction égal au rapport entre l'épaisseur des ondes incidentes et l'épaisseur des ondes réfractées, sera constant, c'est-à-dire indépendant de l'angle d'incidence.
19. Ces lois générales de la réflexion et de la réfraction des ondes planes dans les mouvements simples, sont indépendantes des formes particulières que peuvent prendre les équations de condition qui se n^portent à la surface de séparation. La démonstration élégante et si naturelle qu'en donne M. Gauchy montre pourquoi elles subsistent dans un grand nombre de questions diverses, où les démonstrations qu'on en donnait doivent maintenant paraître peu rigoureuses. Ainsi, par exemple, si les premières de ces lois fournissent immédiatement Texplication des phénomènes que pré^ sente la réflexion des ondes sonores ou liquides par les murs ou parois d'une salle ou d'un bassin rectangulaire , ce n'est point une raison d'admettre, comme on le faisait en théorie, que ces murs ou ces parois sont des cmps dénués de toute élasticité , en sorte que les molécules situées à leur surface ne cèdent nullement à l'action des molécules contiguês de l'air ou de l'eau; on doit supposer au contraire que chaque mouvement simple , propagé dans l'air ou dans l'eau, donne naissance , d'une part à un mouvement réfléchi qui reste sensible pour l'observateur , d'autre part à un mouvement réfracté qui se propage dans les murs de la salle ou les parois du bassin rectangulaire , mais qui est assez faible pour échapper à nos sens , et décroit très rapidement en pénétrant dans la profondeur de ces murs ou de ces parois , de manière à s'éteindre presque entièrement à une profondeur finie.
20. Il est inutile de demander si ces lois de la réflexion et de la réfraction d'un mouvement simple sont bien les lois de la réflexion et de la réfraction de la lumière : l'identité est parfaite ; seulement l'analyse , plus subtile et plus précise que l'expérience, a tout prévu. A
la Uâ moins générale de Tégalité entre le sinus de réflexion et â*incidenoe, ou du rapport constant entre les sinus d*ineidence et de réfraction, elle a substitué la loi si remarquable et si simple de la proportionnalité des épaisseurs des ondes incidentes y réflécbies et réfractées, aux sinus d*incidence , de réflexion et de réfraction. Elle nous apprend que Tangle d'incidence ne sera ^1 à Tanglede réflexion , ou que le rapport des sinus d*incidence et de réfraction ne sera ecmstant que dans le cas où les deux milieux étant isopbanes et parfaitement transparents , la lumière s'y propagera de la même manière en tous sens et sans s'afEaiblir, parce qu'alors seulement l'épaisseur des ondes réfléchies sera la même que celle des ondes incidentes, et l'épaisseur des ondes réfractées constante ou indépendante de l'angle d'incidence, du moins pour toutes les incidences propres à fournir un rayon réfracté qui se propage dans le second milieu sans s'affaiblir. Si l'un des deux milieux n'était pas du nombre de ceux où la lumière se propage en tous sens, suivant les mêmes lois, ou si l'un d'eux absorbait plus ou moins complètement la lumière, la loi de la réflexion serait toujours vraie, mais la loi de Descartes cesserait de subsister. Toutes les expériences faites Jusqu'ici confirment parfaitement les prévisions de l'analyse.
En admettant avec la plupart des physiciens que la couleur dépend généralement de l'épaisseur de l'onde on de la longueur d'ondulation , la loi d'égalité de la durée des vibrations moléculaires dans les trois ondes incidente, réfléchie et réfractée, trouverait une éclatante confirmation dans ce &it constant , avéré , que la couleur d'un rayon lumineux ne change pas dans l'acte de la réflexion et de la réfraction.
Cette même égalité dcmne la raison d'une' loi générale d'acoustique dànontrée par M. Savart à l'aide d'un très grand nombre d'expériences , et que l'on peut énoncer comme il suit : Quelles que soient la nature et les dimensions des corps qui , par communication de mouvement, vibrent simultanément, la durée des vibrations sonores reste la même pour tous ces corps , de sorte que tous vibrent à l'unisson.
21 . Si les milieux transparents dans lesquels se font la réflexion et la réfraction du mouvement simple ne sont point isotropes, non seule* ment l'épaisseur des ondes propagées dans çeç nuiliçux dépend de \^
ùG THEORIE MA.TnÉMATIQaB
direction des plans qui la terminent, ou, ce qui revient au même, de la direction du second plan invariable P'^ mais en outre le calcul montre qu*à une direction donnée de ce dernier plan correspondent toujours deux ondes planes qui offrent des épaisseurs, et par suite des vitesses de propagation différentes. Si l'on donne dans ce cas non pas la direction du second plan invariable P", mais sa trace sur un . plan fixe avec le rapport entre le sinus de son inclinaison sur ce plan fixe et répaisseur d'une onde plane ; à cette trace et à ce rapport correspondront quatre systèmes d'ondes planes et quatre positions du second plan invariable, qui sera pour deux de ces systèmes inclinés inégalement , mais dans le même sens, sur le plan fixe, et pour les deux autres en sens contraire. Si le plan fixe étant une surface réfléchissante, on considère l'une de ces quatre ondes comme incidente, alors des trois autres , deux correspondront à des ondes inclinées sur la surface dans un autre sens que Tonde incidente , et rempliront la condition à laquelle doit satisfaire ronde' réfléchie, savoir : que Ton obtienne le même rapport en divisant le sinus d'incidence par l'épaisseur des ondes incidentes, ou le sinus de réflexion par l'épaisseur des ondes réfléchies. Concevons de même que le plan fixe étant considéré comme une surface réfringente qui sépare le milieu donné d'un autre, on fasse dans cet autre milieu tomber un rayon sur cette surface. Si l'on cherche à déterminer le rayon réfracté par la condition que le rapport entre le sinus de réfraction et l'épaisseur des ondes réfractées soit équivalent au rapport entre le sinus d'incidence et l'épaisseur des ondes incidentes, on trouve que cette condition peut être remplie dans le milieu donné par deux ondes inclinées dans le même sens sur la surface réfringente.
De ces considérations il résulte qu'un mouvement simple, en se réfléchissant ou en se réfractant dans un milieu non Isotrope, donne en général naissance à deux ondes réfléchies ou àdeux ondes réfractées. Cette conclusion est une nouvelle preuve de la conformité parfaite de la théorie avec l'expérience. On trouve en effet dans la nature un grand nombre de substances justement appelées doublement réfringentes, et qui sont telles qu'un rayon de lumière ne puisse pas y pénétrer ou se réfléchir à leur surface intérieure sans se diviser en deux autres rayons réfractés ou réfléchis.
DE LA LUMli:RE. Ù'J
Lorsque deux milieux doublement réfriDgents sont séparés Fun de l'autre par une surface plane , on peut imaginer quatre systèmes d'ondes planes propagées dans le premier milieu, et quatre systèmes d'ondes planes pn>pagées dans le second milieu, de telle sorte que le sinus de Tinclinaison d'une onde plane sur la surface de séparation soit toujours à l'épaisseur de cette onde dans un rapport donné.
D'après ce qu'on vient de lire , il est clair que si l'on prend une de ces huit ondes pour onde incidente, deux autres de ces ondes, qui se propageront dans le même milieu que Tonde incidente, représenteront les deux ondes réfléchies; deux autres, qui, seules dans le second milieu, répondront à des ondes planes inclinées sur la surface de séparation dans le même sens que les ondes incidentes, représenteront les ondes réfractées. On déduit immédiatement de cette proposition les règles établies par MM. Biot et Malus pour la déterminatimi des rayons réfléchis par la seconde surfhce des cristaux à un et à deux axes optiques. Voici , afin qu'on puisse mieux le comparer à la théorie de M. Cauchy, un des énoncés de M. Biot, Précis d$ physique, 3* éd., p. 263 et suiv. : « Lorsqu'un rayon de lumière tombe sur la première surface d'un cristal en sortant du vide ou de tout antre milieu non cristallisé, il se réfléchit en un seul feisceau , de manière que l'angle de réflexion est égal à l'angle d'incidence... Mais il n'en est pas ainsi dans la réflexion intérieure qui s'opère à la seconde surface du cristal : chaque rayon , en se réfléchissant sur rettc surface, se divise généralement en deux faisceaux qui reviennent dans le cristal... La direction de la réflexion est la première chose à déterminer... Dans le cas où le cristal a deux axes, aucun des deux rayons ne fait généralement l'angle de réflexion égal à l'angle d'incidence... Mais, dans ce cas, le rayon incident intérieur étant donné, calculez le rayon émergent qui en dériverait, puis transportez ce rayon émergent de l'autre côté de la normale , en lui donnant une égale incidence, et calculez les rayons réfractés qu'il produirait en rentrant dans le cristal suivant cette direction : ce devront être celles des rayons réfléchis Intérieurs... Je ne présente cette méthode qu'avec défiance , et il serait à délirer que l'on fit des expériences pour la constater. »
Les expériences manquent encore; mais une théorie simple a donné pour son coup d'essai la démonstration rigoureuse des indue-
38 TUéOBlE ]UATHËMAT1QCE
tîons du profond expérimeDtatevr. La constractionde M. Biot repose sur ce principe , que les deux rayons réfléchis sont les rayons réfractés correspondant à un rayon émergent facile à déterminer , et ce principe lui-même est un cas particulier de la loi si féconde de la proportionnalité des sinus aux épaisseurs des ondes.
Blodifieatîoas que la réflenon et la réfiraetiini font snlnr an mode de polarisation dn rayon , et à Tainplîtiide def trîbratîoBs moléeolaîrei. — Xntenfîté da rayon réfléeU on réfraoté.
22. Après ces détails, qui feront mieux connaître et mieux appré- . cier la théorie que nous avons promis d'exposer aussi clairement que possible, recherchons avec M. Gauchy comment la réflexion et la réfraction modifient d'une part Taroplitude des vibrations incidentes, d'autre part le mode de polarisation du mouvement simple, . particulièrement dans le cas où les deux milieux donnés sont isotropes , et où le premier de ces milieux est transparent.
Le mouvement incident étant pai* hypothèse un mouvement simple qui se propage dans un milieu isotrope , pourra être censé résjalter de la superposition de deux autres raymis qui seraientpolarisés en ligne droite y le premier perpendiculairement au plan d'incidence , le second suivant ce même plan. Si l'on prend la normale à la surface réfléchissante pour un des axes coordonnés, et le plan d'incidence pour l'un des plans coordonnés , le premier des raycms composants se trouvera complètement déterminé ou par les déplacements des molécules mesurés dans le plan d'incidence et parallèlement aux axes coordonnés que rei)ferme ce plan, ou par les déplacements absolus des molécules mesurés dans le même plan sur des droites perpendiculaires à la direction de propagation du mouvement; tandis que le second des rayons composants se trouvejra déterminé par les déplacements des molécules mesurés perpendiculairement au plan d'incidence , ou, ce qui revient au même , parallèlement au troisième axe. Or, le calcul montre que ces déplacements , mesurés les uns dans le plan d'incidence, les autres perpendiculairement à ce plan , se trouveront séparés dans les équations de condition relatives à la surface réfléchissante , et même après la réflexion et la réfraction, comme ils l'étaient dans le mouvement incident, de ^rte que les deux mouvements simples qui , par leur superposition.
DE LA LUVIBAE. 90
rqproduisaient le moavemeDt incident, et qui étaient polarisés, le premier pei-pendicalairement an plan â*incidence, le second suivant ee même plan, se trouv^ont réfléchis et réfractés indépendamment rundeFautre.
De ce qu'on vient de dire y il résulte que , pour découvrir les lois générales suivant lesquelles un mouvement simple est réflédii ou réfracté par la surfoce de séparation de deux milieux isotropes dont le premier est transparent , il suffira de rechercher les lois particulières de la réflexion et de la réfraction d*un mouvement simple polarisé ou perpendiculairement au plan d*incidence, ou suivant ce plan. Alors aussi y dans le mouvement réfléchi et même dans le mouvement réfracté, lorsque le second milieu sera transparent, on pourra se borner à considérer les d^lacements absolus des mdéculesqui seront mesurés pour chaque mouvement dans le plan d'incidence ou perpendiculairement à ce plan , mais toujours sur des droites perpendiculaires à la direction suivant laquelle le mouvement se propage.
