DEUXIÈME SECTION

EXPLICATION RAISONNÉB BT COMPABBB DBS PBBNOMBNBS D£ L^OPTIQUC DANS LBS DEUX 8Y8TÀIIE8 DE L'ÉMISSION ET DBfl ONDULATIONS.

6% Noos n*avou8 pas encore complété le résumé des travam de M. Gauchy relatifs à. la lumière, mais ce qu'il do«s reste à dire sera mieux compris quand nous raurons fait précéder .d'us exposé détaillé des faits constatés par Te^pénence. Cet exposé d'ailleurs aura un autre avantage, il fera ressortir par des arguments parement physiques la vérité du système des ondulations que J'analyse du grand géomètre rend si évidente.

Après avoir décrit et expliqué cliaqiie elasae de faits, nous rappellerons la théorie qu'eu a donuée M. Gauchy. Les cwsid^nitioDS suivantes sont empruntées en partie à un ouvrage vraiment remarquable de Tillustre directeur du collège de la Trinité à Dublin, de M. Lloyd. Son opuscule, imprimé à Dublin en 1841, a pour titre: Lectures on the Wave-theory of light.

Propagation et vitesse de la lumière. — 53. Tous les savants s'accordent à regarder comme un faitdémontré que la lumière se transmet d'un point à l'autre de l'espace dans un temps déterminé, et que la vitesse de sa propagation est à peu près de 70,000 lieues par seconde. Une même molécule émise par le corps lumineux parcourtelle successivement les divers points de l'espace avec cette incroyable vitesse? Ou bien plutôt , entre le corps lumineux et le corps éclairé , existe4-il une suite innombrable de molécules qui, sollicitées tour à tour par un mouvement de va-et-vient, vibrent entre certaines Hmites , eu transmettant de proche eu proche le mouvement initial ? Il y aurait émission et transmission dans la première hypoth^ , il y a vibration et ondulation dans la seconde. Nous sommes plus familiarisés avec le mouvement de translation que nous voyous , que nous touchons, qui nous emporte souvent nous-mêmes; les mouvetnents vibratoires nous échappent davantage, quoiqu'ils s'exécutent sans cesse autour de nous. Si la surface d*une eau sta-

DE L\ LIIMIKRK. 6q

gDante est ébranlée en un de ses points par une cause étrangère, les raoîéeules les plus voisines du centre d'ébranlement s'élèvent et s abaissent tour à tour, et ce mouvement réellement vibratoire se communique de procbe en proche et successivement jusqu'aux Hroites de la surface liquide. L'ensemble des molécules qui proéminent ou dominent la surface à un instant donné , constitue ce qu'on appelle une onde. Tl est facile de se convaincre que cette onde ne se compose pas dans deux instants consécutifs des mêmes molécules, en observant le mouvement d'un corps flottant; on le voit, en effet , non pas s'éloigner du centre d'ébranlement, ce qui aurait lieu nécessairement si les molécules sur lesquelles il repose avaient un mouvement de translation , mais s'élever ou s'abaisser suivant qu'il est atteint ou dépassé par une onde. Il y a donc réellement alors vibration, ondulation , et non pas translation. Le son nous présente un autre exemple remarquable des mouvements vibratoi-* rcs : il se communique du corps vibrant à l'oreille à travers toutes les particules d'air intermédiaire , tandis que chacune de ces part i eulcs parcourt un très petit espace , par un mouvement de va-etvient.

L'application à la lumière de ces deux sortes de propagation dû mouvement a donné naissance aux deux théories de l'émission et des ondulations. Dans la première de ces théories, qui a eu pour créateur l'immortel NcA^ton, le corps lumineux lance ou émet dans toutes les directions des particules d'une inappréciable ténuité ; dans la seconde, le rôle de ce même corps lumineux consiste à mettre en vibration un milieu élastique qu'on nomme éther, absolument comme un corps sonore fait vibrer l'air. L'.éther pénètre tout l'espace et les corps même les plus solides ; il est si subtil qu'il n'oppose aucune résistance appréciable aux mouvements des planètes. Le jésuite Grimaldi et Huygens ont été les premiers et, avec Jonny et Fresnel, les plus habiles défenseurs du système des ondulations. Auquel de ces deux systèmes faut-il donner la préférence? Pour répondre à cette grave question, interrogeons les faits.

54. Mais d'abord, pour mieux faire comprendre lanaturçde l'onde lamineuse et son mode de propagation , recourons à la comparaison suivante.

Omceyons une corde tendue horizontalement, et fixée par une

de ses extrémités à uu point fixe; puis supposons que tenant l'autre extrànité nous lui imprimions un petit mouvement en élevant et abâistont tour à tour la main ; nous verrons aussitôt une série d'ondeé se propager le long de la corde avec un mouvement progressif uniforme. Il est bien évident que chaque particule de la corde exécute de simples vibrations verticales ; mais comme ce mouvement vibratoire se communique de la première particule à la seconde^ de la seconde à la troisième, etc., il s* étend de proche en proche à toute la longueur de la corde. 11 en résulte aussi que quelques unes des particules atteignent leur position la plus élevée ^ que les autr» sont au point le plus bas de leur course , pendant que les particules intermédiaires ne se trouvent ni au maximum d'élévation ni au mi* ninlum d'abaissement , mais à une distance moyenne de la position d'équilibre. Donc, pendant que chaque point considéré isolément exécute son mouvement vertical de va-et-vient , une onde se propage horizontalement le long de la corde ; elle sera suivie régulièrement d'une seconde , d'une troisième onde , etc., tant que le taoth gt ^^ ^'^ vement initial se continuera. Les

\^.^./''"'\^/'"N,^^ particules a, a', a", sont dites être ^ ^ ^ ^ dans une même phase de vibration ;

il en est de même des particules 6, b\ V',.,. Une onde se compose de toutes les particules comprises entre deux points de même phase, entre a et a' par exemple, ou entre h et V. La longueur de l'onde est la distance du point a au point a^, ou du point h au point 1/ ^ distance mesurée dans le sens de la propagation du mouvement. II est évident, d'après ce que nous venons de dire, qu'une onde comprend des particules dans toutes les phases de vibration.

Considérons maintenant, non plus une seule corde , mais un nombre indéfini de cordes semblables aboutissant à un même point, et admettons que la cause qui va mettre chacune d'elles en vibration agisse toujours de la même manière , avec la même intensité. Dès lors , des ondes égales se propageront avec la même vitesse dans toutes les cordes, et parviendront dans des temps égaux aux points de l'espace situé à la même distance du centre d'ébranlement ; de sorte que tous les points qui seront dans une même phase de vibration feront partie d'une même surface sphérique, dont le centre est A rori»ine du mouvrrVicnf.

DE L.V LUMIÈRK. ' ^l

Si 9 à la place de ces cordes , nous considérons des rayons formés de parlicules éthérées unies ou liées par leur mutuelles attractions, tout ce que nous venons de dire s^appliquera à la propagation des ondes éthérées , auxquelles Faction d'un corps lumineux aura donné naissance. Nous compi*endrons alors facilement comment , dans un même milieu , un mouvement ondulatoire peut se propager sphériqoement à partir du centre lumineux. La longueur de l'onde lumiwase sera la distance mesurée dans chaque direction partant du centre, de deux molécules , constituées dans une même phrase de vibration ; c'est par conséquent l'espace à travers lequel se transmet le monvement ondulatoire , pendant le temps d'une simple vibration. Dès lors, si / désigne la longueur de l'onde, t le temps d'une vilMration , et v la vitesse de propagation des ondes , on aura l=zvt: c'est l'équation fournie par la théorie de M. Cauchy.

55. Le fait incontesté de la vitesse énorme de la lumière ne semble-t-il pas suffire à renverser l'hypothèse de rémission? Si chaque molécule lumineuse pesait un grain ou 5 centigrammes, sa quantité de mouvement , animée qu'elle est d'une si excessive vitesse, serait égale à celle d'un boulet de 75 kilogrammes j parcourant 324 mètres dans une seconda Le poids de la molécule lumineuse est en réalité des millions de fois plus petit que nous ne l'avons supposé ; mais comme , d'un autre côté , nous pouvons faire agir à la fois plusieurs millions de ces molécules concentrées au foyer d'une lentille , l'effet mécanique produit par la somme de leurs quantités de mouvements devrait pouvoir être rendu sensible, ce qu'il a été impossible d'obtenir dans les circonstances les plus favorables.

Nous convenons toutefois que ces résultats négatifs ne combattent pas invinciblement l'hypothèse de l'émission des molécules lumioeoses avec une incomparable vitesse , on peut les supposer douées d'une ténuité suffisante pour expliquer l'absence de toute Impulsion mécanique appréciable. Mais ces molécules si rapides devraient au moins agir les unes sur les autres , quand elles se croisent par millions au foyer d'une lentille , et cette action devrait se manifester par des phénomènes particuliers; or, les recherches les plus persévérantes n'ont rien révélé de semblable.

5a II est contre le système de l'émission une difficulté beaucoup plus sérieuse. M. Ârago a prouvé, par de nombreuses expériences ,

•ja THÉORIE MATHKMATIQUE

que la lumière se réfracte toujours sous le même angle , et que par conséqueot la vitesse de la lumière reste la même , quelle que soit la source qui lui a dooné naîssauce, le soleil ou une étoile fixe, un ver luisant ou la phosphorescence du bois pourri ; et quelles que soient les modifications que lui aient fait subir, dans les espaces célestes, la réflexion à la surface des planètes , la réfraction, etc....

Cette vitesse constante et immuable semble inexplicable dans la théorie de Newton. On démontre par le calcul que la force d'impulsion nécessaire pour communiquer à la lumière la vitesse observée est un million de fois plus grande que la force d'attraction à la sur* face de la terre , et il faudrait que cette force d'impulsion , restant la même pour tous les corps célestes , communiquât la même vitesse à toutes les particules lumineuses émises. Ce n'est pas tout encore : l.aplace a démontré que si le diamètre d'une étoile fixe était 250 fois plus grand que celui du soleil , sa densité restant la même , Tattractlon exercée à sa surface détruirait la quantité de mouvement de la molécule lumineuse émise, de sorte que cet astre seniit invisible à de grandes distances. Une moindre masse aurait pour effet inévitable de diminuer au moins cette quantité de mouvement ; par conséquent , même en supposant que le pouvoir émissif reste constant pour tous les corps, les vitesses réellement communiquées aux molécules lumineuses seraient différentes, ce qui ne peut s'accorder avec les faits observés.

57. On ne pourrait échapper à cette difficulté quen recourant à une hypothèse par laquelle M. Arago crut pouvoir expliquer les expériences que nous venons de rappeler, et que les émissionistes ont accueillie avec enthousiasme : il faudrait admettre que les corps lumineux émettent des rayons de toutes les vitesses, que les seuls rayonsd'une vitessedéterminée sont visibles, etqu*eux seuls produisent dans l'œil la sensation de la lumière. Ainsi, le rouge , le jaune, le vert, le bleu, le violet... solaires, seraient respectivement accompagnés de rayons pareils, mais obscurs par défaut ou par excès de vitesse. L'existence de raies noires découvertes dans le spectre solaire par Fraunhofer, Woliaston , Hitter, semblait donner quelque consistance à cette hypothèse tout à fait arbitraire, et que de nouvelles expériences rendent de plus en plus vaine. On a reconnu que toute augmentation ou diminution de vitesse n'enlève pas seulement

DE tk LDMIKRR. 73

aox rayons lamiDeux leur volubilité , mais qu'elle les dépouille de leurs propriétés, pbotogéoiques ; ils cessent d*agir chimiquement à riostant où Ils perdent» par un ciiangement de vitesse Ja faculté de produire sur la rétine des sensations lumineuses. Bien plus, H. Rdmond Becquerel, sur les indications de M. Arago, vient d'établir par Texpérienee que les rayons solaires se comportent esae* tement de même dans Tair et dans Teau, quoique dans l'air la lumière, SHivant le système de rémission , se meuve sensiblement moins vite que dans Teau. La vitesse serait donc ici sans influence, ce qui est en contradiction manifeste avec Tbypoâièse admise : on pourrait peDl-étrCy comme Ta fait remarquer M. Arago, la faire concorder de nouveau avec les faits , en disant que les phénomènes photogé* niques d^ndeot » non d'une action exercée à la surface, mais d'une action naissant dans Tintérieur de la couche , et Ton serait amené forcément àétablir une distinction entre l'intérieur et la surfaced'uno couche dont l'épaisseur, suivant M. Dumas, serait inférieure à un millionième de millimètre. De nouvelles expériences imposeront de nouvelles complications. M'est-de pas là bien plus que les épicycles de PtoléméeTM. Arago sei*ait vraiment trop bon de venir plus longtemps au secours d'une théorie qu'il a renversée de fond en eomble par une expérience complètement décisive, l/assertion gratuite suivant laquelle les rayons d'une vitesse déterminée seraient seuls visibles» n'est défendue par aucun fait analogue dans la théorie do son ; elle ne s'accorde avec aucune des opinions admises sur la nature de la vision; elle semble en contradiction manifeste avec l'existence des rayons diversemeut colorés, et qui restent tous visibles y malgré la différence qui existe entre leurs longueurs d'ondulation ou la vitesse des vibrations transversales qui leur donnent naissance.

£n résumé , dans la théorie de l'émission , le grand làlt démontré par M. AragOy que partout et toujours la vitesse de la lumière est la mène dans un même milieu , demeure au moins un mystère, sinon Qoe contradiction , tandis qu'il est la conséquence naturelle et immédiate du principe des ondulations. La vitesse de propagation d'un mouvement ondulatoire dépend, en effet, uniquement de Félasticité et de la densité du milieu dans lequel il se propage et nullement de la cause excitante. Si donc, comme tout force à l'ad-

^/| THEORIE MiTHFMATIQIIK

mettre , la deusité et l'élasticité de l*éther restent les mêmes daiis toute rétendue de l'espace , la vitesse de la lumière sera nécessairement la même, quel que soit le corps lumineux.

MotfvemetU rectiligne de la lumière, — 58. On a souvent cherehéydans le mouvement rectiligne de la lumière , un argument invincible en faveur de la théorie de l'émission , une objection insoluble contre la théorie des ondulations. Si, disait-on, la lumière est le résultat des ondulations du fluide éthéré , comme le son est le produit des vibrations de Tair, la lumière doit , comme le son, se propager dans toutes les directions à partir de chaque centre d'ébranlement, et tourner tous les obstacles qu'on lui oppose. Un objet éclairé devrait devenir visible , malgré même les corps opaques Interposés. Pour résoudre cette objection dont Newton avait fait son grand moyen de défense, et dont les progrès de la science ont fait au contraire une difficulté insurmontable contre la théorie de l'émission, il suffirait de faire observer que, bien qu'un mouvement vibratoire se propage dans toutes les directions autour de chaque centre d'ébranlement, rien ne force a admettre qu'il se propuge avec la même intensité dans toutes les directions inclinées par rapport à l'onde primitive. L'analogie conduit au contraire à une conclusion opposée, car une multitude de faits démontrent que le son ne se propage pas dans toutes les directions avec la même intensité. Or, dès qu'il y a une différence entre la propagation directe et la propagation latérale, cette différence peut devenir très grande : on peut supposer l'éther tellement constitué , que l'intensité de la propagation latérale devienne insensible. On a tort d'ailleurs de chercher dans la théorie du $on des objections contre la propagation de la lumière. L'acoustique est réellement moins avancée que l'optique : on connaît mieux la forme des ondes lumineuses que la forme des ondes sonores ; on parle toujours d'ondes sphériques sans trop savoir ce qu'on avance; il me parait démontré par des expériences certaines qu'au moins à une certaine distance du centre d'ébranlement l'onde sonore, loin d'être essentiellement sphérique, peut même être plane. Supposons, par exemple, que snr une ouverture longitudinale faite à la paroi supérieure d'une caisse rectangulaire, on tende une corde qui puisse faire vibrer à l'unisson la masse d'air renfermée dans la caisse. Alors, si les oscillations de la corde sont parallèles à la paroi supérieure, le mouvement

ondulatoire ne se traosmettra en aucune manière à Tair de la caisse, qui ne rendra aucun son ; tandis que si les oscillations de la corde se font dans un plan perpendiculaire à la paroî , la caisse rendra un son très distinct. Donc ce son ne se propage pas avec la même intensité dans toutes les directions.

Mais la réponse à cette objection repose, comme nous le savons, sur des bases beaucoup plus solides qu'une simple analogie. Appelant à son aide la rigueur mathématique, et réduisant en nombre le problème de la propagation de la lumière, Fresnel, et bien des géomètres après lui, ont démontré que les faits observés sont en parfait accord avec la théorie des ondulations ; que les ombres calculées sont bîeil celles que donne l'expérience.

Réflexion et réfraction. — 59. Pour expliquer les phénomènes de îâ réflexion et de la réfraction , on suppose , dans la théorie de Newton, que les particules des corps et les molécules lumineuses exerceùt les unes sur les autres une action mutuelle. Très près du contact, cette action est d'abord attractive; elle devient répulsive à une distance un peu plus grande, pour redevenir attractive encore, puis répulsive, etc. Cette hypothèse est en elle-même fort raisonnable; celte succession de forces alternativement attractives et répulsives semble pouvoir expliquer seule les phénomènes de la cohésion, et pourrait tout aussi bien trouver place dans la théorie de la' lumière. D'ailleurs, en s'appuyant sur ce principe unique , Newton a établi rigoureusement les lois de la réflexion et de la réfraction , et l'on ne pourrait pas dire , en conséquence , que le système de l'émission est impuissant à expliquer ces deux grandes classes de phénomènes, en tant, toutefois, qu'on les considère comme isolés ; car la simultanéité de la réflexion et de la réfraction dans un même rayon qui , en atteignant la surface d'un même milieu, serait à la fois en partie réfléchi, en partie réfracté, est un fait que la théorie de Newton n'expliquera jamais d'une manière satisfaisante.

Pourquoi, en effet, certaines molécules du rayon lumineux obéissent-elles à la force répulsive et sont-elles réfléchies , tandis que les autres cèdent à la force attractive et sont réfractées ?Dira-t-ou, avec Newton, que, dans leur course à travers l'espace, ces molécules sont altematî vement dans deux états ou accès qui se représentent périodiquement âdes intervalles égaux? Dans le premier de ces états, r«ccè«

^G THJSOniE MATHÊMATIQUR

defacileréflemon, les molécules sont plus disposées à se laisser vaincre par la force répulsive; dans le second, V accès de facile tran^mùnon^ elles cèdent plus facilement à Tattraction: voilà pourquoi les unes se réfléchissent et les autres se réfractent , de telle sorte que le rapport de la quantité de lumière réfléchie à la quantité de lumière réfractée soit d'autant plus grand que Tîncidence est plus grande et que la différence entre les indices de réfraction est plus petite.

Pour rendre raison de ces accès , Newton n'a pas reculé devant la nécessité d'admettre l'existence d'un milieu éthéré , analogue à celui d'Huygens, et dont les vibrations se propageraient avec une vitesse supérieure à la vitesse de la lumière. Les vibrations éthérées s'attacheraient, en quelque sorte, aux molécules lumineuses , et les constitueraient dans Tun ou dans l'autre des deux états que nous avons désignés sous le nom d'accès , suivant que leur action seconderait ou combatterait le mouvement progressif primitif. Newton a même pris plaisir à déterminer par le calcul la force élastique dont son éther devrait être doué. Se peut-il que cet immense génie ne se soit pas aperçu que, par cette explication complexe, il ajoutait toutes les difficultés du système des ondulations aux difficultés déjà insurmontables du système de rémission?

Mieux inspiréi5, ses partisans ont eu recours à d'autres hypothèses pour défendre les accès. Nous ne dirons rien des efforts tentés à cet égard par Boscovich , par M . Melleville et après lui par M . Biot : la théorie capricieuse des ac<»s a bien perdu de son crédit, depuis qu'il a été prouvé qu'elle ne pouvait pas se concilier avecles phénomènes mêmes qui lui avaient donné naissance, les couleurs des lames minces. II y a plus, l'explication que cette théorie donne des faits est contradictoire dans les termes. Les molécules transmises ne sont pas toutes au maximum de l'accès de facile transmission . elles atteignent au contraire lasurface dans tous les degrés ou dans toutes les phases de ce qu'on peut appeler l'accès positif. Cela posé , puisque le passage du positif au négatif suffit pour que les molécules échappent à l'effet des forces attractives, et cèdent à l'effet des forces répulsives, en perdant leur vitesse primitive pour en prendre une nouvelle en sens contraire, il est évident que la phase de l'accès doit modifier dans un certain degré l'effet de ces mêmes forces , et que la molécule , en obéissant aux forces attractives, doit subir un accroissement

de vitesse dépendant de sa phase. Mais la vitesse de la roolf^cule In-* cidente ne peut pas être modifiée sans que la direction de la roolécole réfractée varie. Le rayon simple, transmis et réfracté, serait donc, non pas un rayon unique, comme le montre Texpérlnnce, mais un composé d'un nombre indéfini de rayons réfractés sous divers angles.

60. Il est donc vrai que la simultanéité, pour un même rayon, de la réflexion et de la réfraction , ne trouve aucune explication satisfaisante dans rhypothèse de l'émission. Il en est bien autrement dans le système des ondulations : lê^ ondes réfléchies et réfractées sont la conséquence néc^ssaiœ des ondes incidentes: Tune ne peut pas exister sans les autres. Chacune des portions de l'onde incidente, en atteignant la surface de séparation des deux milieux , devient le centre de deux nouvelles ondes, dont Tune se propagera dans le premier milieu avec la vitesse qui convient à ce milieu , tandis que l'autre se propagera dans le second milieu , avec la vitesse correspondante à son élasticité et à sa densité. Il y aura donc dans chaque milieu une inllnité d'ondes partielles émanant des divers points de la surface de séparation ; et , d'après le principe dé la coexistence des petits mouvements , te déplacement de chaque molécule de l'un ou l'autre milieu sera la somme de tous les déplacements que détermineraient , à ce point , les influences réunies des divers centres d'ébranlement. Les surfaces auxquelles donnent naissance ces déplacements surajoutés sont les ondes réfléchies ou réfractées , et sont évidemù^ent les surfaces enveloppes de toutes les petites ondes spfaérlques. De Ce seul principe, on déduit avec une extrême facilité les lois de fa réflexion et de la réfraction.

Soft en effet mn le front d'une onde plane qui rencontre la surface réfléchissante en m. Chaque portion de cette onde, à mesure qu'elle rencontre la surface, de- > vient le centre de nouvelles ondes sphëriques qui se propagent dans ie même milieu avec la vitesse de Fonde primitive. Ainsi, dès que la portion na atteint la surface en k , la portion m a donné naissance à une onde sphériquc dont le rayon est mo = nk. De même si m'

^8 THÉORip MATHÉMATIQUE

est une autre portion quelconque de l'onde , elle aura fait ifi^i^n ' dans le même temps une nouvelle onde sphérique dont le rayon m^o'r= n'k. La surface qui à chaque instant touché toutes ces sphères est Tonde réfléchie. Or, puisque mo et m'o' sont proportionnels à mk et m'kfy il est évident que cette surface tangente est un plan. De plus , puisque mo = nk eX que les angles n et o sont droits , Tangle nmk sera égal à Tangle o^, c'est-à-dire que Tc^e de réflexion sera égal à l'angle d'incidence.

S'il s'agit de la réfraction , supposons que mn est encore le front de fonde : dans un intervalle de temps proportionnel a nA , la portion n de cette onde aura atteint la surface en A, et les portions m, m' seront devenues les ceo* très d'ondes sphériques propagées dans le second milieu. Les rapports des rayons mo^ m'o' de ces sphères aux distances nA , n'A , seront d'ailleurs évidemment égaux au rapport unique des vitesses de propagation dans les deux milieux , et la surface tangente à toutes les sphères sera l'onde réfractée. Or, il est évident que cette surface est un plan , et que l'on aura sin nmk :: sin mko ,: nk: mo^ c'est-à-dire que le rapport du sinus de réfraction au sinus d'incidence est égal au rapport constant de la vitesse de l'onde réfractée à la vitesse de l'onde incidente.

61 . Telle est la démonstration ingénieuse et simple que Huygeias avait donnée des lois de la réflexion et de la réfraction. La formation de la grande onde ou de l'onde principale au moyen des ondes partielles ou secondaires, a été appelée le principe d'Buygens^ et n'est évidemment qu'un cas partjiculier de la superposition des petits mouvements. On déduit aisément de ce mode de formation ou composition que l'onde principale est la limite extrême que l'on doit assigner à chaque instant donné au mou vement vibn^jre y^pagé dans toutes les directions , pour que la lumière se transmette d'un point à un autre dans le moindre temps possible. Cette io^ ^e p^s rapide propagation est la loi bien connue de Fermât, et il résuli(e de ce que nous avons dit qu'elle a lieu quelles que soient les W^k-

DK LA. LUMIRHI-. 79

ficatioas (pie |e rayon lumineux ait subies par un nombre qm^lçonque de réflexions et de réfractions : elle peut s'énoncer comme il ' suit : « La route suivie par tout rayon réfléchi ou réfracté est telle qu'elle serait parcourue dans le plus court temps possible , car un mobile qui partirait d*un point quelconque du rayon incident , pour arriver à un point quelconque du rayon réfléchi et réfracté. » Si Ton désigne par 1 la longueur comprise entre un point quelconque de la course du rayon incident et le point d*incidence , par l' la partie correspondante du chemin du rayon réfléchi ou réfracté , par v, \' les vitesses de propagation , les temps employés respectivement

à parcourir les deux distances 1, 1' seront , -^ et leur somme

- + ^, ou, ce qui revient au même, la somme 1+ -, l' = 1 + ri'

devra être un minimum (1).

Dans le cas de la réflexion v = v, r = 1, 1 -j- 1' sera un minimum. Le chemin parcouru par le rayon réfléchi sera tel par conséquent que la somme des distances des points de départ et d*arrivée

(ij Celte simple condition de minimum conduit d'ailleurs immédiatement aui lois de la réflexion et de la rérraetion. Sôiten effet D le point de départ da rafon , I le point dlncidence , K le point d'arrivée ; abaissons les pêr* pcadieoUires Dfi, ^B/et posons :

DE = h, El = X, EB = a,ÎAB = h', on aura :

01=1= V i* + h«.AI=r:;= \/(a-i)2+h^t 1 + r 1' = y xî + h« 4^ r i/(a — j)ï+M

Et en égalant Ia dérivée à o pour aiprimer que cette somme est un minimun» , on trouvera :

v/ia+h* \/(a~x).+

Mk cf qid revient an même , en menant la perpendiculaire If I et appelàôt i ft p les «oglei d'iBcidence DIN et d« réfraction NI A

sfnl

sin i — r sin p

fi r = 1 , sin i == sin p, i M p

0, - — = r sinp

80 THÉORIE MATHÉMATIQCTK

à la surface réfléchissante est la plus petite possible. Le rapport constant, dans le cas du rayon réfracté , est l'indice de réfraction du second milieu.

L*lntensité de la lumière, dans les ondes réfléchies et réfractées, dépend du rapport des densités de Téther dans les deux milieux. On peut essayer de comparer les couches superposées d'éther dans ces milieux, à deux corps élastiques de masses différentes, dont Tuo communique par impulsion le mouvement à l'autre. Fresnel a déduit de cette comparaison les intensités des rayons réfléchis et réfractés dans le cas de l'incidence perpendiculaire.

62. Il y a quelque chose d^étonnant dans ce fait remarquable, que deux théories aussi opposées que la théorie des ondulations et de rémission conduisent mathématiquement aux mêmes lois. Daus toutes les deux, le rapport du sinus d*incidence au shius de réfraction est égal au rapport des vitesses de la lumière dans les deux milieux, et par conséquent constant. Il y a toutefois entre les deux théories une différence capitale : le rapport de ces deux sinus est égal au rapport direct des vitesses dans le système des ondulations, au rapport inverse de ces mêmes vitesses dans le système de rémission. En d'autres termes, la vitesse de la lumière daus le milieu le plus dense est plus petite dans F hypothèse des ondulations , plus grande dans Thypothèse de rémission. Les deux théories rivales sont donc en opposition directe et formelle sur un fait qu'il suffit de constater pour vider leur débat. Nous dirons bientôt , en parlant des interférences, comment ce fait a été rigoureusement constaté par M. Arago, indépendamment de la grande expérience qu'il prépare, et que le monde savant attend avec impatience. Il est certain que la vitesse de la lumière est diminuée dans un milieu plus dense, et que , par conséquent , le système de l'émission doit être définitivement rejeté.

Double réfraction. — 63. Cette mystérieuse propriété de la lumière fut découverte d'abord, vers 1669, dans le spath d'Islande, par Daniel Barlhoiin, qui aperçut le premier que la réfraction opéi'ée par ce cristal partageait le rayon incident en deux autres. Sous T incidence perpendiculaire , un de ces rayons n'éprouve aucune déviation , tandis que sous toute autre incidence il se dévie sans sortii* toutefois du plan d'incidence, et se rapproche de la normale, de telle

DE h\ LUMIÈRE. 8t

sorte que le raj^rt du sinus d'incidence au sinus de réfraction est constant et égal à 1>654. Ce rayon, qui suit les lois connues de la réfraction , est le rayon ordinaire. Pour le second rayon, au con* traire, la déviation, loin de s'évanouir sous Tincidence perpendiculaire , est de 5** 12 ; sous d'autres incidences , les angles d'Incidence et de réfraction ne sont plus dans un même plan , et la loi du sinus ne se vérifie plus ; ce second rayon est le rayon extraordinaire.

Dans chaque cristal doublement réfringent, il y a une direction solvant laquelle le rayon incident ne se partage pas en se réfrac* tant; cette direction détermine une ligne remarquable que Ton a désignée sous le nom d'axe optique; cet axe a une relation intime avec les phénomènes de la double réfraction qui se reproduisent avec la plos parfaite symétrie tout autour de lui. Dans le spath d'Islande, l'axe optique est la ligne qui joint les deux angles solides obtus du cristal ; il est également incliné sur les trois faces qui comprennent cet angle. Tout rayon qui pénètre dans le cristal par une face perpendiculaire à l'axe optique se partage en deux rayons réfractés toujours compris dans le plan d'incidence, c'est-à-dire dans le plan qui passe par l'axe optique et le rayon incident. La déviation du rayon extraordinaire est la même pour tous les rayons incidents qui font un même angle avec l'axe optique, quel que soit leur azimuth : le rapport variable du sinus d'incidence au sinus de réfiraction diminue à mesure que l'angle compris entre le rayon incident et Taxe optique augmente, et devient le plus petit possible lorsque le rayon incident est un angle droit. Otte plus petite valeur du rapport des sinus est ce qu'on appelle l'indice extraordinaire : pour le spath d'Islande elle est de 1,483. Les plans des angles de réfraction ordinaire et extraordinaire coïncident encore quand le rayon incident est perpendiculaire à l'axe optique ; mais dans ce cas le rapport du sinus d'incidence au sinus de réfraction du rayon extraordinaire reste constant, de sorte que les deux rayons suivent les lois de la réfraction ordinaire. Ce rapport constant est l'indice de réfraction extraordinaire dont il a été déjà question.