23^ Désormais dansunmouvementparondesplanesnousnomm^rons^ pour abréger, rayon simple, le mouvement simple formé de Tensemble des molécules originairement situées sur une droite perpendiculaire aux plans des ondes; Taxe de ce rayon sera la droite même dont il s*aglt ; nousdirons que le rayon est doué de la polarisation rectiligne, circulaire ou elliptique , suivant que ctiaque molécule décrira une droite , un cercle ou une ellipse ; et quand il s'agira d'un rayon plan ou polarisé rectilignement, il faudra , comme nous l'avons d^à dit , distinguer le plan du rayon, c'est-à-dire le plan qui le renferme, et le plan suivant lequel ce rayon est polarisé ou le plan de polarisation , ce dernier plan étant perpendiculaire au premier et passant comme loi par l'axe du raycm. Les nœuds du rayon swont d'ailleurs à diaqne instant les points de Taxe occupés par des molécules qui eonserveront ou repren^Dront leurs positions initiales.
Nous av<nis i^pelé phase, suivant le langage adopté par les auteurs qpii dans la théorie de la lumière admettent le système des ondula* tlons, l'angle variable kr — st + a dont le cosinus entre comme Cieleiir dans le déplacement d'une molécule mesurée parallèlement à un axe fixe. La partie variable de cette phase kr — st est indépendante de l'axe fixe que l'on considère ; mais le paramètre angu«
3a THÉORIE MATHÉMATIQUE
risatlon, Fangle aigu formé par ce dernier plan avec le plan fixe. Si d'ailleurs le plan fixe passe, comme on le suppose généralement, par la direction du rayon simple , et si ce rayon est considéré comme résultant de la superposition de deux autres polarisés, Tun suivant le plan fixe^ Tautre perpendiculairement à ce plan, Fazimut du ray<m résultant et Tazimut de son plan de polarisation seront simplement les deux angles complémentaires l'un de Tautre qui auront pour tangente trigonométrique les rapports direct et inverse des vibrations moléculaires dans les deux rayons composants. Si le rayon simple donné cessait d'être polarisé rectilignemeut , rien n'empêcherait d'appeler encore azimut de ce rayon l'azimut qu'on obtiendrait dans le cas ou, après l'avoir décomposé en deux rayons partiels polarisés, l'un suivant le plan fixe, l'autre perpendiculairement à ce plan, <m parviendrait , comme on peut le fidre à l'aide de certains procédés que l'on indiquera plus tard , à replacer les nœuds de l'un de ces rayons composants sur les nœuds de l'autre sans changer les amplitudes qui seront inégales , excepté dans le cas de la polarisation circulaire. Ainsi défini , l'azimut d'un rayon simple sera toujours l'angle qui a pour tangente trigonométrique le rapport entre les amplitudes des vibrations moléculaires de deux rayons composants, polarisés l'un suivant le plan fixe , l'autre perpendiculairement à ce plan. Dès lors, quand un rayon résultant sera doué de la polarisation circulaire, son azimut sera toujours de 45*, quelle que soit d'ailleurs la direction du plan fixe auquel il se rapporte.
24. Pour déterminer le rapport suivant lequel la réflexion ou la réfiraction font varierle déplacement ou la déviation des moléculesdans un mbuvement polarisé perpendiculairement au plan d'incidence, ou suivant ce même plan , il faudra recourir aux conditions relatives à la surface de séparation des milieux. Cette méthode nous apprend qu'il suffit de multiplier la déviation d'une molécule considérée comme faisant partie du mouvement incident, par un certain coefiScient de réflexion ou de réfraction, pour obtenir la déviation de cette même molécule , considérée comme faisant partie du mouvement réfléchi ou réfracté.
Révélons ici un nouvel artifice de calcul que M. Cauchy a mis en œuvre. Il semblait naturel de n'opéra que sur le déplacement réel ou absolu de la molécule donné comme nous l'avons vu par l'équation.
DE LA LliMlteE. 33
d = C;eKR-8tco8(lap— 8t + «),
et cependant cette marche , si on Tavait suivie , aurait conduit à des calculs longs et pénibles , qui eussent cacbé aux regards des g^mètres un grand nombre de lois générales. M. Cauchy eut bieu« tftt deviné qu*il fallait au contraire employer uniquement le déplacement en partie réel et en partie imaginaire »
rf=CeKii-sie '^'-•' + «>'^
qu'il a désigné sous le nom de déplacement ou déviation symbolique. L'emploi de ee déplacement conduit à des coefficients de réflexion et de réfraction qui sont eux-mêmes en partie réels, en partie imaginaires , et peuvent être représentés par une nouvelle
al/— 1 expression de la forme Me ^ dans laquelle M et a seront
le module et l'argument de réflexion ou de réfraction. Dès lors,
oranme pour multiplier une expression imaginaire par une autre,
il suffit de multipBer le module de la première par le module de la
seoûode, et d'ajouter à Targument de la premièi*e l'argument de la
seconde y on en conclura que dans le passage du mouvement inci-
doit au mouvement réfléchi ou réfracté , la déviation symbolique de
la molécule deviendra
rf' = MCeM-Ste*^-'^ + * + ')K— 1 et son déplacement réel
d'=MCel^R-Stco8(kr-«t+«4-«).
Si r<m remarque d'ay leurs que dans un mouvement simple polarisé en l^e droite et propagé dans un milieu isotrope qui n'éteint pas le mouvement, augmenter ou diminuer le paramètre angulaire a, c'est délacer réellement duique nœud et le transporter en arrière ou en avant de la position qu'il occupait , il sera démontré que lorsqu'on fait tomber sur la surface de séparation de deux milieux isotropes un mouvement simple polarisé perpendiculairement au plan dMncIdenceou avivant ee plan , et ^e le mouvement réfléchi ou réfracté se propage
34 THÉQUIf M^THI^MATIQUe
sanss*affAiblir, la réflexion ou la réfraction du mouvemcsit incident produit en général les d0u& effets foe neus ailcms énoncer :
r Tandis que le mouvement incident se transforme en mouvement réfléchi ou en mouvement réfracté, les amplitudes des vibrations moléculaires varient dans un rapport égal au module M de réflexion ou de réfraction;
2^ Chaque nœud, à l'instant où , en vertu de son mouvement de
propagation , il atteint la surface de séparation , se trouve déplacé
et transporté en arrière ou eu avant de la position qu'il occupait à
a une distance représentée par le rapport— de l'argument de réflexion
2tr
an coefficient k= - invei'sement proportionnel à la longueur d*on-
dulation , coefficient que M. Cauchy a cru devoir désigner sous le nom de caractéristique du mouvement simple.
Si le mouvement incident était polarisé eliiptiquerpei^t , Q^ çlrciilairement , ou rectiligneqfient , mais suivant un ptan quelcQ]|)qy^ , on pourrait le regarder comme résultant de la superposition dft deux mouveinepts polarisés, l'un perpendiculairementauplan d'ipcidence, l'autre suivant ce même plan , et alors la réflexion ou la réfraction aurait pour effet : r de faire varier le rappoit entre les {^ipplitudes des vibrations moléculaires dans les deux mouveoients coippossu^ts proportionnellement au rapport entre les module^ de réflex^QQ et de réfraction de ces deux mouvements: 2" d'éloigner ou de rapprocher les nœuds de première espèce de l'un, des noeuds de première e^ipèce de l'autre , le déplacement relatif des nœuds de même espèce dans les deux mouvements étant au signe près le rapport entre la dîJTérence de leurs arguments de réflexion ou 4^ réfrjiction çt ia caractéristique du mouvement simple. Il importe d'observer que ces effets d^ variations dmis l'ao^plitude des vibrations et la position des uflpucls décadent i^niquemçdit c|e l'aMgle d'ia^d^çe, et restât, ainsi que le^s coefficients de réfraçtiop ou de réâexion, iudépeiHlaHt& 4e TampUtuck des vibrations moléculaires çt de la position des nœuds daps le mouvement incident.
^. Il résulte immédiatenientde ce que nous venons de dive (iue le premier effet de la réflexion ou de ia réfractioi) suf le imHiY^nneut incident, est de changer soii mode depolarisatifiH^, d^ telle sort^^'e»
DE LA LllMliRi;. 35
feisant varter l'angle d'incidence ou en multipliant les réflexions ou les réfractions , on pourra toujours Ihîre passer un mouvement simple d'un mode de polarisation donné à un autre mode de polarisation quelconque; et, s*îl s'agit d*un mouvement polarisé rectiligneroent, qu'on pourra le transformer en un mouvement polarisé aussi rectllignement, mais dans un plan quelconque.
En général, si après la réflexion ou la réfraction les nœuds de première espèce de l'un des rayons composants coïncident avec les nœuds de première ou de seconde espèce de l'autre, le mouvement résultant sera polarisé en ligne droite , et Tinclinaison de son plan de polarisation sur le plan d'incidence aura pour tangente trigonométrique le rapport entre les amplitudes des vibrations moléculaires dans les deux mouvements polarisés, l'un perpendiculairement au plan d'incidence , l'autre suivant ce plan. De plus, le plan de polarisation du mouvement résultant sera situé d'un côté ou de Tautre du plan d'incidence , suivant que la superposition des mouvements composants fera coïncider les nœuds de première ou de seconde espèce de Tim avec les nœuds de première ou de seconde espèce de l'autrt.
Si dans les deux mouvements composants les nœuds sont séparés , le mouvement réfléchi ou réfracté sera polarisé circulai* rement ou elliptiquement. 11 sera polarisé circulairement, comme on l'a déjà wx, si les vibrations moléculaires présentent les mêmes amplitudes dans les deux mouvements composants, et si d'ailleurs les nœuds de l'un se trouvent séparés des nœuds de l'autre par des distances égales au quart de ta longueur d'une ondulation. Mais si la séparation des nœuds existe sans que les deux conditions ici énoncées se trouvent remplies, le mouvement réfléchi ou réfracté sera doue de la polarisation elliptique. Au reste , dans ce dernier cas, le calcul montre que le rayon réfléchi ou réfracté pourra toujours être considéré comme résultant de la superposition de deux mouvements simples polarisés en ligne droite , suivant deux plans rectangulaires entre eux et tellement choisis , que les nœuds des deux nouveaux mouvements se trouvent encore séparés par des distances égales au quart de la longueur d'une ondulation : seulement, ces nouveaux mouvements, dont aucun, pour l'ordinaire, ne sera polarisé suivant le plan d'incidence , offriront des vibrations moléculaires dont les amplitudes seront in('gn1e> •
36 THIÎOIUK MATHÉMATiQUE
26. Les coQveutioDs et définitions que nous avons admises, et s lesquelles il eût été impossible de s'entendre, fouiîiissent le moyen de simplifier les énoncés de plusieurs de ces propositions. Ainsi, en particulier, si un rayon simple, réfléchi ou réfracté par la surface deséparation de deux milieux isotropes se propage sans s'affaiblir , les effets de la réflexion ou de la réfraction pourront s'énoncer comme il suit:
t" La tangente de Tazimut du rayon et la tangente de Tazimut de son plan de polarisation varieront proportionnellement aux rapports direct et inverse entre les modules de réflexion ou de réfraction des deux rayons composants polarisés, Tun suivant le plan d'incidence, l'autre perpendiculairement à ce plan;
2<> La différence des phases ou l'anomalie sera augmentée d'une quantité égale, au signe près, à la différence entre leurs arguments de réflexion ou de réfraction.
Supposons, pour fixer les idées, que le rayon incident soit polarisé à 4ô* du plan d'incidence , de telle sorte qu'en prenant le plan d'incidence pour plan fixe, son azimut soit de 45«; la tangente et la cotangente de cet azimut seront égales à l'unité, et par conséquent, dans ce cas, l'azimut du rayon réfléchi ou réfracté, et l'azimut de son plan de polarisation , auront pour tangente le rapport direct et le rapport inverse des modules de réflexion ou de réfraction correspondant à deux rayons incidents qui seraient polarisés, l'un suivant le plan d'incidence, l'autre perpendiculairement à ce plan. De plus, comme on peut supposer que la différence des phases ou l'anomalie du rayon incident soit réduite à 0, il «n résultera que, pour un rayon polarisé à ^5* du plan d'incidence, l'anomalie ou la différence de phase du rayon réfléchi ou réfracte est égale, au signe près, à la différence entre les arguments des deux rayons polarisés, l'un suivant le plan d'incidence, l'autre perpendiculairement à ce plan. Si l'on nomme avec M. Cauchy anomalie et azimut de réflexion ou de réfraction l'anomalie et l'azimut relatifs à un rayon polarisé à 45" du plan d'incidence , on arrivera aux propositions suivantes : 1° la tangente de l'azimut d'un rayon réfléchi ou réfracté est le produit que l'on obtient quand on multiplie la tangente de l'azimut du rayon incident par la tangente de l'azimut de réflexion ou de réfraction ; 2* l'anomalie ou la différence de phase du rayon réfléchi ou réfracté, est la somme qu'on obtient quand ou
ajoute à raiiomalie du rayon incident Fanomaiie de réflexion ou de réfraction.
Appelons Zi et Zr les azimuts, Ni et Nr les anomalies du rayon incidentet du ray<» réfléchi ou réfracté; Z TazimutetN Tanomalie de réflexion ou de réfraction ; on aura :
tang Zr = tang Zi tang Z ; N r = N î + N.
27. H est maintenant facile de prévoir ce qui arrivera si un rayon nmple, après avoir été réfléchi ou réfracté plusieurs fois de suite par des snrfeces dont chacune sépare Fun de Tautredeux milieux isotropes, se propage sans s*affaihlir. Concevons d*abord que les divers plans de réflexion ou de réfraction coïncident avec le premier plan d'incidence , c'est-à-dire qne le rayon est toujours réfléchi ou réfracté dans le même plan; alors à chaque réflexion ou réfraction, la tangente de Vazîmut du rayon déjà obtenu variera proportionnellement à la tangente de Tazimut de réflexion ou de réfraction , tandis que l'anomalie de réflexion ou de réfiraction viendra s'ajouter à l'anomalie de ce même rayon. Donc, en déflnitive, l'azimut du dernier rayon réfléchi ou réfracté aura pour tangente trigonométrique le produit que Ton obtient en multipliant la tangente de l'azimut du rayon incident par les tangentes de tous les azimuts de réflexion ou de réfraction. D'autre part, l'anomalie, ou la différence de phase du rayon réfléchi ou réfracté, sera la somme que l'on obtient en ajoutant à Tanomalie du rayon incident toutes les anomalies de réflexion on de réfraction.
Si l'on désigne par Zi, Zr les azimuts, par Ni, Nr les anomalies du rayon incident et du rayon réfléchi ou réfracté ; par Z, Z', Z"... les azimuts, par N, N', N"... les anomalies de réflexion de réfraction, on aura:
tang Zr == tang Zi tang Z tang Z'...
[Nr — Ni + N + K'+ N"
Si le rayon simple donné est plusieurs fois réfléchi ou réfracté sous !a même incidence, il y aura égalité entre les divers azimuts de réflexion ou de réfraction ; donc alors les valeurs successivement acquises par la tangente de l'azimut du rayon formeront une pro- ^n^esslon géométrique, tandis que les valeurs successivementaoquises
38 THKORIK MATHliWATIQUE
par son anomalie formeront une progression arithmétique. On a en effet, dans l'hypothèse admise,Z=Z'=Z''... ; N=N' -=N''..., et en appelant n le nombre des réflexions ou des réfractions :
tang Zr = tang Zî tang» Z; Nr = Ni + n N.
Enfin , si le rayon incident est un rayon plan et polarisé à 45' du plan d'incidence , la progression arithmétique aura 0 pour premier terme , tandis que la progression géométrique aura pour premier terme Tunité, de sorte que les anomalies des divers rayons seront proportionnelles aux logarithmes de tangentes des azimuts correspondants, et pourront même leur devenir égales si Ton choisit convenablement la base du système de logarithmes.
28. Lorsque la somme des anomalies de réflexion ou de réfraction sera, au signe près, un multiple de la demi-circonférence, ou lorsque Ton auraN+IN'+ ]N"...=i:m ir,etpar suiteNr = l\!:±:ra ir, le rayon incident et le dernier rayon réfléchi ou réfracté pourront être censés offrir la même anomalie , ou deux anomalies dont la différence sera le nombre it , suivant que le multiple en question sera le produit de la demi-circonférence par un nombre pair ou par un nombre impair. Dans les deux cas, si le rayon incident est polarisé en ligne droite, on pourra en dire autant du rayon réfléchi ou réfracté. Tel sera en particulier Teffet de plusieurs réflexions ou de plusieurs réfractions effectuées sous la même incidence, si cette incidence est telle que le rapport de Tanomalie du rayon incident à l'anomalie de réflexion ou de réfraction se trouve représenté par une
quantité de la forme , m et n étant des nombres entiers, et si
d*ailleurs le nombre des réflexions ou des i*éfractions successives est égal à n ou à un multiple de n , alors le plan de polarisation du dernier rayon réfléchi ou réfracté se trouvera situé par rapport au plan d'incidence , du même edté que le plan de polarisatiDn du rayon incident ou du côté opposé, suivant que le nombre des réflexions sera équivalent à Tun des nombres 2 n, 4 n, 6 n, etc..., ou à Tun des nombres n , 3 n , 5 n , etc.
Loi'sque le rayon incident étant polarisé rectilignement et réfléchi ou réfracté plusieurs fois de suite, la somme N -|- N' -[-N"... des anomalies de réflexion ou de réfraction surpasse d*un angle droit
DB LA LUMlieHE. Sg
un multiple dtt nombre îr» ou est égal à ^ 4- m ir » ranomali'e dti
rayon réfléchi ou réMcté devient - ^ (m -f- i] ir etfeut être ré-
duite à — - « ou à -|- 5 Wi et par conséquent à celle d'un rayon po-
larisé cireulairement. Mais aloi-s, pour que le dernier rayon réfléchi ou réfracté offre effectivement la polarisation circulaire, il est nécessaire encore que les amplitudes des vibrations moléculaires dans les deux rayons composants soient égaies , ou que Tazimut du rayon résultant étant égal à 45", la tangente de cet azimut devienne égale à 1 . C*est ce qui arrivera si, en faisant tourner le rayon incident sur hii-méme, on amène son plan de polarisation dans une position telie que la ootàngente de Tazimut dlncidence soit égale au produit des tangentes de tous les azimuts de réflexion ou de réfraction. Si Ton h en effet :
Ck>t Zi C5S 7-^a lang Z tang Z^...
tang Zi '
on aura:
Tang Z r = tang Zi tanZ tang Z'... = 1.
D'après cette règle, si chaque azimut dé réflexion od de réfraction se réduit à 45*, on aura :
Tang Z = tang TI s=s... = tang 45'' =: 1 .
On devra par conséquent avoir aussi tang Zi = 1 , c'est-à-dire que le rayon incident devra être polarisé à 45*.
On peut observer encore que toute série de réflexions et de réfractions propre à transformer un rayon plan en un rayon polarisé cireulairement ou du moins en un rayon dont Tanomalie puisse être
réduite à — iirouà + ^ir transformera au contraire un rayon
incident dont l'anomalie serait — - ir ou -f - ir en un rayon plan.
eu polarisé rectllignement, car cette série de réflexion ou de réfraci ne pent trahsfermer un rayon plan en un rayon dont ratit^malie
4o TIIÉUHIE MATUK.MATiotK
soJt + 5 qu'autant que l'on auraN + N'H- ^"...= (^'"+^)*. mais ^ — h o =^ m' ir ; donc réciproquement un rayon
dont l'anomalie serait -)- z ^^ transformé par cette même série de
réflexions ou de réfractions en un rayon plan. On démontrerait de la même manière que toute série de réflexion ou de réfraction propre à transformer un rayon plan en un rayon dont Tanomalie serait un angle donné , transformera au contraire un rayon incident dont l'anomalie serait ou cet angle pris en signe contraire , ou le supplément de cet angle, en un rayon doué de la polarisation rectiligne ; car si l'on a
Ni = mir, ]\r=m7r+N+]N' + N"...= flt, on aura :
ir— oi+N + N' + N"... = m"ir,etC.
D'ailleurs Taztoiut du rayon plan dans lequel se transforme ainsi le rayon dont l'anomalie était — a on ir — a sera le même que celui du rayon incident, si chaque azimut de réflexion ou de réfraction est de 45®.
Enfin y lorsque chaque azimut de réflexion ou de réfraction est , non pas égal , mais supérieur ou inférieur à Tunité , si le nombre des réflexions ou des réfractions devient de plus en plus oonsidérable, les azimuts des rayons successivement obtenus croîtront ou décroîtront sans cesse indéfiniment , de sorte qu'après un grand nombre de réflexions ou de réfractions, le dernier rayon réfléchi ou réfracté sera sensiblement polarisé dans le plan d'incidence ou perpendiculairement à ce plan , comme le prouve Texpérience.
29. Nous avons insisté sur ces considérations et noiis avons énuméréavec détail ces lois générales, parce qu'elles donnent Texplication d'un très grand nombre de faits. L'étude de cette partie de notre analyse causera quelque fatigue à nos lecteurs ; mais cette fatigue nous ne pouvions la leur épargner : aucune autre route n'aurait pu les conduire à une connaissance approfondie du système des ondulations. La difficulté n'est au reste qu'apparente, car M. Gauchy, par la précision de ses définitions et l'élégance de sa méthode, a
IC LA MlMlitRF. 4l
rq[MMida sur cette partie délicate et obscure de la théorie une clarté ^Taiment inattendue.
Nous ayons supposé dans tout ce qui précède que les différents plans de réflexion ou de réfraction se confondaient avec le plan d*incidence; il faudrait maintenant passer au cas général, et pour être en étatde calculer ce qui arrive alors, il faudrait rechercher quelles variations subissent Tanomalie ou Tazimut d'un rayon simple, quand le plan à partir duquel se comptait Tazirout vient à tourner. Mais avant d'entrer dans cette discussion nous avons contraeté l'obligation de montrer avec quelle facilité les diverses propositions qui précèdent s'appliquent à la théorie de la lumière , et eomment elles s'accordent avec les formules connues et avec les expériences des physiciens, particulièrement avec les formules et les expériences de Fresnel et de M. Brewster, relatives à la réflexion et à la réfraction opérées par la surface de séparation de deux milieux isopbanes, transparents ou opaques.
30. Celles des lois de la réfraction ou de la réflexion qui dépendent , comme nous venons de le voir, de la forme des équations de condition relatives à la surface de séparation des deux milieux , et se rapportent aux changements éprouvés par les amplitudes des vibrations moléculaires et les phases des rayons, sont exprimées par des équations finies qui renferment deux constantes correspondantes à cliaque milieu. Là première de ces constantes est celle qu'on a appelée Jusqulci indice de réfraction, mais qu'il faudrait désigner exdusivement avec M. Arago sous le nom plus significatif d'équivalent optique, parce qu'elle exprime en réalité quelle est Tépaisseur du milieu donné, qui, relativement à son action sur le mouvement qui s y propage, équivaut à une épaisseur égale à l'unité prise dans le milieu auquel on convient de comparer tous les autres. Lorsque laseeondede ces constantes se réduit, au signe près, à Tunité, un rayon polarisé rectilignement suivant un plan quelconque peut tomber sur la Burfoce réfléchissante sous une incidence telle qu'il se trouve après la réflexion complètement polarisé dans le plan d'incidence. L'anfde d'incidence pour lequel cette condition est remplie, ou ce qu*on nomme Tangle de polarisation complète, a précisément pour tangente trigonométrique l'indice de réfraction ; c'est-à-dire que l'angle de polarisation totale, quand il existe , est celui pour lequel les
4q théorie MATHrfHATrQUP.
rayons ineident et réfracté se coupent à angle droit. Mais il en est aur trement quand la deuxième constante ne se réduit pas, au signe près, à l'unité ; alors on voit disparaîti*e Vangle de polarisation complète, en sorte qi il n^existe p as d*incidc';ice pour laquelle un rayon simple soit complètement polarisé par réflexion dans le plandlncidence, «piel que soit d'ailleurs Tazimut primitif de ce rayon, c'est-à-dire l'angle formé avec le plan d'incidence par le plan qui le renferme. Le calcul prouve encore qu'un rayon polarisé dans le plan d'incidence est incapable de réflexion sous un certain angle, c'est-à-dire sous Tangle de polarisation dans un plan perpendiculaire à ce même plan d'incidence.