Dans certains cristaux , l'indice de réfraction extraordinaire est ]rius petit que Tiodice de réfraction ordinaire : aussi le rayon extraordinaire se réfracte en s'éloignant de l'axe optique. Dans d'autres cristaux, au contraire, le rayon extraoï-dinaire est réfracté vers

8q THBOmC BîATHliftfATfQUE

Taxe optique. Ou a donné à ces deraiere cristaux, parmi lesquels se trouvent le quartz , le zircon, la glace (eau gelée) , le nom de cristaux positifs ou attractifs. Les premiers se nomment négatlft ou répulsifs; de ce nombre sonl le spath dlslande, le saphir, le rubis, Fémeraude, le béryl , la tourmaline.

Le rayon ordinaire se meut avec une vitesse uniforme dans une substance doublement réfringente ; mais la vitesse du rayon extraor^ dinaire varie avec la position du rayon relativement à l'axe (^tique; elle atteint son maximum et son minimum, suivant qu'elle est perpendiculaire ou parallèle à cet axa

M. Brewster a le premier découvert qu'un grand nombre de cristaux , et entre autres Tarragonite , le mica , le sulfate de baryte , le sttlfiite de chaux, la topaze et le feldspath, avalent deux axes op^ tiques. 1^ premier, il a remarqué que le nombre de ces axes étrangle qu'ils forment entre eux dépendent de la forme cristalline, et peuvent devenir par conséquent un caractère distinctif.

Les cristaux peuvent être partagés en trois grandes classes, soi'vaut leur mode d'action sur la lumière : ils sont simplement té*fringents , uni-axes ou bi-axes. Les eristaux de la première classe appartiennent tous au système tessulaire ou cubique de Mohs ; les cristaux uni-axes ont pour forme primitive un rhoml)oèdre ou une pyramide droite. Les cristaux bi^axes appartiennent toas au système prismatique. Dans les cristaux uni-axes, l'axe optique est aussi Taxe de figure.

M. Brewster s'assura encore que le système des trois lignes que Ton obtient quand , après avoir divisé en deux parties égales les angles aigu et obtus des axes optiques, on mène une troisième ligne perpendiculaire aux blsectrices, se lie intimement avec la forme primitive du cristal, de telle sorte que si cette forme primitive est altérée par la compression mécanique ou des variations de température, le pouvoir réfringent du cristal e^ lui-même modifié.

En ajoutant à tout ce qui précède que l'une des deux images pro» duites par la double réfraction parait sensiblement plus voisine de l'œil que l'autre, et que cette distance apparente varie avec l'épais* seur du cristal et l'obliquité du rayon , nous aurons énuméré lés

DK LA LUmiCRB. jl

priiiel|Miiii fldtB relatffc à la double réfi-actioa; arrivons aux eiplications qu'on en a données.

61. Huygens, qui avait déjà déduit tant de conséquences remarquables de la théorie des ondulations, étudia ce phénomène quelques années après, et assigna ses véritables lois. Il donna le moyen de déterminer, par une construction aussi élégante que simple, la di« reetion du rayon extraordinaire, il ne fallait rien moins que son audace ou son génie pour oser almrder de front Tune des plus gran-«« des difficultés de la seienee. La construction du savant hollandais repose tout entière sur la forme des surfaces qui terminent les on-* des ordinaire et extraordinaire. Huygens avait démontré que l'onde qti donne naissance au rayon ordinaire est une sphère dans le verre et les antres milieux non cristallisés, c*est^-dire que, dans ces mi« |teux , la vitesse de propagation du mouvement ondulatoire est la même dans toutes les directions. Voyant que, dans le spath d'Is«« lande. Tonde qui correspond au rayon ordinaire est encore sphériqoe , il en conclut que la loi qui préside à la propagation du rayon extraordinaire devait s*écarter peu de cette simplicité première, et que si Tonde n*était pas une sphère , elle devait être un ellipsoïde. Constraisex, avait-il dit, un ellipsoide de révolution dont Taxe soit Taxe optique du cristal , qui ait son centre au point d'incidence, qui toit tel que, dans l'ellipse génératrice, le rapport du grand axe au petit axe soit égal au rapport du plus grand indice de réfraction an plut petit ; la vitesse de chaque rayon sera dès lors représentée par cthil des rayons vecteurs de Tellipsoide, qui a la même direction.

M. Peu satisfait , on ne sait pourquoi, de cette construction ingénieuse, Newtmi eut le malheur d'en substituer une autre, qu'il n'appuya d'aucune idée théorique , d'aucune expérience. L'Imposante autorité du physicien anglais, la vogue inexplicable du système de Témission, étouffèrent la voix d'Huygens. Sa belle loi fut oubliée , méconnue, jusqu'au moment ou le célèbre Young, après l'avoir déduite rigoureusement de la théorie des ondes, pressa Wollaston de la démontrer expérimentalement , et la fit adopter au monde savant tout entier comme l'expression certaine des faits. Dans un brillant mémoire couronné par l'Académie des sciences de Paris, Malus a jeté tant de lumière sur cette grande question que I le doute est désormais impossible. Ainsi donc » une construction

84 TlléORIE MATHÉMATIQUE

DtièrenieDt arirftraire, fatalement opposée par Newton à la repré* sentation exacte do phénomène , et qui, en faisant oublier one des plus curieuses lois de la nature, comprima pendant près d*on siècle k germe des plus brillantes découvertes, voilà ce que la théorie si vantée de rémission a fait pour Texplication des phénmnènes de la double réfraction.

63. Arrachée à Toubli par Young et par Malus , devenue \i\ ante et forte entre les mains de Tincomparable Fresnel, la théorie des ondulations a non seulement expliqué tous les fedts , elle a devancé l'observation et Texpérience. Fresnel a pris pour point de d^rt de sa théorie deux données fondamentales. Il admet : 1"* que les vibrations des molécules éthérées s'exécutent dans le plan de Tonde, perpendiculairement à l'axe du rayon ou à la ligne droite suivant laquelle le mouvement se propage ; 2" que la force élastique de Téther mis en vibrations dans Tintérieur des milieux cristallisés, varie en général dans les diverses directions. E^ principe des vibrations transversales a été énoncé d'abord par Robert Hooke en 1672» dans sa Micrographie. îje mouvement de ta lumière, disait ce savant illustre, est propagé par des pulsations ou ondes qui sont à angle droit avec la direction que suit la lumière. Young, qui développa un siècle plus tard ce grand principe, en déduisit des conséquences très remarquables. MM. Gauchy, Poisson, Blanchet) ont, comme nous l'avons dit, démontré mathématiquement sa possibilité et son existence; M. Ampère le rendait sensible, en admettant que l'éther était le fluide électrique neutre , et que la sensation de la lumière était le résultat des décompositions et recompositions que détermine, dans une série de molécules, la s^^aration initiale des deux molécules positive et négative dont se composait une première molécule de fluide neutre (i).

La seconde des données admises par Fresnel n'est pas moins naturelle et moins certaine que la première : c'est évidemment le cas le plus général ; l'hypothèse contraire serait une supposition particulière, dont rien ne iégitimerait l'admission à priori. Mais d'ailleurs , soit que nous admettions que le milieu vibrant se compose

(I) Comme cette explication d'Ampère est peu connue, nous la reproduirons telle que nous Tavons écrite nous-mème sous la dictée de Tilluslre physicien. Concevons que deux molécules , l'une P de fluide* positif, Taulre Nde

dn seules molécules étbérées, situées dans l'intérieur du cristal, soit que nous .admettions que les molécules cristallines participent elles-niémes au mouvement vibratoire, il est évident qu'entre ces

fluide négatif, se trouvent séparéei ^ par une cause quelconque. Pendant

y qu'elles seront dans un état de se-

^r i ^^>& paratîon , elles agiront sur une mo-

lécule neutre m composée d'une mo^

-tH -^ir \^ lécule positive p et d'une molécule

négative n, La molécule P exercera sur p une répulsion que Je représenterai par m a , sur n une at- ^•^' "^ traction m r. De même la molé-

cule N exercera sur p une attraction n ^, et sur n une répulsion m d. Si on Tait la composition des Torces, on trouvera que la molécule p sera sollicitée par une force m p égale à la diagonale du lozange ambp^ constrnit sur les forces ma y m à, tandis que la molécule n iera sollicitée par une force m n égale et opposée à la première : les mofécn-^ les p et 11 se sépareront donc. Elles reviendront ensuite Tune vers Kaulre, ilèi que l'aelion des molécules N et P aura cessé ; mais en général , elles dépasseront leurs positions d'équilibre et exécuteront une série d'oscillations. Pendant ces oscillations, elles agiront à leur tour sur une nouvelle molécule neutre m', et ainsi de suite; en sorte qu'il s'établira une série de vibrations traosTersales, qui se propageront dans la direcUon M m m' perpendiculaire an sens des vibrations. Ce mode de mouvement est conforme à celai qui , iuivaDt la théorie de Fresnel , produit la lumière. Si donc on admet que le flolde qui transmet la lumière soit précisément le fluide électrique neutre, on pourrait rendre compte des vibrations de ce fluide par des décomposilioni et des recompositions électriques qui, en effet, seraient transversales |Mr rapport à la direction de la propagation.

Od sera confirmé dans ceite idée, si l'on observe que les conducteurs vollaïques s'échauffent et rougissent par le conflit électrique, résultat dont on rendrait alors raison en supposant que les décompositions et recompositiona qui ont lieu dans ces fils , déterminent des décompositions et recompositions analogaes dans le fluide neutre environnant.

On pourrait aussi concevoir le développement de la lumière dans les combinaliODS chimiques énergiques. Soit pour exemple la combustion de l'hydrogène : pendant que l'hydrogène s'unit i l'oxigène pour faire de l'eau , Il fout concevoir que les atmosphères des molécules d'hydrogène et d'oxigène se réunissent pour faire du fluide neutre ; mais pendant l'instant où elles sont libres, elles agissent sur le fluide neutre environnant pour y déterminer des décompositions et des recompositions , telles que nous venons de le dire , auxqoelies on peut attribuer la lumière que produit la combinaison. Si l'on ad-

86 THÉORIE HATIIKMATJQUiC

deax MrtM de molécules il y a une telle liaison , une telle dépen* danee, qu'on sera forcé dans tous les cas d'admettre pour les pra* mlères ce qui est rigoureusement démontré pour les secondes, c*est-à-<lire que la force élastique varie avec la direction.

64. Fresnel a démontré, avec une très grande facilité , que le phénomène de la double réfraction est une conséquence nécessaire des deux hypothèses que nous venons d'admettre. Considérons » par exemple , le simple cas d'un rayon de lumière provenant d'un point infiniment distant, et tombant perpendiculairement sur la surface d'un cristal uni-axe, taillé parallèlement à l'axe. Comme Tonde incidente est plane et parallèle à la surface du cristal , chaque vibration moléculaire sera aussi parallèle à cette même surface , et nous pouvons la concevoir décomposée en deux autres , l'une parallèle, l'autre perpendiculaire à l'axe. Cela posé, l'élasticité mise en Jeu par ces deux systèmes de vibration étant différente, elles se propageront avec des vitesses différentes, et donneront naissance, dans le cristal, à deux nouvelles ondes, qui, comme nous le verrons, sont diversement polarisées. Si la seconde fhce du cristal est parallèle à la première , les deux rayons sortiront dans une direction normale, et l'unique effet de la réfraction aura été de retarder un des rayons. Si, au contraire, la seconde face est oblique, les deux rayons sortiront sous des directions différentes , et divergeront par conséquent.

65. Mais revenons à la théorie générale : supposons que, par suite d*un ébranlement produit dans un milieu quelconque, une molé^ cule soit déplacée. La résultante des forces élastiques qui tend à ramener la molécule à sa position d'équilibre n'agira pas en général dans une direction directement opposée à celle du déplacement ; Fresnel a toutefois démontré que dans chaque milieu il existe trois axes rectangulaires , tels que si les molécules sont déplacées dans la direction de ces axes, les forces élastiques développées agiront

mettait qu'il faut un certain degré d'inteniité dans les décompositions et les recompositions des fluides électriques , pour produire la sensation de la lu* roière, tant que la combinaison ne serait pas assez~ intense» il n'y aurait que de la chaleur , ce qui s'accorde très bien avec les idées actuelles sur l'identité du principe de la chaleur et de la lumière.

DE l.A LUMIRRE. 87

ea M» «mtraire des déplacements et suivant les mêmes lignes droÎT tes, quelles que soient d'ailleurs les lois de Faction moléculaire* Gomme rarrangemeot des particules cristallines est le même dam tonte retendue du cristal pour toutes les directions parallèles, et que d'ailleurs la force élastique de Téther semble dépendre unique** ment de la constitution cristalline du milieu i il est naturel d'admet» tre aree Fresnel que les directions des trois axes qu'il a appelés axes d'élasticité restent les mêmes pour tous les points du milieu erls^** tallisé.

Considérons maintenant un de ces points, et sur les trois axes d*é^ lestielté, ainsi que sur toutes les directions passant par ce même point, portons des longueurs proportionnelles aux racines carrées des forées élastiques correspondantes ; les extrémités de ces Ion* gueurs détermineront une surface que Fresnel a appelée surface d'élasticité, et à Talde de laquelle on détermine la vitesse de pro] pa^atîon des ondes, quand la direction des vibrations est âon«née. En effet» la force élastique étant proportionnelle au carré dti rayon vecteur de la surface d'élasticité, et la vitesse de propagation des ondes dans un milieu élastique étant nécessairement proportionnelie à la racine carrée de la force élastique, cette vitesse pourra être représentée par le rayon vecteur de la surface. En appelant d*ailleors a% b^y e^, les élasticités correspondantes aux axes, a, 6, y les angles que le rayon vecteur r fait aveo ces mêmes axes, on aura :

f^=:a* cos« OL + b* cos* S -h c" cos* y.

G>Ocevons mainteoent une onde plane qui s'avance dans Tintérienrdu cristal : en vertu du principe des vibrations transversales, le déplacement de chaque molécule sera parallèle au plan de l'onde, et Fresnel a démontré que dans ce plan il existe toujours deux directions ou axes rectangulaires, telles que si Ton décompose suivant ces axes le déplacement moléculaire, la force élastique mise en jeu par chaeane des deux composantes sera normale au plan de Tonde , et ne pourra par conséquent altérer en rien la propagation des ondes auxquelles les composantes donnent naissance. Donc ea réalité Tonde îmddente donnera naissance d«ns>K cristal à deux ondes seulement. Les deux axes ou directions rectangulaires , à Talée des^ qadies Fresnel parvient à éliminer Teffet de la force élastiquf obli-

88 iHÉOHrK MATHÉMATIQUE

que au déplacement et variable avec la position de la moléeule , sont le plus petit et le plus grand des diamètres de la section faite par le plan de l'onde dans la surface d'élasticité.

D'après ce que nous venons de dire, si Ton décompose le déplacement primitif en deux autres dirigés suivant ces axes , chacun des déplacements composants donnera naissance à une onde plane 4|ui se propagera avec une vitesse constante, et dans laquelle les vibrations conserveront toujours la même direction. Comme d'ailleurs la vitesse de propagation de Tonde est représentée par celle du rayon vecteur de la surface d'élasticité qui est parallèle aux vibrations moléculaires, il en résulte que les vitesses de propagation des deux ondes réfractées seront proportionnelles au plus grand et aa plus petit diamètre de la section faite dans la surface d'élasticité, par un plan parallèle aux vibrations du rayon incident. r.es vitesses des ondes réfractées étant par là même inégales , elles se propre* ront suivant des directions différentes, dans Tintérieurdu cristal, et la bifurcation ou le partie du rayon incident en deux rayons réfractés distincts se trouve très naturellement expliquée.

De plus, les amplitudes des vibrations composantes sont représentées par les cosinus des angles que la direction de la vibration incidente fait avec les deux axes rectangulaires ; et comme les intensités des rayons réfractés sont mesurées parles carrés des amplitudes, elles le sei*ont aussi par les carrés des cosinus. L'on retrouve ainsi la loi admise d^abord sans preuves par Malus , mais vérifiée depuis par les belles expériences de M. Arago.

66. Quand on connaît pour toutes les directions dans l'intérieur du cristal, la vitesse de propagation de chaque onde plane, on peut déterminer facilement la forme de l'onde curviligne enveloppe de toutes ces ondes. Fresnel a appris à la déterminer par la construction suivante, aussi élégante que simple : « Concevons un ellipsoïde dont les axes soient les axes a, 6, c de la surface d'élasticité, et coupons-le par une série de plans diamétraux : à partir du centre de chaque section, et sur une normale au plan diamétral correspondant , portons deux longueurs égales au plus grand et au plus petit diamètre de la section: le lieu géométrique de tous les points ainsi obtenus sera Fonde cherchée. »

- Cette surface étant connue , pour avoir la direction [des" deux

DK LK LUMIÈRE. Sg

niyf«s réfractés , il suffira , comme dans la constractioD d'Huygeos, démener deux plans tangents aux deux nappes de Tonda Supposons , pour fixer les idées , qu'on ait construit les trois surfaces qui représentent pour un point donné les positions simultanées des ondes incidentes et réfractées ; la première de ces surfaces situées dans l*air est une splière; les deux autres, placées dans Hntérieor du cristal , sont les deux nappes de la surface déterminée par la construction de Fresnel. Prolongeons le rayon incident jusqu'à SA rencontre avec la sphère, et par le point dMntersection menons un plan tangent qui coupera la surface réfringente suivant une certaine ligne : par cette ligne , conduisons deux plans tangents aux deux nappes de Tonde réfractée; les deux droites qui joindront le centre avec les points de contact des deux plans tangents seront les directions des rayons réfractés.

Il est facile de voir que la direction du mouvement vibratoire en un point quelconque de la surface de Tonde coïncide avec la projection dn rayon vecteur sur le plan qui touche la surface en ce point. Dès lors , si du ceotre nous abaissons des perpendiculaires sur les plans tangents aux deux nappes de Tonde , les lignes qui uniront les pieds de ces perpendiculaires avec les points de contact seront les directions des vibrations dans les deux rayons pendant que les vitesses de propagation des ondes, et les vitesses des rayons seront mesurées respectivement par les perpendiculaires et les rayons vecteurs.

l/équation de la surface de Tonde est du quatrième degré ; M . Hamilton lui a donné cette forme très élégante :

x^+ y^ +z^ --a'^ x^-^-y^-^z^ — h* ' a^ -f- ya 4- «^ — c'

Il résulte de la construction de Fresnel que dans deux directions, celles des normales aux deux sections (Circulaires de Tellipsoïde d'élasticité » les deux nappes de Tonde ont un même rayon vecteur, ce qui entraîne pour les deux rayons réfractés une même vitesse. Si i*on désigne par o», ta' les angles que le rayon vecteur mené à un point quelconque de la^surface de Tonde fait avec les deux normales dont nous venons de parler , par r, r' les deux rayons vecteurs

9^ THÉORIE MATHËMiLTIQUF

terminés aux deux nappes de la surface , Téquatlon d« Tonde pourra être remplacée par les deux formules suivantes :

qui doDueront les vitesses des rayons réfractés, puisque ces vitesses sont mesurées par les rayons vecteurs r, r'. En retranchant ces deux équations Tune de l'autre, on trouve :

ITT = I J sm « sm m'.

Donc si Ton divise tour à tour Tunité par les carrés des deux demi -axes de la section diamétrale de rellipsoïde d'élasticité, la différence de ces fractions sera proportionnelle au produit du sinus que la perpendiculaire à cette section fait avec les deux normales aux plans des sections circulaires de Tellipsoïde, ou avec les directions dans lesquelles les deux rayons réfractés ont la même vitesse. Dans tous les cristaux connus, ces deux directions diffèrent très peu des axes optiques, et peuvent, sans erreur sensible, être supposées coïncider avec elles; on arrive de celte manière à une loi très remarquable à laquelle M. Biot fut conduit par analogie.

Les axes optiques (qui sont aussi les lignes suivant lesquelles les deux portions de Tonde ont la même vitesse de propagation) et les lignes d'égale vitesse des rayons réfractés sont situées dans le plan des axes de plus grande, et de plus petite élasticité. L'axe de plui grande élasticité divise en deux parties égaies Tangle 2 6 des axes optiques , et l'angle 2 9^ des lignes d'égale vitesse ; on a d'ailieurs :

Tang e = '^ — . tang 6' = ^

Si 6 = cou ô=a,ona e = 0,0^ = 0, ou 6 = 90", e' = 9r; les deux axes optiques se confondent et coïncident dans le premier cas avec Taxe de plus grande élasticité ; dans le second , avec Taxe jde plus petite élasticité. Alors aussi m = v' et les équations de la .•surface de Tonde deviennent

OK LA LIIMIKAK.

la première équation représente un ellipsoïde de révolotion , et la seconde une sphère. La surface de Tonde dans les cristaux à un axe est donc réellement formée , comme l'admettait Huygens , d*une apfaère et d*un ellipsoïde de révolution.

Sr les trois axes d'élasticité étaient égaux , la surface de Tonde se réduirait à une sphère unique » la vitesse de Tonde et du rayon serait la même dans toutes les directions : la loi de la réfraction simple est la loi connue de Snellius.

67. Même après la découverte des cristaux à deux axes , on avait supposé que la vitesse de Tun des rayons réfractés restait constante, et que , par conséquent , ce rayon suivait la loi ordinaire des sinus , la théorie de Fresnel , au contraire , forçait à admettre que la vitesse des deux rayons varie avec la direction , et que tous deux , par conséquent , se réfractent suivant une loi toute nouvelle. Cette conclusion étant trop remarquable pour qu*on pût négliger de la vérifier par Texpérleuce, le monde savant attachait le plus vif intérêt à cette vérification, qui devait décider du sort de la théorie nouvelle. La gloire de Texpérience, comme la gloire de la théorie , appartient tout entière à Fresnel. Par une méthode que nous indiquerons plus tard , il mesura directement la vitesse des deux rayons dans des lames de topaze taillées suivant des directions différentes par rapport à leurs axes « et la trouva variable. Il prit encore deux prismes taillés dans le même cristal de topaze , mais dans des directions différentes ; Il les souda face à face , en sorte que leurs bases se trouvaient dans un même plan , et leurs arêtes en ligne droite, puis il les polit soigneusement^ afin de rendre leurs angles tout-àilait égaux. Le prisme composé ainsi formé fut achromatisé par un prisme de verre; et en regardant à travers cet ensemble une ligne lumineuse, on observa que Timage la moins réfractée, c*est à-dire rimage appelée ordinaire , plus déviée dans Tun que dans Tautre prisme, paraissait rompue à leur jointure ; il fallait nécessairement CD conclure que le rayon est inégalement réi'racté dans les différentes directions. Lorsque» des deux plans des angles réfringents dans les deux cristaux , Tun étfdt parallèle » Tdutre perp^diculaire

9^ TflEOltlE MiTKlMA.TlQUK

au plan de la section principale , c*est-à-dii-e au plan de ]a section correspondante à Taxe moyen d*éiasticité, les deux images les plus ]*éfractées, c'est-à-dire les deux images extraordinaires, formaient une ligne continue, et par conséquent les deux rayons étaient dans ce cas également réfractés ; et c'est précisément ce que le calcul indiquait à priori.

68 . Cette théorie a rendu réellement compcto de tous les faits ; elle a été aussi heureuse et féconde que la théorie de l'émission a été ingrate et stérile. Elle s'applique très bien à la difTérence Indiquée par l'expérience entre les cristaux positifs et négatifs. Elle nous ap* prend que les cristaux positifs sont ceux pour lesquels l'axe de révolution de rellipsoïde de Huygens étant l^grand axe de Telllpse génératrice, l'ellipsoïde est alloiQgé au lieu d*être aplati à ses pMes.

Quant à la distinction des cristaux simplement réfringents, uni« axesoubi-axes, ou comprend facilement, 1* que comme, dans le système cubique , on peut toujours assigner trois directions ou axes rectangulaires autour desquels la figure est parfaitement symétri* que , il est naturel de penser que la densité et l'élasticité du milieu éthéré restent les mêmes suivant les trois axes , et par suite dam toute l'étendue du cristal, ce qui entraîne la réfraction simple; 2^ qu'au contraire , comme dans le système rhomboédrique qui a pour forme primitive uu rhomboèdre ou une pyramide droite , il n'y a qu'un axe de figure , qu'une seule ligne autour de laquelle tout reste symétrique , on peut admettre raisonnablement que Télasti-^ cité du cristal est plus grande ou plus petite dans cette directiott que dans les autres , taudis qu'elle est égale dans toutes les directions perpendiculaTes à la première ; de là vient la double réfraction qui a pour axe l'axe de figure; 3° enfin, dans le système pyramidal, qui a pour forme primitive une pyramide oblique, il n'y a plus d'axe de figure : tout porte à croire que la densité du cristal, et par conséquent l'élasticité du milieu, est inégale dans toutes les directions. Or c'est réellement le cas des cristaux a deux axes.

Dansées dernières annét^'S, deux conséquences remarquables des calculs de Fresnel sont devenues l'occasion de deux expériences complètement neuves, etqu' fournissent une preuve frappante, in'éeusable» de la vérité de la théorie des ondulations : nous vouIoob parler des phénomènes dç la réfraction conique.

DE LA LUMIJ^RR. g3

69. Réfraction conique, — Si, pour obtenir Tinterseetion de la surface de Fonde avec l'un des plans coordonnés , le plan z x par exemple, on fait dans son équation y = o, il viendra :

Cette dernière équation se décompose dans les deux suivantes :

a;* + «* ^ b\ a' ar' + ^' «' — a> c" = o,

et donne, pour Tintei^section cherchée , TensemUe d*un cercle et d*une ellipse. Ces deux courbes, qui ont un centre commun, se couperont nécessairement en quatre points , puisque le rayon du cercle est intermédiaire entre les deux axes de reHipse. Pour ces points d'intersection, les deux rayons vecteurs de la surface de Tonde se réduiront à un seul, et par conséquent les ondes lumineuses déterminées par les rayons qui pénètrent le cristal dans la direction de ces rayons vecteurs, auront même vitesse. Leurs directions à l'émergence seront d'ailleurs déter* minées par la direction des deux tangentes menées au cercle et à Tellipse par le point d'intersection P. Comme il n'y a que deux tangentes , il semble qu'il ne doive y avoir à la sortie que deux ondes planes, comme Fresnel lui-même l'avait cru. Mais M. W. Haroilton démontra plus tard par l'analyse que le point P est le point d'intersection de chacun des systèmes de deux courbes dont se composent les diverses coupes faites dans la surface de Tonde par les plans menés suivant le rayon vecteur O P. Dès lors, au lieu de deux tangentes , on aura un cône du second degré tangent à la surface , au point singulier P ; et par consé({uent , tout rayon qui pénétrera la surface dans la direction 0 P devra nécessairement s'épanouir à la sortie , et former un cône lumineux en se partageant en autant dit rayons qu'il y a de tangentes.

Ce n'est pas tout encore : le cercle et l'ellipse ont quatre tangentes communes , telles que MN , et les plans menés par ces tangentes perpendiculairement à la section , sont nécessairement perpendiculaires aux axes optiques du cristal. Fresnel semble avoir cru que chacun de ces plans touchait la surface en deux points seulement

94 THÉORiB iiatub;»iatiqij£

et il en concluait que tout rayon tombant sur un criata) à deux axes, de telle sorte que J*un des rayons réfractés coïncidât aveo un axe optique OM , devait se diviser dans Tintérieur du cristal en deuj[ rayons OM, OM' aboutissant au point où la surface rencontre le plan tangent mené par le point M perpendiculairement à l'axe optique. Or, M. Uamilton découvrit que les quatre pians dont nous avons parlé ne touchaient, pas seulement la surface de Tonde en deux points, mais dans un nombre infini de points constituant pour chacun d'eux un petit cercle de contact; et il en résultait qu'un rayon de lumière ordinaire arrivant de l'extérieur dans la direction assignée, devait i>e partager dans Tintérieurdes cristaux en un nombre Infini de rayons réfractés.

70. M. Hamilton avait doue déduit de la théorie de Fresnel deux conséquences nonseulementinattendues, mais inconciliablesavec tous les faits observés jusque là , mais contraires à tout ce que par aoalogis on aurait pu déduire de l'expérience. Ces deux conclusions, que la plus subtile analyse avait seule mises en évidence , paraissaient si extraordinaires y si singulières même , qu'on se sentait naturellement porté à rejeter la théorie qui leur avait donné naissance, et il fallait nécessairement reconnaître que leur réalisation, que l'accord du calcul et des faits serait la preuve de la théorie la plus certaine , la plus frappante qu'on pût imaginer. Inquiet de la portée de ses calculs , M. Hamilton pressa vivement son ami , M. Lloyd , de soumettre la théorie des ondulations à cette rude épreuve , de demander à l'expérience un jugement en dernier ressort. Les premiers essais du physicien irlandais ne furent pas couronnés de succès ; les cris* taux qu'il avait à sa disposition étaient trop petits pour qu'on p&t rien observer. Ce fut seulement lorsqu'il eut obtenu de Dollond un grand cristal d'arragonite , qu'il put constater et rendre évidente aux yeux les plus prévenus l'existence de la double réfraction conique dont nous venons de parler.

La première, que M. Hamilton a nommée extérieure, devait, comme on l'a vu, se manifester nu passage à travers le cristal d'un rayon lumineux dirigé dans le sens d'une des lignes d'égale vitesse. Ces lignes coïncident presque avec les axes optiques du cristal et comprennent dans l'arragouite un angle d'environ 20''. La plaque dont M. Lloyd se servit avait ses faces perpendiculaires à la ligne

DE LÀ LDMIÈRS. g5

qui divise en deux parties égales l*ang]e des axes optiques, de sorte que les lignes d'égale vitesse faisaient de chaque côté de la perpendiculaire des angles d*envlron 10". Soient OM et ON ces lignes également inclinées sur la normale OP : un rayon de lumière traversant la plaque dans la direction OM ou M 0^ devait, au point d*émergence, former un cône lumineux Oab, ou M a' 6^ dont Tangle au sommet dépendant des axes d*élasticité est pour Tarragonite dç près de 3 degrés. Une lame métallique très mince et percée d'une petite ouverture fut appliquée sur chaque face du cristal , de manière que la ligne de jonction des deux ouvertures fût parallèle à MO. On approcha ensuite la flamme d'une lampe, placée de ma* ïilère que la partie centrale du faisceau convergent vers Toui^erture delà première face fit un angle d'incidence de 15 ou 16 degrés. L'appareil étant ainsi disposé , on voyait paraître , en regardant par i^autre ouverture , un anneau brillant de lumière , comme l'indique la figure cl-jointe. Quand la ligne des ouvertures n'avait plus la direction MO, le [phénomène changeait brusquement , et l'anneau se transformait dans les deux faisceaux dont se compose ordinairement le rayon réfracté. M. Lloyd répéta les mômes expériences avec la lumière solaire, et parvînt à observer la section du cône lumineux à différentes dift-> tances du sommet.

Lorsque , dans le cas où la ligne qui Joint les deux ouvertures avait la direction OM , on substituait sur la face voisine de la lampe une pe^ tite ouverture linéaire à l'ouverture circulaire , on remarquait dans les phénomènes observés des variations remarquables. Quand le plan déterminé par les deux ouvertures , dont la première était une petite ligne, coïncidait avec celui des axes optiques , d'aprè» lei éées reçues jusqu'alors, tous les rayons transmis par la seconde ëaverture devaient subir une double réfraction dans le plan môme des axes optiques , de manière à ne laisser apercevoir aucune diffé-

96 THKOEIK MATHJ<:M\TIQUK

rence de largeur dans toute retendue de la ligne lumineuse émergente. D'après M. Hamilton , au contraire , le rayon transmis suivant la direction CM , devait être réfracté dans tous les plans: c*est précisément ce qui eut lieu , car, dans le voisinage de chacun des axes optiques, on remarquait sur la ligne lumineuse observée un renflement terminé du côté des axes optiques par une courbe ovale. Il était facile de voir que cette courbe n'était autre que la conchoïde de Nicomède, ayant précisément pour asymptote la ligne optique tracée sur la première surface.