31. Ainsi, d'après l'analyse rigoureuse de M. Cauchy, il&at partager les milieux où le mouvement se propage sans 6*a£faiblir en deux grandes classes , suivant qu'ils peuvent polariser complète* ment ou incomplètement le mouvement incident. Cette dJstinctioa est-elle seulement une abstraction mathématique, ou bien existe-telle réellement dans la nature? Elle existe sans aucun doute ; ear, s'il s'agit par exemple de la lumière , un grand nombre de surfaces réfléchissantes, le verre, l'obsidienne, etc., polarisent complètement la lumière homogène qui tombe sur elles sous des angles convenables, tandis que les substances métalliques et les milieux très réfringents , comme le diamant, ne possèdent cette propriété que d'une manière imparfaite, le rayon réfléchi ne disparaissant jamais entiè< rement. Pour la lumière aussi, la tangente de l'angle de polarisation complète, relatif à un milieu quelconque, est toi^'ours ^le à Tlndiee de réfraction de ce milieu, et cette belle loi fut découverte expérimentalement pai* M. Brewster, avant qu'elle eut été même soupçou*née par l'analyse. Il y parvint en comparant entre elles un grand noaibre de substances de toute espèce ; ainsi, par exemple , les in* dices de réfraction de l'eau et du crown-glass ont pour valeurs respectives 1,336, 1,535, et ces valeurs sont réellement les tangentes des angles de polarisation, qui sont pour le verre de 53«» 1 i', pour le crown-glass de 68' 6'. Pour la lumière encore, comme pour le mouvement simple dont il a été question plus haut , un rayon polarisé dans un certain plan n'est jamais susceptible d'être réfléchi par la surface du milieu sous l'angle de polarisation propre à ce milieu dans un plan perpendiculaire au plan de polarisation.
DE LA LUMiiiRE. 43
l)^ailleurs la polarisation de la lumière n'est réellement complète que lorsque la lumière est homogène ou d*une couleur déterminée ; ce qu*on aurait pu prévoir à priori , car alors seulement le rayon lumineux peut être comparé aux mouvements simples que nous avons étudiés Jusqu* ici.
Partout où l'analyse nous montre un mouvemeut simple polarisé rectilignement et qui ne se réfléchit pas sous une certaine incidence dans tin plan perpendiculaire à son plan de polarisation , Texpérience nous montre un rayon lumineux jouissant de propriétés analogues nous sommes donc forcé de conclure que ce rnyon lumineux a réellement la constitution du mouvement simple défini n" 3, et que par conséquent la lumière polarisée rectilignement est le résultat de \ibrations transversales propagées dans Téther. Je ne vois pas ce qu*on pourrait répondre à cet argument de M. Cauchy : o Que les lois de la polarisation rectlligne auxquelles je parviens, soient rigoureusement déduites des équations des mouvements infiniment petits, c'est ce dont chacun pourra aisément s'assurer en exécutant les calculs qui sont assez simples; que les lois obtenues soient précisément celles de la polarisation de la lumière, on n'en saurait douter; la lumière est donc une espèce particulière de mouvement infiniment petit, transversal, ou qui s'exécute sans changement dedensité; et le système des ondulations est un fait démontré. »
32. On déduit encore des principes exposés dans les numéros précédents l'explication complète de la réflexion totale.
Si l'indice de réfraction est inférieur à l'unité , à linstant où l'angle d'incidence, venaht à croître offrira un sinus égal à T indice de réfhiction, le rayon réfracté rasera la surface réfléchissante. Si, l'angle d'inddence croissant encore , son sinus devient supérieur i Tindice de Téfractlon , le rayon réfracté disparaîtra , ou plutôt il s'éteindra en pénétrant à ilne petite profondeur dans le second milieu, qui, transparent sous des incidences moindres, remplira Jes fonctions d'un corps opaque. L'oii obtiendra ainsi ce qu'on appelle le phéaomèiie de la réflexion totale, l'angle de réflexion totale n'éta&t autre chose que eehii qui a pour sinus l'indice de ^éf^action. Là réflexim totale s'observe toutes les fois qu'un rayon propagé danj Talr, après avoir traverté la première surface du verre ou d'un
/j!j TlfEORIK MAiUËAlAXiQUE
cristal, tombe sur la seconde surface de manière à former avec la normale un angle supérieur à celui que nous venons d'indiquer. Voici d*ailleurs les lois que ia théorie assigne à ce curieux phénomène.
1* Dans toute réflexion totale opérée par la surface intérieure d*un milieu, Fazimut de réflexion se réduit à Tunité, et par conséquent le rayon incident et le rayon réfléchi offrent toujoure le même azimut, quand Tangle d*ineidence surpasse Tangle de réflexion totale.
2* A l*aide d'une ou de plusieurs réflexions totales, on peut amener le rayon réfléchi àétre polarisé circulairement. Ainsi, par exemple, en employant le veiTC ordinaire dont Tindice de réfraction est de 1, 5, deux réflexions totales sous un angle de 52** devront suffire pour communiquer la polarisation circulaire à un rayon polarisé d'aboi*d rectilignement à 45*" du plan d'incidence ; après 4 réflexions sous le même angle, le rayon réfléchi serait donc de nouveau polarisé rectili gnement à 45"* du plan d'incidence, mais de l'autre côte de ce plan ; 8 réflexions ramèneraient le plan de polarisation du même côté. Si le rayon incident était polarisé, non plus à 45*^ du plan d'incidence, mais dans un plan quelconque , 4 réflexions totales sous un angle de 52' offriraient encore un rayon réfléchi semblable au rayon incident, et les plans de polarisation extrême, incident et réfléchi, formeraient encore des angles égaux avec le plan d'incidence, mais seraient situés de deux côtés différents par rapport à ce dernier. Au reste on pourrait produire le même effet avec 5, 6 réflexions totales en changeant la valeur de Tangle d'incidence , et Ton pourrait pareillement obtenir la polarisation circulaire à Taide de 3, 4 réflexions totales sous la même incidence. Si, pour fixer les idées, on veut produire la polarisation circulaire à l'aide de 3 réflexions totales sous la même incidence, il faudra, si on emploie le verre, que l'angle 1 d*incidence ait Tune des valeurs suivantes : i = 42« 24', ou iz=69« 21' 4(/'.
Or tous ces résultats sont parfaitement conformes aux calculs et aux expériences de Fresnel , qui a prouvé en effet expérimentalement que 3 réflexions totales , sous l'angle de 69% communiquaient la polarisation circulaire à un rayon polarisé d'abord reetilignement À 46" du plan d'incidence. M. Cauchy trouve encore
DE LV MiMlKftF. ^5
que pour obtenir après une seule réflexion la polarisation circulaire il faut employer un corps dont Tindice de réfraction soit égal ou supé» ri«ir à celui du diamant, ou à 4,142. Si l'indice de réfraction a prédsément cette dernière valeur, une seule réflexion totale sous l'angle de 32» 46' produira la polarisation circulaire, pourvu que Ton suppose toujoura le rayon incident polarisé à 45" du plan d'incidence; il est à désirer que la vérité de ces derniers résultats soit bientôt constatée par Texpérience.
33. En désignant par Ai, Ar, Ap , les déplacements] ou les amplitudes maxima des molécules de l'éther dans les rayons incident» réfléchi et réfracté; par i, r, p , les angles d'incidence , de réflexion ou de réfraction ; par Zi , Zr, Zp , les azimuts des plans de polarisation des rayons incident, réfléchi et réfracté; par e , l'indice de réfraction ou l'équivalent du milieu dont il s'agit , déterminé par l'équation
sîn i c = -7— , M. Cauchy prouve que ces diverses quantités sont liées
entre elles par les équations
(2) tang Zr = ^j' + PJ tang Zi.
cos (i — p) ^
3 Ai = — . ,. , . cos^ZiH ; A^
^ ' ^ e'sin(î + p't Tcos(l-^p)l •
(4) tang Zp -î -tang Zi.
^ cos(i — p)
Pour mieux interpi*éter les formules qui précèdent et pouvoir les vérifier par l'expérience, il est important d'observer que les amplitudes maxima Ai, Ar, Ap , etc. , des molécules de l'éther dans les rayons incident, réfléchi et réfracté, sont liées intimement avec les hitensîtés de la lumière dans ces trois rayons. Le carré de l'amplîtade maximum qui mesure la force vive du mouvement correspondant est proportionnel a l'hitensité de la lumière dans le rayon auqu^ ce mouvement donne naissance , de sorte que dans un même milieu d'une densité donnée, on peut prendre les carrés des amplitudes maxima pour mesurer les intensités de la lumière. Si l'on voulait comparer entre elles les intensités de lumière de deux rayons propagés dans les deux milieux différents, du rayon incident par
40 THÉORIE MATHÉMA.TIQUE
exemple , et du rayon réfracté , il faudrait multiplier les carrés d«B amplitudes par les portions de masse des deux milieux au)(qu^les le mouvement se eoramuuique dans le même temps. Soieat |Qi « et m,, ces portions de masse; les intensités de lumièi*Q des rayons incident et réfracté seront données par les produits ro, A,', m, Ap; on prouvera d'ailleurs facilement que les masses ni, , m, , sont proportionnelles aux produits 2 sin i cos i = sjn 2i, 2sin p cos p = sin 2p; et en appelant li, Ip, les intensités des rayons réfléchi et réfracté , on aura :
■Kl A , . /> . T â . «. If Ai sin 3p
Il XI A* sm 2i , là =Ap sin 2p, / = rf- t-^.; ' '^ *^ ^ Il A? sm2i
ou, en prenant pour unité d'amplitude et pour unité d'intensité TampUtude et l'Intensité relatives au rayon incident
Ip=:Ap-7—^. Dans la pratique, comme on ne compai'ejams^^queles
intensités de lumière de deux rayons propagés finalement dans l'air, les carrés des amplitudes définitives de ces rayons mesureront tou jours leur intensité.
Cette digression sur la mesure des intensités de la lumière était absolument nécessaire et servira de réponse à une objection de M. Newman , qui ^ dans les Annalen der Pkys, und Chemiey a reproché à M. Cauchy de ne pas tenir compte du
rapport des masses—- = -i — ?. Si l'on se plaçait réellement dans ^^ m, sin2i
le second milieu, et si, placé dans oe second milieu , ou voulait observer l'intensité de )a lumière réfractée, il faudrait sans aucun doute , et comme Ta très bie^ observé Fresnel, multiplier le carré
Ap de VaropUtude par le rapport - — -^ ; mais puisque de fait l'œil
est toujours plongé dans le piême milieu, c'est-à-dire daas l'air» on ne devra avoir égai^ qi|'à Vamplitude initiale du rayon et à son amplitude définitive; et ceci explique pourquoi MM. Gauohy et ^ewman arrivaient eu dernier résultat aux ipômes formules , le produit de tous les facteurs semblables à ^ étant finalement égal à
sin 2i
Vunitf En effet, quand le rayon pfisse une première fois de l'air dans le second milieu, l'intensité devient Ap : — -. ; mais si le raj on renti*e
DE LA LUmÈRE. 4?
dans ràlr, eMt densilé aéra néeessaii^eineat, en dëtlgnaat par A'
l'amplitude maxîipum définitive, A'* -r— -7 X -r-Tr-= A'=^, et par '^ fiin 2i sm 2p *^
oeoséquent Tintensité de lumière du rayon sera mesurée en dernier
rassort par le carré de Tamplitude définitive.
34. Gela posé, les formules (l)et (2) coïncident avec celles qu*a dmiiëes Fresuel, pour déterminer Tintensité de la lumière réfléchie, ainsi que le mouvement de son plan de polarisation , et la formule (4) avec celle qu*a donnée M. Brewster pour déterminer le mouvement du plan de polarisation de la lumière réfractée. La discussion de ces formules conduit à une multitude de réiïultats importants. Ainsi, i " dans le fluide éthéré, les vibrations perpendiculaires au plan d'incidence sont transformées par la réflexion en d'autres vi- Imtions de même espèce , mais dirigées en sens contraire , dans le cas où le second miliea est plus réfringent que le premier, taudis que les vibrations parallèles au plan d*inoidence sont transformées en d'autres vibrations dirigées au moment où la réflexion s*opère tantôt dans le même sens , tantôt en sens contraire , suivant que la somme des angles d'incidence et de réfraction est inférieure ou supé* rieure à un angle droit. Quand cette somme devient précisément égale à un droit , c'est-à-dire lorsque le rayon incident est perpendiculaire au rayon réfracté , les vibrations dans le rayon réfléchi sont toujours perpendienlaires au plan d'incidence, ou, en d'autres termes, la lumière réfléchie est tout entière polarisée dans ce plan.
2* L'intensité de la lumière réfléchie atteint son maximum lorsque le produit eosi cos p s'évanouit, c'est-à-dire lorsqu' un des angles i,p, devient droit ; alQrsonaAp=;Ai, tang Zr =tang Zi. La lumière réflé chie a la même intensité que la lumière incidente, et se trouve polarisée dans le même plan. On dit pour cette raison qu'il y a réflexion totale. Cela peut d'ailleurs arriver de deux manières : premièrement, quand le second milieu étant plus réfringent ([ue le premier, le ra}on incident forme un angle infiniment petit avec la surAice de séparation des deux milieux; secondement, quand le second milieu étant moins réfringent que le premier, la même surface forme un angle infiniment petit, uoii plus avec le ruyoii incident^ mais avec le rayon réfracté. Nous avions déjà tnoiicé ces conséquences de l'analyse, mais il n*aura pas été inutile d'indiquer comment elles
/|8 TuioiUE MATHEMATIQUE
se déduiseot immédiatemeiit des formules fondamentales obtenues ci-dessus.
Deux de ces formules , celles de Fresuel et de M. Brewster, ont déjà été vérifiées par Texpérience, et se sont trouvées conformes à toutes les observations connues. La troisième , qui donne Tintensite de la lumière réfractée , et dont la comparaison directe avec rexpérience reste encore a faire , est vérifiée à son tour, comme nous le montrerons plus en détail , par le phénomène des anneaux colorés. On sait que les anneaux colorés, vus par réflexion , sont groupés autour d'une tache centrale qui est noire, si la lame mince en expérience est comprise entre deux substances d*un pouvoir réfringent supérieur ou inférieur au sien ; blanche, si la lame mince est comprise entre deux substances ayant , Tune un pouvoir réfringent supérieur, Fautre uu pouvoir réfringent inférieur au sien ; or, ce résultat curieux de l'expérience , absolument inexplicable dans le système de rémission, n*est qu'une conséquence très simple de la formule (3), et se déduit immédiatement de la valeur assignée par cette formule à l'intensité de la lumière réfractée. Cette formule s'accorde encore avec la loi de l'égalité de lumière entre les intensités des anneaux réfléchis et ti*ansmis , que M. Arago a découverte et mise en évidence pai* cette expérience si simple et si ingénieuse, qui montre tout à la fois et l'égalité mathématique, et l'égalité d'intensité, et l'état complémentaire des anneaux correspondants réfléchis et transmis.
3° On conclut encore de ces formules que l'intensité de la lumière réfractée atteint son maximum lorsque le produit sin i cos p s'évanouit. Cela peut arriver de deux roanièi*es, savoir: 1** lorsque le second milieu étant plus réfringent que le premier, on a i=:o; 2' lorsque le second milieu étant moins réfringent que le premier,
on a p — ^ ; dans le premier cas , les équations (3) et (4) se réduisent
aux formules connues
dont la première, donnée d'abord par M. Young, a été déduite plus tard, par M. Poisson, dui) calcul ti'ès élégant. Dans ce cas, le rayon
VE LA LlJMifcRK. 49
incident est perpendiculaire à la surface de séparation des deux milieax , et la lumière réfractée est polarisée dans le même plan que la lumière incid^te , mais elle a une intensité moindre puisque e surpasse Tunité.
Dans le second cas, on trouve :
Alors, le rayon incident rencontre la surface de séparation des
deux milieux sous Tangle de réflexion totale; la lumière réfractée
n*est plus polarisée dans le même plan que la lumière incidente , et
son intensité, divisée par celle de la lumière incidente , donne pour
quotient un nombre renfermé entre les deux limites 4 et— dont la
seconde surpasse la première, puisque e < 1. Ce nombre atteint
sa limite inférieure 4 , ou la limite supérieure à — suivant que la lumière incidente fôt polarisée dans le plan d'incidence ou perpendiculairement à ce plan. La moyenne entre ces deux limites ou le pro-
duit -;(l+e')«=2(l+~) exprime les rapports des intensités de la
lumière réfractée et de la lumière incidente , lorsque cette dernière est de la lumière naturelle.
36. Pour des valeurs de i très voisines de Tangle de réflexion totale, c*est-à-dire lorsque le rayon incident ou réfracté devient senâUement parallèle à la surface de séparation de deux milieux , la lumière réfléchie est entièrement semblable à la lumière incidente et offre sensiblement la même intensité. Il semblerait que dans le même cas Tintensité de la lumière réfractée devrait toujours être sensiblement nulle et que cette intensité devrait s'affaiblir par degrés, tandis que i s'approcherait indéfiniment de Tangle de réflexion totale. C'est effectivement ce qui arrive lorsque le second milieu est plus réfringent que le premier ; mais si le second milieu est moins réfringent que le premier , par exemple si la lumièra passe du verre ou du diamant dans Tair ou dans le vide , alors dans le voisinage de la réflexion totale , on obtiendra non seulement une hunière réfléchie qui sera sensiblement égale en intensité à la lu-
5o THÉORIE MA.THÉMA.TIQUE
mière Incidente , mais encore une lumière réfractée dont TiiitaiSilié «era mesurée par le carré de Tamplitude et sera quatre fois plus considérable. Le rapport des intensités de la lumière réfractée et dé la lumière incidente pourra même , si les vibrations des moléciriM éthérées sont parallèles au plan d' incidence» atteindre la limite
— et par conséquent les nombres 9 , 30» ou même 35 , si la lumière
sort du verre ordinaire, du diamant /ou d'une substance aussi réfringente que le cbromate de plomb, pour passer dans Tair ou ùu» le vide.
36. La prodigieuse multiplication de lumière dont il est ici qaestioq suppose que Ton compare , par exemple , le rayon émej^ent d'un cristal à celui qui traverse le même cristal. Si le cristal étant terminé par deux foces planes, la lumièi'e les traversait Tune après l'autre, on devrait distinguer trois rayons, savoir : le rayon incidenti le rayon réfracté et le rayon émergent. Le calcul prouve : !• que lorsque les deux faces d'un cristal sont parallèles, l'intensité delà lumière émergente a pour limite supérieure l'intensité de la lumière incidente , et n'atteint cette limite que dans le cas où il n'y a plus de lumière réfléchie ; T que quand deux faces non parallèles d'un cristal sont traversées par un rayon de lumière d'abord incident , puis réfracté, puis émergent , le rayon émeiigent s'éteindra toujoun lorsque le rayon incident formera un angle infiniment petit avec la face d*entrée de manière à éprouver sur cette surface une réflexion totale, mais qu'au contraii-e si ce rayon réfracté rencontre la face de sortie à très peu près sous l'angle de réflexion totale et de manier» que le rayon émergent forme un angle infiniment petit avec le plan de cette face, le dernier rayon loin de s'éteindre pourra, dans certains cas, acquérir une très grande intensité. M. Cauchy commun! qi» cette conséquence de ces formules à M. Kessler, professeur de physique à Prague , et lui proposa de la vérifler par l'observation. S coUa du papier noir sur les triangles rectangles qui servaient de base à un prisme de verre et sur les deux plus petites des troia faces latérales , après avoir percé d'un trou d'épingle le papief qvA devait recouvrir une des surfaces latérales , et l'on reconnut qm rimage d'une bougie était transmise à travers le prisme avec une grande intBDAité»daiia lecas même où le rayon émergent devoiiMI
DE LA LUiiriÈRB. 5l
smsfblement parallèle à la face de sortie. Il y a donc rëeHement tiiit predîgfense niiiltfplîeation de lainière an moment oè l*angle d*jn*eidence esl sur le point de devenir égal à l'angle de réflexion totale. Geia ne signifie pas du tout, comtnera cru M. Newma», que la soranM des forces vives dans les ondes réfléchies et réfractées n'est pas égale à la soTnme des forces vives dans le rayon incident , ce qui serait contraire an principe général de la conservation des for'^es vives, «I tedmissible. Non , ce principe a toujours lien ; mais parce qtm dana le rayon émergent le mouvement qui produit la lumière ert coneentré dans un très petit espace ou onglet , l'inten^té de la lumière de ce rayon mesurée par le carré de l'amplitude est très gnmde , tandis que le produit du carré de cette amplitude par la masse du petit onglet reste une quantité très petite qui, ajoutée à la somme des forces vives dans le rqyon réfléchi , reproduit exactement la somme des forces vives de l'onde incidente.
37. Remarquons, en finissant, que ces diverses formules de M. Cauchy sont déduites rigoureusement d'mie analyse générale , et ne s'appuient sur aucune hypothèse particulière. MM. Fresnd, Newmann, Mac-Cullagh, Kellan, Lubbock, etc., avaient essayé tour à tour de donner la démonstration de ces mêmes formules , mais ils n'y étaient arrivés qu'à Taîde d'hypothèses plus ou moins mvraîsemblables , plus ou moins contradictoires. Ainsi Fresnd supposait que la densité de l'éther variait d\in milieu à l'autre, tandis que l'élasticité restait la même. M. Newmann au contraire voulait que la densité restât la même, mais que l'élastîc'îté fût différente , et de plus que le plan de polarisation fût parallèle à la direction des vibrations moléculaires; et, chose étrange , Fresnel et M. Newmann arrivaient aux mêmes formules. Ce n'était pas encore assez de l'admission de ces hj'pothèses ; on ne pouvait achever le calcul qu'à l'aide de raisonnements , d'analogies qui constituaient plutôt des probabilités que des preuves ; il fallait comparer les molécules de l'éther à des billes, et la réflexion de la lumière il la réflexion des corps élastiques. Dans cette manière de voir, la réfraction de la lumière devenait presque inabordable; ce qui explique pourquoi Fresnel , si ingénieux et si patient, n a pas même indiqué la formule qui donne te carré de l'amptitude de bi luhilèrè réfractée. M. Knochei^hauer, qutapubliéen t^M on traité
0 2 THKOHlt: MATUEMiVTIQUE
mathématique de la lumière fort remarquable, mais d^à bieoen arrière de la science , parce que i'auteur n*a pas eu connaissance à temps de tous les derniers travaux de M. Caucliy qu*il nous a été donné d'analyser, regrettait vivement d*étre obligé de se traîner continuellement d'hypothèse en hypothèse , de comparaison en comparaison. Ces réflexions feront mieux ressortir les avantages de la théorie de M. Cauchy, qui , sans faire aucune supposition arbitraire, dit seulement sous quelles conditions les formules générales auxquelles il parvient se réduiront aux formules de Fresnel^ de M. Brewster, de M. Young, etc.. Ces conditions reviennent toujours à supposer que le milieu dont il s'agit polarise complètement la lumière, et est de la nature de ceux où les vibrations longitudinales ne peuvent se propager sans s'affaiblir.