71 . La seconde réfraction conique, appelée intérieure par M. Hamilton, devait se produire toutes les fois qu'un rayon extérieur tomberait sur un cristal à deux axes dans une direction telle que l'un des rayons réfractés coïncidât avec un axe optique. Le myon inddept devait alors s'épanouir dans l'intérieur du cristal , en un cône dont Tan^e au sommet fût pour l'arragonite de l"" 55^ De plus , les rayons dont l'ensemble forme le cône devaient subir à la face de sortie une réfraction qui, les rendant parallèles au rayon incident « en fit un cylindre ayant pour base la se^ tion faite dans le cônç par la face d'émergence. La petite étendue du cône , la difficulté de donner exactement au rayon incident la direction qu'il devait avoir, tout contribuait à rendre presque impossible l'apparition du phénomène. M. Lloyd essaya néanmoins avec confiance ; il fit tomber sur le cristal un rayon très étroit parti d'une lampe placée à distance , et dont la direction variait par degrés toutà-fait insensibles: dès qu'on avait atteint la position indiquée par la théorie , les deux rayons réfractés s'épanouissaient subitement en un cercle continu dont le diamètre était égal à la distance primitive des deux rayons réfractés. On refit l'expérience avec la lumière solaire ; la section du faisceau émergent fut reçue à diverses distances sur de petits écrans de papier argenté : elle parut toujours circulaire et sensiblement égale, ce qui prouvait bien que ce faisceau était un cylindre lumineux ; on put observer et mesurer l'angle du cône formé dans le cristal , il était à très peu près ce qu'avait indiqué la tiiéorle ; on trouva r M au lieu de !• 65'.

DS tA LOMIEAB. ^m

72. Ces carieiMS expériences oDt été n5pétée8portoDt,à!'exc^^^^ peut-être de la France, qui cependant devait prendre d'autant plus d'intérêt à cea recherches qu'elles étalent le plus heau fleuron de la couronne de son Fresnel. II est triste de voir qu'au lieu de déposer l^éreusement les armes, les partisans du système de l'émission soient presque panenus à oublier et à faire oublier une des plus belles conquêtes de la science moderne. « Aucune expérience physique, disait M. Plucker, dans son admirable mémoire sur la forme générale des ondes lumineuses (1), n'a fait autant d'impression sur mon esprit que la réfraction conique. Un rayon de lumière unique entrant dans un cristal et sortant sous raspec^l d'un cône lumineux c'était une chose inouïe et sans analogie. M. Hamilton l'annonça en partant de la forme de l'onde , qui avait été déduite par de longs calculs d'une théorie abstraite. J'avoue que j'aurais désespéré de voir confirmer par l'expérience un résultat si extraordinaire, prédit parla seule théorie que le génie de Fresnel avait nouvellement créée. Mais M. Lloyd ayant démontré que les expériences étalait en parfaite concordance avec les prédictions de M. Hamilton , tout préjugé contre une théorie si merveilleusement soutenue a dû disparaître. »

Comment, en effet, résister à cette accablante argumentation? Si le système de l'émission est vrai, si la théorie de Fresnel est une chimère, la surface de l'onde est imaginaire ; il n'exista pour elle ni point singulier, ni cône lieu géométrique d'une infinité de tangentes, ni plan tangent qui la rencontre suivant un cercle. Il sera absurde même de penser que le rayon émergent s'épanouisse suivant un cône dont les aiêtes n'existent pas; la réfracUon conique, en un mot, sera une absurdité; et cependant elle a été constatée , et l'épanouissement de lumière a été observé par tous ceux qui ont voulu le voir; donc le cône et le plan tangient sont des faits, donc la surface de l'onde est réelle, donc le système de l'émission est une assertion gratuite incompatible avec des phénomènes certains, donc le système des ondulations est seul vrai , et mérite seul d'occuper un esprit raisonnable. 73. M. Pc^iendorffaindiqué en 1839, dans ses .4 nna/w, t. xLvni,

(f) Jonintl de mttbémttlqaes pares et appliquées de Crellt, tome XIX , psie44,

g8 THCOIIIE HATHMUATIQUC

pag. 4Bit un noyen beancoop plus fadlc d^crfnerrcr la réfraction coBîqiie intérieiire. On prend me plaque d*amçooîte, aussi homo* gène qu'il crt possible 9 et taillée, canuBeMosTaTonsdil, perpendicnfaarcBieDtà l'axe moyen ou à la ligne <iindi\ise en denx parties égaka Tangle des axes optiques; on eoaTre Fuce des faces d'ane petite feuille d'étain percée d*va trou raod à i*alde d'une aiguille très fine, puis sur l'autre lace , à une distanee convenable y OQ adapte UD€ loupe. Si Ton dirige r^W^ffeil ainsi di^06é vers un ciel pur, ou yen la flamme intense d'une lampe, on ^errôit généralement deux images de la petite ouverture circulaire; mais en déplaçant un peu Tceil tout alentour, on reneontre bientôt le point où les deux images se confondent et se transforment en un cercle très brillant. M. Poggendorf a remarqué, dans chacune des images de Ton verture, un point noir qui, dans Tanneau lumineux , donnait naissance à nn eerde obscur et très délié. M. Plateau a de plus souvent cru voir dans ce mtme anneau de petites lignes lumineuses très fines , ayant U forme de rayons émanant du centre.

74. Avant de terminer ce qui regarde la double réfraction, disons les remarquables progrès qu*a Ihits dans ces dernières années Tétude de la surfttte de Tonde. On sait que Fresnel a donné deux constructions isolées de cette surface, l'une par l'ensemble des plans tangents , Fautrc par la détermination d'un nombre indéfini de points isolés. Ces deux constructions, ainsi que toutes celles que Ton a iudlquécsjusqulci, reposent sur la considération des deux elllpsaides:

a^, b\ (fl sont les élasticités dans le sçns des trois axes d'élasticité.

M. Magnus a prouvé par un calcul très simple que si du o^tre

Ton abaisse des perpendiculaires sur les plans tangents du premier

ellipsoïde^ le lieu géométrique des pieds de ces pendieulaires est la

surface d'élasticité.

M. Piucker a démontré depuis que les longueurs des rayons vecteurs de la surface d'élasticité et du second ellipsoïde, dont les directions coïncident avec une même Ugnedroitequelconque, sont l'inverse de l'autre , de sorte que leur produit est égal à l'unité.

Fresttel avait dit : «Qu'on fasse passer un plan quelconque par le eentre du second ellipsoïde , et (iu*on élève à ce plan des perpendiculaires égales à Tunité divisée tour à tour par les deux demi-axes de \ TeOlpse d'intersection , les plans parallèles au plan sécant , et passant par les extrémités de ces perpendiculaires , sont tangents à Inonde lumineuse.» C'est la construction de la surface de l'onde par les plana tangents.

Il avait dit encore : « Après avoir coupé le premier ellipsoïde par un plan diamétral, menez à partir du centre deux droites perpendiculaires à ce plan et respectivement égales au plus grand et au plus petit diamètre de Tellipse d'intersection : le lieu des extrémités de ces perpendiculaires sera la surface de l'onde lumineuse.» C'est la construction par points de cette même surface.

Fresnel avait Jugé impraticables les calculs nécessaires pour lier bt seconde construction à la première. M, Ampère, remplissant cette lacune ^ déduisit le premier d'une manière rigoureuse l'équation de Tonde en coordonnées ordinaires.

M. Plucker, dans une note qui fait suite au beau mémoire que nous avons déjà cité , indique une nouvelle construction qui , renfermant à la fois les deux constructions de Fresnel, rend inutiles les calculs immenses de M. Ampère. En un point quelconque M de la surface du premier ellipsoïde, construisez le plan langent , et alialssez du centre 0 une perpendiculaire OF sur ce plan. Faites tourner ensuite le triangle MO? dans son propre plan, autour du eentre O, de manière qu'il décrive un angle de ^O^.Dans la position nouvelle du triangle MOP , le point M appartiendra à la surface de Tonde lumineuse, tandis que le plan perpendiculaire à OP en P » plan qui dans la position primitive du triangle touchait TeU Upsolde , sera tangent à i*onde en M. Enfin , le plan même du triangle sera le plan de vibration.

Cette si élégante construction repose sur des considérations de la plus extrême simplicité; on peut en bannir jusqu'à la dernière trace du calcul, en remplaçant par des considérations directes les développements analytiques qui avaient conduit à la solution du problème suivant : un ellipsoïde et un de ses points M étant donnés , conduire par ce point un plan diamétral tel que l'un des deux axes de TeDipse d'intersection se confonde avec OM. Voici oom-

100 THEORIE HATHléMATlQtTC

ment M. Plucker résout synthétiquement ce problème: Les tangentes en M à chacune des ellipses d'intersection , dont le plan passe par le rayon vecteur OM, forment en général des angles di/Térents ; dans l'ellipse à construire cet angle est droit. Chaque ligne droite qui, dans le plan tangent à rellipsoide en M, passe par ce point , est du nombre des tangentes en question ; il s*agit donc de choisir parmi ces droites celle qui est perpendiculaire au rayon vecteur OM . Pour cela, abaissons du centre 0 une perpendiculaire OP sur le plan tangent, joignons les deux points M et P par une ligne droite MP et menons par M , dans le plan tangent, une droite per^pendiculaire à MP. Cette ligne droite sera la tangente demandée. L'on n'aura donc qu'à faire passer un plan par le rayon vecteur OM, et la ligne droite que nous venons de construire , pour que ce rayon vecteur coïncide avec un des deux axes de Tellipse d'intersection. Pour de plus amples développements, voyez le Journal de Crelle , tome XIX y pages 1 et 91,

Dans un travail présenté à l'Institut le 20 mai 1839, et qui vient d'être publié dans les Mémoires de V Académie des sciences, M. Cauchy indique une méthode analytique très simple qui fournit immédiatement l'équation de la surface de l'onde. Ce travail, quia pour titre Mémoire sur la polarisation reciiligne et la double ré^ fraction, n'est pas susceptible d'analyse. Arrivons enfin à une nouvelle série de phénomènes , à la polarisation.

75. Polarisation. — Dans le cours de ses recherches, Huygens s*aperçut le premier que lorsqu'on faisait passer à travers un second rhombe d'Islande les rayons obtenus par la double réfraction , les deux rayons auxquels chacun d'eux donne naissance ont des intensités bien différentes ; leur clarté relative dépend de la position du second rhombe par rapport au premier; dans deux positions , l'un de ces rayons s'évanouit; ces deux positions sont précisém^t celles dans lesquelles les sections principales des deux cristaux sont parallèles ou perpendiculaires. Lorsque les sections sont parallèles, le rayon qui , dans le premier cristal , a suivi les lois de la réfraction ordinaire est réfracté ordinairement , tandis que le rayon extraordinaire est de nouveau réfracté extraordinairement. C'est le contraire quand les deux sections principales sont perpendiculaires ; dans ce cas y le rayon ordinale subit la réfraction extr^iordii^ire^ et le rayon

DE LÀ LUMI^^RR. lot

extraordinaire se réfracte ordinairement. Dans toute position intermédiaire, chacun des rayons réfractés par le premier cristal se divise en deux autres dMntensitës tout-à-fait inégales, et proportionnelles au carré du cosinus de la distance angulaire qui sépare la section pi-incipale de la position de plus grande intensité.

Il résulte évidemment de cette observation inattendue que les rayons réfractés obtenus à Faide du premier rhombe sont doués de propriétés nouvelles qui les distinguent totalement des rayons solaires ordinaires; on dirait qu'ils ont acquis des côtés ou des pôles par lesquels ils sont plus ou moins transmissibles. Leur réfraction ultérieure dépend de la position par rapport à ces côtés ou à ces pèles de certaines faces planes situées dans l'Intérieur du cristal. Telle est la conséquence que Ne>vton tira le premier de l'observation d'Huygens: « Ce fait, disait-il, suppose dans les côtés du rayon une vertu de disposition qui a des rapports de correspondance ou de sympathie avec une vertu ou une disposition corrélative du cristal; c*est ainsi que les pôles de deux aimans se correspondent mutuellement »

76. Ouoî<P^e le fait découvert par Huygens fût de nature à exciter le plus vif intérêt; quoiqu'il eût paru à New ton d'une importance assez grande pour qu'on dût en conclure Texistence dans les rayons lumineux de propriétés merveilleuses qu'on n'avait pas méme^oupçonnéeSy il resta pendant plus de cent ans un fait isolé dans la science , et Ton ignora jusqu'au commencement de ce siècle les propriétés que la lumière acquiert dans un degré plus ou moins grand , lorsqu'on lui fait subir une modification quelconque.

En 1808, Malus dirigea par hasard un prisme doublement réfringent vers les fenêtres du palais du Luxembourg, alors qu'elles réfléchissaient les rayons du soleil couchant , et il fut tout étonné de voir, en tournant le prisme, que l'image ordinaire de la fenêtre disparaissait presque dans deux positions opposées , tandis que dans deux autres positions, situées à 90 degrés des premières, c'était Timage extraordinaire qui s'évanouissait. Frappé de l'analogie qui existait entre ce phénomène et le fait observé par Huygens , Malos crut que le passage à travers l'atmosphère communiquait à la lumière les mêmes propriétés que le passage à travers un rhombe d'Islande. Abandonnant bientôt cette idée, il s'assura que la réflexion

laa TQlÂOniE M^THÉAfilTIQUE

était la véritable cause du phéDomène qu'il avait observé ; et en étudiant avec le plus grand soin les circonstances nécessaires à sa production , il arriva à cette proposition fondamentale ; « Lorsque la lumière est réfléchie sous certains angles par la surface du verre, de Teau , ou d*un milieu transparent quelconque , il revêt les mêmes caractères que s'il avait subi la double réfraction. » Si le rayon ainsi réfléchi vient tomber sur un prisme doublement réfringent , un des deux faisceaux dans lesquels il est généralement divisé s'évanouit dans deux positions du rhombe , c'est-à-dire lorsque la section principale du cristal est parallèle ou perpendiculaire au plan de réflexion. Dans les positions intermédiaires, les deux rayons passent par tous les degrés d'intensité.

77. Un rayon de lumière semble donc acquérir des côtés ou des p61es quand il est réfléchi sous un certain angle par un milieu transparent, ou quand il a subi la double réfraction, et l'on dit alors qu'il est polarisé, l^ plan de polarisation est celui dans lequel le rayon a dû se réfléchir pour être polarisé; il doit être considéré comme un des côtés du rayon polarisé, et on le détermine expérimentalement par ses relations avec la section principale d'un cristal doublement réfVingent, puisque le rayon subit la seule réfraction ordinaire quand la section principale est parallèle au plan de polarisation.

En général, lorsqu'un rayon de lumière venu directement d'un corps lumineux par lui-même, est réfléchi par une surface sous un certain angle, l'intensité du rayon réfléchi restera la même que la surface , soit au-dessus ou au-dessous, à la droite ou à la gauche du rayon incident. Mais si au lieu d'un rayon direct on fait réfléclûr un rayon polarisé par une des méthodes que nous avons indiquées, le côté par lequel le plan se présente au rayon n'est plus indifférent ; l'inclinaison du rayon réfléchi reste toujours la même quel que soit ce côté, mais son intensité sera très différente; le rayon qui est réfléchi avec l'intensité maximum, quand la nouvelle surface se présente par un côté sous un certain angle, sera entièrement transmis si elle se présente par le côté opposé, toutes les autres circonstances restant les mêmes.

78. Le rayon polarisé retient indéfiniment ses pôles ou côtés , et tant qu'il ne sera pas modifié par une nouvelle réflexion ou réfraction , il conservera dans tout le reste de sa route certaines relations

DE Là LUMIÈRK. 1o3

avec Fespace eoTiroDiiant. On le distiogue d*an rayon non polarisé à Faide des caractères suivants s

lo II n'est pas divisé en deux bisceaox par un cristal doublement réfringent dans deux eertaines positions de la section princi* pale de ce cristal : il subit )a seule réfraction ordinaire ou la seule réfraction extraordinaire » suivant que la section principale est parallèle ou perpendiculaire au plan de polarisation. Dans toute autro position du cristal , la réfraction est double et rintoisUé des rayons réfractés varie avec cette position.

2* Il n*est pas réfléchi par la surface polie d'un milieu transparent, si œtte surface se présente à lui sous un certain uigle, et de telle sorte que le plan d'incidence soit perpendiculaire au plan depolarisa* tion ; tandis qu'ilest partiellement réfléchi, si lasurface réfléchissante se présente sous un autre angle et dans un autre plan d'ineidenee. 3" Il n est pas transmis par une plaque de tourmaline dont l'axe est parallèle au plan de polarisation ^ tandis qu'il est transmis aveo une Intensité croissante , lorsque Taxe du cristal tourné.

Ces propriétés , qui sont essentielles au rayon polarisé , et qui lui appartiennent exclusivement 9 le feront partout reconnaître*

79. Malus trouva que toutes les surfaces réfléchissantes, à l'ex-^ ception des métaux , polarisaient la lumière » et que l'aigle de pola« risatîon variait avec les diverses substances : il n'alla pas plus loin. Il était réservé à M. firewster de découvrit qil'il existe une liaison néeessaireentreles pouvoirs polarisants etréfriogentsd'ane substance donnée ; il démontra , en 181 1 , que l'Indiee de réfraction est la tan-* gente de l'angle de polarisation. Dès lors , quand l'iodiee de réfrae* tion est omnu, on peut trouver immédiiAement l'angle de polarisation 9 et réciproquement. La belle loi de Brewsler peut encore s*énoDcer coomie il soit : L'angle de polarisation est tel , que le rayon réfléchi et le rayon réfracté forment entre eux un angle droit. Désignons, en effet, par e l'indice de réfraetion , parj^ =s î, p, et r les angles de polarisation et à la foisd'inddenee, de réfraetion, et de réflexion, on aura:

sin t sinn ^ sfaio sinp

tf = - - = --- =tangp,ou — - = -— ^

sinf smp eos/i sin p

etparooniéqueniy

cosp = slli p, p +• p=î90*;

104 THiiORIB ItATHiMA^TlQUe

or, l'angle de réflexion r, est égal à rangfle d'incidence j>, donc r + p= 90* ; le rayon réfléchi est perpendiculaire au rayon réfracté.

SO. La loi de Brewster s'applique an cas où 'a lumière est réfléchie par la surface d'un milieu plus rare, comme au cas où elle est réfléchie par la surface d'un milieu plus dense. U en résulte que les deux angles de polarisation à la surface de séparation des deux mêmes milieux, sont compléments l'un de l'autre ; car l'indice de réfraction au passage du milieu plus dense dans le milieu moins dense est réciproquement proportionnel à Tindice de réfraction au passage du milieu moins dense dans un milieu plus dense, et par conséquent les tangentes des angles dfe polarisation, proportionnelles à ces indices de réfraction , seront elles-mêmes inversement proportionnelles : la tangente d'un des angles sera la cotangente de l'autre ; la somme des deux angles formera un angle droit.

II en résulte que si un rayon de lumière tombe sur un milieu terminé par deux plans parallèles sous l'angle de polarisation , la portion de ce rayon qui pénétrera dans le milieu rencontrera aussi la seconde surface sous l'angle de polarisation , et sera par conséquent complètement polarisée par réflexion. En effet , puisque le rayon rencontre la première surface sous l'angle de polarisation, l'angle de léfraction sera le complément de l'angle d'incidence , et sera par conséquent égal à l'angle de polarisation à la seconde surftuse. Mais puisque les deux sur&ces sont parallèles , l'angle de réfraction à la première est égal à l'angle d'incidence à la seconde ; donc ce dernier angle est précisément l'angle de polarisation à la seconde surface.

On conclut encore des mêmes principes que si plusieurs plaques de yerre ou d'un milieu transparent quelconque, étant disposées parallèlement les unes aux autres» un rayon de lumière tombe sur la première surface sous l'angle de polarisation, les portions de ce rayon qui atteindront les autres surfaces les rencontreront toujours sous l'angle de polarisation , de sorte que celles qui seront réfléchies seront complètement polarisées.

81 . Nous avons vu que lorsqu'un rayon de lumière polarisé par réflexion vient à rencontrer une seconde surface réfléchissante sous l'angle de polarisation , l'intensité du rayon deux fois réfléchi varie avec rinclinaison des deux plans de réflexion. Elle est la plus grande

DB LA LUMI^RC. lo5

possible quand ces deux pians coïncident, elle est nulle quand ils sont perpendiculaires. Dans tous les cas, cette intensité \arie comme le carré du cosinus de Tangle formé par les deux plans de réflexion. Cette loi , découverte par Malus, a été vérifiée expérimentalement par M. Arago.

On en conclut qu'un rayon de lumière ordinaire peut être considéré comme formé de deux autres rayons polarisés , d*intensités égales, et dont les plans de polarisation sont perpendiculaires Tun à l'autre. En effet , si Ton désigne par I l'intensité commune , par « Tangle que le plan de réflexion fait avec le plan de polarisation de Tun des rayons, 90'* r-a sera Tangle compris entre le plan de réflexion et le plan de polarisation du second rayon ; les intensités des deux rayons réfléchis seront Icos^ a et Icos' (QO*» — a) = Isin* a; leur somme, ou l'intensité totale du rayon réfléchi I cos' a + l sin^ «:= I, est cimstante et indépendante de l'angle a ou de la position du plan de réflexion par rapport au rayon ; or, tel est précisément le caractère de la lumière ordinaire ; donc l'ensemble des deux rayons d'égale intensité et polarisés à angle droit, est de la lumière commune , ou non polarisée.

82. Malus observa que lorsqu'un rayon rencontre une surface sous un angle plus grand on plus petit que l'angle de polarisation, il se rev6t seulement en partie des propriétés déjà décrites; aucun des deux rayons dans lesquels un rbombe d'Islande le partage, ne s*évaoouit entièrement; leur intensité varie seulement entre certaines limites d'autant plus resserrées que l'angle de polarisation diHère plus de l'angle d'incidence. 11 semble donc qu'une portion seulement du rayon réfléchi a subi les modifications exprimées par le mot de polarisation ; cette portion polarisée croîtrait à mesure que l'angle d'incidence approche de Tangle de polarisation ; l'autre portion du rayon resterait à l'état de lumière commune. Suivant Malus, la lumière partiellement polarisée se composerait de lumière commune et de lumière entièrement polarisée.

Si de la lumière partiellement polarisée est réfléchie par une seconde surface dans le même plan, et sous le même angle , le rayon réfléchi contiendra une plus grande quantité de lumière polarisée , et en multipliant suffisamment les reflexious successives, la lumière finira par être complètement polarisi^e. Ce fait fut découvert par

106 TUÉOBIB MATHÉMATIQUE

M. Brewster, qui prouva que la hunièrepeut être polaruée soustonte inddenoe, par un nombre suffisant de réflexions. Le nombre des réflexions doit être d'autant plus grand , que Tangle d*incidence diffère plus de Tangle de polarisation.

83 II nous reste à dire quelques mots sur les modifications que la réfraction fait subir à la lumière.

Lorsqu'un rayon de lumière commune tombe sur une plaque de verre » il est toujours en partie réfracté , et r<m trouve que cette portion transmise est partiellement polarisée. La quantité de lumière polarisée dans le rayon réfracté croit avec rinddcoce; elle est nulle sous une incidence perpendiculaire , et d'autant plus grande que la lumière tombe plus obliquement Le plan de pcdarisation ne coïncide pas d^ailleurs avec \e plan d'incidence» comme dans le cas de la réflexion; il lui est au contraire perpendiculaire.

Le rapport entre la lumière polarisée par réfraction et la lumière polarisée par réflexion est simple et constant ; ces deux portions sont toujours d'égale intensité. Cette loi vraiment remarquable a été découverte par Arago , et peut s*énoncer comme il suit : Si un rayon de lumière ordinaire tombant sur une surface réfléchissante est en partie réfléchi et en parti transmis, les portions réfléchies et transmises contiennent une égale quantité de lumière polarisée, et leurs plans de polarisation sont perpendiculaires entre eux. Dès lors , toutes les fois qu'un rayon de lumière reno(mtre la surface d'un milieu transparent, une partie de ce rayon est toujours partagée en deux autres d*égale intensité , polarisées, Tune dans le plan d'Incidence 9 l'autre dans un plan perpendiculaire ; la première de ces portions est réfléchie , tandis que la seconde est réfractée.

Si le rayon transmis est reçu par une seconde lame parallèle à la première, la portion de lumière polarisée qu'il contient subit un second fractionnement; il en sera de même à chaque nouvelle lame, et par conséquent si le nombre des lames est assez grand , la lumière transmise sera complètement polarisée. Un rayon est donc polarisé par une série de transmissions , comme il l'était par une série de réflexions successives ; il y a cependant une différence notable entre l'action de ces deux causes , c'est que le plan de polarisation qui , pour le rayon successivement réfléchi ^ coïncidait avec le plan d'Inddence, est, pour le ray<m transmis, normal à ce même plan : ce

fait a été découvert par Malus. M. Brewster, en étudiant avec détail les lois de ces phénomènes , a reconnu yu*un rayon transmis à travers un certain nombre de plaques, toujours dans le même plan incidence , était complètement polarisé , lorsque la somme des tangentes des angles dMncidence était égale à une certaine constante : on en conclut que si toutes les plaques sont parallèles, et par conséquent tous les angles d'incidence égaux, la tangente de Tangle de polarisation complète sera en raison Inverse du nombre des plaques.

U résulte encore des mêmes principes que lorsque le rayon qui rencontre une pile de glace sous Tangle de polarisation a traversé un certain nombre de plaques, son iutensité n* éprouve pius'de diminution dans les transmissions subséquentes : en effet, aussitôt que le rayon transmis est complètement polarisé , son plan de polarisation devient perpendiculaire au plan d'incidence ^ et dès lors aucune portion de ce rayon ne pouvant être réfléchie par les plaques suivantes. Il traversera ces plaques sans rien perdre , quel que soit leur nombre. Il n'en est plus ainsi lorsque le rayon rencontre la plaque sous un autre angle que Tangle de polarisation ; et par suite l'intensité de la lumière transmise à travers une plaque épaisse , est la plus grande possible , lorsque Tangle d'incidence est égal à Tangle de polarisation.

84. Il existe des cristaux qui , semblables à une pile de plaques trani^arentes, ont la faculté de polariser la lumière qu'elles transmettent. Ainsi, le rayon de lumière commune qui traverse une plaque de tourmaline sort polai*isé dans un plan perpendiculaire à l'axe du cristal. Cette propriété dépend , en partie du moins , du pouvoir absorbant du cristal doublement réfringent, en ce sens que l'absorption du rayon polarisé varie avec la position , par rapport au cristal , de son plan de polarisation. Une tourmaline, par exemple , absorbe le rayon dont le plan de polarisation est parallèle à l'axe, plus rapidement que le rayon dont le plan de polarisation serait perpendiculaire à ce même axe. Tout rayon de lumière commune qui traverse ce même cristal est partagé en deux autres rayons polarisés, le premier dans un plan passant par l'axe, le second dans un plan perpendiculaire à Taxe; le premier de ces raycms est plus vite absorbé, de sorte que si la plaque est sufQsamment épaisse, le dernitr raycw apparaîtra seul dans la lumière transmise.

lo8 THiORIE MâTHEMATIQUB

La tourmaline est d'une extrême utilité dans toutes les expénences de polarisation ayant pour objet la lumière ; elle ne donne pas seulement le moyen de mettre la polarisation en évidence , elle fournit de plus delà lumière polarisée. Malheureusement, le rayon émergent n*est jamais complètement polarisé , et son intensité est considérablement affaiblie par l'absorption. La polarisation déterminée par la double réfraction est la plus complète de toutes , et de plus l'intensité du rayon polarisé ainsi obtenu est aussi la plus grande possible ; elle est presque la moitié de Tinteusité du rayon primitif. L'intensité de la lumière réfléchie par une lame de verre sous l'angle de polarisation est à peine le douzième de la lumière incidente.

85. Tel est l'ensemble des faits relatifs au phénomène de la polarisation par réflexion ou par réfraction simple. Ne semble-t-il pas, d'après ce que nous venons de dire , qu*un rayon de lumière orfinaire peut en quelque manière être comparé à une baguette ronde, ou à un cylindre incliné d'une manière invariable dans un plan tangent à une surface quelconque , et qui peut tourner autour de son axe sans changer de relation à l'égard de ce plan? Le rayon polarisé, au contraire, ne pourrait-îl pas être comparé à une règle plate dont les relations avec le plan changent continuellement si on le fait tourner ? La transmission ou la non-transmission d'un semblable rayon aplati^ peut se comparer à la facilité avec laquelle une règle présentée de champ passe entre les barreaux d'une grille , et à l'impossibilité de la faire passer si on la présente dans la direction transversale. Le rayon polarisé ne peut pas être transmis par une touimaiine qui lui serait perpendiculaire si l'axe de la tourmaline se trouve dans le plan de polarisation, ce qui s'explique très bien en poursuivant la comparaison déjà employée, si l'on admet que la règle aplatie, imi^e du rayon polarisé, est perpendiculaire au plan de polarisation : alors, en effet, cette règle rencontrerait transversalement les fibres de la tourmaline placée comme nous Tavons dit, ce qui indiquerait suffisamment que le rayon ne pourra pas la traverser.

86. Arrivons maintenant à l'explication comparée des faits dans les deux systèmes. C'est vraiment quelque chose d'étrange que de voir la théorie des ondulations régner en souveraine et sans rivale dans

DE LA. LUMlinC. tQQ

cette branche même de Toptique que Ne^wton lui opposait comme la pins formidable des objections. « Ne sont-elles pas évidemment erronées y s'écriait-il , ces vaines hypothèses dans lesquelles on admet que la lumière est le résultat de pressions ou vibrations propagées dans un milieu fluide? car des pressions ou vibrations excitées par le corps lumineux dans un milieu homogène seraient évidemment semblables à elles-mêmes sur toutes les faces ou cAtés» tandis qu'il est certain qu*un rayon lumineux jouit de propriétés dliférentes, suivant le côté par lequel on Tattaque. » En énonçant cette objection , Newton avait en vue sans doute ce mode de mouvement ondulatoire dont il avait scruté les lois avec tant de sagacité.

Lorsque le son se propage dans Tair, dans Teau ou dans un autre milieu hom(^ène , les vibrations des particules d'air ou d'eau s'exécutent dans la direction même suivant laquelle l'onde se propage ; et si les vibrations étbérées qui constituent la lumière étaient de même nature , l'objection de Newton semblerait insurmontable. En effet, si les particules de i'éther vibrent dans la direction même du rayon, comment concevoir qu'un semblable rayon aura des relations différentes avec les diverses parties du milieu ambiant? tout alors ne devrait-il pas être réellement identique au-dessus ou audessous, à la droite ou à la gauche du rayon ?