Béflezion à U sarikoe det corps opaques et des métatiz.
38. La théorie de M. Cauchy, qui» comme nous l'avons vu, résout avec tant de facilité le grand problème de la réflesdon et de la réfraction à la surface ou dans l'intérieur des corps transparents, et qui n'est en réalité que l'expression la plus naturelle des faits , s'étend avec plus de bonheur encore aux modifications que la présence d'un corps opaque fait subir à la propagation de la lumière. Gomme cette application , dont M. Cauchy a le principal mérite, date seule» ment de quelqnes années^ et qu'elle est à peine connue » nous serons forcé d'entrer dans quelques détails qui , nous n'en doutcms pas , seront accueillis avec intérêt.
39. Lorsque la lumière vient frapper un corps, que nous supposerons toujours isophane, mais non transparent, les ondes incidentes donnent encore naissance à des ondes réfléchies et à des ondes réfractées : seulement , ces dernières, en se propageant dans le corps opaque , s'affaibliront rapidement , de manière à devenir insensibles à une distance comparable à la longueur d'une ondulation lumineuse; par exemple, à la distance d'un demi-millième de millimètre. Alors même il existera un indice de réfraction, qui sera encore le rapport entre les sinus des angles d'incidence et de réfraction , formés par la normale à la surface réfléchissante avec les perpendiculaires aux plans des ondes incidentes et réfractées; mais il ne suffira pas a définir le milieu opaque dont il s'agit, et l'on ne
DE LA LCIMIÈRE. 53
pourra plus déduire les lois des phénomènes de la connaissance de cet indice de réfraction. On aura besoin, comme on peut facilement le concevoir àprioriy d*une seconde donnée qui pourra être le coefBelent d'extinction , c'est-à-dire la constante qui indique la rapidité plus ou moins grande avec laquelle le mouvement s*éteint en pénétrant dans le corps opaque ; de sorte que les formules qui représentent avec une approximation suffisante, dans la plupart des cas, les lofs de la réflexion et de la réfraction, peuvent se déduire , pour les «Nrps transparents, d'une seule donnée, savoir, de Tindice de réfraction, et pour les corps opaques de deux données, savoir, de l'indice de réfraction et du coefficient d'extinction. On sentparfaitement que ces coDciusions sont entièrement . conformes à la nature des faits ; car n*est-il pas très naturel , dans la théorie de la lumière , d'établir une distinction fondamentale entre les corps transparents et les corps opaques? Si, pour ces derniers , la théorie exige deux données au Heu d'une , cela tient a ce qu'ils ont la double propriété de réfracter plus ou moins la lumière, et de l'éteindre plus ou moins rapidement : il n'est pas plus permis de faire abstraction de la seconde propriété que de la première.
40. L'indice de réfraction et le coefficient d'extinction qui définissent le corps opaque en lui-même , intrinsèquement, ont l'inconvénient de ne pouvoir pas être obtenus qu constatés à-J'aide d'expériences directes, de sorte qu'ils ne peuvent pas servir à définir immédiatement et à priori le corps opaque dont il s'agit, en tant qu'il est question d'appliquer les formules données par la théorie au calcul des modifications qu'il fait subir à la lumière. A ces deux quantités, il fallait donc nécessairement en substituer deux autres , liées avec les premières, et qu'on pût déterminer facilement à l'aide d'un petit nombre d'expériences. M. Gauchy a choisi pour ces deux quant tés deux angles qu*il désigne sous les noms d'incidence principale, et d'azimut principal de réflexion. Le premier de ces angles est ee que d'autres auteurs ont appelé angle de polarisation maxironm, maximum polarinng angle ; il ne doit pas être confondu avec un autre angle qui , à la vérité , en diffère souvent très peu ; savoir, avec l'angle d'incidence, pour lequel la quantité de lumière polaorisée dans le plan d'incidence est la plus grande possible, et pour lequel aussi r«sifirat de réflexion devient un maximum. Le second
54 THÉORIB M ATUiMATIQUB
«Dgl9 «rt raaÎKDUt principal de réflexion que Ton ppnr^ait placer par Faziaitt^ du raye» restauré ou ramené par deux réâexîeus sous l'ioeideuce principale k être polarisé reeUl^ement; lea tangente» de ces deux angles sont tellement Uées Fuae à Tautre, ^oe la seconde se déduit facikment de la première. Deux angtea^ voilà dODc les seules données que M. Cauchy en^ prunte à Texpérience; elles sont Tune et Tautre indispensables; ruoe sans f autre ne suffirait pas ; et lorsqu'on voudra comparer les résultats de la théorie avec les faits » on devra toiijours avok déduit préalablement ces données d'observa;tîons faites sur le corps même auquel les expériences sont relatives. Dans les expériokceede M. Brewsler, les incidence» principales relatives à quatre métawE^ Fargent, le mercure^ le métal des miroirs et Tacier» étaient respectivement : 7d^j 78'' 27% 76"*, 75"*. Les azimuts principaux de réflexion y déterminés par les procédés directs ou indirects, étaient: 4r, 45% 32», 3(y 3<y, ou 42« 23', 34* 55', 3P 47', 28» 56'. Ea pa^ tant de ces doiotées, M. Cauchy a calculé les indices de réfractiw, et^ ce qui n*avai( pas encore été fait avant lui, les coefficients d'extinction. Les indices de réfraction sont : 0,343, 1,77, 1,716, l,8l3t, et les coefficients d'extmctîoB : 2,95, 4,41, 3,39, 3,04.
41 . Les indioes de réfraction déduits de la théorie sont beaucoup plus faibles qu'on ne l'avait cru communément ^ ce qui ne doit pas étonner, puisqu'on les avait calculés jusqu'ici en étendant aux corps opaques une k>l qui évidemment ne s'applique qu'à ceux des corps tran^arents qui polarisent complètement la lumière. On se disputait pour savoir si Tindice de réfraction du mercure était 4,9, ou 5,8, tandis que cet indice est en réalité 1,7, M. Mac-Culla^ avait même aMrmé que l'iodlce de réfraction du mercure était égal à 15 et celui de l'argent pur à 35. Ces nombres, hors de proportion eulre eux et avec tous tes indices de réfraction que Ton a pu déterminer par l'expérience , indiquent suffisamment que la théorie de M. Mae- CuUi^h laissait beaucoup à désirer; et en effet ce géomètre a avoué qu'il n'avait obtenu ses formules qu'en assignant à la vitesse de propagation une valeur imaginaire. C était supposer que le mouvement ne se propage pas du tout dans le milieu opaque, ou^ ce qui revient au méofte, que l'onde réfractée est ime^naire : mais, dans cette hypotbàse, commani peul-o&^peaMr à eatouler l'iadiee de léfinettei
0B tA I^UHrÈRE. 55
msk Wrmmfivt de réfiaisârar de Tonde iocldente, à rép^tssevv â« Fo^de réfractée 7 11 faut nécessairement alors domter une déâailîoQ arbitraire de cetindlce de réliraetioD, qui devint ee (fue Ton veut^ 6 oi| 17, 011 diSiy etc. M. Canchy admet, au contraire, que Taûgle d^ léfractioD et la vitesse de prop^jatton de la lumière dans le milieu' «^aque out de» valeuis réelles , distincte», par eousëquenti dea expressiofis Uu^gipaires désigoëes sous ces deuj uoras par M. M«o- Gollagh, et dès lors les indices de réfraction ont uéeessairemeut les valeurs qu*il leur a assignées.
42. Après cette digression essentielle sur la manière de définir las Qorp& opaquesi revenons à la comparaison de la théorie aveo l*«xp^ lienœ. M. Brewster ayant, comme nous Tavons déjà indiqué, fkit réfléchir par un métal un rayon polarisé à 45' du plan d'incidence;, a mesuré Tazimut après la première et la seconde réflexion, dans le cas eùeUesont lieu sous des incidences égales et tellement daois jes, que Itf seconde réflexion produise un nouveau rayon doué comme le rayen ineÂdent de la polarisation rectii^e ; et il résulte des propositions énoncées n"* 28 que , dans ce cas , la tangente de Tazimut doit acquérir, «près la première et après la secimde réflexion, deux valeurs, dont Tune soit la racine carrée de Tautre. En faisant usage succefsivemeat des métaux dont les nmns suivent^ M. iBrewster a trouvé que Tazimut était ;
Pour Farçent après la n réflexion 4r, après la 2* 8^ 4^ Pour le cuivre — SG' 3(/ — 29^
Pour le mercure — 35* — 26"
^ur te métal de miroir— 32^ — 21 •
Or, les tangentes des quatre azimuts, mesurées après la seconde réflexion, ont pour racines carrées les tangentes, des quatre angles 42« 23% 36;» 40', 34» 56', 9V 47', qui diffèrent très peu, comme on le voit, des quatre azimuts fournis après la première rçfle^Uon par des expériences directes , le^ différences étant re^ectivement — 2y,— - 10', 4', 13'. Unautre raoded'expérimçntation a\ait;donnéà M. Brçwster 42^» 3,0' pour Vazimut du rayon qui a subi une première réflexion à la surface de l'argent; et il est remarquable que raa':Je 42* 23/ dé^uU de 1^ t^çoriç est compris çutre les azimuts 42** et 42** 30-' bjuxm p«: 4ÇW WîP.éçie^/ces. Pour le platine^ l'acrfer
56 THÉORIK MkrnÉMATtQVV.
et le plomb, les azimuts du rayon étaient, après la première réflexion, 34°, 30' 30', 26*; après la seconde, 22", 21% 11* ; or, les tangentes des trois azimuts relatifs à la seconde réflexion ont pour racines carrées les tangentes des angles 32« 26', 28° 56', 23*> 48', et les différences de ces angles aux azimuts, mesurés après la première réflexion, sont respectivement r 34', l'» 34', 2* 12'. Quoique ces différences surpassent notablement celles qui étaient relatives aux quatre autres métaux, elles ne sont pas assez considérables pour ne pouvoir être attribuées aux erreurs d'observation qui peuvent certainement s'élever au moins à 2", et à cette circonstance particulière, que la lumière employée par M. Brewster n'était pas une lumière homogène comme les formules le supposent, mais une lumière blanche composée de rayons de diverses couleurs.
43. L'une des plus belles applications de la théorie de M. Gauchy est, sans contredit, la détermination du rapport entre la quantité de lumière réfléchie par un métal sous une incidence quelconque, et la lumière incidente. On sait combien la détermination de ce rapport est délicate, combien les expériences de pbotométrie exigent de précautions pour que Ton puisse ajouter quelque confiance aux résultats qu'elles donnent. Les essais photométriques de Bouguer, de Lambert et de M. Potter sont évidemment très imparfaits; on ne peut voir dans les nombres qu'ils ont publiés qu'une première approximation : lorsqu'ils comparaient deux rayons lumineux , Us n'avaient aucun moyen rigoureux de diminuer la lumière la plus intense d'une quantité bien connue, pour la rendre égale à la plus faible, et de s'assurer que l'égalité était réellement établie. M. Arago, en démontrant que la quantité de lumière qui passe à l'état de rayon ordinaire est proportionnelle au carré du cosinus de l'angle que fait la section principale du cristal avec le plan de polarisation du rayon incident , lorsque ce rayon traverse la plaque perpendiculairement, a trouvé par là même un moyen admirable de diminuer, dans un rapport quelconque, une lumière donnée ou de la fractionner à volonté. Il a trouvé d'ailleurs dans les phénomènes de la polarisation {chromatique, phénomènes qu'il observa le premier, tout ce qui est nécessaire pour constater l'égalité parfaite des rayons incident et réfléchi, après que l'intensité de l'un de ces rayons a été convenablement réduite par fractionnement.
DE LA LUMfKBE. 67
Comme on peut , dans tous les cas , ramener une question quelconque de photométrie à la comparaison des deux rayons, l*un ordinaire, l*autre extraordinaire, que l*on obtient en faisant passer un rayon polarisé rectilignement à travers une lame doublement réfringente; et que les intensités de ces deux rayons , teints de couleurs complémentaires, seront rigoureusement ^les, lorsque leur superposition donnera naissance à une lumière tout-à-fait incolore ou à du blanc : M. Arago a réellement résolu d'une manière complète le grand problème de la photométrie, et les vrais amis de la science doivent appeler de tous leurs vœux la publication de ses observations.
44. Devançant Texpérience et relevant le gant qu*on lui avait jeté, M. Cauchy n'a pas craint de produire au grand jour les résultats numériques de ses formules. Il avait à cœur de prouver, de manière à dissiper tous les doutes, que sa théorie ne ressemblait en rien à une méthode d'inteipolation ; et dans le fait, pour calculer l'intensité de la lumière réfléchie par un métal sous une incidence quelconque, il ne s*est servi et n*a voulu se servir d'aucune donnée photométrique ou d'aucune expérience d'intensité. Voici d'abord les lois générales qu'il croit pouvoir énoncer : V Tandis que la lumière réfléchie sous l'incidence perpendiculaire est généralement très ikible pour un corps transparent, elle devient souvent considérable pour un corps opaque, elle peut même égaler ou surpasser la moitié de la lumière incidente. 2*" Dans le passage de l'incidence perpendiculaire à l'incidence de 73«> et au-delà, la variation de cette intensité est presque insensible et à peine égale à un centième. 3** Â la rigueur, en partant de l'incidence perpendiculaire, l'intensité de la lumière réfléchie commence par recevoir un léger accroissement , mais cet accroissement est à peine sensible.
Passant ensuite à des déterminations précises, M. Cauchy trouve que l'intensité de la lumière incidente étant prise pour l'unité, i'intnislté de la lumière réfléchie sous l'incidence perpendiculaire par Fargent, le mercure, le métal des miroirs et l'acier, est respectivement :
Sons rincidence principale, les quantités de lumière réfléchie seraient :
58 thAohib mathématique
Si Fon considère en particulier Tacier, la lumière réfléchie par sa surface sous les incidences de
0% lOS 30^ 60», 73% 75° sera:
H est biesi entendu que Fincidence princij^k et V^mut priiielfrt rek^Ufs à ces quatre métaux sont eeasés «voir les v^ileur» twsijgigir^ plus haut comnoe résultat des expériec^oes de M- IS^ewster.
45. Nous regrettons de ne pouvoir faire une comparaison rigoureuse de ces données de la théorie avec les résultats^ de» ej^périoices. Qu*il Dou» soit peraiis au moms de dire que les nombre» ei-dessos présentés s*aceordent aussi bien qu'on pouvait le désirer «vee le petit nombre d'expériences photométrîqiies déjà connues. Bouguer afisigoe précisément 0,75 pour rintensité de la himière réfléchie par le mercure sous Tanglede 1 1^* 1/2, et M. Fotter ayant mesuré la lumière réfléchie sous diverses incidenee» par Facier et le métal àfis miroirs, a obtenu des nombres liEMrtpeu différents les uns des autres, dont la moyenne est 0,66 pour le premier de ces métaux, et 0«é6 w 0,57 pour le second. M. Biot affirme, de son côté, que pour fescotpâ dont la force réfléchissante est énergique, la quantité de lomîtee réfléchie sous diverses incidences n'^pirouve que des variations Vfés faibles, comme ^indiquent le» foi^mulesde M. Cauchy. Nous osons avancer que tous les nombres de M. Gai^cfay sonttr^if évidenuaint ce qu'ils devaient être natureUement, ce q«e les connaissances m>quises avaient laissé entrevoir qu'ils seraient , pour qu*on pntee douter raisonnablement de la vérité de sa théorie. Une théorie laussc, et sans rapport avec les lois de la nature, aurait certainement donné quelques nombres, au moins, complètement en dehors des faits. S'il existe quelque différence entre les quantités de lumière calcaléos et observées, et si ces différences, ce que nous ne croyons pas, ne sont point comparables aux erreurs d'observation, cela tiendra pent-^tre à ce que, dans ses formules, M. Cauchy a négligé les termes relatî£s à la dispersion , et réduit à l'unité une constante qui en diffère généralement assez peu, et qui a cette valeur dans un corps transj^rent qui polarise complètement la lumière. L'observation peut i;Mi|le
D£ LA LUMIÈRE. 5g
appraidre quelle valeur on doit réellement assigner à cette constante.
46. Les nombres obtenus ne sont plus les mêmes quand on substitue à la iumière ordinaire de la lumière polarisée. Effectivement, si» en prenant p6ur unité Tintensité de la lumière laeidente, on représente l'intensité de la lumière réfléchie par Ip ou par li, selon qtie les rayons sont polarisés perpendiculairement au plan d'incidieoee, ou suivant ce même plan, et si Ton fait réfléchir les rayons sous rineldeace principale, on trouvera :
Pour l'argent, li = 0,96 Ip «= 0,7».
Pour le mercure, li = 0,94 Ip = 0,46.
Pour le métal des miroirs. Il = 0,90 Ip =0,35.
Pour Tacier, li = 0,86 Ip = 0,28.
La quantité de lumière réfléchie, quand le rayon est polarisé perpendiculairement au plan d'incidence, peut donc, dans certains cas, n'être que le tiers ou le quart de ce qu'elle aurait été, si le rayon avait été polarisé dans le plan d'incidence. Ce résultat si curieux n'avait encore été énoncé par aucun physicien ; les nombres que uo\f» avons cités n*avaient été nullement prévus; toute la gloire, ici, appartient à l'analyse, qui nous a montré ce que Ton pouvait espérer des mathématiques couvenablement appliquées à la physique. £n admettant avec tous les physiciens que, pour obtenir l'intensité I d'un rayon de lumière ordinaire modiûé par la réflexion, il sufQt
de calculer la demi-somftfe ? des Intensités des deux rayons
primitivement égaux, mais polarisés, l'im suivant le plan d'incidence, l'autre perpendiculairement à ce plan, on retrouvera les nombres : 0,88, 0,70, 0,52, 0,57, quiiûdiquent quelles sont, pour les quatre métaux dont il s'agit, les quantités de lumière réfléchie sous rincidence principale.
En calculant pour l'acier les valeurs de li, Ip relatives à diverses incidences , et adoptant pour l'azimut principal de réflexion la valeur déduite de l'observatioD indirecte, on trouve pour les incidences de :
6() TH£OKli: MATHÉMATIQUE
li = 0,548 0,553 0,596 0,683 Ip = 0,548 0,543 0,499 0,402
L'accord sufAsammeDt constaté de ces nombres avejt rexpérienee prouve de nouveau que la décomposition d*un rayon de lumière ordinaire en deux rayons polarisés à angle droit n est point ime chimère, et devient un argument déplus en faveur delà théorie des ondulations ou des vibrations transversales.
Variations «{ue tubistent l'anomalie et l'asimnt d'un rayon tnnpie i le plan à partir dnifael se comptait Toziakut vient à tourner. — XffFets de la réflexion et de la réfraction quand les divers plans de réflexion et de réCraetîon ne se confondent plus avec le plan d*ineîdenoe.
47. Nous n'entrerons pas à ce sujet dans de grands détails ; nous nous contenterons d'énoncer quelques propositions fondamentales, plus propres à faire connaître les lois trop peu étudiées jusqu'ici, de la polarisation elliptique. Nous regrettons vivement que Tabseççe presque complète d'expériences nous condamne à laisser à Tétat d'abstraction cette partie de notre analyse véritablement aride, et que Ton pourra omettre sans aucun inconvénient.
1* Observons d'abord que si, dans un rayon plan, les déplacements sont mesurés parallèlement à un axe fixe, l'amplitude des vibrations parallèles à cet axe sera évidemment la projection sur le même axe de l'amplitude du rayon, c'est-à-dire de l'amplitude maximum, mesurée sur la droite que décrit une molécule.
T Si, au lieu d'un rayon plan, on considère dans un milieu isophane et transparent un rayon doué de la polarisation circulaire, l'amplitude mesurée parallèlement à un diamètre du cercle que décrit une molécule sera ce diamètre même ; et si l'on décompose le rayon donné en deux autres polarisés , l'un suivant un plan fixe , l'autre perpendiculairement à ce plan , les phases des rayons composants seront deux angles dont la différence équivalente à l'anomalie pourra être réduite, abstraction faite du signe, à un angle droit. Si Ton choisit le sens suivant lequel se compteront dans le plan fixe les déplacements positifs , de manière que la différence
dont il s*agit soit négative, les cosinus des deux phases se réduiront ao sinus et au cosinus de la seconde, et il en résultera que lorsqu'un rayon doué de la polarisation circulaire sera décomposé en deux autres , polarisés rectilignement suivant deux plans rectangulaires entre eux , chacun des rayons composants aura pour phase un angle que Ton pourra supposer équivalent, au signe près, à l'angle compris entre le plan qui renferme ce rayon , et le rayon du cercle décrit par une molécule
3** Dans un rayon polarisé circulairement, chaque molécule se meut sur le cercle qu elle parcourt, avec une vitesse constante, de sorte que l'angle et Tare décrits par le rayon vecteur, mené du centre du cercle à la molécule , sont proportionnels au temps que le rayon vecteur emploie à les décrire.
4* La phase d*un rayon plan peut être censée se confondre avec l'angle compris entre le plan du rayon et la direction du déplacement absolu d'une molécule dans un rayon doué de la polarisation circulaire , résultant de la superposition de deux rayons polarisés en lignes droites, dont les plans de polarisation seraient perpendiculaires entre eux, et dont Tun serait précisément le rayon . donné.
5** Dans un rayon doué de la polarisation elliptique, il suffit de ledre passer le plan fixe, à partir duquel se compte l'azimut, par un des axes de l'ellipse que décrit une molécule, pour que l'anomalie se
réduise, au signe près, à -, c'est-à-dire à un angle droit.
6® Lorsqu'un rayon doué de la polarisation elliptique est décompoc« en deux autres polarisés suivant deux plans rectangulaires entre eux, et que ces deux plans renferment les axes de Tellipse décrite par une molécule, les deux derniers rayons deviennent ce que nous appellerons les rayons composants principaux, leurs plans, leurs phases et leiurs amplitudes étant les plans principaux, les phases principales et les amplitudes principales. L'azimut relatif à un des plans dont il s'agit sera eneore désigné sous le nom d'azimut principal. Cela posé, on verra, r que la différence des phases principales sera égale, au signe près , à un angle droit ; V que les amplitudes principales se réduiront aux deux axes de l'ellipse décrite par une molécule ; 3* que les azimuts principaux auront pour tangentes tri-
6q THI&OIIIE MITHÉMATIQUB
goRoinétriqaes tes rapports direet et inverse des amplitirites priodpaies. '
7^ Lorsque la polarisation sera elliptlqne, le triangle qnl aura pour sommet le centre de l'ellipse décrite par une molécule, et les positions occupées par cette molécule, à deux instante déterminés, oliMra nne surfieioe dont le double aura pour mesure le produit des deux demi-axes par le sinus d'un angle proportionnel à rintervalle compris entre ces deux instants.
S^ Dans un rayon doué de la polarisalion ellipi^que, le triangle qui aura pour sommet le centre de Tellipse décrite par une molécule et tes positions occupées par cette molécule à deux instants que sépare un intervalle égal au quart de ta durée d'une vibration, offrira une surface équivalente à la moitié du rectangle construit sur les d)enx demi-axes de reilipse.