Mais en sera-t-ii encore de même si les vibrations des molécules d'éther sonttransvei*sales ou perpendiculaires à la direction du rayon? N*est-il pas évident qu'il n'y a plus dans ce cas de symétrie , que le rayon supposé, par exemple, horizontal est, par rapport aux molécules situées au-dessus et au-dessous de son plan, dans des conditions tout-à-falt différentes de celles sous lesquelles il se présente aux molécules situées à droite ou à gauche?il est comme indifférent aux premières, tandis qu'il tend à pénétrer les secondes, à les mettre en mouvement. Dans le système des vibrations ou ondulations, la polarité d'un rayon est donc un fait nécessaire, naturel , et qu'on touche du doigt , tandis que cette même polarité est une assertion gratuite, un mystère dans l'hypothèse de l'émission : aussi ne nous arrêtons-nous pas aux explications si incomplètes , si insuf^ usantes qu'on a prétendu donner des phénomènes de la polarisation dans le système de Newton.

Ce seul principe, que les vibrations des molécules de Téther

110 TH^OAIB MAtH^.ltfATIQtK

s'exécutent dans le plan de Tonde perpendiculairement au rayon, « suffit à rendre compte des faits les plus compliqués en apparence.

87. Si le déplacement d'une molécule est très petit comparativement à la distance qui sépare les molécules de Téther, la force résultant de Tattraction exercée par les particules voisines, et qui tend a ramener la première moléculeà sa position d'équilibre, sera proportionnelle au déplacement ; et dès lors, en vertu des lois bien connues de la dynamique, la trajectoire décrite par la molécule sera une ellipse dont le centre sera sa position d'équilibre. Les vibrations des molécules d*éther sont donc en général elliptiques , et la nature de la lumière dépend de la direction et de la grandeur relative de ces axes. Si ces axes y situés , comme nous Tavons dit, dans le plan même de Tonde , ont constamment la même direction , la lunoière sera polarisée; elle sera au contraire de la lumière commune si 1^ axes changent pei'pétuellement de direction.

La grandeur relative des axes de Tellipse déterminera le geni*e de polarisation qui sera circulaire si, les axes étant égaux, la trajectoiie devient un cercle; rectiligne si, le plus petit axe s'évanouissant , la trajectoire est une ligne droite; elliptique enfin dans tous les autres cas. Les caractères de ce dernier mode de polarisation varient indé« Animent en s*éloignant ou se rapprochant des limites extrêmes qui sont la polarisation circulaire , et la polarisation rectiligne qu'on nomme aussi polarisation plane, parce que les vibrations des molécules sont alors concentrées dans un plan qui est comme le front de Tonde.

88. L'existence exclusive dans la lumière de vibrations transversales est une conséquence nécessaire des lois observées de l'interférence des rayons polarisés, loissurlesquellesnous reviendrons plus tard. Fresnel et M. Arago ont prouvé expérimentalement que deux rayons polarisés dans des plans opposés, c'est-à-dire dans des plans qui se coupent à angles droits, forment un rayon unique dont Tintensité est constante, quelles que soient les phases de vibrations dans lesquelles ces rayons se rencontrent : or, la théorie nous apprend que Tintensitédela lumière résultant de Tunlon de deux rayons polarisés dans des plans opposés n'est constante et indépendante des phases qu'autant que les vibrations perpendiculaires au plan de Tonde, ou dirigées dans te sens du rayon, n'existent pas. Dans la lumière

BK LA LUMIÈBE. tU

cxMnmane dono, comme dam la lumière polarisée, 11 n'y a de vibraliona que stfr la surface de Tonde ; et nous sommes forcés d'ad* m^tre que la lumière en général consiste dans la succession rapide desystèmes d'ondes dans lesquelles les vibrations s'exécutent suivant toutes les directions possibles dansleplan tangent à cette surface. Cela posé y le phénomène de la polarisation suppose ou comprend deux choses: V la réduction de toutes ces vibrations à deux ensembles de vibrations dans deux directions rectangulaires ; 2° la séparation ou Fisolenient des deux systèmes d'ondes auxquelles les deux ensembles de vibrations donneraient naissance. Si Tisolement est complet» si le rayon ne se compose plus que de vibrations exécutées dans une seule direction , la polarisation est complète ; elle est incomplète lorsque Tune des ondes , sans avoir été entièrement éliminée , a seulement perdu de son intensité.

89. Supposons maintenant qu'un rayon de lumière commune rencontre une surface réfléchissante , on pourra supposer qu'il est décomposé en deux autres d'intensités égales, et qui soient polarisés l'un dans le plan d'incidence , l'autre perpendiculairement à ce plan. Chacun de ces rayons donnera naissance à un rayon réfléchi et à un rayon réfracté , de telle sorte que le rayon total réfléchi et le rayon total réfracté se composeront l'un et Tautre de deux portions polarisées, l'une dans le plan d'incidence , l'autre perpendiculairement à ce plan. Si ces deux portions avaient, comme dans la lumière incidente, la même Intensité, le rayon réfléchi et le rayon réfracté seraient eux-mêmes de la lumière commune ou non polarisée, mais il n'en est pas ainsi en général.

Considérons d'abord le rayon réfléchi : en prenant pour unité Tintensitédu rayon incident, et appelant t, r=t, p, les angles d'incidence, de réflexion et de réfraction, on trouvera que les intensités des rayons polarisés dans le dlan d'incidence et perpendiculairement à ce plan sont respectivement (1) :

1 sin' (r — p) 1 tang* jr — p) "2 sin» (r + pi' 2 tang» (r + p)'

(I) J'âî dit avec détail dan« la première partie de ce irartll commeDl M. Caoehr avait pn établir rtgourenaement les formales qui donnent les inlensiléa des rayons réMeMt et téfraelés ; Je suis loitfMr$ coBTiinea que la

lia THÉOBIB MATHEMATIQUE

La somme de ces deux intensités partielles donnera Tintensité totale du rayon réfléchi: or, ces deux intensités sont inégales , donc les deux portions de polarisation opposée ou à angle droit dont se compose la lumière réfléchie ont des intensités différentes, et par coih séquent la lumière réfléchie n*est pas en général de la lumière commune ou non polarisée, elle contient toujours un excès de lumière polarisée dans le plan d'incidence , car la première des expressions qui précèdent est toujours plus grande que la seconde. Ce résultat est entièrement conforme à l'expérience ; on Texprime sous une autre forme en disant que la lumière réfléchie est partiellement polarisée dans le plan d*incidence.

Au contraire , les portions du rayon réfracté polarisées dans le

marche suivie par l'illustre géomèlre est seule logique, seule Traiinent dé* monstralive ; mais mon opinion ne sera peut-être pas acceptée par tout le monde , et l'on me saurait mauvais gré de ne pas exposer la métliode suivie par MM. Mac Cullagh et Newmann. La voici en peu de mots : Ils admettent comme axiomes ou comme liypothèses, sans les démontrer, les principes suivants : l*' la résultante des vibrations est la même dans les deux milieux : si la réfraction est simple , la vibration réfractée est la résultante des vibralions incidentes et réfléchies. En cela, suivant M. Mac Cullagh, consiste le principe de réquivalence des vibrations. 2» Le produit de la masse de l'éther mis en mouvement par le carré de l'amplitude de la vibration , reste le même avant et après la réflexion et la réfraction : c'est l'application de la loi bien conoue de la conservation des forces vives. 3» la densité de Téther est dans tous les cx)rps la même que dans le vide. 4° Dans la lumière polarisée, les Yibrations sont parallèles au plan de polarisation.

Cela posé , si un rayon polarisé dans le plan d'incidence vient à se réfléchir e(à se réfracter, puisque les vibralions sont dans ce cas parallèles au plan d'Incidence, et perpendiculaires aux rayons, elles feront entre elles les mêmes angles 2r, r — p,r*4-p que les rayons , et par conséquent si I'od désigne par Ar, Ap, les amplitudes des vibralions réfléchies et réfarins, Tamplitude de la vibration incidente étant prise pour uniié, on aura immédiatement, en vertu du principe des vibrations équivalentes,

sin(r— p) __sin2r Ar — -; — - — ■ — , Ap — -

'sin(r + p)' 6ln(r4.p)*

Si le rayon était polarisé perpendiculairement au plan d'incidence, les vibrations des rayons incidents, réfléchis , réfractés , seraient toutes parallèles; et puisque la vibration réfractée est la résultante des vibralions incidentes et réfléchie, on aurait Ap = l — Ar. De plus, le principe des forces vives en appelant m et m' les masses d'étber mises en mouvement dans les den& mi-

DE LA LUMIÈRF. I l3

plan d'incidence et perpendiculairement h ce plan sont respectivement en verto du principe de la conservation des formes vives

sin' (r — f]

tang^(r- p)\

Ar =

sin'(r + p)/'2 \^ taug^ (r + p);'

Gomme la seconde de ces quantités est plus grande que la première, h rayon réfracté contient toujours un excès de lumière polarisée perpendiculairement au plan d*inciclence. I^ quantité de lumière polarisée mesurée par la différence des deux intensités partielles, est évidemment égale à la quantité de lumière polarisée en sens opposé que contient le rayon réfléchi : la loi que M. Arago déduisit de l'expérience , est donc une conséquence nécessaire de la théorie. La lumière réfléchie sera complètement polarisée quand une des

Ueai , donne mit — kr*) = mf Ap*. De ces deax équations réunie on tire : m — »w' . 2 m

Ces relations remarquables sont précisément ceUes qui lient les vitestes , après le cboc » de deux sphères élastiques. Kc»lc à évaluer les m&s£e8fn,m';or, si AB, AC, repréfenlent les vitesses et les directions des rayons incidents et réfractés , Us masses d'élher en mouvement dans les deux mllleui seront proport ionnellesaus paraHélogrammes AB' AC'/ou, puisqu'ils ont même base, à leurs hauteurs BD, CE , on a donc :

m BD ABc06r m* ~CE~'AC"côspî

et parce que les vitesses AB, AC , sont proportionnelles aux sinus d'Incidence d de réfraction :

m sln f cosr __sin î r m'^slupcosp^slirSp' OD trouvera en substituant :

^r— langCr^p) ^ ^ sln2r

*" tang(r + p)' '*^sln(i' + p)cos(f-p)*

L'intensité de la lumière étant mesurée généralement par la force vive est Égale an produit de la masse en mouvement par le carré de l'amplitude de la

Il4 THÉORIE MATHÉMATIQUE

parties dont elle se compose s'évaooaira, puisqu*alors la totalité de la lumière réfléchie sera polarisée dans un seul plan. Il est aisé de voir que la première portion, polarisée dans le plan d'incidence, ne peut pas s'évanouir : la seconde, au eontraire, disparait quand le dénominateur de la seconde fraction devient infini, ou quand on a

vibration, les inteoiités li, Ir, Ip des rayons incident, réfléchi et réfracté , seront doue :

11= m, Ir =:m Ar«, Ip = m' Ap« = m (1 — Ar«), on en prenant pour unité d'intensité , l'intensité de la lamière incidente : Ir = Ar«,Ip = l — Ar«,

appliquant tour i toor ces formules aux rayons polarisés paralièlement oa perpendiculairement au plan d'incidence.

On trouYcra pour le rayon polarisé dans le plan d'incidence :

1 sin^r-p) , ^1 f. slnMr-ph.

""l sln» (r + p)' ^ 2 V sin«(r + p)/'

pour le rayon polarisé perpendiculairement au plan d'incidence :

^ 1 tangMr-p) ^ t / tangM ^ - p h îlaugM^'+p)' ** 2^ tangMi' + pr

Terminons par une remarque qui n'est pas sans quelque intérêt. En ayant égard au signe des amplitudes des vibrations réfléchies, on a :

sin (r - p) tang (r — p) Ar ^ -: ; ; r , OU Al* ^ — ^ ; — r*— .

sin(r+p) Ung(r + p)

iidTant que le rayon incident est polarisé parallèlement ou perpendiculairement au plan d'incidence. Gomme l'angle de réflexion r est égal A l'angle d'Iiicldenee i , on aura aussi :

sinji-p) tang(f-p)

sin(i + p)' tang(i+p)-

La première de ces expressions est toujours positive tant que l'angle d*lncldenoe est compris entre 0 ou 90»; la seconde , négative d'abord, s'évanooîi comme l'exige la loi de Brevster, quand t + p = 90«, ou quand l'angle d*ln* ddenoe est égal à l'angle de polarisation : elle devient ensuite positive. M. Arago a prouvé qu'à ces alternatives de signes répondaient dans la nature des phénomènes réels. H. Lloyd a démontré de son cOté par des expérieDces très simples et très élégantes , que dans le cas ou t = 90o, c'est-à-dire dans le cas extrême ou le rayon rase la surface , les deux formules étaient partdtement exactes , quant au signe et quant à la valeur absolue de l'amplitude. Il ne semble pas qu'on les ait vérifiées dans le second cas extrême de t = o, ou ^uand le rayon tombe perpendiculairement sur la surCace réfléchisaanla»

DB LA LUMIArK. Ii5

daos ee cas seulement la lumière réfléchie est complètement polarifiée dans le plan dlncidence. Mais de FéquatioQ :

r + p = 90% on tire:

sin r

oosr :=sinp= , outangr=:e,

doQC la tangente de Tangle de polarisation est égale à l'indice de réfraction ; la belle loi que M. Brewster avait conclue de ses obser* Tations y est un simple corollaire de la théorie de Fresnel.

90. Lorsqu^un rayon polarisé rencontre sous différents angles une surface réfléchissante, le rayon réfléchi est aussi polarisé , mais son pian de polarisation a changé. Le déplacement de ce plan Fa rapproché du plan de réflexion , et la valeur de ce rapprochement dépend de l'angle d'incidence. Si cet angle est nul, ou si le rayon est normal à la surface réfléchissante , le plan de polarisation ne change pas ; À

Dus ce cas , les angles i et p étant Infiniment petits , on a sensiblement

- =s -; — = e, « étant toujours l'indice de réfraction , P sinp

fin (î — p) = Ung (i — p) =p(e — i), sin (i + p) = tang (i-f- p)= p {«+ 1),

et par snite :

Ar = — — ou A/ = — .

Les ampiitndes sont donc égales et àê signe contraire , c'est-A-dire que Tes I rayeiM réfléchis ont mènid inlenaité ; mais tandis que la phase corres* I an rayon polarisé dans le plan d'Incidence, et dont les TlhraUont sont perpendicalaires à ce plan , dans l'hypothèse au moins de Fresnel et da M. Caochy, n'éprouve aucun changement , la phase correspondante aux vibrations situées dans le plan d'incidence subit un relard ou une avance iTme demfHmdalalion. M. Eamchaw de Cambridge concluait de celte remar- (fie qv'nB vayoa polarisé clxcnlairement i droite , devait , par la réflexion soiM QB ogle trèa pea différent de 90<>, se transformer en un rayon polarisé elf« calairement i gauche , ou devait être comme retourné. Le physicien anglaia ajoutait qnll était A désirer qu'un expérimentateur^hahile vériflAt cette conséqaeoce si neuve et si simple de la théorie des ondulations. La vérification a été Ihite, Jf . Powell annonce que cette fois comme toujours les prévisions de la Mléoria foni devcmiea la réalité de fexpérienee.

U6 THÉORIE IlilTHBMATlQUE

mesure que l'aBi^ d'incidence augmente , le mouvement du plan de polarisation continue lui-même Jusqu'à ce que Tangle d*incidenoe atteigne l'angle de polarisation ; le déplacement produit est alors le plus grand possible , et le plan de polarisation vient coïncider avec le plan de réflexion. Si l'angle d'incidence augmente encore , le déplacement du plan de polarisation diminue Jusqu'à ce qu'il redevienne nul une seconde fois lorsque Tangle d'incidence sera égal à 90**.

Ces phénomènes et leurs lois découlent très naturellement de la théorie que nous avons déjà développée. Pour le montrer, concevons que la vibration du rayon incident soit décomposée en deux autres, l'une dans le plan d'incidence, l'autre perpendiculaire au plan d'incidence; appelons A l'amplitude de la vibration et a Tangle qu'elle fait avec le plan d'incidence. Les composantes seront A cos a, A sin a , et deviendront dans l'acte de la réflexion

sin (r — p) , . tang (r — p)

A cos a -r-^ ^, A sin a -•^~).-—I-[.

sm (r4-p) ij tang(r + p)

Il en résultera une vibration qui fera avec le plan d'ineidcDce un angle a^ dont la tangente égale au rapport des vibrations composantes sera

cos (r -f- p)

tang a, = tang a - ~ ^.

cos (r — p)

Fresnel d'abord , et après lui MlVf . Brewster et Arago ont vérifie pleinement, par l'observation, la vérité de cette formule. On en conclut, V que si r = 0 ou r = 90% ai « a, c'e&t-à-dire quela réflcxioii ne fait pas varier le plan de polarisation lorsque le rayon rencontre la surfa'ce soit sous une incidence perpendiculaire, soit sons un très petit angle ; 2- que si le rayon incident est polarisé dans le plan d'incidence , la réflexion, quel que soit l'angle d'incidence, ne déplace pas le plan de polarisation; 3" réciproquement que quel qae soit le plan de polarisation du rayon incident, la réflexion le fera concorder avec le plan d'incidence , si le rayon rencontre la surface sous l'angle de polarisation.

Si un rayon subit un certain nombre n de réflexions entre deux plaques parallèles , l'angle ««que le plan de polarisation fera, après ces n réflexions , avec le plan de réflexion , est donné par la formule

cos- (r+p ) ***^"" cos-(r — p)

et décroîtra par conséquent indéfiniinent à mesure que le nombre des réflexions augmentera, puisque sa tangente décroît en progression géométrique. Le décroissement est d*autant plus rapide , que I*ang1e d'incidence approche plus de Tangle de polarisation pour lequel on a :

f-f-p = ** + P"" W,cos (r + p) = o.

91. Le plan de polarisation est déplacé par la réfraction comme il l'est par la réflexion, mais en sens contraire; il s'éloigne du plan d'Iuddence au lieu de s'en rapprocher. Le déplacement croit avec l'angle dincidence : il est nul quand le rayon est normal à la surface réfringente, et le plus grand possible quand le rayon rencontre cette même surface très obliquement. La loi du déplacement est aprimée par la formule très simple

cot ai ^ cot a cos (r — p) ,

dans laquelle a et ai représentent les angles que le plan de polarisation forme avec le plan d'incidence avant et après la réfraction. Cette loi , découverte expérimentalement par M. Brewster, se déduit très simplement de la théorie.

92. Concevons maintenant un rayon de lumière commune comme formé de la-nréi^iion de deux rayons polarisés , dont les plans de polarisation soient l'on à 45" à droite, l'autre à 45* à gauche du plan d'incidence. La réfraction aura pour efCet de faire croître Tes angles que ces plans de polarisation faisaient avec le plan d'Incidence, et par suite l'angle qu'ils formaient entre eux. Dans une seeonde, une troisième réfraction... cet angle continuera de croître Jusqu'à ce qu'il soit sensiblement égal à 180^. Alors , évidemment, le nQron sera complètement polarisé dans un plan perpendiculaire au plan d'incidence.

Kn voyant les formules qui donnent l'intensité de la lumière ré< fléchie devenir Imaginaires, lorsque l'angle d'incidence surpasse l'ange de réflexion totale, dans le cas où la lumière passe d'un milieu plus dense dans un milieu moins dense , Fresnel avait conclu qae les périodes de vibrations des rayons incident et réfléchi ne

Il8 TH:éORIE MATHiafàTIQUE

coïncidaient plus y ou en d*autres termes que le rayon , an moment de la réflexion , subissait un changement de phase. L'ingénieux physicien avait même donné l*expre.ssion générale de ce changement de phase, qui varie avec Tincidence et qui est différent suivant que le rayon est polarisé dans le plan d*incidence, ou perpendiculairement H ce plan.

Lorsqu'un rayon est polarisé dans un plan quelconque , on peut décomposer ses vibrations en deux autres , Tune parallèle , l'autre perpendiculaire au plan d'incidence. Les phases de ces vibrations composantes seront inégalement altérées par la réflexion. Dès lors, la vibration du rayon réfléchi résultant de deux vibrations rectangulaires de phases différentes sera nécessairement une ellipse , de .sorte que le rayon réfléchi sera polarisé elliptiquement. Si Tazimuth du plan de polarisation du rayon incident est de 45*", les amplitudes des vibrations composantes seront égales, et si de plus la différence de phase est le quart d'une ondulation , l'ellipse deviendra un cercle, la lumière sera polarisée circulairement (1),

Passant aux nombres , Fresnel avait trouvé qu'en prenant pour milieu réfringent la glace de Saint-Gobain, pour angle d'iaddenee

(1) Un ealeul fecilemeltra ce résultat en évfdencetnppelons^a, *, les amplitudes des deux vibrations composantes ;«, 8, leurs pbaseï;^ , y, lesdéplaeementa de la molécule dans le sens des axea rectangulaires. En vertu des principes que nous avons établis, on aura : ^

« «> a eos (iiri' — «f + «\ y "= ^ CM (Irr — #1 + C) I

d'où l'on tire :

a— $:=arcco6 arccos-j

prenant les eossinus des deux membres, on trouve:

ab ab et en chassant le radical ,

c'est évidemment l'équation de relllpse décrite par la molécule.

Si a = * , « — 5 = 90«», l'équation devient oc» + y» = a% la trajectoire est un cercle.

vu Là lumiArb. iig

54* 37^ la différence de phase des deux rayons composants serait égale au huitième d*une ondulation. Pour yérifier ce résultat , il prit im parallélipipède de cette suhstance , dans lequel les faces d'incidence et d'émergence faisaient précisément avec les autres faces des angles égaux à 64'' 37^ Le rayon R H' R'' R''^ tombant perpendiculairement sur une des faces et réfléchi par deux autres en R' et R", ^'^\ —rf- ^ devra sortir perpendicu-

lairement à la dernière ftce ; et la différence de phase entre les portions deux fois réfléchies du rayon , devra être d'un quart d'ondulation , ou de 90*. Dès lors , si le rayon incident est polarisé à 45'' du plan de réflexion, le rayon émergent sera polarisé circulaireraent , c'est ce qu'a prouvé Texpérience en confirmant pleinement la théorie. Le parallélipipède dont nous venons de parler est connu sous le nom de rhombe de Fresuel ; son emploi est indispensable dans toutes les expériences relatives à la polarisation elliptique et circulaire.

93. Si le rayon émergent subissait deux nouvelles réflexions totales dans le même plan , et sous le même angle , en passant par un second rhombe placé parallèlement au premier, il devrait sortir rectllignement polarisé; son plan de polarisation devrait être incliné de 45'' de l'autre côté du plan de réflexion, puisque la différence de phases serait de 180<>, et l'on sait que deux vibrations égales dont les phases diffèrent de 180", ont pour résultante une seule vibration rectiljgne dont la direction partage en deux parties égales l'angle supplément de celui que font entre elles les vibrations composantes. Cette propriété nous fournit le moyen de distinguer la polarisation circulaire de la polarisation rectiligne. Le rayon polarisé circulairement devient polarisé rectilignement après deux réflexions totales sous l'angle de 64" 1 /2. On le distingue encore d'un rayon polarisé rectilignement par cette circonstance , qu'il est partagé en deux rayons d'égale intensité par un cristal doublement réfringent, quelle que soit d'ailleurs la position de la section principale.

Nous ne disons rien ici des lois de la polarisation ellfpflqtie produite par la réflexion sur une surface métallique , nous en avons longuement parlé dans l'exposé dé la théorie de M. Gaucby, qui seul

laO THIiOBIJ:: MATHEMATIQUE

a résolu les difiicultés insurmontables qui rendaient ces lois inacces< sibles à la théorie.

94. Comme les vibrations qui donnent naissance aux deux ondes dont se compose la double réfraction sont parallèles à deux lignifs fixes , au plus grand et au plus petit diamètre de la section correspondante de la surface d'élasticité , il en résulte que les deux rayons ordinaire et extraordinaire doivent être polarisés dans deux plans rectangulaires passant par la direction du rayon et les deux lignes fixes. Il en résulte encore que le plan de polarisation d'un des rayons divise en parties égales Tangle dièdre formé par les deux plans qui renferment la normale à l'onde et les normales aux deux sections circulaires de la surface d'élasticité , tandis que le second plan de polarisation est perpendiculaire au premier. Or, toutes ces conséquences sont réalisées dans la nature. Le phénomène de la polarisation s'est montré d'abord dans les rayous obtenus pai* la double réfraction , et M. Biot avait indiqué comme résultat de ses expériences f la proposition suivante qui diffère très peu de la loi que nous venons d'énoncer.» Le plan de polarisation de l'un des rayons divise en parties égales l'angle dièdre formé parles plans qui renferment le rayon et les deux axes optiques ; le plan de polarisation du second rayon est perpendiculaire au premier, ou divise en parties égales l'angle dièdre supplémentaire. »

95. La théorie des ondulations l'end donc comptç de la polarisation qui naît de la double réfraction ; elle n'a pas été moins heureuse quand ii s'est agi de la réfraction conique. £n examinant l'état de polarisation des rayons qui composent le cône émergent, M. Lloyd avait été surpris de voir que chacun de ces rayons était polarisé dans un plan différent : un examen plus attentif lui montra que tous les plans de polarisation étaient liés entre eux par une loi remarquable, et que l'angle compris entre les plans de polarisation de deux rayons du cône , est la moitié de l'angle compris entre les deux plans qui renferment les rayons et l'axe. M. Lloyd s'assura que la théorie de Fresnel conduisait à cette même loi , qui se reproduisit comme cela devait être dans le cas de la réfraction conique intérieure.

West-il pas évident par tout ce qui précède que le système des ondulations explique jus^ju'aux plus petites particularités des phé-

DE LA LUMIÈR£. lai

Domèoes de la polarisation, et qu*ici encore il est Fexpression naturelle et rigoureuse des faits. Les explications qu*on a essayées de ces mêmes phénomènes dans le système de rémission sont si arbitraires , si incomplètes y que nous nous sommes crus dispensés de les rappeler; elles n*éclaircissent rien, et surtout ne font rien prévoir.

IHsperfion de la lumière et couleurê. — 96. Daus tout ce qui va suivie, nous ferons marcher de front, pour plus de simplicité, et la théorie mathématique de M. Cauchy , et la comparaison physique des deux systèmes de rémission et dès ondulations.

Jusqu'ici nous avons considéré la propagation du mouvement vi< bratoire et les modifications qu'il subit, sansavoir égardà sanature interne, et aux qualités spécifiques qu'il peut revêtir. Il est cependant évident àpriori qu'une première sorte de vibration peut différer d'une autre quelconque par deux particularités essentielles, l'amplitude et la durée. Dans les pulsations île l'air, l'amplitude de la vibration détermine l'intensité du son; sa durée ou le nombre de vibrations dans un temps déterminé constitue le ton du son , sa gravité ou son acuité. Il paraissait naturel d'admettre par analogie que Famplltude de la vibration de la molécule d'éther détermine l'intensité de la lumière, et que sa durée constitue la couleur; c'est ce qu'ont communément admis Jusqu'Ici les partisans du système des ondulations. Dans son beau mémoire sur le procédé de la vision, M. Moser rejette l'idée universellement reçue ; suivant lui , la couleur devrait être plutôt comparée au timbre qu'an ton du son, et le nerf optique, au lieu d'apprécier les Innombrables vibrations qui donnent naissance à la lumière , transmettrait seulement à l'Ame la sensation d'une modification physique ou chimique subie par la rétine. Quoi qu'il en soit, il est du moins certain que deux rayons lumineux peuvent différer l'un de l'autre par l'intensité et la couleur.

97. Ix>rs(|u'un rayon de lumière blanche tombe perpendiculairement sur la surface supposée plane d'un milieu isophane , il pénètre dans l'intérieur de ce milieu, sans changer de direction, et sans que les couleurs se séparent. Mais si le rayon incident devient oblique à la surface, l'angle de réfraction variera en même temps que la nature de la couleur, et par suite les rayons réfractés de diverses couleurs se sépareront les uns des autres , en demeurant tout compris dans le même plan. C'est en cela

IQQ THtoRIB VATHAmaTIQUE

qae consiste le phénomène de la dispersion qa*on a appelée plane, en raison de la circonstance qne nous yenons de rappeler; d*aiilenrs, si le rayon incident est doné de la polarisation rectiligne,oa de la polarisation elliptique qui comprend elle-même comme cas particulier la polarisation circulaire , les rayons réfractés offriront encore runouFautre genre de polarisation.

Si Ton admet que la couleur dépende du nombre des vibrations perçues par Toeil dans un temps donné ; que de plus , comme l'indique la théorie , la réfrangibilfté décroit avec la longueur de l'onde, et croit par conséquent avec le nombre des vibrations , il faudra nécessairement reconnaître que la couleur violette est produite par les vibrations les plus rapides , la couleur rouge par les vibrations les moins rapides. A Faide d'expériences que nous rappellerons plus tard , on a trouvé que les longueurs d'onde correspondantes à l'extrémité rouge et violet du spectre , étaient respectivement égales à 260 et 423 millionièmes de millimètre, ce qui s'accorde bien avec fes réfrangibilités de ces deux rayons , et confirme l'opinion que nous exposions tout-à-l'heure relativement à la nature des couleurs. U résulte encore de ce que nous venons de dire, que la sensibilité de Toeil est resserrée entre des limites plus étroites que celles de Toreille, puisque le rapport des vibrations extrêmes est à peu près celui de 1,58 à 1 , tandis que l'oreille perçoit également un son, et son octave , et sa double , sa triple octave , etc. Rien toutefois n'incline à croire que les nombres de vibrations lumineuses sont renfermées entre les limites que nous avons assignées : on a découvert dans le spectre des rayons obscurs dont la réfrangibilité est plus grande que celle des rayons violets, et M. Moser a rendu très probable l'existence de rayons invisibles pins réfrangibles encore.

98 . L'analyse semblait indiquer que la vitesse de propagation d'une onde est indépendante de l'amplitude ou de la durée de ses vibrations, et que par conséquent elle était toujours la même dans un même milieu. Ainsi , tous les sons aigus ou graves, forts ou faibles, se propagent avec la même vitesse dans l'air ou dans un milieu quelconque , et Ton devait croire , ce semble, que si la lumière est produite par les ondulations de l'étber, elle devait se propager avec la même vitesse , quelles que fussent sa couleur et son intensité. U n'en est pas cependant ainsi, puisqu'en se réfiractànt les rayons de diverses

DB LA LUMIJERE. 1 f^S

couleurs se séparent. Pour expliquer ce phénomène , les modernes défenseurs du système de rémission ont été forcés d'admettre que les molécules lumineuses sont hétérogènes, que les attractions exercées sur elles dépendent de la nature des corps et doivent être comparées aux affinités chimiques. 1/immortel Young ne craignait pas de dire qu^on n^avait eu recours à ces vaines hypothèses que pour Jeter un voile sur la triste impuissance où Ton était d'assigner à ces merveilleux effets une cause quelque peu raisonnable dans un système qui , au fond , est toujours plus ou moins en opposition avec les faits. Pour rendre raison de la dispersion dans le système des ondulatioiiSy.il fallait forcément avouer que dans un même milieu la vitesse de propagation varie avec la longueur de Tonde. Or, nous venons de la rappeler, la théorie au contraire paraissait exiger que cette même vitesse dépendit uniquement de l'élasticité et de la den* site 9 ou , ce qui revient an même, de la nature du milieu. Ces conclusions contradictoires créaient une difficulté vraiment redoutable qui resta longtemps insoluble. Il était réservé à M. Cauchy de trancher le noeud gordien, et de donner dans le système des ondulations rexplicaticm naturelle et simple du phénomène de la dispersion. Pour arriver à conclure que la vitesse de propagation des ondes lumineuses est constante dans un même milieu » l'analyse devait supposer que la sphère d'action des molécules étliérées est infiniment petite comparée à la longueur de l'onde ; or, cette restriction n'était qu'une fiction mathématique propre à conduire à une solution approchée du problème épineux de la propagation des ondes : dès qu'elle n'était pas fondée, on n'avait plus aucune raison d'affirmer que les (mdes de différentes longueurs se propageaient avec la même vitesse; cette assertion n'était qu'une approximation donnée par une analyse incomplète. M. Coriolis eut le premier l'idée de rechercher si la considération des termes que l'on négligeait dans les développements ne fournirait pas le moyen d'expliquer la dispersion des couleurs. En suivant le conseil de son savant ami , M. Cauchy parvînt à des formules à l'aide desquelles on peut non seulement assigner la cause du phénomène dont il s'agit , mais encore en découvrir les lois qui , malgré les nombreux et importants travaux des physf* ciens, étaient restées inconnues josqu'à ce jour. Four ime eouleur donnée, la durée T des vibrations lumhtaises ,

OU , ce qui revient au même , le rapport « z= — , (ir étant le rapport

de la circonférence au diamètre) est constant; la réflexion et la réfraction ne font pas varier la couleur. Mais Tépaisseur l des ondes lumineuses, aussi appelée longueur d'ondulation, et par suite le rapport

3ir i l

k =: -y se trouve lié à la vitesse de propagation » = r =:=; par

I Km.

une équation de la forme :. — =: «* = ai + a, ** -f aj fc* -|- etc. ,

d'où Ton tire k* = b' *^ + b« *4 + b* «^ + etc.