- 9* Si l'on décompose un rayon elliptique en deux rayons polarisés suivant deux plans rectangulaires entre eux , et dont l'un rea- £prmerait un diamètre donné de l'ellipse décrite , dans chacun de ces rayons plans, les déplacements absolus d'une molécule mesurée, 1^ à un instant donné ; 2^ à un second instant séparé du premier par le quart de la durée d'une vibration moléculaire, fpumiront des carrés dont ta somme sera le carré de la demi-amplitude.
lO*" Lorsqu'un rayon doué de la polarisation elHptique est décomposé en deux autres polarisés suivant deux plans rectangulaires entre eux , le carré de l'amplitude de chaque rayon composant équivaut à la somme des deux produits qu'on obtrent en multipliant le carré de chaque axe de l'ellipse que décrit une molécule par le oarré du cosinus de l'angle aigu que forme cet axe avec le plan de ce même rayon.
1 1^ Lorsqu' un rayon doué de la polarisation elliptiqueest décomposé en deux autres , polarisés suivant deux plans rectangulaires entre eux , alors , pour obtenir le carré de l'amplitude de chaque rayon composant, il suffit de former les carrés des deux axes de l'ellipse que décrit une molécule, puis d'ajouter à la demi-somme c oes carrés leur demi-différence multipliée par le cosinus du double de l'angle aigu, compris entre te grand axe de l'ellipse et le plan du rayon qtit l'on eimsiilènB.
DB LA LUMl^RB. 63
W Lonqa'QQ r^on dooé de la polarisation elliptique estdénmpoié en deux autres, polarisés perpendicuiairement à un plan fixe el ndwit œ même plan , les carrés des amplitudes des rayons composants offrent pour somme la somme des carrés des axes de l*el]ipse que décrit cette molécule, et pour différence la différence mire les carrés dn grand axe et du petit axe, multipliée par le eosl- «is du double de Tangle aigu compris entre le grand axe et le plm fln.
IS* Si l'on nomme anomalie principale celie qui est relative au sj^stème des rayons composants prindpaux, et qui peut toujours se réduire, au signe près, à un angle droit, on déduira immédiatement de la remarque qn*on vient de feire la proposition suivante.
Lorsqu'un rayon doué de la polarisation dliptique est décomposé ok deux autres , polarisés «perpendiculairement à un plan fixe et suivant ce même plao^ le produit des amplitudes des rayons composants par le sinus de Tanomanie est égal au produit des ampli^-des principales par le sinus de l'anomalie principale.
H^ Daiis un rayon doué de la polarisaticm elliptique, le double de l'aumut, relatif à un plan fixe quelconque, offre un cosinus prq[kortionnel au cosinus du double de Tangie que forme avec le plan fixe un des axes de l'ellipse décrite par une molécule , et un sjnus réci* proquementpro^rtionnel au sinus de Tanomalie.
150 Sans un rayon doué de la polarisation elliptique, le double de l*azimut relatif à un pîimûxe, et le double d'un azimut principal, e^estrà-dire de Tazimut relatif à Tun des plans principaux, offrent 4es cosinus dont le rapport est le cosinus du double de l'angle aigu, formé par le plan fixe avec le plan principal que Ton considère, et dies sinus dont le rapport inverse est le sinus de l'anomalie relative au plan fixe, ou ce sinus pris en signe contraire, suivant que Tano-
malte principale est réductible à -f- ^ ow à — ô* 1' ^^ résulte que
laeotangentc de l'anomalie, relative à un plan fixe est proportionnelle an sInUs du double de l'angle aigu , formé par le plan fixe avec l'un des plans principaux, et se réduit, au signe près au produit de ce sinus > par la cotangente du double de Tazimut principal relatif au dfirBierâeowplan^ 48. Lesdiverses propositions que nous venons d'étahUr ne nnt pis
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seulement applicables à un rayon de lumière propagé dans un milieu isophane et transparent ; elles peuvent être étendues à un raycm propage, dans un milieu doublement réfringent, ou dans un milieu qui absorberait la lumière. Pour s'en convaincre, il suffît de faire atten* tion aux remarques suivantes.
Dans tout mouvement simple dont le module ne renferme pas le temps, la courbe décrite par une molécule est non seulement une courl)e plane, mais de plus, comme Tavons déjà dit, une courbe fmnée et rentrante sur elle-même. SI, dans le plan de cette courbe, on trace un axe quelconque, le déplacement de la molécule, mesuré parallèlement à Taxe dont 11 s'agit, sera le produit de deux facteurs, dont l'un (1) se réduira sensiblement à la demi -amplitude des vibrations parallèles à cet axe, tandis que l'autre facteur sera le cosinus de l'angle dont la partie variable est l'argumentdu mouvement simple, la partie constante étant ce que nous appelons le paramètre angulaire. Cet angle étant désigné sous le nom de phase, si dans le plan de la courbe décrite on trace d'abord un axe fixe , puis un second axe perpendiculaire au premier, les déplacements relatifs à ces deux axes offriront généralement deux phases et deux amplitudes distinctes. La différence de la seconde phase à la première est ce que nous appellerons l'anomalie du mouvement simple» et l'angle aigu qui aura pour tangente le rapport de la seconde amplitude à la première sera l'azimut relatif à Taxe fixe. C^ défmitions étant admises, les relations entre les phases , les amplitudes , l'anomalie et l'azimut resteront évidemment les mêmes, soit que le module du mouvement simple se réduise à l'unité, soit qu'il varie avec le$
(1) Le premier facteur dont il est ici question sera le produit d'une constante réelle par le module du mouvement simple, et, comme ce oMduIe, il ne variera pas d'une manière sensible quand on passera d'un point de la courbe décrite par une molécule à une autre. Par suite, cette courbe, quoiqu'à la rigueur différente de l'ellipse, en différera très peu , et en parUnt de mouvements inûniment petits, on pourra la supposer réduite à l'ellipse , romme nous le faisons ici. Il y a plus , elle se réduira exactement à une ellipse , si l'on suppose que, dans les équations des mouvements infinimeol petits , on a pris pour variables indépendantes, avec le temps t, non plus les coordonnances x , y, z , du point de l'espace avec lequel coïncide au bout de ce temps la molécule que l'on considère , mais les coordonnées initiales d« celte molécule.
coordonnées. Dans l'un et Tautre cas, la courbe décrite par chaque moléeoJ^ sera une ellipse qui pourra quelquefois se réduire à un Ctfcle ou à une droite. En ef&t, dans Tun et l'autre cas, le sinus et le cosinos de Targument du mouvement simple pourront être exprimés par deux fonctions linéaires des déplacements mesurés, dans le ^ plan de la courbe, suivant deux axes rectangulaires entre eux ; et en égalant à Funité la somme des carrés de ces deux fractions, on obi tiendra pour Téquation de la courbe décrite une équation du ser oond degré en vertu de laquelle les déplacements devront toujours conserver des valeurs finies ; la seule différence entre le premier cas et le second, c'est que l'amptitude des vibrations parallèles à un axe quelconque restera invariable dans le premier cas , et variera dans ' Je second, quand on passera d'une moléculeà uue autre ; il sera d*ail- > leurs naturel de désigner sous le nom de phases principales, d'amplitudes principales, d'anomalies principales et d'azimuts principaux, les phases, les amplitudes, les anomalies et les azimuts qui correspondrontaux axes mêmes de l'ellipse décrite par une molécule.
49. Gomme, dans la théorie de la lumière, l'argument d'un mouvement simple est toujours indépendant du temps, il suit de ce que Ion vient de dire que la polarisation d'un rayon simple , propagé dans un milieu homogène, est toujours elliptique, circulaire ou rectiligne, lors même que ce milieu cesse d'être isophane ou transparent, et que les relations ci-dessus établies entre les phases, les amplitudes, les azimuts et les anomalies sont applicables à un rayon quelconque, pourvu que dans les énoncés des théorèmes, on substitue généralement au système de deux plans rectangulaires menés par la direction du rayon, le système de deux axes rectangulaires, tracés dans le plan de relllpse décrite par une molécule, et au système des plans principaux le système des deux axes de cette ellipse.
50. Il est facile d'appliquer les divers théorèmes oi-dessus établis à la redierche des modifications qu'éprouve un rayon simple, quani on loi fait subir plusieurs réflexions ou réfractions successives, opérées chacune par la surface de séparation de deux milieux isophanes,
-dont le premier au moins est transparent. En effet» à Taide de ces théorèmes, en supposant comius, pour chaque rayon incident, l'azimut relatif au plan d'incidence et l'anomalie correspondante, on pourra déttrminer les azimuts principaux, ainsi que les directions
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des plans principaux; et réciproquement, en supposant connus» j pour chaque rayon réfléchi ou réfracté , les azimuts principaux, j ainsi que les directions des plans principaux, on pourra détenu Jner, pour le même rayon, Tanomalie et l'azimut qui con*espondront à un | nouveau plan d*incidence. D*ailleurs, pour chaque réflexion ou réfraction, Ton saura comment Tanomalie et Tazimut, relatifs au plap t d*incidence , varient dans le passage du rayon incident au rayon ré- 1 fléchi ou réfracté, quand on connaîtra Tanomalie et Vazimut de rè- 4 flexion ou de réfraction. Ainsi, en particulier, d'après ce qui a été dit j pUis haut, la variation de Tanomalie, dans le passage du rayon in- C cident, au rayon réfléchi ou réfracté, ne sera autre chose que TaniH ' malie de réflexion ou de réfraction.
5 1 . Lorsque le rayon incident est doué de la polarisation recti[i|;iiç, alors, pour que Tun des plans principaux du rayon réfléchi coincîde, à avec le plan d'incidence et de réflexion, il est nécessaire que Tano- malie de réflexion puisse être censée se réduire, au signe près, à un angle droit ; en d'autres termes, il est nécessaire que les coefficients de réflexion des rayons composants polaiisés, l'un suivant le plan d'incidence, l'autre perpendiculairement à ce plan, offrent un rapport dont la partie réelle s'évanouisse. Cette condition étant supposée remplie, l'azimut de réflexion est ce que devient Tazimut principal du rayon réfléchi, quand on prend pour azimut du rayon incident 45®, et ce que nous nommerons , en conséquence , l'azimut principal de réflexion. L'incidence qui fournira l'azimut principal de réflexion sera nommée elle-même incidence principale. Si l'azimut principal de réflexion devient un angle droit, alors, quelle que soit la direction du plan de polarisation du rayon incident, rincidence principale fournira un rayon réfléchi, polarisé dans le plan d'Incidence : c'est ce qui arrive quand la réflexion a lieu à la surface du verre, ou d'autres corps transparents, capables, comme on le dit, de polariser complètement la lumière : aloi-s l'incidence principale ne diffère pas de ce qu'on a nommé Tangle de polarisation. Mais, si l'azimut principal, n'étant pas nul, diffère d'un angle droit j le rayon réfléchi cessera d'être un rayon plan, et, pour ^ obtenir la polarisation circulaire après une seule réflexion, il suHflra, en faisant tourner le rayon incident sur lui-même, d'amener son plau de polarisation dans une position telle que l'azimut du rayon inci-
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dent soit le complément de Tazlmut de réflexion principal. En suivant cette règle , on pourra transformer un rayon plan en un rayon doué de la polarisation circulaire » à Taide d'une seule réflexion effectuée, sous l'incidence principale » par la surface extérieure d'un métal ou d'un corps transparent qui, comme le diamant , polarise incomplètement la lumière. Si la réfle^don était opérée par la surface intérieure d'un corps transparent, il pourrait y avoir, dans certains cas, deux incidences principales, l'une inférieure, l'autre supérieure à l'angle de réflexion totale. |.orsque la réflexion est opérée par la mefaee extérieure d'un corps opaque, et en particulier d'un métal > Pincidenee principale coïncide avec ce que M. Brewster a nommé the maximum polarising angl^ » et ne doit pas , comme nous l'avoua déyà dit , être confondue avec un autre angle qui , à la vérité, en diffère souvent très peu , savoir, avec l'angle d'incidence pouc lequel la quantité de lumière polarisée dans le plan d'incidence est la plus grande possible, et pour lequel aussi Tazimut de réflexion devient un maximum.
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