En vertu de ces formules ta* et k^ se développeront en séries convergentes ordonnées suivant les puissances ascendantes de A: et de f. D'où il résulte que la vitesse de propagation dépend de la longueur de Tonde, et par la longueur de Tonde de la nature de la couleur.

Dans le vide et dans les milieux qui ne dispersent pas les couleurs , par exemple dans Tair atmosphérique , les coefficients ff., a^ ou s'évanouissent, ou alors «>> = a., la vitesse de propagation devient constante et la même pour toutes les couleurs.

99. En désignant par E le carré «' de Tîndice de réfraction d*unc couleur quelconque , M. Gauchy démontre que E sera donné par la formule :

E=a+f*' + «H-rf<%

que Ton peut toujours réduire à quatre termes : ayb,c,d, sont des coefficients qui varient avec la nature du milieu réfringent. Quand > pour un milieu donné, on les aura déterminés une fois pour toutes par un nombre suffisant d'expériences , on pourra calculer pour ce milieu Tindice de réfraction d'une couleur quelconque et comparer le nombre ainsi obtenu avec le nombre donné par l'observation directe. M. Powel fit cette comparaison pour un très grand nombre de substances, en s'aidant des expériences de Frauenhofer : jamais les différences ne surpassèrent les limites des erreurs d'observation* Dans ses nouveaux exercices de mathématiques imprimés à Prague, M. Caucby a refait par des méthodes très ingénieuses cette même comparaison ;.la théorie s'est montrée partout en si parfait accord avec Texpérience; cette fois encore, elle Ta

DE LA LUMIERE. 1 q5

ta heareusement suivie tour à tour et devancée , qu*on ne peut douter que l'illustre mathématicien n'ait découvert la loi véritable de la dispersion , loi restée inconnue Jusqu'à lui, et que nous allons exposer avec quelques détails.

Observons d'abord que trouver la loi suivant laquelle un milieu isopbane disperse les couleurs par la réfraction , c'est, en d'autres ternies , trouver la loi suivant laquelle la vitesse de propagation d'un rayon lumineux varie dans ce milieuavec l'épaisseur des ondes, ou, ce qui revient au même, avec la longueur des ondulations. Cela posé, comme dans la formule qui donne w^, on peut toujours négliger les termes qui suivent le second, et la réduireà l'expression très simple

Laloi de la dispersion peuts'énoncertrèssiroplementcommeilsuit: le carré de la vitesse de propagation d'un rayon simple qui pénètre dans un milieu isophane se compose de deux termes , l'un constant, l'autre réciproquement proportionnel au carré de la longueur d'ondulation : ou , oe qui revient au même, pour les rayons de diverses couleurs , les différences entre les carrés des vitesses de propagation sont entre elles à très peu près comme les différences entre les carrés de nombres réciproquement proportionnels aux épaisseurs des ondes.

On peut être curieux de savoir avec quel degré d'approximation cette loi représente les expériences si délicate»--de Frauenhofer. C'est là un point qui mérite une attention sérieuse, et que nous allons examiner.

 l'aide d'observations faites avec beaucoup de soin sur la lumière réfractée par des prismes de diverses substances > Frauenhofer a déterminé les indices de réfraction correspondants à certains rayons colorés , ou plutôt à certaines raies que présente le spectre solaire. Par d'autres observations, il a déterminé les longueurs d'ondulation mesurées dans l'air et relatives à ces mêmes rayons. Or, en vertu de la loi ci-dessus énoncée, les différences entre les indices de réfraction devront être à très peu près proportionnelles aux différences entre les quotients qu'on obtient quand on divise l'unité par les carrés des longueurs d'ondulation. Voyons jusqu'à quel point cette condition se trouve remplie.

D'après les calculs de Frauenhofer, pour les sept rayons qu'il a choisis et désignés à l'aide des lettres :

td6 THiORIS MATHEMATIQUE

les longueurs d'ondulation, exprimées en cent-millionièmes de pouce, sont représentées sensiblement par les nombres :

€es nombres, donnés par Frauenhofer dès les premières pages de son mémoire, se trouvent à la fin du mémoire remplacés par d*au^ très qui , à la vérité, diffèrent peu des premiers, mais qui en difièrent cependant assez pour qu'on ne puisse répondre de l'exactitude de chaque nombre qu'à plusieurs millièmes près , ou même à un centième près; car le dernier nombre 1451 se trouve remplacé à la un du mémoire par le nombre 1 464 , et la différence 1 3 entre ces deux nombres se réduit sensiblement à la centième partie de chacun d'eux. D'ailleurs, si Ton ne peut répondre qu'à un centième près de Texactitude des longueurs d'ondulation , on ne pourra répondre qu'à un cinquantième près de l'exactitude de leurs carrés et des nombres inverses de ces carrés. Or, ces nombres inverses ^ déduits de la série (a), seront sensiblement proportionnels aux suivants :

qui, divisés par 50 . domient des quotients compris entre 3 et 10. On ne pourra donc répondre des termes de la suite [b) qu'à j^usieurs unités près de Tordre du dernier chiffre. Donc, pour décider si les expériences de Frauenhofer sont conformes à la loi de dispersion énoncée , U sufQra d'examiner si les différences entre les termes de lasiiîte (6), savoir:

SA trouvent représentées, à quelque» unités près, par des nocahrai sensiblement prc^rtionuela aux dif fiéreneea entre les indic«s Ae réfractiOA relatifs MadiifiéreoU rayons; or, c'esteffediveneaice quia eu Ueu. Ainsi, par exemple, Frai«enho£er a trouvé que, pour «ne aetlainâ espèce 4e flîsHglass, les Indkes de réfraetian rataMik au fajfona £« C^ D, £, F^G« A^étaienft rcq^eeUvement:

1^27749; U629681 ; 1,635036; 1,642024; 1,648260 vl>660285;

et les diflërenees entre ees nombres , savoir :

0,001932; 0,005355 ; 0,006988 ; 0,006236 ; 0,012025 ; 0,010777 ; sont sensiblement proportionnels ans suivants :

B'aiUenrs, cenx-Kîi diffèrent seulonentde quelques unités des nombres d^à trouvés :

La plus grande différence :

étant inférieure à la einquantième et même à la centième partie du nombre:

qui termine la série (6). Il y a plus : les diverses expériences de Frauenhofer, sur la lumière réfractée par Teau , par une solution de potasse , par trois espèces de cro^n-glass et par quatre espèces de fllDt-glass , conduisent encore à des conclusions semblables, comme le prouvent les tableaux annexés au mémoire de M. Cauchy. Noua sommes donc en droit de conclure que, dans le cas où Ton admet la loi de la dispersion ci-dessus énoncée, les différences entre le résultat du calcul et les résultats de Fexpérience tombent sensiblement dana les limites des erreurs d*observation.

100. M. Cauchy a rattaché très heureusement aux phénomènes de la dispersion des considérations ingénieuses sur la loi d attraction, et la distance des molécules de Téther. Comme cette partie de ses recherches est fort intéressante et fort peu connue^ on nous saura gré de Fexposer avec quelque étendue. Pour chaque système de molécules ou pour chaque milieu , il existe en général, eomme nous l'avons vu, trois sortes de mouvements simples ou par ondes planes : quand le système devient isotrope, ces trois mouvements se réduisent à deux^ les vibrations des molécules étant transversales pour l'un , c'est-à-dire comprises ( le plan des ondes, et longitudinalespour l'autre, e*est JKlire per-

ia8 THKoniE Mathématique

psndiculaires au plau des ondes. La vitesse de propagation des vibrations transversales s* évanouit 1ors(]u*on suppose l'action mutuelle de deux molécules réciproquement proportionnelle au cube de leur distance, ou plus généralement à une puissance de la distance intermédiaire entre la seconde et la quatrième puissance. Mais c«tte vitesse cesse de s*évanouir en offrant une valeur réelle , si Faction moléculaire est une force attractive en raison inverse du carré de la distance, ou une force répulsive en raison inverse dn bicarré ou de la quatrième puissance de cette même distance ; et alors la propagation de vibrations excitées en un point donné du système que Ton considère sera due principalement dans la première hypotiièse aux molécules très éloignées , dans la seconde aux molécules très voisines de ce même point. Ajoutons que pour un mouvement par ondes planes Ja vitesse de propagation des vibrations transversales sera dans la première hypothèse proportionnelle à Tépaisseur des ondes planes, et dans la seconde indépendante de cette épaisseur. Quant aux vibrations longitudinales , elles ne pourront, dans la première hypothèse, se propager sans s affaiblir. Enfin , dans la seconde hypothèse , le rapport entre les vitesses de propagation des vibrations longitudinales et des vibrations transversales se présentera sous la forme infinie I/o, à moins qu'on ne prenne pour origine de l'intégrale qui donne la vitesse de propagation , non une valeur nulle de la distance , mais la distance entra deux molécules voisines. Observons encore que, supposer la vitesse de propagation des ondes planes indépendantes de leur épaisseur, c*est , dans la théorie de la lumière, supposer que la dispersion des couleurs devient insensible, comme elle paraît Terre quand les rayons lumineux traversent le vide. Donc la nullité de la dispersion dans le vide semble indiquer que dans le voisinage du contact , Taction mutuelle de deux molécules d'éther est répulsive et réciproquement proportionnelle au bicarré de la distance. Cette induction se trouve confirmée par les considérations suivantes. Lorsque Faction mutuelle de deux molécules est répulsive et réciproquement proportionnelle au bicarré de la distance , la vitesse de propagation des vibrations longitudinales est infinie ou du moins très considérable par rapport à la vitesse des vibrations transversales ; or , lorsque la vitesse de propagation des vibrations longitudinales devient infinie, pour deux milieux se-

DE LA LtJMlËK£. Idg

parés Tua de Tautrc par une surface plane, les vibrations peuvent être réfléchies sous un angle tel , que le rayon résultant de la réflexion soit complètement polarisé dans le plan d'incidence , et Fangle dont il s*agit a pour tangente le rapport du sinus d'incidence ou sinus de réfraction.

D'ailleurs , la polarisation des rayons lumineux sous ce même angle est précisément un fait constaté par Texpérience, et c'est en cela que consiste , comme l'on sait, la belle loi découverte par M. Brewster. Par conséquent, la théorie de M, Gauchy établit un rapport intime entre les deux propriétés que possèdent les rayons lumineux de se propager sans dispersion de couleur dans le vide, c'est-à-dire dans Téther considéré isolément, et de se polariser complètement sous Fangle Indiqué par M. Brewster, quand ils sont réfléchis par la surface de certains corps ; en sorte que , le premier phénomène étant donné , Tautine s'en déduit immédiatement par le calcul.

Ce que nous venons de dire suppose que le rapprochement qui existe entre deux molécules consécutives du fluide éthéré est très considérable. Mais quelque grand que soit ce rapprochement , comme on ne peut supposer la distance de deux molécules voisines réduite absdument à zéro , U est naturel de penser que dans le vide la dispersion n'est pas non plus rigoureusement nulle , qu'elle est seulement assez petite pour avoir Jusqu'à ce jour échappé aux observateurs. S'il y avait possibilité de la mesurer, ce serait, par exemple, à Taide d'observations laites sur les étoiles périodiques, particulièrement sur celles qui paraissent et disparaissent, et sur les étoiles temporaires.

1 01 . En effet, si l'on attribue les phénomènes lumineux à des vibra* tfoDS transversales de l'éther, et si Ton admet, comme la théorie porte à le croire, que dans le vide , c'est-à-dire dans l'éther Isolé, les rayons de diverses couleurs se propagent avec des vitesses qui ne soient pas rigoureusement égales, alors il suffira que la clarté d'une étoile varie dans un temps peu considérable pour qu'à des distances suffisamment grandes cette variation occasionne un changement de couleur. Cette proposition remarquable est due à M. A rago. On f&OLt l'établir, comme il l'a fait lui-même, par la métiiode analytique qui» dans les éléments d'algtinre, sert à résoudre la question

ido THÉOltlE M^THÉMATIQUrî

^cmHiu^ flRMIfe te ftom de ProMème des deux eouritrg. En effet, considérons nneétotle blanche qui pumisseet disparaisse périodiquement, et pour plus de simplicité supposons que cette étoile, après avoir t[H)nstamment brillé du même éclat pendant un certain temps f , reste invisible pendant un autre temps encore égal ht; admettons d'aillelùfs que ces deux phénomènes se reptioduisent Fun après Tautre fhdénniment , et que la rouleur blanche de 4*étoile résulte de la sujpietrpositfon de deux raj^ns simples dont les couleurs soient compléttïentalfres ; d*un rayon rouge , par exemple, et d'un rayon vert; enfin supposons que les vitesses de propagation de ces deux rayons n>étant pas rigoureusement égales, la plus petite soit représentée

par V ^ la plus grande par r» , en sorte qu'on ait - = 1 -|- - := ,

% désignant Un nombre très considérable. Les temps que œs deux HiyoBs, partant simultanément de Tétoile dans une direction commune , devront employer pour se propager en ligne droite ja8qu*à un point donné de l'espace , seront réciproquement proportionnels à feurs vitesses de propagation. Kn d'autres termes , ces temps seront eA^ eux dans le rapport de t> à Vi , ou de n à n + !• I)one , si à tp9MY de i'i^ile on porte «ur la direction commune des deux rayons, Ml longueurs égalée ^ éont chacune soit parcourue par le rayon doué ne la plus grUnde Vitesse d, dans un intervalle de temps représenté pa^ iif > et sil'on nomme e^, e,^ «3> ei »... les divers pohits auxquels nllbtttismnt les extrémités de ces diverses longueurs, le rayon do«é ée lu moindre vitesse e parcourra chacune de ces mêmes longiMun ^ians un intervidle de temps représenté par le produit

{n + l)t=nt + t.

Donc, pour des observateurs placés aux points e,» fi^^j» a^^le r^rd d'^n rayon sur l'autre se trouvera successivement exprimé pàtc tft + t, t-f-l-f-Cv.. ou, ce qui revientau même, par les divers termes de la progression arithmétique r , 2^ , 31 , 41. . .

10£. Cela posé, puisqu'au point de départ e les deux rayons restent simultanément visibles ou simultanément Invisibles pendant des Intervalles de temps qui 9ont tous ^aux à I, on peut affirmer ^'ii en sera de même au point où le retard de l'un des rayons sur i'«atre m tTMvira refféMnté^l'midfiafitmlnreBft^ ét,.-^ e'e

D£ LA LUMIÈRE. l3l

Mt pàkÊLU 0>9 «4>.&. Mparés de l'étoile B par deB distances que te tayoQ doBé de la plus graude vitesse parcourt eu temps égaux aux diveis tenues de la progression arithmétique 2ia, 4ni... Au contraire^ les deux rayons se montreront successivement et toi^ours Fun sans l'autre aux points où le retard de Ton à Tégard de l'autre se trouvera exprimé par Vùn des nombres 1,3^,... c'est-indire aiftx pointe et 9 0s,... séparés de l'étoile E) par des distancesque le rayon émaé de la plus grande vitesse parcourt en temps égaux aux divers t&mesde ia pregressioa arithmétique ne, 3iU. . . En général, vue d'un peint quelconque de l'espace , l'étoile paraîtra périodique, 2t étant ia durée de la période au bout de laquelle les mêmes phénomènes se reproduiront ^ et de plus l'aspect de ces phénomènes variera périodiquement avec la distance qui séparera le speetateur de l'étoile. Si cette distance est celle de l'un des points e,, 04 >••• c' est-a-dire celle que parcourt le rayon doué de la plus grande vitesse dans un tem^s reçrhfeoné par au multiple pair de ni ; alors , d'après ce qu'on vient ée dire » l'étoile paraîtra blanche durant une moitié de la période au houtde laq«eite les mêmes phëaomènes se reproduisent^ et dispa- MÉIra coinplétement durant l'autre moitié. Si ^ au contraire, la distanee do speetateur à l'éteiAs est edie de l'un des points «i i e»^... e*6flt-à-dlre eeile que parcourt le rayon doué de la plus grande vitesM dans un tienipe représenté par un multiple impair de ni, l*étofle restara toujours visible, mm elle paraîtra rouge durant une maitlé de ta période , et verte durant l'autre moitié. Enfin , si la distBùee du spectateur à l'étoiie n'est celle d'aucun des points «> » e», es^ «i... . l'étoile visible et blanche durant une partie de la période dlspandtra durant une m^re partie , et ces deiu parties égaies entre tMes, mais dent ebaouae sera inférieure à la demi-période, se tftMiTenmt séparées l'une de l'autre par des Intervalles de temps égaux p«SBâant leaquete l'étoile se montrera colorée tantôt en rouge ^ tantôt en vert.

103. Dans l'hypothèse que nous venons de ccmsidérerylespoints d'où Ton obeerve ieS mêmes phénomènes^ par exemple les points pour lesquels rétoilo reste invisible dmraat une moitié de la période et brMIe de tout son édat durant l'autre moitié, sont évidemment situés sur les surfiaœs de sphères concentriques qui, ayant l'étoile pour eoDMittn » renferment entre elles des couches dont l'épais-

l3a THKOUIE MATHÉMA.1IQUB

seur est la distance que parcourt le rayon doué de la ploê grande vitesse durant un temps 2n( égal au produit de la période 2< par le nombi-e n. En d'autres termes, pour obtenir la distance mesurée sur la direction d'un rayon et au bout de laquelle les mêmes phéDomènes

se reproduisent, il suilflt de multiplier le nombre n = par

la distance À laquelle se propage durant le temps même de la période le rayon doué de la plus grande vitesse. Cette dernière distance sera toujours très considérable, et déjà elle s'élèverait à plus de six mille millions de lieues si la durée de la période se réduisait à un seul jour. La distance au bout de laquelle les mêmes phénomènes se reproduiront sera beaucoup plus considérable encore, puisqu'elle sera le produit de l'autre distance par le nombre n , dont la valeur

en vertu de la formule n = — deviendra d'autant plus grande

que la différence entre les vitesses v et v, deviendra plus petite.

On arriverait donc à des résultats semblables, si la durée de la période restant égale à 21, les deux rayons simples, dont la superposition est censée produire la couleur blanche de l'étoile, s'éteignaient périodiquement durant des intervalles de temps ^ux entre eux , mais inférieurs ou supérieurs à la moitié de la période; ou si ces deux rayons, sans s'éteindre complètement, perdaient périodiquement une partie de leur éclat. Alors la distance au bout de laquelle se reproduiraient les mêmes phénomènes serait tou- * Jours celle que nous venons de calculer. Alors aussi , vue de certains points, l'étoile à certaines époques paraîtrait colorée, tandis que, pour des observateurs placés en d'autres points , elle se montrerait toujours blanche lorsqu'elle ne serait pas invisible. Seulement , dans la nouvelle hypothèse, les deux couleurs pourraient être mêlées de blanc , et les intervalles de temps pendant lesquels l'étoile paraîtrait blanche et colorée seraient plus longs ou plus courts que dans la première supposition.

On arriverait toujours à des conclusions du même genre , si la lumière blanche de l'étoile résultait de la superposition de plus de deux rayons simples ; et dans ce cas encore comme dans les hypothèses ci-dessus admises, l'étoile vue de loin devrait paraître le plus ordinairement colorée. Il y a plus, il faudrait encore supposer

D£ LA LUMIKRE. l33

remplies certaines conditions particulières, pour qu*à de très grandes distances les phénomènes observés dans le voisinage de l*étoile parvinssofit à se reproduire exactement. Admettons , pour fixer les idées, qne la lumière blanctie de Tétoiie résulte de la superposition de trois rayons qui se propagent avec des vitesses représentées par «j Viy Vt> soit toujours 21 la dnrée de la période, et posons

Si les nombres n,, n„ qu*on doit supposer très grands Tnn et Tantre, sont commensurables entre eux, c*est-à-dire , en d'autres

termes, si le rapport •— est rationnel , on pourra déterminer une

distance an bout de laquelle se reproduiront exactement les mêmes

phénomènes, et cette distance sera celle que parcourt le rayon doué

de la vitesse v dans un temps égal au plus petit des multiples de

ft 2it.f , qui soit aussi un multiple de 2nJ, Mais si le rapport -*

devient irrationnel , il deviendra impossible de trouver un multiple de2n,lqui soit en même temps un multiple de2fi,f, et il deviendra pareillement impossible de trouver une distance au l)OUt de laquelle les mêmes phénomènes se reproduisent exactement pendant toute la période ±t. Alors, par exemple, les phénomènes (pe Ion observe dans le voisinage de Tétoile ne pourront plus se reproduire en d'autres points de l'espace, et pour un observateur placé loin de l'étoile, celle-ci ne pourra demeurer constamment blanche tant qu'elle sera visible.

104. En résumé, si dans le vide les vitesses de propagation des rayons diversement colorés ne sont pas rigoureusement égales, un changement périodique de clarté dans une étoile subira pour occasionner à de grandes distances des changements de couleur. Or, parmi les astres dont la clarté varie périodiquement , on doit surtout distinguer Algol ou ^ de Persée, dont l'éclat ordinaire étant celui d'une étoile de deuxième grandeur, reste tel pendant 2' 14^, puis décroît soudain , de telle sorte qu'au bout d'environ 3** 1/2 , l'étoile se trouve réduite à la quatrième grandeur, sa lumière ayant alors perdu plus de la moitié de son intensité. Alors aussi l'étoile recommence à croitre pour reprendre au bout de 3" 1/2 son éclat habituel , l'étendue entière de sa période

l34 THÉOR18 MATHÉMATIQUE

étant d'envIroD ti 20^ 48"*. Cela posé, omoevoiit que 1*6» attentivement ta couleur d* Algol , tandi» que aon éelat dimmiie. SI l'intervalle de temps renfermé entre les deux Instants qui nous laissent apercevoir des rayons rouges et violets partis stroultanémenl de l'étoile s'élevait seulement à un quart d'heure , ette changerait de couleur d^me manière assez notable pour que le changement pût être remarqué. En effet, puisque Tastre aura perdu plus de la moitié de sa lumière en 3^ 1/2, la perte moyenne de lumière en un quart

1/4 d'heure surpassera le rapport - — -ou 1/14, et il n'est pas douteux que cette perte subie dans l'hypothèse admise par un seul des deux rayons rouges et violets occasionnât une variation appréciable dans la couleur. Toutelbis cette variation est demeurée insensible dans les expériences entreprises par M. Arago pour la constater. Cherchons maintenant ce que l'on peut en conclure relativement à llntervalle qui sépare deux molécules voisines du fluide éthéré.

lOô.Yu la distance considérable qui sépare de la terre les étoiles les plus rapprochées , distance que la lumière ne peut franchir en moins de trois ou quatre années, un quart d'heure n'équivaut pas , comme on l'a déjà dit , à la cent milliènie partie du temps que la lumièN emploie pour venir d'Algol jusqu'à nous. Donc , en admettant qoe deux rayons, Vxkn rouge, l'autre violet, partis simultanément de cette étoile, se suivent d'assez près pour que l'un ne soit pas d'un quart d'heure en retard sur l'autre , nous admettons par cela même , non seulement que le rapport entre les vitesses de pr«q^ation de ces deux rayons diffère très peu de l'unité, mais encore que la différence est au-dessous d'un cent millième. Cela posé, si Von adopte comme rigoureuse, pour Téther considéré isolément, la k» de répulsion «précédemment énoncée, e'est-à-dire si l'on suppose qne l'action mutuelle de deux molécules d'éther soit répulsive et réeiproquement proportionnelle au bicarré de la distance, la formules

41M l'w déduit de la théorie, et dans laqueiiç < est lik distance de

PV hK i.UMlÈRB. |3^

4ew wtsÀéts9iM veiftbiaii et I la longueut da t'^MMK fMrBtea te mo^n de ealcnler une limite supérieure à Fintervalle qvi sépure âe«x nioléeuies voisines du fluide éthéré. Su effel, désignoM fK l,ls, h i^f Ifô longueurs d'ondulatloo et les durées des vibnir tions moiéculaires dans les rayons rouges et \ioiets, et par i>, »,, les vitesses de propagation de ces rayons da^s le vide, les ri^fh' ports entre les durées I, I, , et Tlntervalle de temps qui résnKede la division â*une seconde sexagésimale en mille millions de millions de parties égales y seront représentés à très peu près par les nombres 2 et 1 ,39, en sorte qu*ou aura sensiblement :

Gela posé, la formule donnera , pour le rapport entre kl de deux «mlécules d*éther voisins et la lengneur / ••

ou 4 très peu près, puisque - diffère très peu de l'unité

-;=;V[ï!re(;-Oj-

Pour que la valeur de c reste réelle, on devra évidemment dans la

formule qui précède supposer le rapport supérieur À Vunité. Si

d'ailleurs on suppose la différence entre ce rapport et Tunité réduite à an cent millième, alors de cette équation jointe à la flormule :

»— ~100ÛOO'

«ncoodura ï= ,^ ^ V^ (^0)= 0.005,' -

En vertu de cette dernière formule, i serait envlren cinq millièfloes ou 1/200 de la longueur d^ondulation des rayons rougçs.

l36 THEORIC MATHÉMATIQUE

c*est-à^fre3 mlllioaièines de millimètre. On voit aingiqaelleestla petitesse de la limite supérieure à la distance qui sépare deux molécules voisines d'éttier, lorsr[u*en adoptant la loi d'une répulsion réciproquement proportionnelle au bicarré de la distance , on part de ce fait que Fobservation d*Algol ne fournit point de traces de la dispersion des couleurs dans le vide.

Il est bon de remarquer qu'en vertu de la formule

la vitesse de propagation des rayons violets surpasserait celle des rayons rouges , en sorte que les rayons qui se propagent plus rapidement dans les corps se propageraient au contraire avec plus de lenttïur dans le vide.

Interférence de la lumière. — 106. Si deux ondes lumineuses, provenant de deux centres d'ébranlement, atteignent au même instant un certain point de Tespace, les particules d*éther en ce point seront mises en vibration par chacune des ondes , et recevront par conséquent deux impulsions dont les effets se combineront pour donner naissance a des phénomènes que nous allons étudier avec soin. Il a été démontré par l'analyse que si l'on commu* nique à un même point matériel deux ou plusieurs impulsions très petites , chacune de ces impulsions subsistera et produira tout son effet indépendamment des autres, de telle sorte que l'impulsion réelle et totale du point sera la résultante des impulsions primitives considérées comme séparées et distinctes. En cela consiste, comme nous l'avons déjà dit, le principe de la supei*position des petits mouvements : un exemple bien simple fera ressortir la vérité de ce principe fondamental. Supposons qu'un pendule reçoive une première impulsion dans un plan passant par Taxe de suspension ; l'effet de cette impulsion sera de faire osciller le pendule dans le plan dont il s'agit. Concevons maintenant qu*au moment où le pendule oscillant est parvenu au point le plus l>as de sa course , on lui imprime une seconde impulsion dans un plan perpendiculaire au premier ; si la seconde impulsion avait été seule, elle aurait fait osciller le pendule dans le second plan en lui faisant parcourir un certain arc ; or, en mesurant avec soin la distance du pendule à la verticale

DE LA LOMlèfiE. tSj

dans Vnn quelconque des deux plans verticaux , on trouvera que cette distance est réellement à chaque instant ce qu'elle serait &' Vautre impulsion if avait pas existé , et Von en conclura que les deux impulsions existent simultanément, indépendamment Tune de l'autre : de leur ensemble d'ailleurs résulte une oscillation elliptique. Si les deux impulsions primitives ont lieu dans un même plan , il est évident que la vibration résultante sera leur somme si elles agissent dans le même sens ou si elles s'accordent , leur différence si élira agissent en sens contraire. Revenons à la lumière , et supposons que deux ondes sont parties au même instant de deux centres lumineux, que nous supposerons, pour plus de simplicité, d'égale intensité et très rapprochés; puis, concevons qu'une particule d'éther placée à distance soit mise en vibration par les impulsions simultanées de ces deux ondes ; si nous admettons de plus que les deux impulsions sont dans le même plan , l'amplitude de la vibration résultante sera double si les deux ondes s'accordent, nulle si les deux ondes agissent dans des directions opposées. Il est, de plus, évident que les vibrations initiales s accorderont, et que par conséquent la vibration résultante sera double si les ondes, au moment de leur arrivée , étaient dans une même phase, et qu'au contraire les vibrations initiales agiront en sens contraire si elles arrivent dans des phases

^ opposées. Supposons, pour

fixer les idées , que les ondes soient planes et représentées par les sinusoïdes A B, A' B' :

la distance de la particule ^'v^^^^^^'^'X^^^ d'éther à sa position de repos

'^^ sera représentée par l'ordonnée

ou par la perpendiculaire à l'axe ou à la ligne moyenne de l'onde. Dès lors, si l'on superpose l'onde A'B' à l'onde A B, comme les points correspondants de ces deux ondes sont dans une même phase de vibration , la distance de chaque particule à l'axe après la superposition sera évidemment doublée. Si , au contraire , on superpose à l'onde A B l'onde A" B'', telles que les points coi*resr pondants soient dans des phases opposées , chaque particule sera sollicitée par deux impulsions tnn, m" n'' égales et de sens contraire ; sa distance à Taxe sera donc nulle , et elle occupera sa position d'équilibre ou de repos.

l38 THEORIE MATHBMATIQUB

Nous avens «ei^sidéré, pour plus de ftimpUoîlé, le cw «itréne, ielui où les ondes simultanées sont en complet accord w e^i c(»npiète opposition. Dans les cas intermédiaires, la direction et Tarn-* plitude de la plus grande des vibrations seront modifiëcfi suivant des lois semblables à celles qui président à la eompositioQ des forces.

107. Il résulte donc des premiers principes de la théorie des ondes que deux rayons lumineux , en s'influraçant mutueUeraent. peuvent ou produire un effet plus grand , ou s'affaiblir mutueUement , se détruire môme et donner naissance par leur ensemble à une complète obscurité, de sorte que de la lumière jointe à de la lumière ne produise que des ténèbres.

Avant de suivre dans leurs développements les inductions de la théorie, il est bon de faire observer que ce que noua venona de dlie par rapport aux vibrations lumineuses est entièrement analogue à ce que l'on observe partout où il existe des mouvements vibratoùras. Si deux ondes liquides arrivent dans le même instant au même point de Tespace, de telle sorte que le relief de l'une Goïiwsîde avec le relief de l'autre , on voit ces deux reliefs s'ajouter ; le relief de 'onde résultante est la somme des reliefs des ondes primitives. Sî , au contraire , le creux d'une onde vient à se superposer au relief d'une autre onde , ils se détruisent eu partie , et le relief de l'onde résultante, ^al à la différence des reliefs primitifs «disparait entièrement si les deux premières ondes étaient égales.

Nous avons un magnifique exemple de ces influences mutuelles dans le phénomène bien connu des grandes et des petites marées : Tonde qui constitue la marée est , dans le premier cas , la somme des marées solaire et lunaire; dans le second cas, elle est leur différence. Une particularité curieuse que Ton observe dans les marées du port de Batsha fournit un exemple , plus frappant encore , de l'intei'férence des ondes. Le flot dont se compose la marée atteint le port par deux canaux dont la différence de longueur est telle , que le temps de l'arrivée par l'un surpasse précisément de six heures le temps de l'arrivée par l'autre. Il en résulte que quuid le relief de Tune des ondes, ou la plus grande eau, atteint le port par un des canaux, il ei>t rencontré par le creux de l'autre. Ces effets simultanés d'élévation et de dépression se détruisent en totalité ou en partie. Pa^s cei'taines saisons , (fu^ique les marées du matin et du soir sont égales, il n'y aplus dès lors de marée dans le port de Bet«hn, tandis

DE LA LUMIÈRE. iSq

que dans les antres saisons il n*y a qu*nne seule marée, dont Télévation est la différence des hauteurs des marées ordinaires du matin et du soir.

M. Whewell a remarqué dernièrement que l'inégalité irrégulière des marées dans le port de Londres devait être attribuée à une cause senbiabie, et provenait de ce que la marée se compose en réalité de deux ondes, dont l'une atteint immédiatement le port par le canal d'Angleterre , tandis que l'autre arrive douze heures plus tard , après aw^ fait le tour des c6tes de la mer du Nord.

108. La coexistence des ondulations sonores amené les mêmes effets : on a cru longtemps que la coïncidence de deux ondes produit ee qu'on appelle eu acoustique des battements. Il y aura , en général , Interférence quand une onde condensée rencontrera une onde dilatée ; une expérience encore peu connue met ce phénomène tont-à'fait en évidence. On prend un tube composé de deux branches exactement égales , terminées à un tronc commun, fig. 1 et 2. D est évident que si les particules d'air sont mises à la fois dans les deux branches dans un même état de vibration , de telle sorte que les dilatations et les condensations se correspondent exactement» une vibration double se propagera dans le tube intermédiaire G D , et pourra être mise en évidence au moyen d'une membrane mm' couverte de sable et mise en communication avec TextrëmitéDdu tube. SI , an contraire » les particules d'air dans les deux branches sont

Fie. 1. Fig. 2.

AL

pr

, dans dea états de vibrations opposées, de telle sorte que les ooodeosatîona de Vune correspondent aux dilatations de l'autre, I viiirtttûiQ ne s«i propagera dans le tronc, le sable ventera

l4o THÉORIE MATUÉMATIQCE

pleinement en repos. Pour réaliser toutes les conditiODS nécessaires a la production des phénomènes que nous venons de décrire, il sufGt de placer les ouvertures faites à rextrémité des branches des tubes sur les parties d'une plaque vibrante qui sont dans des états de vibrations semblables ou opposés. Si, par exemple, ou se seit d*une p!aque carrée à laquelle on fait rendre un son tel que les lignes des nœuds soient les deux diagonales A B» C D» la plaque aura quatre ventres de vibration maximum. De plus» si la portion A 0 C s*élève , il en sera de même de la portion DO B, tandis que les portions AOD et C 0 B s'abaisseront , de telle sorte que a et c sont des centres de vibrations semblables, a et b des centres de vibrations opposées. On aura donc dans les deux branches des états de vibrations opposées ou semblables , suivant que Ton placera leurs ouvertures ou sur deux ventres consécutifs, ou sur deux ventres alternés. Si la plaque est tellement choisie que le son qu'elle rend avec deux lignes de nœuds diagonales soit précisément le son fondamental des deux branches du tut>e, c'està-dire si la plaque excitée , comme nous l'avons dit , vibre à Tunisson des branches du tube , on entendra les branches du tuiie résonner fortement quand leurs ouvertures seront placées sur deux ventres alternés , tandis que l'on, n'entendra que le seul son de la plaque si les deux ventres sont consécutifs : ici donc du son uni à du son donne le silence. Il est un mode d'expérimentation plus simple encore. Quand, en s' élevant, la portion supérieure A OC delaplaque peut donner naissance à une onde condensée, la partie inférieure peut faire naître une onde dilatée ; si donc on prend un tube sem-

. blable à celui qui est dessiné dans

^i| ko cettefigure, dontlesdinienslons soient Q I — Il " f telles que chaque branche puisse vi-

brer à l'unisson de la plaque , et qu'on place le ventre de vibration entre les deux branches, on n'entendra pas d'autre son que celui de la plaque. Si, de plus, le tube est tellement construit que les deux branches puissent tourner sur une certaine ligne C D , et que , par un mouvement de rotation , on éloigne une des branches du ventre de vibrations , la branche restante

ÙE La LOMlilRK. i4i

fera entendre nn son très distinct ; on éteindra ce son en ramenant la première branche, qnî, laîsséeseuley résonnerait comme la seconde, de sorte qu'il est alors bien évident que du son ajouté à du son produit du siience. En écartant suffisamment les deux branches de ca même petit appareil , on pourra les placer sur deux ventres consécntifSy ce qui produira encore du silence, parce que l*une est en dessus et l'autre en dessous , ou sur deux ventres alternés , ce qut donnerait naissance à un son double, etc. M. Lloyd assure que ridée de ces ingénieuses expériences est due à M. Hopl^ins. Nous les avons souvent répétées en présence de plusieurs physiciens distin* gués,avec d'excellents appareils construits par M. Marloye.

109. Deux rayons lumineux doivent pouvoir donner de Tobscurité^ comme deux ondes sonores produisent le silence , comme deux ondes liquides produisent le niveau. Ma's nous ne sommes pas réduits à conclure seulement par analogie l'existence des interférences lumineuses ; cette existence, qui constitue Tun des faits les plus curieux et les plus importants de l'optique , est démontrée par les expériences les plus directes et les plus convaincantes. Nous verrons même qu'on retrouve les interférences dans une multitude de cas où leur présence n'était pas soupçonnée.

La gloire de la découverte de cette grande loi de l'interférence de la lumière appartient réellement au jésuite Grimaldi, quoiqu'il ait été réservé au fameux physicien anglais Young de l'établir et de la formuler nettement. Grimaldi avait énonce ce fait, qu'un corps éclairé peut devenir obscur par une adjonction de lumière. Voici comment il le prouvait. Supposons qu'on'fasse pénétrer un rayon de lumière dans ta chambre obscure à travers deux petites ouvertures étroites, circulaires et égales; ces rayons donnent naissance à deuic cAnes lumineux divergents, qui sont chacun entourés de deux pénombres moins éclairées. Si maintenant on reçoit les deux rayons sur un écran , de telle sorte que les pénombres des deux cônes empiètent Tune sur l'autre, on remarquera que, quoique la plus grande partie de l'espace doublement éclairé soit plus brillante que la pénombre d'un seul cône , cependant les limites ou contours des deux portions superposées sont beaucoup plus sombres que les parties des pénombres qui n'empiètent pas l'une sur l'autre. De plus, si l'on intercepte par un écran un des deux rayons, ces cou*

l4^ THÉORIE MATHESÂTIQCC

toun sombres repreoneot Feclat da reste de la pënomfane. Il est donc vrai qa'ane additi^iii de lumière peot oecasioiHMr robacnrité et qtte réciproquement une soustraction de lumière peut «meoer une au^ineutat'KMi d'éclat.

Cette in'jénieu^ et intéressante expérience a pris cotre les inaiM dTouii^un caractère plus saillant et plus décisif. SI oasobstitiie aux ouvert ires circulaires de Grimaldi deux petites feates placées très pre?) l'une de l'autre, et si on remplace la lumière ordinaire par de la lumiei e homogène, on observe sur récranone série de bandes alternativement brillantes et obscures formées aux poôits où les ondes provenant des deux centres s'accordent ou sont opposées. On prouve fue ces alternatives de lumière et d'obscurité ont pour causa l'action mutuelle des deux rayons, par ce fait que, si Ton ii^roepte un des rayons en fermant une des ouvertures , les franges disparaiasent entièrement , la lumière reprend partout la même intensité : ce qai montre que quand on supprime un des centres lumineux, les intervalles obscurs redeviennent lumineux, il est bien constaté par là que Tobscurité observée est due à Ta^jonction de lumière, on à rinfluence que le second rayon lumineux exerce sur le premier.

Pour mieux faire ressortir les circonstances singulià^s de ce phénomène , considérons ce qui se passe dans un cas d'interférence plus simple , et qui nous est plus familier.

110. Si on laisse tomber à la fois deux pierres parfaitement égales dans un bassin ou réservoir d'eau stagnante, on voit naître deux séries d'ondes circulaires, qui ont pour origine les deux centres d'ébranlement, et la rencontre de ces deux systèmes d'ondes donne naissance à des phénomènes semblables à ceux que nous venons de décrire dans le cas de la lumière. Pour les mieux analyser, désignons par R„ C„ Rï, C„... les ondes alternativement en relief et en creux du premier système par R', C, R'^ G'^... les ondes du second; appelons di, C|, d„ Ca,... d\ c', d'', c",... lesdistancesdeces diverses ondes à leurs centres respectifs ^ et supposons que , Rt, W étant des ondes équidistantes de ces centres et les premières qui arrivent au contact, on ait d, = d', rf^ -|- <i' = R + R'« Si / est ce que nous avons nommé la longueur de Tonde, ou la distance de deux points placés dans des états semblables de mouvement, de deux sommets d'ondes en relief par exemple» on auraéTidemment

e.z=d.+il, â, = d, + l,^.,c' =i(e-\-ll,d"=d' + l,ete.

Cda posé : V si deux reliefs quelconques K, R'>... se rencootreut ^ ils s'ajoutent , et Ton voit apparaître uue pméininence plus forte; 2- si un relief R. se superpose à un creux C' du secoud système^ ils se compensent ou se nivellent mutuellement; l'eau du bassin reprend son premier niveau , comme sî elle n*avait pas été ébranlée. Il est iMdeat que ces influences mutuelles s'exerceront sur plusieurs points à la fois, et que la surface liquide se trouvera comme partagée en deux séries de points : les uns de déplacement double, les auUes de déplacement nul. Les points de ces deux séries seront situés sur certaines lignes droites ou courb»is qui seront leurs

lieux géométriques. Une première ligne AÀ de déplacement double sera déterminée par la rencontre de Ri avec R', de R« avec R", etc. Cette ligne est nécessairement droite et perpendiculaire à la ligne des centres d'ébranlement, puisque tous ses points sont à

1-^L 1 ^^ égales distancies de ces cehti'es. \ V t)eux nouvelles lignes de déplaee-

* ment double BU, B' B' seront for-

mées à droite et à gauche de AA par les rencontres de R, avec R", 1\> avec R^",... ou de R'avec R„ R" avec Ra,.... c'est-à-dïre qu'elles seront le Heu de tous les points, dont les distances au centre d'ébranlement diffèrent entre elles de la longueur d'une onde; car on a

d^ ^d^ = d^ —d' = l, d"' — d,=d'" — rf" =/,... d, — d' = d, - d, =: l, ds— d^' = d, -^d, — /...

Detix autres lignes de déplacement double CG, C'C awamt dmittéé^ par les rèneontres sueeessives de R| avec R"% R, avec R»^, ou R' avec Rs, R" avec R4, c'est-à-dire par i'enseraMe des potnis dont les distances aux centres d'ébranlement diffèrent de deiix longueurs d'Biidc; «1 a, en effet, èL"^- d - d" —d' .-= 2 i... ËB général , toQbes les ondes, dont les distances au centre d'ébran«kmeot dilférerOBk snlre elles d'un multiple pak'ou impair de ia ion-

l44 THÉORIE MATHÉMATIQUE

gueur d'oodulation, ou d'un nombre eDtier â'oDdulation^4, donneront naissance à des lignes de déplacement double. Toutes ces lignes seront évidemroeut des hyperboles, dont les centimes d ébranlement occupent les foyers. Elles seront séparées par des lign^ intermédiaires lieux géométriques des points dont les distances aux centres

d*ébran1ement diffèrent d'une demi-onde --» ou d'un nombre im-

pair de demi-ondes. Ces dernières hyperboles , en tout semblables aux premières, seront précisément les lignes de déplacement nul provenant de la rencontre des ondes en relief Bi, B,, B3y...avecles ondes en creux C, C", C/", ou B', B", B'"avecC„C„ C„ etc. etc. 111. Tout ce que nous venons de dire s'applique exactement à la lumière considérée au point de vue de la théorie des ondulations. Nous avons vu qu'il résulte de cette théorie : V que si deux ondes lumineuses d'intensités égales atteignent un même point de l'espace dans une même phase de vibration , l'amplitude du déplacement de la molécule devient double , et par conséquent l'intensité de la lumière quadruple ; 2^ qu'au contraire, les deux ondes se neutralisent mutuellement, et donnent naissance à de rol)Scurité si elles arrivent dans des phases opposées; 3^ que l'intensité de la lumière sera intermédiaire entre ces deux extiémes , si les ondes se rencontrent dans des phases intermédiaires de vibration. Cela posé , il est aisé de comprendre de quelle manière se produisent les bandes alternativement brillantes et obscures. Kn effet, les ondes , quelles que soient leurs longueurs, se propagent dans un même milieu avec la même vitesse ; dès lors si deux ondes de longueurs égales partent en même temps de deux centimes, elles arriveront au même point dans la même phase , si les chemins qu'elles ont parcourus sont égaux ou diffèrent d'un nombre entier de longueurs d'onde. Klles se rencontreront dans des phases opposées, si les chemins pai^courus diffèrent d'une demi-ondulation ou d'un nombre impair de demiondulations. I^ bande centrale , brillante et rectiligne , se compose par conséquent des points pour lesquels les chemins parcourus sont égaux. Les deux bandes brillantes voisines sont formées des points pour lesquels les chemins parcourus diffèrent d'une longueur d'onde; les suivantes, des points pour lesquels les chemins parcourus diffèrent de trois longueurs d*onde, et ainsi de suite... De

DR Lk LOMIÈRE. llfi

même , ks deux premières franges obscures à droite et à gaoehe se composent des points pour lesquels les chemins parcourus diffèrent d*Qne demi-ondulation ; les deux suivantes , des points pour lesquels les chemins parcourus diffèrent de trois demi-ondulatioDS,etc., etc.

Ainsi, dans l'expérience d'Young, si lahuQQière provenant des deux ouvertures 0 et 0' est reçue sur Tëcran A D, on voit que la hanûe brillante centrale se forme au point A où l'écran est rencontré par la perpendiculaire A D qui divise en deux parties ^es l'angle 0 A 0' formé par les deux pinceaux de lumière. Il y aura à droite et à gauche de la bande iNrlIlante centrale deux bandes obscures , puis deux nouvelles l>andes brillantes, etc. Si l'on mesure les distances de Tune de ces iMundes aux deux ouvertures, on trouve que leur différence BCX — BO est une quantité constante, quelle que soit la position de Técran. Cette différence est précisément la longueur d'une onde. Pour la Iwnde brillante suivante, on trouverait que la distance €(/ — CO des chemins parcourus est double de la première ou égale à deux ondulations entières : plus généralement, on verra que les distances aux deux ouvertures pour un point correspondant à une bande brillante diffèrent entre elles d'un multiple de la première différence BO' — BO , ou d'un nombre entier d'ondulations. Les mêmes mesures appliquées aux bandes obscures intermédiaires prouveront que les différences des éhemins parcourus sont égales à une demie , à trois demies , à cinq demies ; plus généralement à un nombre impair de demi-ondulations.

I#a différence des distances aux deux ouvertures étant constamment la même pour tous les points d'une même bande , il en résulte que cette bande sera une hyperbole dont les foyers coïncideront avec les deux ouvertures. La courbure de tontes ces hyperboles sera très petite, excepté près du sommet, de sorte qu'elles se confondront sensiblement avec leurs asymptotes. 1 12. Quand on connaît Tintervalle qnisépare les deux ouvertures

l46 THRORIB MATHEMATIQUE

et la distance de l'écran , il est facile de déterminer la pœitîoii des bandes. Cette position^ pour une bande brillante et obscure, est déterminée par la condition que la difitérence mo' — mo des distances aux deux ouvertures, sera un multiple de la longueur d'une ^ demi-ondulation. Or, menons les A lignes On,(y nf parallèles à A P, . «' et représentons A P par ô^'OC, qui est la distance des ouvertures, par e la distance inconnue Am de la bande par x , les triangles rectangles o mH,o^ mW, donneront :

am

=:\/fc. + (ar-lc)% i/m ^ V b^ + (x + ic)K

En développant par la formule du binôme , et remarquant que les quantités xetc sont très petites par rapport à 6 , on aura , en arrêtant ces développements aux seconds termes :

om

• om*=-

ex

Mais cette différence doit être égale à un nombre entier n - de

demi-ondulations ; on aura donc x^s -. En donnant tour àloar

à n dans cette formule si simple les valeurs paires o, 2, 4 , 6 ,.. . Sa et les valeurs impaires 1 , 3, ô,.-* 2n + 1 > on aura les distances:

bl

x^zo 5?=:— ,âj 1= — , x:^ — ... xzzz

9nbl

bl 36/ 561 2n-f 1 6|

ÛH bandes suecessivasi brillanles et obseoras*

ra LA LOMIÈBB. l4<j

De cette même formule on tire l = — , et Ton pourra par conséquent calculer ia longueur de Tonde quand on aura mesuré les distances 6y c et la valeur de x^ correspondante à une valeur doonée de n, ou à une certaine bande. On a trouvé de cette manière que cette longueur d'onde était pour le rayon rouge extrême 0,0000266 de pouce , pour le rayon violet extrême 0,0000167, pour le rayon moyen du spectre 0,0000203, moins d'un l/:300000de pouce.

1 13. Nous venons d'établir les bases fondamentales delà théorie des interférences, en nous appuyant sur les expériences et les raisonnemenls d Yoong. Or, cette méthode n'est pas tom-à-bit exempte d'ohjectioDS. On pourrait supposer que la lumière m rasant les bords des ouvertures éprouve des modifications d'une nature telle, qu'elles suffiraient à expliquer les etfets observés. 11 était donc très important de montrer que ces effets sont complètement Indépendants des ouvertures ou des bords, que deux rayons quelconques partis d*une même source et qui se rencontrent sous une très petite obllquHé interfèrent, quelles que soient d'ailleurs les circonstances de leur rencontre. C'est ce qu'a fait l'illustre Fresnel , et l'expérience qu'il a imaginée pour atteindre ce but est considéréa avec raison comme la plus ingénieuse et l'une des plus belles et des plus conchiantes de toute r<^tique.

On place à c6té l'on de l'autre deux miroirs formant entre eux on angle très obtus, et l'on fiit tomber sur ces miroirs un rayon de lumière divergent émis du foyer d'une lentille; il en résulte deux rayons réfléchis qui forment entre eux un très petit angle. On a donc ainsi deux rayons issus d'une même origme , séparés simplement, par la réflexion sur des surlaces planes , sans polarisation, sans l'intervention de bords ou de toute autre influence quelconque : or, ces deux rayons interfèrent de la manière que nous avons dit plus haut, et produisent par leur aetion mutuelle des bandes altemativemeat brillantes et sombres. Pour s'assurer qne ces bandes sont Men reffet de l'action mutuelle des rayons, il suffit d'en intercepter un en couvrant le miroir qui le réfléchit :^le système de bandes ^évanouit à l'iMtanl tant entier.

SuppoflOQB qneQn, (y» représentent les sections Adies dms les ; miiohrs que noos supposerons perpendiculaires an ptandelÉ

l48 THtoRIB MATUéMATIQUE

figare, et concevons que K soit le centre lumineux ou le foyer de

la lentille qui concentre les rayons du soleil. Abaissons du fojrer K deux perpendiculaires sur les deux miroirs , et prenons sur ces perpendiculaires prolongées deux longueurs égales aux distances dn foyer aux miroirs ; les points ainsi obtenus 0, 0', pourront être considérés comme les points de départ des rayons réfléchis. Cela posé, on verra V que les bandes sont parallèles à la ligne d'intersection des deux miroirs ; 2^ qu'elles sont placées symétriquement à droite et à gauche du plan qui passe par cette intersection , et par le point P milieu de la ligne 00' ; 3* qu*en partant du miroir, ces bandes se prolongent snivant des arcs d'hyperbole, dont le centre commun est en P y et dont les foyers sont les points de départ 0 , 0'.

Ces résultats sont parfaitement d'accord avec la théorie. En effet, puisque 0 n = n /( et 0' n' z= n' ft , la différence entre les chemins parcourus par les rayons réfléchis /( n m, ft n' m qui se rencontrent au point m, est la même que s'ils parvenaient à ce point après être partis des deux points 0, 0^ Donc tout ce que nous avons dit sur l'interférence des rayons qui partent de deux centres lumii^eux très voisins trouvera ici son application. Comme on a K Q =0 0=0' Q, la ligneP Q perpendiculaire sur le milieu deO O' aura tous ses points à égale distance des deux origines 0 et O'. Les bandes dès lors seront symétriques par rapport à cette ligne, et la distance A m d'une bande quelconque à la bande centrale sera

donnée par la formule générale « =: — X ^r^y . On peut facile-

ment ramener cette expression ou valeur dexé ne renfermer que les données de la Qu^stioiuOn a, en effet, PQ=OQcosOQP s:KÛoosOQP,00'cs20P~3KQsinOQP. Mais pui»

DE LA LUMIÈBC* l49

que les angles K Q 0 , K Q (V sont divisés en parties égalée par les lignes Qn et Qn\ il est facile de voir que Tangle 0 Q P , moitié de 0 Q (y, est égal à Tinclinaison des deux miroirs. En désignant par f cette inclinaison, par a et 6 les distances K Q et Q A, on

aura 00' = 2a8lniyAP=acosi-|~^*"^ + ^» puisque l'angle j est Infiniment petit; on aura donc définitivement

2 a sini

114. M. Uoyd a reconnu que le phénomène des interférences et des franges se produit dans tout son éclat quand on fait réagir l'an sur l'autre un rayon direct et un rayon réfléchi , et sous cetteforme rexpérlence est bien plus facile à réaliser que par le mode si Ingénieux inventé par Fresnel. Il suffit de prendre une simple plaque de glace ou d'un miroir métallique, et de les placer dans une position telle, que les rayons partis du centre lumineux soient réfléchis sous un angle à très peu près égal à un angle droit. Un écran placé de l'autre côté du miroir recevra à la fois le rayon direct et le rayon réfléchi : ces deux rayons se rencontrant sous un très petit angle 9 et ayant parcouru des chemins sensiblement égaux, sout dans les conditions voulues d'interférence. Il est facile de voir que le système de bandes ainsi obtenues est la moitié seulement de celui qui se forme dans l'expérience de Fresnel.

Il est une autre manière plus facile et plus avantageuse sous plusieurs rapports d'étudier lo phénomène fondamental des Interférences. Il est évident que le rayon primitif peut être séparé par la réfraction comme il l'aétépar la réflexion, et que si rinclinaisondes deux rayons réfractés est très petite , ils interféreront comme les rayons réfléchis. 11 suffit pour obtenir cet effet d'avoir un prisme dont l'angle très obtus soit presque égal a 180% et de faire tomber le rayon de lumière perpendiculairement à la face opposée à cet angle. Il est évident que le rayon sera diversement réfracté à sa sortie par les deux faces , et qu'il sera partagé en deux rayons réfractés partis d'un même centre formant entre eux un très petit angle , remplissant par conséquent toutes les conditions nécessaires pour leur interférence. L'expérience prouve, en effet, qu'on volt naître alors des séries de franges alternativement dalres et sombres, parallèles à l'arête du prisme.

l6o TfllSoaiE MATHI^MATIQUE

1 16. Be tout ee que nous Tenons de dire , il résulte ëTidemmeiit que dans tous les cas la bande brillante centrale et rectillgtie prodnile par l'interférence de deux rayons est le lieu des points auiqdels les deux Soyons sont parvenus après des intervalles de temps égaux s on en conclut que si les deux rayons ont parcouru le même milieu ou des milieux de résistance égale sans avoir été arrêtés dans leur course par aucun obstacle étranger, les points de la ligne brillante centrale seront à égale distance des deux centres lumineux ^ puisque les rayons auront alors parcouru nécessairement des espaces égatix en temps égaux. Il n'en sera plus ainsi si l'on place sur le chemin de l'un des deux rayons une petite plaque mince prise dans un milieu plus dense ; car alors si la lumière est retardée dans un milieu plus dense , il est évident que les points auxquels les rayons parviennent dans le même temps ne seront plus à ^ale distance des deux centres de vibration , qu'ils seront plus près de celui dont la lumière a éprouvé un retard ; ce serait tout le contraire si la lumière se mouvait plus vite dans le milieu plus dense : la bande centrale et tout le système des franges s'approcherait donc, dans le premier cas, du côté où se trouve la plaque mince, elle s'en éloignerait dans le second. Or, Texpérience si ingénieusement conçue et exécutée par M. Arago a prouvé que la frange centrale s'approche réellement du côté où se trouve la plaque ; donc la lumière ebt nécessairement retardée dans les milieux plus denses , contrairement aux exigences du système de rémission, conformément aux principes fondamentaux de la théorie des ondulations, qui est seule vraie, seule admissible. La question est donc réellement décidée; la nouvelle et grande expérience annoncée par M. Ârago n'ajoutera rien à l'évidence de la démonstration rigoureuse que nous venons de rappeler. Mettons cependant nos lecteurs au courant de ce magnifique projet. Voici le principe fondamental de la méthode que Fillustre secrétaire de l'Académie des sciences se propose de suivre. 116. Faisons tomber un rayon lumineux sur un miroir plan poli ; il se réfléchira, comme tout le monde sait, en formant avec iasurfooe du miroir un angle de rcflexioii exactement égal à l'angle d'Incidence. Imaginons maintenant que le miroir vienne à tourner de la quantité , angulaire « autour du point de la surface où la réflexion s'est opérée. Si ce mouvement augmente de a l'ancien angle d'incidence, Il dimi-

0B LA LOMlÈRt. l5l

i d'autant Tanelen angle de réflexion. GeM-et , après le d^lacement du miroir, sein donc plus petit que le premier de la quantité 2a , et il faudra l'auginenter de %x pour le rendre égal au nouvel angle d*lncidence. Ainsi ^ cet angle augmenté de 2a donnera la direc* tion do rayon réfléchi dans la seconde position du miroir : ainsi , le rayon f neldent restant le même, un mouvement angulaire « du miroir occasionne un mouvement angulaire double dans le rayon réfléchi. On sait d'ailleurs que la réflexion sur un miroir plan n'altère Jamais les positions relatives de deux rayons ; que si, avant de se réfléchir, ils étaient parallèles ou faisaient entre eux des angles de 1', 10', etc., ils seront parallèles encore après la réflexion ou feront entre eux les mêmes angles.

Admettons maintenant que deux rayons horizontaux partis de deux points voisins situés dans la même verticale viennent toml>er sur deux points de la ligne médiane d'un miroir plan vertical , et supposons que ce miroir tourne uniformément et dune manière continue autour d'un axe vertical dont le prolongement coïncide avec cette même ligne médiane. La direction suivant laquelle les deux rayons horisontaux se réfléchiront dépendra évidemment du moment où ils atteindront le miroir , puisque nous avons supposé qu'il tourne. Si les deux raycms sont partis simultanément des deux pcrfnts rayonnants contigus^ ils arriveront aussi simultanément au miroir; leur réflexion s'opérera au même instant; conséquemment dans une même position de la surface tournante ; conséquemment comme si cette surfsce quant à eux était immobile ; leur parallélisme primitif ne s'en trouvera donc pas altéré.

Pour que les rayons qui , primitivement , étalent parallèles divergeassent après leur réflexion, il faudrait que l'un d'eux arrivât an miroir plus tôt que l'autre ; il faudrait que , dans son trajet du point rayonnant à la surface réfléchissante , la marche de ce rayon fut aeoélérée ; ou bien, car le résultat serait précisément le même, il faudrait, la vitesse du premier rayon restant constante, que celle du second prouvât une diminution ; il faudrait , enfln , que les deux rayons se réfléchissent l'un après l'autre , et dès lors les deux positions distinctes du miroir forment entre elles un angle sensible.

Suivant la théorie de l'émission , la lumière se meut dans Teau notablement plus vit^ que àiaxïs Voir ; suivant la théorie des ondes,

l5a THfiOaiE MATHÉJUATIQDB

c*e8t prédsément le contraire : la lumière marche j^ns vile dans l'air que dans l'eau. Faisons en sorte qu'avant d'arriver au miroir un des rayons , le rayon supérieur par exemple , ait à traverser un tahe rempli d'eau. Si la théorie de l'émission est vraie, le rayon supérieur sera accéléré dans sa marche; Il arrivera au rainHr le premier ; il se réfléchira avant le rayon inférieur ; il formera avec lui un certain angle, et le sens de la déviation sera tel que le rayon inférieur paraîtra plus avancé que l'autre» qu'il semblera avoir été entraîné par le miroir tournant.

Admettons un moment la vérité de la théorie des <mdes. Le tube d'eau retardera alors la marehe du rayon supérieur ; ce rayon arrivera au miroir réfléchissant après le rayon inférieur; il se réflédiira, non plus ie premier, mais le second « mais sur une positkm de lafaoepolie plus avancée: les deux rayons formeront entre eux le même ang^ que dans l'autre hypothèse ; seulement la déviation aura lieu en sens contraire , le rayon supérieur sera maintenant le plus avancé , toujours dans le sens de la rotation du miroir. Eu résumé, deux points rayonnants placés près l'un de Tautre, et sur la même verlieàe , brillent instantanément en face du miroir tournant : le rayon supérieur ne peut arriver au miroir qu'en traversant un tube rempli d'eau ; le second rayon atteint la surface réfléchissante sans avoir rencontré dans sa course aucun autre milieu que l'air. Pour fixer les idées, nous supposerons que le miroir, vu de la place que l'ob* servateur occupe, tourne de droite à gauche. Eh bien, si la théorie de l'émission est vraie, si la lumière est une matière lancée, émise, le point le plus élevé paraîtra à gauche du point inférieur ; il paraîtra à la droite si la lumière résulte des vibrations du fluide éthéré.

Au lieu de deux seuls points rayonnants isolés, concevons qu'on présente instantanément au miroir une ligne lumineuse verticale. L'image de la partie supérieure de cette ligne se formera par des rayons qui auront, nous le supposerons , traversé l'eau ; l'image de la partie inférieure résultera de rayons dont toute la course se sera opérée dans l'air. Sur le miroir tournant, l'image de la ligne unique paraîtra brisée ; elle se composera de deux lignes lumineuses verti^ cales, de deux lignes qui ne seront pas le prolongement Tune de l'autre.

L'image supérieure est-elle moins avancée que cellç d'eq bas.

DE LA. LUMlBRr. l53

paratt-éDe à sagaudie, la lumière est une substanee émlBe : le cmitfaire a-t-U liea, l'iinage supérieure se montre-t-elle à droite, la lumière est une oudulatioQ.

117. Après cet eiposé théorique si lucidement présenté, il restait à prouyer que malgré la prodigieuse rapidité de la lumière, que malgré une Yitesse de près de 80000 lieues par seconde , que malgré la petite longueur que Ton sera Ibreé de donner aux tubes rempHs de IIquide,qne malgré les vitessesderotationboméesqu'aurontlesmlrolrs, ksdéyiations rdatives des deux images dont on a démontré l*existence deviendront perceptibles avec nos instruments. Or, 1* il est démontré avant tout par les expériences de M. Wheatstone et par les essais d^ ri avancés de M. Breguet, qu*on peut faire faire facilement au miroir mille tours par seconde. En plaçant ce premier appareil sur un toorfllon doué lui-même d'une vitesse de mille tours , en superposant deux , trois axes semMables , on obtiendra des vitesses de deux, trois, quatre mille tours, par seconde, sans que les vitesses rdatives des pièces en contact surpassent celle de mille tours. Du reste , rien n'empêcherait, pour rendre les déviations plus sensibles et suppléer au défaut de vitesse d*un premier miroir, d'en employer plusieurs. Si la déviation angulaire due au premier miroir est égale à a , eette déviation sera évidemment doublée par le second miroir, triplée par le troisième, etc. On pourra donc , à l'aide d'un nombre suffisant de miroirs, la raidre aussi grande que Ton voudra. 2» Il est certain que les images des points rayonnants seront visibles , quoique la durée de leur apparition doive être à peine d'un millième de seconde. M. Wheatstone a vu distinctement les images d'étincelles âectriques reflétées par un miroir tournant et qui n'avaient pas une plus grande durée. M. Arago pourrait n'opérer qu'avec des lumières électriques ; car il a prouvé , il y a un grand nombre d'années , que les rayons de toute origine , ceux du soleil et d'un vert luisant, les rayons d'une étoile et du bois pourri, etc., etc., se réfiractent exactement de la même manière, et doivent dès lors avoir des vitesses égales. 3* L'épaisseur du liquide que l'un des rayons devra traverser ne le rendra pas invisible , ne l'ételndra pas, car M. Bouguer a vu que la lumière d'un faible flambeau conservait plus du tiers de son intensité primitive après avoir traversé deux ((laques de verre et un tube de dix pieds de l(»g rempli d'eau. Dans la s(«e torride, on

l54 THAoBIB XàTHSllA.TlQUB

voit q«elquBMs le fend de la mer, qaaBd tt eek de sable blaiie« Jugqu'à des prefoodeurs de 100 à liO pieds. 4** Un calcul fecile prouve que deux rayons qui tomberont perpeDdicoiaireiBent sur on miroir faisant mille tours , formeront entre eus un angle d'une minute de degré, si Tun d'eit^c est arrivé au miroir .«^^AAnnA' ^® ^®"

conde plus tôt que TauU'e, ou, ce qui revient au même eu égard à

la vitesse de la lumière, si l'un des rayons précède Tauti^ede 7 mètres.

Cela posé , le rapport du sinus d'incidence au sinus de réfraction ,

pour le passage de la lumière de l'air flans TeaU est égal à ,

ou sensiblemeait à 4/3» d'où il résulte que le rapport de la vitesse de la lumière dans l'eau à sa vitesse dans l'air est égal au rapport de 4 à3 dans le système de rémissionyde3à4dans le système de Tendulation. Les espaces parcourus étant directement comme les vitesses, les différences 1 — 3/4= l/4ou4/d— 1= l/3,seront les différences des chemins parcourus par les deux rayons avant leur arrivée au miroir; et comme il fiaut , pour obtenir une déviation d'une miûute» que ces différences soient de 7 mètres, le tube d'eau dans le systèncie de l'émission devra avoir 38 mètres , 21 dans le système des ondulations. Avec deux miroirs, cette longueur ne serait plus que 14 mètres ; elle sertdt de 7 mètres avec quatre miroirs i et à travers ces 7 mètres d*eau la lumière serait encore certainement visible.

En se contentant d'une déviation d'une demi-minute , que Ton appréciera facilement avec une lunettCi on réduirait le tube à 14 mètres avec un miroir, à 3,5 av^c quatre, ou un miroir à quatre mille tours. Si , au lieu d'eau , on employait du carbure de bou« fre , et si l'on se contentait d'une déviation d'un quart de minute, on pourrait avec quatre miroirs réduire le tube a l mètre.

Si la lumière employée est de la lumière blanche, les rayons de diverses couleurs dont elle se compose seront inégalement déviés, ils fourniront un spectre» mais l'ordre des couleurs sera renversé dans les deux systèmes ; et pour décider si la lumière est une substance ou une onde, ou n'aura qu'à examiner dans quel sens le spectre se trouve po^é, si I extrémité rouge eàt a droite ou à gauche.

Ren^arquons enfin i|ue si 1 ou a recours à des étiaccUes éiectii'quns 01) è des lumières {successivement cacbéps et découvertes A

DB LA LUMI^.RB. l65

l'aide d'écrans rotatift ^ Itars apparltiom après la réflexion nt stront que fortuites ) parce qo^on ne pourra régler lenr émiision à des miU lièmes de seconde près ; mais avec le concours de plusieurs observateurs placés dans des positions différentes et i(rmés chacun de sa lunette , on ne pourra manquer davoir des apparitions nombreuses et diverses des rayons réfléchis.

1 1 8. Le 4 avrill 842, M . Arago a pi^ësenté à F Académie un apparçll très ingénieux construit par M. Breguet fils, et dans lequel un miroir rotatif faisait plus de deux mille tours par seconde sous Inaction d'une force très modérée. Les engrenages , les tourillons résistent parfaitement malgré cette excessive vitesse ; aucun glissement n'est possible, et le nombre de tours du miroir peut en conséquence être déterminé sans aucune ineertltode. Le 14 septembre 1843, le même instrument perfectionné^ armé de trois miroirs , a été de nouveau soumis à r Académie; il ne reste plusqu*à faire l'expérience décisive entre les deux théories. Nous Fattendons sans grande impatience , pai*ce que cette démonstration , qu*on peut appeler mathématique , n*iyoutera rien pour nous à la preuve définitive qui résulte du déplacement des franges par rinterposition sur le passage d'un des rayons d'une lame plus dense*

1 19. Après cette dlgi-ession, qui n*est pas sans quelque intérêt, re« venons au phénomène qui nous occupe et à ses diverses applications. Le grand principe des interférences de la lumière nous fournit les moyens de répondre victorieusement à la seule objection raisonnable que Ton ait pu opposer à la théorie des ondulations , en rendant complètement raison du fait singulier au premier abord de la propagation rectiligne de la lumière. On afQrmait, comme nous Tavons déjà rtoL Y que si la lumière résulte des ondulations d'un fluide élastique, elle doit se propager dans toutes les directions autour du centre de vibration, de manière à tourner tous les obstacles sans jnmafs donner naissance à des ombres.

A cette objection formidable nous repondons simplement : l*" que la lumière se propage en réalité dans toutes les directions ; ^° qu'elle tourne tous les obstacles ; 3** que néanmoins les ombres existent nécessairement y parce que les diverses portions de la lumière latérale se détruisent l'une l'autre par interférence, de sorte qu'il n'y aeo réalité d'efficaces que le^ portions de l'ondç propagée en UgMe

1Ô6 THÉORIE VATHÉHATIQUE

droite. Pour le prouver» coDoevons que abed représente une portkm d*onde sphérique, et que o soit la position occupée par l*oeii; puis

supposons que les parties ab^be^ed, soient mesurées de telle sorte que les différences des distances de leurs extrémités au point o soient précisément égales à une demi-longueur d'ondulation. Dès lors , si on considère les extrémités b^e^d^a^ comme de nouveaux centres de vibrations , les ondes quMls produisent sont à leur arrivée à rœii en pleine opposition ou discordance, de telle sorte qu'elles se détruiraient en interférant si leurs intensités étaient égales. Or il est aisé de voir que cette dernière condition est sensi* blement remplie pour les portions fg^ ^A,... suffisamment distantes du point milieu a. Car l'amplitude des ondes envoyées à un même point 0 de l'espace par ces différentes portions dépend et de leur étendue et de l'angle que la droite qui les unit au point o fait avec la surface de l'onde. Or 1" il est vrai que ces portions vont continuellement en diminuant, ou que l'on a 6a }> 6c]> ed;... mais qu'en même temps la différence entre deux parties consécutives va en diminuant, parce qu'elles approchent de plus en plus de Tég )lité à mesure que l'on s'éloigne du point a. La même chose a lieu pour Tobliquité ou l'angle que la droite, menée des points a , 6 , c, (/,... au point o, fait avec le front de l'onde. Donc les amplitudes des ondes déterminées par les portions éloignées du point o tendent réellement à devenir égales; donc ces ondes interfèrent, et l'effet produit sur l'œil est dû presque uniquement aux portions de la grande onde très voisines de la ligne qui joint le point a au point 0. Parmi les portions voisines, la portion ab est celle qui produit le plus grand effet, puisqu'elle est à la fois la plus grande et la moins oblique; cependant les portions adyaoeates produisent

HD effet rdd aussi. En traitant bientAt de la diffiraction , nous aurons à prouver que Tombre n'est jamais absolue; qu'elle est en partie éclairée là où, suivant l'bypothèse insoutenable de TémissioD, devrait régner la plus complète obscurité. £n attendant , eontentons-noos de signaler une conséquence remarquable de Texplication que nous venons de donner. Si Ton couvrait les portions alternées de Fonde be , dây..» dont Teffet est n^tlf , Telffet total d*illainiiiation au point o serait augmenté , de telle sorte qu'il est vrai de dire qu'en interceptant une portion de Tonde éclairante , on lui fait réellement donner plus de lumière. Nous verrons plus tard que cette singulière conclusion est tout-à-fait vérifiée par Texpéneace.

120. Jusqu'ici, enparlantd'interférences, nousavons supposé que les rayons mis en expérience étaient des rayons de lumière ordinaire ou non polarisée, et il importait de savoir ce qui arriverait si les rayons étaient polarisés. Ce sujet a été pour MM. Arago et Fresnel Fobjet d'études aussi ingénieuses que fécondes. A Taide d'expériences irrécusables, il sont arrivésaux lois suivantes :1 deux rayons polarisés dans le même plan agissent l'un sur l'autre, ou interfèrent de la même manière que deux rayons à l'état naturel , de sorte que les phénomènes sont absolument les mêmes ^our les deux espèces de lumière; 2"* deux rayons dont les plans de polarisation font entre eux un angle aigu , interfèrent seulement en partie ; l'intensité des franges est considérablement diminuée ; 3* deux rayons polarisés dans des plans opposés ou à angle droit n'interférât pas; ils n*ont pas d'action mutuelle appréciable dans les cas où des rayons de lumière ordinaire se détruiraient en interférant.

Pour prouver expérimentalement ces lois, il suffit de pr^idre mie plaque de tourmaline très homogène, dont l'épaisseur soit la même en tous ses points, de la couper en deux, et de placer uns moitié sur la route de chacun des deux rayons qui doivent interférer. On voit alors immédiatement que les franges dépendent de la position relative des axes de la tourmaline. Si ces axes sont pai*allèies, si par conséquent les rayons sont polarisés dans le même plan, les franges seront nettement définies; elles perdent de leur intensité si les axes des tourmalines font entre eux un certain angle; elles disparaissent tout-à-fait si ces axes sont placés à angle

l58 THlIORtR MAl'HliMATIQUB

droit. La non-Hiterfénmoe des rayons polarisés à aa^ droit est» lion moins que l'interférence de deux rayons de lumière ordinaire dans des circonstances données , une conséquence évidente et rigoureuse des premiers principes de la théorie des vibrations transversales. Deux vibrations perpendiculaires ne peuvent pas plusse neutraliser ou interférer que deux forces rectangulaires ne peuvent se détruire. Deux vibrations égales, qui s'exécutent suivant la même droite, mais dans des directions opposées, se détruisent nécessairement , ou interfèrent absolument comme deux ibrces égales et opposées. Ces deux faits sont également Inexplicables, on plutit également inadmissibles dans la théorie de rémission. Avec la meilleure volonté du monde, il est impossible d'accorder un degré même Infiniment petit de prol>abillté à l'explication que les partisans de Newton ont essayée de rinterférence des rayons ordinaires et de la non-interférence des rayons polarisés à angle droit. Il n'y a rien là qui doive nous étonner; caria seule polarisation, si facile à concevoir dans l'hypothèse des ondulations , est une qualité occulte, un mystère profond dans le système de rémission. Aussi n'oson8*nous pas même transcrire ee que les émissionnistes ont dit à ce sujet.

Pour mieux comprendre qu'il est impossible à deux rayons polarisés à angle droit d'interférer, il suffit de nous rappeler qu*ll a été démontré mathématiquemert que l'intensité du rayon résultant de la rencontre de deux rayons polarisés à angle droit est constante et égale à la somme des intensités des rayons composants, quelle qoe soit d*ailleurs la phase sous laquelle Ils se rencontrent Lr caractère seul de la nature du rayon résultant et non son intensité varie avee le rapport des pliases des rayons composants. Comme nous Tavons déjà vu , le rayon résultant sera polarisé rectilignement , si tas phases des raj'ons composants diffèrent d'un nombre exact de demiondulations. Dans les autres cas il sera polarisé elliptiquement ; ou circulairement , si, les vibrations composantes étant égales, leurs phases diffèrent d'un multiple impair du quart d'une «mdulatkia. L'expérience, ainsi que nous l'avons vu, confirme pleinement tas conséquences de la tliéorle.

1)1. Fresnel et M. Aragoont découvert plus tard trois nourelles Msi qu'on peut énoncer comme il suit : 4* deux rayons polarisés àtm

M I.à LUMlàRB. 159

des pians «FI^Mét, ou à uig^e droit , peavent être ranenës dans le même plan de polarisation sans acquérir pour cela la faculté d'interférer ensemble. 5* Deui rayons polarisés dans des plans opposés et ramenés ensuite au même pian de polarisation interfèrent comme de la lomièrç ordinaire, pourvu qu'ils appartiennent à un faisceau polarisé primitivement en entier dans un seul plan. 6** Dans les phénomènes relatifs à Flnterférence des rayons qui ont subi la doolrie réfraction, le lieu des franges n'est pas déterminé unique* ment par la différence des routes ou des vitesses; il faut dans oer^ taines circonstances tenir compte d'une demi-ondulation qui a été comme perdue.

Cette perte d'une demi-ondulation est une belle et simple consé-* qoeace de la théorie des vibrations transversales. En effet , la vibration de l'onde est divisée dans l'intérieur du cristal en deux antres perpendiculaires entre elles , et situées l'une dans le plan de la section principale , l'autre normale à ce plan. Chacune de ces vibrations devra être de nouveau décomposée en deux autres suivant des directions rectangulaires, et l'on conclut fseilement du mode de décomposition que des quatre composantes provenant des vibrations primitives, deux ^ sur une des dii*ections définitives, eonfirent ou s'accordent, tandis que les deux autres , sur la direction perpâBdicolaire, sont opposées. Si donc on regarde les vibrations de Y^n des couples c^onme coïncidentes , il faudra que les vibrations de l'autre couple soient regardées comme différant d'une demiondulation.

1 22. Pour donner plus d'intérêt è ce que nous venonsde dire du phé^ nomëne si remarquable , si étonnant de l'interférence , disons un mot du parti que M. Arago a tiré de ces données de la théorie et de Texpérience pour résoudre dans ces derniers temps diverses questions très délicates de physique, et construire de nouveaux instruments de météorologie plus puissants et plus précis.

Comme nous l'avons vu, si deux faisceaux de lumière blanche sortis d'ime soui*ce commune se sont propagés dans un même milieu homogène et ont parcouru des chemins à peu près égaux, ils forment partout où ils se croisent sous de petits angles un système eomposé de quelques franges obscures et brillantes parfaitement tiribtaa. La frange centrale est la moins irisée de toutes, et ce carao-

l6o THEORIE UJLTSàUkTlQVE

tère suffit poar la faire rec^mnaltre. Dans la place qn'dle oeeape, les rayons interféreots ont parcoaru des chemins exactement égaux. Tout est pareil de forme, d'intensité et de coloration de part et d'autre de cette frange centrale.

Gomme nous Tavons dit encore , M. Arago reconnut, il y a déjà bien des années, que les conditions des chemins parcourus ne déter minent pas seules la place des franges formées ahisi à Talde de Tinterférence de deux faisceaux du lumière. En plaçant dans Tair une lame de verre excessivement mince sur le trajet d*un des faisceaux , il vit les bandes marcher du cAté de la lame. Cette expérience, répétée un grand nombre de fois avec toute sorte de milieux solides, liquides, gazeux, conduisit à une loi qui lie d*une mani^ très simple le déplacement que les franges éprouvent à la puissance réfringente et A répaisseur du corps diaphane , qui est traversé ainsi par un seul des deux faisceaux.

123. Dès qu'il eut découvert ce moyen, entièrement nouveau, de mesurer la puissance réfractive des corps diaphanes , M. Arago dut songer à l'appliquer à l'étude de cette puissance dans l'air humide. Il y avait, en effet, un grand intérêt à savoir définitivement si Thygromètre devait figurer dans le calcul des réfractions astronomiques. C'est une question d^à traitée par deux illustres physiciens : d'abord par Taplace , à Taide de la supposition générale que les vapeurs et les liquides dont elles proviennent ont le même pouvoir réfringent, supposition très plausible dans le système de l'émission, mais que des recherches postérieures n'ont pas confirmée; ensuite par M. Biot, d*après des expériences tout aussi exactes que la méthode employée pouvait le comporter. Fresnel voulut bien se Joindre à M. Arago pour exécuter l'expérience que celui-ci avait projetée. Voici comment on la réalisa :

Deux tubes en cuivre mince, d'environ un mètre de long, furent soudés l'un à l'autre comme les deux canons d'un fusil à deux coups. A chaque extrémité, ces deux tubes étaient fermés par une seule et même plaque de verre à faces parallèles. Des robinets donnaient passage aux substances dont on voulait étudier les effets.

Quand les deux tubes renfermaient de l'air de la même densité, de la même température et du même degré d'humidité, le fUsceau qui traversait le tube de droite produisait, en se mêlant à sa sortie

OB LA LUMIERE. iGl

an fiûsceaa provenant da tube de gauche , des frange irisées dont la ^fiaet coïncidait presque exactement avec celle des franges qui résultaient de Tactiou de ces mêmes faisceaux se propageant à l'air libre.

Siy la force élastique étant touJoui*s égale dans les deux tubes, l'on renfermait du chlorure de calcium et l'autre de l'eau; si , dès lors, le premier tube était rempli d'air complètement sec, et le second d'air saturé d'humidité, les bnndes formées par l'interférence du faisceau, qui dans sa course traversait un mètre d'air homide, et du faisceau qui traversait un mètre d'air sec, n'occupaient plus la place des franges engendrées à l'air libre; Tinterposition des tubes produisait un déplacement notable, un déplacement d'une frange et demie. Ce déplacement se faisait toujours da côté de l'air sec.

Le sens du déplacement des franges prouvait d'abord, d'une manière incontestable , que Voir sec avait plus de puissance réfringente que l'air humide. Restait à assigner la différence.

De la loi dont il a été question plus haut , ou bien d*expériences iintes sur l'affeissement de pression que i'air devait subir dans l'un des tubes,* pour que les franges se déplaçassent d'une frange et demie du cMé opposé, on concluait directement la différence des pouvoirs réfractifs des deux airs; mais il était possible qu'une légère couche d'humidité se fût précipitée à la surface intérieure des deux verres, dans les portions correspondantes au tube à air bomide. Or une pareille couciie , quelque mince qu'on la supposât , jouerait dans le phénomène un rôle impoiiiant; elle masquerait la plus grande partie de l'effet cherché. Telle est la difficulté qui détourna Fresnel de donner aucun chiffre à l'appui de la conclusion que M. Arago et lui tirèrent de leur expérience commune.

Cette difficulté, M. An^ l'a depuis complètement levée, en répétant l'ancienne expérience à l'aide de deux autres tubes , l'un see et l'autre humide, fermés à leurs deux extrémités par les deux mènes verres dont on s'était d* abord servi ; mais cette fois les tubes, au lieu d'un mètre, n'avaient plus qu'un centimètre de long. L'influence de la différence de puissance réfringente des deux airs se trouvant ainsi à peu près éliminée, il ne devait plus guère rester que l'effet de la couche d'humidité précipitée à la surface intérieure des deux plaques de verre du côté du tube humide ; cet effet fut

i6q théorie mathématique

constamment inappréciable. Le mouvement d*ane fimnge et àea^f oliservé avec les tubes d'un mètre de long, dépendait donc exdosivement des propriétés réfringentes comparatives de l*air sec et de i*air saturé d'bumidité. La différence était telle à + 27"* ceatigr., que si , pour Tatr sec, on prenait comme rapport du sinus d'incidence au sinus de réfraction , pour le passage de la lumière du vide dans l'air, le nombre

Ce rapport devenait pour le passage du vide dans l*air humide :

Chose singulière 1 une différence sur la septième décimale des indices de réfraction se trouva ainsi constatée à Taldc d'expériences dans lesquelles aucun rayon ne s'était réfracté. Ajoutons que l'exactitude de la méthode étant proportionnelle à la tongaair des tubes employés , rien n'aurait empêché d'aller enoore beaucoup plus loin.

Cette expérience aura un complément dont M. Arago s'occupe. Il s'agit de savoir si la chaleur exerce sur la réfraction de l'air mie influence qui puisse , qui doive être distinguée de sa propriété dilatante. Le doute mérite d'autant plus d'être levé que le verre chaud réfracte plus que le verre froid.

il faudra encore, pour ne rien laisser dans le vague sur la question si importante et si délicate des réfractions astronomiques, étudier l'influence de l'électricité en repos et de réiectrieité m mouvement. Tout cela est maintenant accessible, et sera promptement éclairci.

124. Nous allons indiquer brièvement quelquesautresapplicatloos dont la méthode de M. Arago est susceptible, et qu'il a exposées à l'Académie. ^

Coucevons un seul tube d'une certaine longueur, vide d'air, bouché à ses deux extrémités par des plaques de verre , et hennétiquement fermé. En choisissant convenablement ces dmix premières plaques de verre , et une troisième plaque mol>lle destinée a être placée à cêté du tube sur la route du feiseeau extériear, «n peut faire en sorte que, par un effet de compensation , des franges se forment par l'Interfénaice des rayons propagés è travers le ^ide

DE LA tUMIBBE. l63

ft ÛB etiix qni ont travené l'air extérieur, tout comme tl le» uns et les autres s'étaieut mus dans uu milieu horoogèoe : seulement, si ratmosphère extérieure change de puissance réfractive , les franges se déplaceront ; leur mouvement se fera vers le tube vide quand le pouvoir réfractif diminuera, et en sens inverse quand le pouvoir réfiractif augmentera. Un pareil instrument pourrait donc dans les observatoires être employé , au lieu du baromètre et du thermomètre, à la détermination de la force réfractive de Tatmosphèn» L'observation s'exécuterait à la hauteur de l'objectif de Finstrumeut astronomique, et ainsi finiraient d'interminables disputes sur la convenance de foire usage, dans le calcul des réfractions, du thermomètre extérieur ou du thermomèti-e intérieur.

La réfraction de Tair est fonction de sa pression et de sa tenyéreture. La pression restant constante, si la température varie d'un seul degré centigrade, les franges, dans un instrument de 11 décimètres de long, se déplacent déplus de deux franges entières. Ce mouvement, on le mesure à la précision d'un dixième de frange. L'instrument dont il vient d'être question , combiné avec le barOimètre, peut donc servir à déterminer la température de l'air h 1/20 de degré près.

Cette extrême sensibilité pourrait être accrue indéfiniment en angroentant la longueur du tube vide, et cependant c'est là un des moindres avantages de la méthode. Un thermomètre étant influencé par le rayonnement du ciel , par le rayonnement du sol , par le rayonnement de tous les autres objets qui l'entourent, ne donne jamais la température de lair. Au contraire, le résultat déduit d'une propriété de l'atmosphèiv, fonction de sa température , est complètement à l'abri de toutes ces causes d'erreur.

Bum les voyages, si l'on voulait se contenter des températures atmosphériques, telles qu'on les détermine aujourd'hui avec le thermomètre , le tube vide pourrait servir de baix>mètre. Une longueur de tube d'un mètre permettrait d'apprécier des vai*iations de pression d'un a deux dixièmes de millimètre. Un baromètre sans liquide semblerait assurément une chose assez curieuse ; mais les ▼oyageors remarqueraient surtout son peu de fr^ilité.

M. Arago a montré que sa méthode pour déterminer les réfractions pourra servir à saisir l'état des atmosphères à toutes les dis*

l64 TIIKORIE MATH^MATIQUK

tances des corps échauffés ou uon échauffés; à poursuivre les intéressAUtes expériences de M. Faraday sur les atmosphères limitées du mercure et sur leur diminution de densité, à mesure qu*on s'éloigne de ce liquide ; peut-être mémo à rendre sensible , avec des tubes suffisamment longs, t'influence des odeurs.

L'instantanéité de l'observation permet encore de concevoir l'espérance qu'en orientant le tube vide d'une manière convenable par rapport à un fort centre d'ébranlement , on rendra sensible à Vœil plusieurs propriétés des ondes sonores.

Quant aux liquides , il résulte d'expériences déjà faites que par fobservation des franges on peut saisir, même près du maximom de densité 9 les changements de i-éfracti<m de l'eau correspondants à 1/40 de degré centigrade. Qui ne volt là un moyen nouveau, et d'une précision extrême, d'étudier la propagation de la chaleur dans cette nature de corps , sans qu'il faille désormais briser leur continuité en introduisant dans la masse la boule et la tige da thermomètre? T^ même remarque s'applique à l'élude de la propaga-* tion de la chaleur à travers les coi*ps solides diaphanes.

Il n'est, enfin Jusqu'aux augmentations du pouvoir réfhictif de l'eau et du verre , Vésultant de la compressibilité de ces substances, qui ne puissent être aperçues à l'aide des nouveaux instruments. Avec un tube d'un mètre de long, la compressibilité de l'eau sera visible pour chaque deux-centièmes d'atmosphère. Sur un tube de verre de même longueur, 1/10 d'atmosphère deviendra sensible.

Le Imromètre , thermomètre, ou réfracteur optique , a déjà toute la commodité désirable, quand il doit être employé dans une chambre obscure. Comme instrument de voyage, il serait snsceptible d'une grande amélioration , si l'on était parvenu à résoudre un problème difficile, dont d'illustres physiciens, MM. Aragoet Babinet, n'ont pas encore trouvé la solution. Il s'agirait d'amener, sans de trop longs tâtonnements, à des conditions d'interféreaoes utiles deux rayons lumineux, qui, avant d'atteindre la loupe au. foyer de laquelle les franges se forment, ont été séparés les uns des autres de plusieurs centimètres. Il y a là comme un mystère à approfondir , comme un secret difficile à trouver. Noos eroyons avoir dit au sujet des Interférences tout ce qu'il y a de yraUnent

utile.

DE LA LUJVIIEEIE. l6Ô

125. Disons cependant encore en terminant que la théorie des interférences, fécondée par le génie de M. Arago, a donné la seule explication admissible d* un phénomène bien remarquable , la scintillation des étoiles. Considéré dans sa nature, ce phénomène» trop souvent mal défini, n*est autre chose qu*un changement apparent d'intensité et de couleur, très fréquent, très rapide, qui a sa cause dans notre atmosphère. Aristote, Galilée, Scaliger, Kepler, Descartes , Hook , Huygens , Ne^on , Mitchel , et presque tous les astronomes modernes, avaient essayé, mais sans succès, d'expliquer ees variations mystérieuses de couleur et d'éclat. M. Arago, dans un mémoire actuellement sous presse, a démontré sans peine qu'au* eane de œs explications n*était soutenable. Plus prudents, des observateurs habiles, et parmi eux Melville, Nicholson, Forster» Thomas Ybung, ont déclaré avec franchise que la scintillation leur 9eml>lalt inexplicable. Après de longues recherches , de nombreuses expérieoees, une étude approfondie de celle des lois des interfèrent ees dues à la différence des chemins parcourus par les rayons lu* mineux, ou à l'inégale réfringence des milieux que ces mêmes rayons ont traversés, M. Arago est arrivé à cette conclusion non moins certaine en fait qu'en théorie. Les rayons partant d'une étoile qui, après avoir traversé une atmosphère où il existe des couches inégalement chaudes, in^lement denses, inégalement humides, vont se réunir au foyer d'une lentille, doivent y former des images d'intensité et de couleur perpétuellement changeantes , c'est-à-dire des images telles que la scintillation nous ies présente. La scintillation se rattache ainsi naturellement aux interférences lumineuses, et nous avons dé* sonnais une explication plausible de ce phénomène mystérieux. M. Arago, dans la dernière section de son mémoire, a réuni et expliqué des observations variées sur la scintillation des étoiles hors du foyer des lunettes, sur la scintillation du soleil réduit par sa réflexion, à la surface de miroirs très courbes, à ne soustenére qu'un très petit angle. L'ensemble de ces faits donne à la iaouvelle théorie tous les caractères d'une véritable démonstration.

IHffraeiUmie la lumière, 126. Nous avons déjàvuqu'ilrésokede la théorie des ondulations, que l'intensité de la lumière qui rencontre un obstacle diminue très rapidement en dedans des limites de Yotobre géométrique ; il nous reste à approfondir d'autres phéne»

l66 THEORIE MATHÉMATIQUE

mènes auxquels cette rencontre donne naissance, à prouver que cette même théorie explique tout, Jusqu'aux plus petites particularités des faits.

Pour arriver à bien comprendre la théorie des ombr^^s, H faut Avant tout rechercher ses fois dans le cas très simple où le corps Iqmfneux est réduit à un point Orimaldi a le premier étudié avee soin et expliqué avec quelque succès le fait si inattendu de la diffiraction où de l'inflexion de la lumière. Il remarqua que lorsqu'un petit corps opaque est placé dans le cône de lumière formé par les rayons divergents qui pénètrent dans la chambre obscure à travers un trè5 petit trou , son ombre réelle est beaucoup plus large que Tombre géométrique; de sorte que la lumière, en msant le corps o|[>aque, subit une vraie déviation et cesse de se moutotren ligne droite. En observant l'ombre réelle avec plus d'attention, il vit 1* qu*et!e était terminée par trois franges colorées ; 2" que la largeur et l'intensité de ces franges sont plus petites pOur celles qui sont plus éloignées de Tombre; 3* que les distances qui les séparent des limites de Tombrc géométrique , ou les unes des autres^ restent invarinbléd dans toute leur étendue, excepté là où le corps opaque présente un angle saillant ou un angle rentrant ; car si l*angle est sail* tafit , les franges s'arrondissent alentour; s'il est rentrant , elles se croisent et viennent toucher Tombre de chaque cété , sans interférer ou se confondre. Grimaldi,dans certaines circonstances ûivorablés, observa de semblables franges à Tintérieur de Tombre géométrique d'écrans très étro'ts. Hooke et Newton étudièrent la diffracrion sans en donner aucune explication raisonnable, sans découvrir sa véritable cause. Young et Fresnelont amené ce phénomène rebelle à devenir une preuve si certaine de la théoriedes ondulations, qu'aucun esprit impartial ne pourra désormais se refuser à Tévidence.

1S7. Suivant notre méthode, exposons les faits; nous examinerons ensuite ce qu'il faudra en conclure pour la vérité desdeux théories rivales. Kt d'abord voyons quelles modifications subit la lumière quand elle vient raser les bords d'un obstacle de nature quelconque.

I. Supposons qu'un rayon de lumière homogène péhétrnnt dans une chnrabre obscure tombe sur une lentille MN de court foyer, arrive au foyer 0, et diverge ou s'épanouisse en un cftnc lumineux ; p\t!s plaçons dans riotérleiir 4c ce c6ne un petit obstacle PF , dont

D£ LA LUMIKRB. 167

i reeevroDS Toaibre sur un écran de papier blanc ou de verre dépoli : nous observerons alors les particularités suivantes :

!• fji ligne OPQ, limite de Tombre géométrique, n'est pas la ligne aetnelle de séparation de la lumière et de Tombre , ou la limite de l'ombre réelle.

2* L'espace QS situé au-dessous de cette ligne n*est pas complètement obscur; il est éclairé par une lumière très déliée, qui pénètre jusqu'à une certaine profondeur dans Tombre géométrique, et s*éteint gradoelieroent à mesure qu'elle s'éloigne du bord Q de cette ombre. 3* De l'autre côté des limites de l'ombre géométrique vers QB, récran est éclairé par des rayons divergents y et sillonné par des séries de bandes alternativement claii*es ou obscures , toutes parallèles ans limites de l'ombre. La distance qui sépare les franges de cette limite 9 ou les unes des autres, varie avec la position de l'écran , et diminue indéfiniment quand l'écran est tout-à-fait rapproché de l'obatade. Mais une même frange est partout à la même distance des limites de l'ombre géométrique , et par conséquent des autres franges» excepté dans le cas particulier que nous avons dit. Les franges sont d'ailleurs d'autant plus visibles qu'elles sont plus volsino de l'ombre ; à une certaine distance elles sont tellement faibles qo'on ne les voit plus.

4* Les firanges varient avec la couleur de la lumière ; elles ont leur maximum de largeur avec la lumière rouge , leur mfnimuftl arec des rajrons violets , une largeur moyenne avec des rayons de imqreone réfraugibilité. Avec la lumière blanche ou composée , leâ frangps de diverses couleurs ne sont pas dès lord parfaitement su-

l68 TUÉOKIB HATHKMATlgUE

perposées : aussi aperçoit-OQ une suite de franges colorées qui se succèdent dans l'ordre des couleurs du spectre.

Si le centre lumineux n*est plus réduit à un point , s*il a des dimensions appréciables , les franges provenant de chacun des points lumineux empiètent les unes sur les autres» leurs couleurs s'altèrent, et de leur ensemble plus obscur résulte ce que Ton appelle la pénombre de Tobjet.

128. Si Ton suit la marche des franges à partir de leur origine ou point de départ, on voit qu'elles se propagent suivant des lignes courbes » dont la concavité est tournée du c6té de Torabre. Pour mesurer avec plus d'exactitude leur distance à la limite de l'ombre, Fresnel eut l'heureuse idée de les observer directement avec une loupe munie d'un micromètre : avant lui , on mesurait les distances sur l'écran , que l'on approchait ou que l'on éloignait à volonté. De ces mesures précises il résulta que la courbe, lieu géométrique des points successivement occupés par chaque frange, est une hyperlM^ qui a pour sommet le bord de l'obstacle , et qui a pour centre le point milieu de la droite qui unit ce même bord au centre lumineux. On peut j sans erreur sensible , au moins à une certaine distance du bord, remplacer ces hyperboles par leurs asymptotes; et si alors ma mesure les angles qu'elles font entre elles , on verra que ces angles croissent rapidement à mesure que la distance de l'obstacle au point lumineux diminue. Si cette distance surpasse un mètre, les franges sont très serrées; avec la lumière rouge, les franges de premier ou de second ordre font entre elles un angle d'au moins deux minutes ; cet angle dépasse cinq minutes à la distance d'un décimètre , seize minutes à la distance d'un centimètre : les franges se dilatent donc à mesure que le bord de l'obstacle approche du point lumineux.

1 29 . II . Plaçons dans un cône divergent, paiti d'un point lumineux, un fil très fin de fer, et recevons son ombre sur un écran ou sur un verre dépoli. On observera en dehors de l'ombre géométrique une série de band^ parallèles ou franges analogues à celles produites dans Texpérience précédente par le simple bord de l'obstacle. Mais on verra de plus que l'espace entier de l'ombre géométrique est occupé par des stries parallèles alternativement brillantes et obscures: ce sont les franges intérieures, plus serrées en général et moins tranchées. Si la largeur de l'obstacle devient plus grande, les franges

intérieures disparaissent. Elles se propagent oomme les franges extérieures , suivant des hyperboles dont la courbure est si peu sen« siUe , qu*on peut à peine la saisir. Comme les franges extérieures , elles sont plus larges dans la lumière rouge que dans la lumière vio« lette , et d'une largeur moyenne avec les rayons de moyenne réfrangibillté. Avec la lomiëre blanche , elles se succèdent colorées dans le même ordre que les rayons du spectre.

Si Tobstacle n'est pas terminé par des lignes parallèles , Teffet produit se complique. Quand l'obstacle , par exemple , est terminé par un angle, outre les franges ordinaires on observe deux nouvelles séries de stries de chaque côté de la ligne qui partage cet angle en deux parties égales. Ce fait fut encore observé par Grîmaldi.

130. lil. Examinons ce qui aui*a lieu si l'on place deux obstades vis^-vîs Tun de l'autre , de manière à former une ouverture d'une dimension quelconque. On se sert pour cet objet d'un appareil composé de deux plaques métalliques , dont l'une est ûxe, etdontl'autre se meut à l'aide d'une vis. Les bords des deux plaques, rectilignes et parallèles, forment une ouverture rectangulaire , dont la grandeur peut varier à volonté au moyen de la vis. Si maintenant on substitue une petite ouverture rectangulaire au fil de la deniière expérience , OD observera un phénomène remarquable. I.e rayon lumineux a con* sidârabiement divei^é après son passage à travers l'ouverture , de aorte que Fespaoequ'il occupe sur l'écran ou le verre dépoli dépasse de beaucoup la projection géométrique de l'ouverture. De plus, cet e^aoe est entièrement recouvert de bandes parallèles ou franges alternativement brillantes et obscures , distribuées symétriquement des deux côtés de la droite , qui joint le point lumineux ou centre de l'ouverture. i.es franges se propagent à partir de l'ouverture suivant des hyperlx>les dont ia courbure et l'inclinaison mutuelle dépendent de la largeur de Fou verture et de sa distance au point lumineux. Fraunhofer, qui a observé ce genre de phénomène avec la plus grande attention , a trouvé que , pour une couleur donnée , les angles compris entre les bandes successives et la ligne centrale forment une progression arithmétique dont la raison est égale à son premier terme; et qu'avec diverses ouvertures les distances d'une même bande à la ligne centrale sont en raison inverse de la largeur de Touverture. Les franges sont plus larges et plus espacées dans la

l'JO TlféOllIB HA.THÉMATIQUE

lumière rouge, plus étroites et plus serrées dans la lumière violelte) moyennement larges et moyennement espacées avec les rayons moyensduspectre. Avec lalumière blanche, elles offrent la succession de couleur déjà mentionnée. Quand l'ouverture est formée de deux bords rectilignes formant entre eux un angle. Newton a remarqué que les franges n'étaient pas exactement parallèles aux bords; qu'elles devenaient plus larges à mesure que les bords s'approchent ^ qu'elles finissaient par se croiser en donnant naissance à deux brandies hyperboliques convexecT dont Tune des asymptotes est perpendiculaire à la base extrême de l'angle des bords, tandis que Vautre asymptote est parallèle à ces mêmes bords.

Il est inutile d'observer que lesphénomènesde diffraction peuvent être variés à l'infini en changeant les contours des bords diffracteurs. Nous avons choisi comme plus élémentaires les exemples qui pré' cèdent ; ils suffiront surabondamment, pourvu que par des mesures précises on passe aux nombres , pour éprouver toute théorie par la* quelle on voudra les expliquer ; et la théorie qui aura subi cette épreuve rendra facilement compte des apparences les plus complexes. Examinons maintenant ce même ensemble de faits dans ses rap* ports avec les deux théories de l'émission et des ondulations.

131. Newton supposait que le rayonTumineux s'infléchissait en rasant les l)ords de rol)stacle sous l'influence des forces attractives et répulsives que les molécules des corps sont censées exercer sur les molécules de lumière lorsqu'elles arrivent au contact. Ainsi le rayon rasant les bords du corps opaque ou du fil de fer serait infléchi en dehors par répulsion , et comme cette force répulsive dimî nue rapidement quand la distance augmente , il eu résulte que le rayon qui passe à distance du bord est moins infléchi que le ra\t>n rasant. La caustique formée par les intersections successives de ces

rayons infléchis sera donc concave en dedans; et comme aucun rayon ne passe dans soU intérieur , elle formera les limites de l'ombre réelle. Cette supposition explique, oii le V9it, d'une manière satis-

Dfi L4 LDMlàRE* 1^1

Adsante ks contoara curtilignes de i*ombre réelle et son excès sur Fombre géométrique.

Pour expliquer les franges parallèles aux bords de Tombre géométrique. Newton parait avoir admis que les forces attractives et répulsives se succèdent alternativement, de sorte que les molécules temineoses éprouvent en passant près des corps une suite d'in-« ikxioDB vers rextérieior et vers l'intérieur qui leur font parcourir ne courbe sinueuse à laquelle elles finissent par échapper. Les intersectîmis des rayons émis ainsi de différents points d'une même sinuosité forment une caustique ou frange , de sorte que les franges suoeessives étant produites par les rayons qui passent à une distance donnée des bords de robstacle, sont par là même parallèles à ces bords.

Enfin , ladécomposition de la lumière blanche dans ses éléments s'explique en admettant que les rayons de réfrangibilité différente sont aussi des rayons de diverse diffrangibllité; que les corps exercent à une plus grande distance sur les rayons moins réfrangibles la même action qne sur les rayons plus réfrangibles à une moindredis*tanœ.

Il est inntile de faire ressorUr le vague de ces apparentes expli-* cations ; Newton lui-même n'en fut pas satisfait, et il ne mit pas la dernière main à ses essais sur la diifractloD. Les aperçus , même les moins fondés d'un génie comparable à celui de Newton, excite* rottt toujours on vif et profond Intérêt : aussi ne faut-il pas s'étonner de voir un bon nombre de ses admirateurs attacher à ces conjec* tures une importance qu'il n'y attachait pas lui-même. 1^ théorie de Newton compte encore parmi nous des défenseurs , et nous sommes dans la nécessité de faire ressortir parmi les phénomènes de la diffraction certains faits capitaux qu'ils n'expliqueront Jamais, on plutôt qui sont en plein désaccord avec leurs hypothèses.

Si la diffraction est Veftet de fbrces attractives et répulsives émanant des corps placés sur le passage de la lumière, si ces forces sont d'une nature analogue à celles qui » dans la théorie de rémission» déterminent la réflexion et la réfractioii , il faudra nécessairement admettre qu'elles existent à différents degrés dans les différmits corps; que par conséquent l'inflexion du rayon et pnr suite h ?nrgp«r dps frangc$ dlffractées doivent varier avec la masse , et

IJÙ THÉORIE MATHEMATIQUE

la nature des corps dlffringents. Or, il est évidemmeDt prouvé , au contraire, que tous ces corps » quelles que soient leur nature et leur masse , pourvu que le contour de leurs bords reste le même, produisent dans les mêmes circonstances des franges identiquement les mêmes, et qu'en réalité , Tinterruption partielle de lumière causée par un obstacle de tel contour , mais de nature et de maae quelconques , est la seule condition essentielle du phénomène. Gravesende semble avoir remarqué le premier que la nature et la densité du corps n'avaient aucun effet sur la grandeur des franges ; et ce fait a été confirmé de la manière la plus éclatante par hs recherches exactes d'un très grand nombre de physiciens. Un des plus zélés défenseurs de la théorie de l'émission a été au moins forcé d'admetti*e que les forces diffringentes, si elles existent, sont indépendantes de la nature chimique des corps inflecteurs, et sont par conséquent tout-à-fait différentes de celles qui dans cette même théorie produiraient la réflexion et la réfraction.

Pour prouver que la masse, c'est-à-dire l'épaisseur plus ou moins grande de l'obstade n'a aucune influence sur les franges, Fresuel a pris deux plaques d*acier, dont les l>ords étaient arrondis dans une moitié de leur longueur et aigus dans l'autre. Il plaça la portion arrondie de chaque plaque devant le bord aigu de l'autre. Alors si la positiou des franges dépendait de la forme de la surface , l'efliel devrait être doublé, les franges devraient apparaître brisées à leur milieu. Il n'en fut rien cependant: ellesétaient parfaitement droites dans toute leur longueur.

D'ailleurs les forces réfringentes, alors même qu'elles varie* raient d'intensité avec la nature et la masse du corps , avec la distance de la molécule lumineuse au bord , ne peuvent réellement pas dépendre du chemin d^à parcouru par la molécule » avant qu'dle atteigne le bord ; de sorte que la grandeur et la position des franges ne pourraient pas varier dans cette hypothèse avec la distance dû point lumineux au corps inflecteur : or, cette conséquence inévitable de la théorie de l'émission est précisément la négation des Aûts, car les franges se dilatent , et forment entre elles un plus grand angle, quand l'obstacle s'approche du point lumineux.

11 est donc impossible d'admettre que la diffraction résulte de l'action des forces attractives ou répulsives exercées sur les moM-

DE LA LUMikRF., 1^3

eoles lamioeiises par tes molécules des corps. Les mêmes olijec^ tioiis renversent les hypothèses de Mairan et de Du Tour, qui attribuaient r inflexion des rayons à la réfraction produite par la petite atmosphère qui accompagne le coi*ps , ou à une différence de pou^ Toir réfrii^ot dans le milieu environnant; car si une semblable atmosphère se trouvait réellement fixée par l*attraction du corps qu'elle envelopperait (et cette attraction est le seul moyen d*expllquer sa présence), sa densité, sa forme et par suite son action sur k lumière varieraient avec la densité et la forme du corps. Nous sommes donc réellement forcés de conclure que le phénomène de la diffraction est complètement inexplicable dans le système de ré« mission. Voyons avec quelle élégante facilité la théorie des ondulations résout ce difficile problème.

132. Young;le premier entrevit dans la diffraction une simple question d'interférence. Il attribua les franges extérieures formées en dehors de Tombre des corps à l'interférence de deux portions de lumière, dont Tune, en passant près du corps , a été plus ou moins déviée, tandis que Tautre a été réfléchie obliquement par ces mêmes bords. l.es franges intérieures, situées dans Tombre d'un corps très mince , seraient résultées de l'interférence des rayons qui pénètrent dans Tombre de chaque côté» après avoir été infléchis par les bords. Enfin les franges produites par une petite ouverture seraient dues à Tinterférence des rayons réfléchis par les bords opposés. Uillustre physicien anglais appliqua le calcul à sa théorie, et montra que les effets assignés d'avance s'accordaient assez exactement avec les faits. Il démontra même que les franges intérieures produites dans Tombre d'un^corps mince ne pouvaient pas avoir d'autre cause que celle qa*il leur avait assignée. En effet, lorsqu'il eut placé un très petit éeran opaque de l'un des c6tés du corps diffracteur, de manière à interoq^ter la portion de lumière qui aurait été infléchie par ce bord, les franges disparurent immédiatement et quoique la lumière passant par l'autre bord n eût été modifiée en aucune manière.

La loi générale des franges, la liaison qui existe entre leur graadoir, la longueur d'une onde , la distance de l'écran au centre lumi* BcoXf sont complètement expliquées dans cette hypothèse. Il est

174 THÉOHIS MATHÉMATIQUE

fticite d*en dMalre que la marche des franges nTett pat reetiligBe, mais curviligne et hyperbolique, et que rincllnaison des branehas d'hyperboles, confondues sensiblement avec leurs asymptotes, augmente à mesure que les franges se dilatent.

1 33. Fresnel adopta d'abord, et développa l'hypothèse de Yoang; mais plus tard , il n*en fut plus satisfait, et la rejeta avee raison. 11 avait démontré quMl existe, quant aux lieux des franges, une différenee légère, mais sensible et trop appréciable entre les résultats do calcul et ceux de l'observatioi?. Il est d'ailleurs très difficile de concevoir dans cette hypothèse comment les franges ne d^eodent aucanemeat de la forme des bords, surtout lorsqu'ils sont très tranchants. La petite quantité de lumière dont on peut dans ce dernier cas admettre à la rigueur la réflexion, serait insuffisante pour interferer avec celle qui passe à c6té do corps, de manière à former des fkranges si brillantes. On ne concevrait pas que le dos et le tranchant d'un rasoir puissent donner des franges parfidtement identiques. Ënfhi , on ne pourrait jamais expliquer certains phénomènes de diffraction , si l'on n'admettait que les rayons qui rasent le corps ne concourent pas seuls à la production des franges , mais qu'elles sont dues en partie À la lumière qui passe à une certaine distanee de ces mêmes bords, et qui est elle-même déviée.

Fresnel se trouva donc dans l'heureuse nécessité de chercher mi - fondement plus solide à la théorie de la diffraction. Ses recherdias sont consignées dans un admirable mémoire couronné en 1819 par r Académie royale des sciences. Au point de vue où il s'est placé, les phénomènes de la diffraction seraient uniquement dos à l'ioterfé^ rence des ondes partielles ou secondaires, qui sont comme séparte de l'onde principale par l'interposition de i'oi>stacle. Dans l'af^llcation de ces principes , il suppose que la surface de l'onde , au moment où elle atteint l'obstacle , est subdivisée en un nombre indéfini de parties égales ; une fois cette décomposition admise, on déduit immédiatement des lois mathématiques des interférences l'action résultante de ces ondes partielles sur un point quelconque de l'espace. Fresnel a montré que cette résultante, dont le carré mesure riatensité de la lumière, est exprimée par deux intégrales définies ' dont les limites sont déterminées par la nature de cliaqoe problème, et qui présentent plu8leai« maxima et plmrteurs miaima,

DB hl LUMIJERB. 1^5

correspondant précisément aux franges brillantes et obscures. Le problème de la diffraction était résola; ses lois se trouvaient déduites des deux mêmes principes à Faide desquels nous avons expliqué la réflexion et la réfraction ; le principe des interférences, et le principe d*Huygens. Il ne restait plus qu'à appliquer cette solution générale à divers cas particuliers pour comparer les résultats du calcul aux données de l'expérience. Les cas de diffraction choisis par Fresnel sont ceux dont nous avons déjà étudié les lois , c'est-à-dire les phénomènes dus à l'action 1" d*un simple bord rectiligne : 2» d'une ouverture terminée par deux bords rectiligoes ; 3* d*un petit corps opaque limité de la même manière L'accord de la théorie et de Tobservation fut vraiment surprenant. Les positions calculées des diverses bandes différaient rarement de plus d'un centième de millimètre des positions observées.

134. Les circonstances générales de ces divers phénomènes peuvent se déduire des principes que nous venons de rappeler à l'aide de considérations d'une simplicité extrême» quoique l'exposition entière et rigoureuse de la théorie exige les ressources de Tanalyse la plus compliquée. Voyons d'abord quel est en général l'effet

de l'obstacle. Supposons que 0 soit l'origine d'une onde lumineuse divergente MaN ^1^ et qu'on veuille estimer l'effet de lumière produit au point R. De ce point, comme centre » décrivons un eerde qui touche en a l'onde circulaire MaN, cl menons les lignes B^ 6^ fief c,,... de telle sorte que les portions interceptées b l/^ o c\ dd\.., soient respectivement égales à une» deux, trois... longueurs d'onde. L'effet produit au point E , d'après le principe d'Huygens , sera la somme des effets produits séparément par chaque portion a6, hc, ci,... Mais puisque les distances de ces portions consécutives au point R diffèrent d'une demi-ondulation , leurs effets en ce point seront opposés; et si l'on désigne par t, i\ t'^... les intensités de la lumière produite en R par l'action déportions successives a6, 6c, e</,... par 1 la lumière totale produite par la demi-onde indéfinie aN ou aM , la lumière réelle au point R sera :

lyC THKOniE MATHf.MATIQO£

suivant que lobstacle sera placé aux points a^b, c Si lobstade

est entièrement retiré, l'Intensité de la lumière sera exprimée d'une part par la somme 1 + 1 , de l'autre par la série

et Ton aura :

Comme les termes de la série vont toujours en diminuant et sont alternativement positifs ou négatifs , il est évident que si l'on s'arrête à un certain terme , le signe du reste sera le même que le signe de son premier terme, de sorte que le reste sera alternativement positif et négatif; donc aussi les intensités

1 + t, 1 +» — *', 1 + 1 — t' + f".... sont alternativement plus grandes et plus petites que 2 > et Tintensite de la lumière envoyée au point R augmente quand Tobstacle existe.

Cette seule considération générale suffirait pour nous montrer comment la grandeur des franges dépend de la longueur de Tonde, de la distance de l'origine lumineuse à l'obstacle qui les produit, à Técrao qui les reçoit. Nous verrions par cela seul qu'elles doivent être plus larges dans la lumière rouge, correspondant à la plus grande longueur d'onde , plus étroites dans la lumière violette, correspondant à la pluspetite longueur d'onde : que, si la lumière est blanche ou composée, les bandes diffractées des différentes couleurs occupant des positions différentes, on aura une série de bandes colorées ; le violet ou le bleu se trouvant à l'intérieur, le rouge à l'extérieur : qu'après un petit nombre de successions , les franges disparaîtront complètement par la superposition des diverses couleurs.

135. Il est facile de déterminer les différentes positions d'une même frange pour les différentes positions du point lumineux

et de l'écran. En effet, j^ soit P, le bord de l'ob-

L stade, PA une portion

d'onde divergente qui vient d'atteindre ce bord.

DE LA LUMiERFi X'J'J

QR l*ëeraii , R la place d^une frange d*ordre quelconque. Gela posé, pour que ce point R appartienne toujours à la même frange, quelles que soient les distances do centre lumineux et de Técran, il faut et il suffit que Tintervalle RP— RA, ou la différence des chemins parcourus par les portions centrales et latérales de Tonde, rcite constant; car, dans ce cas, Tonde entière APpeut être divisée en un nombre donné de parties telles que la différence entre les distances des points de divisions successives au point R soit constante, et que par conséquent Tonde effective résulte du même nombre de portions élémentaires constituées dans les mêmes circonstances d*interférences ; de sorte que Teffet produit en R soit constamment le même. Faisons maintenant :

OP « a , PQ = fr, QR — a? ;

en remarquant que x étant très petit par rapport à a et 6 , on peut dans les développements ne pas tenir compte des puissances supé^ rieures au carré, on aura donc :

RP= v/6>+a?*=J+-^, 0R= y/(a+bY+x^^a+b+

RA — 6 +«-7^TTri RP— RA -^ ar« (\ \-A

' 2(a+by 2 \b a+ bj

Mab, par hypothèse, cette différeoce doit être égale à une quan* tttércoDStante c ; on aura donc :

Si b varie , a restant invariable , c*est-à-dire si on éloigne ou si Ton approche Técran, on voit par Téquation qui lie x avec by que X est l'ordonnée d'une hyperbole dont Tabscisse serait b ; de sorte que le lieu des points occupés successivement par une même frange est uae hyperbole dont Torigine est le bord même de T obstacle pour lequel 6 = o.

136. Les franges intérieures formées par Tombre du petit corps <9aque proviennent, nous Ta vous dit, de l'interférence des deuï portions de Tonde qui passent des deux côtés de Tobstacle en rasant

178 THioRIE MATHÂMATIQUE

ses bords. Soit PF la section du corps opaque, P0 et P^ les deux portions de Tonde divergente qui viennent de raser les bords , et R un point quelconque de l'ombre. Gonoevons que ces deux porUoos d'onde soient divisées aux points a, b,c,.,,af^ b\ ^^ ... de telle sorte que la différence des distances de deux points eonsécutiCi au point R

soit égale à une deni-ondulation. L'ondo, envoyée au point R par chaque onde âémentaire, sera en cowplète onction avec eelks envoyées par les deux pointions voisines ; de sorte que si ces diverses portions étaient égales entre elles , elles se neutraliseraient pleinement , à Texception des deux portions extrêmes Pa, P' af dont les moitiés contîguës au bord de l'écran ne sont compensées ou neutralisées par rien.

Or, les portions Pa, ah, te,... seront à très peu prè» égales si les lignes menées de leurs extrémités au point R sont suffisammoit iaehoées à la normale, à la surftice de Tonde ; ou, en d'autres ternes, si le point R est suffisamment éloigné des bords de Tombre géométrique. Dans ce cas donc les seules portions ^ficaces de Tonde seront les moitiés des portions extrêmes Pa, et P' a' ; et Tintensité de la lumière au point R sera déterminée par la différence de leurs distances à ce point; ou, ce qui revient au même y par la cËfTérence des Ij^es qui joignent le point R aux deux bords de Tohatacle. Les pliénomènes d'interférence seront donc dans ee cas ce qu'ils seraient si la lumière émanait de deux origines très voisines ; el nons pouvons appliquer ici ce que nous avons dit dans le numéro i04» c'est-à^ire qu'en appelant e la largeur de l'obstacle , h sa distanec à Técran , x la distance d'une bande quelconque au centre de l'om-

%hl brc, on aura x = -- — .

13?.Lapodltl(mdesfniiiges formées par une oa- \erture rectangulaire très étrofteseradéteriBinéepar une formule tottt-à«faM semMaMe. Soft PP la section faite dans l'envcrtore, PAF la portion d'onde qui Tient ée l'atteindre, QQ* la projectiofi géométrique de l'ouverture sur Féeran. Prenons sur eel écran un point R tel que la difflh-enee BP' — BP de ses dfetaneet aQx bords de Fouverture soit égale à un nombre entier de demi-osdniûtions: ce point sera le centre d'une bande obscure ou brlNaiite, suivant que ce nombre entier sera pair ou impair ; car, dans le premier cas , l'onde PAP' peut être divisée en un nomlyre pair de portions telles que les distances de deux points de dfrfsions eonsécutifc diffèrent d'une demi-ondulation. Les ondes envoyées au point R par deux portions voisines seront dès lors en complète opposition , et l'effet total produit en ce point sera nuf . Si , au contraire, la différence KP — RP est égale à «n nombre impair de demi-ondnla* tiens, le nombre des portions d'ondes opposées sera impair, et parce que deux ondes consécutives se neutraliseront au point R , une seule portion restera efficace , ou produira tout son effet.

Puisque fesbasdes successives se forment anx points pour lesqu^ la différence RP'— RP=fi/ , il est évident que leur distance RBau centre de projedion de l'ouverture sera donnée par la m^me formule que dans le eas précédent a:=— , e devenant la largeur de

rooverture. lï y aura cqïcndant cette dlf^rence essentfële, que les bandes olïsctrres correspondront cette fois aux valeurs paires de w, et les bandes brillantes atrx valeurs impaires, ce qui est précisément Te contraire de ce qui a fieu pour les firanges formées dams l'intérieur de f omlire d'un corps opaque. Il résulte de ce que novfs venons de dire : V que les distances des franges successives d'une même couleur forment uiiC progression arîthméti(îoe dont lu raison est égale à son premier terme ; î" qu'elles sont proportionnelles à la distance de l'écran , et en raison inverse de la largeur de l'ouvertore; y qrf <Jles varient propor^oundtenienl à la hniguetfr d'ondof

t80 tHEORtE MATHÉMATIQUE

qu'elles sont par conséquent les plus grandes possibles pour les rayons violets » de grandeur moyenne pour les rayons intermédiaires du spectre.

Nous avons supposé, dans ce qui précède, que l*écran était assez éloigné pour que les franges se formassent toutes en deliors de la projection de Touverture, ce qui a lieu quand la différence QP' — QP est inférieure à une demi-longueur d'onde. Si la distance de l*écran devient assez petite pour que la différence QF — QP surpasse une demi-longueur d'onde, il y aura des franges visibles même dans l'intérieur de la projection de Touverture. Dans ce cas, les portions d'ondes élémentaires, dans lesquelles l'onde principale est sutMlivisée , différeront sensiblement en grandeur et en obliquité ; les raisonnements dont nous nous sommes servis ne seront plus applicables, on ne pourra obtenir les positions des points de clarté maximum et minimum que par le calcul rigoureux et transcendant de l'intensité de la lumière.

138. Les faits de diffraction que nous venonsd*étudier sont les plus simples et les plus élémentaires ;.ih peuvent se modifier et se compliquer à l'infini ; et parmi ces phénomènes plus complexes , il en est de trop remarquables pour qu'on puisse les passer sous silence. Un des plus frappants se produit lorsque l'on fait passer un rayon divergent de lumière à travers une petite ouverture oirculaire, par exemple à ti'avers le trou fait par une pointe d'épingle dans une feuille mince de plomb. Si l'on r^rde la lumière transmise à travers une loupe , l'image de l'ouverture apparaît comme une tache brillante entourée d'anneaux colorés très vifs» et qui se nuancent d'une manièi*e très belle et très curieuse , lorsqu'on MX varier la distancede l'œil ou de l'ouverture au centre lumineux. Si la distance de r^eil à l'ouverture est grande, la tache centrale est blanche, et les anneaux colorés se suivent dans le même ordre que ceux des plaques minces. A mesure que l'œil se rapproche de l'ouverture, la tache centrale se contracte , se réduit bientôt à un point , et disparaît lies anneaux se resserrent alors de plus en plus , et passent successivement au centre , qui prend ainsi les nuances les plus vives, taudis que les anneaux changent brusquement de couleur, en se succédant comme dans le cas des anneaux des plaques minces vues par réflexion : cette coïncidence remarquable est une conséquence très simple de la théorie.

DE LA LUMIERE. l8l

lia été rigoureusement démontré que rintensité de la lumière d'une couleur simple à la tache centrale, ou de la teinte composée dans le cas de la lumière blanche , est la même que celle de la lumière réfléchie par une lame d'air dont Tépaisseur serait dans un certain rapport avec le rayon de l'ouverture et ses distances an centre lumineux et à l'œil . Avec de la lumière homogène Tlllumination de la tache centrale s'évanouit périodiquement quand on fait varier la distance de l'œil à l'ouverture. Pour prouver qu'il

en est réellement ainsi , supposons que 0 est le point lumineux, et OAB la ligne menée de ce point au centre de Touvcrture PP', et faisons 0 A =a, AB=i:6, AP = e ; comme e est très petit en comparaison de a et de fr » on pourra négliger les puissances supérieures au carré , et Ton aura :

OP=a+£BP-5+£.0P+PB-0B=d=î.»(i+l)

Si cet intervalle desî égal à un nombre entier de demi-ondulatons, on pourra subdiviser l'ouverture par une série de cercles ecmeentriques en un nombre de parties telles , que les rayons qui arrivent au point B , après avoir touché deux circonférences successives, diffèrent d'une quantité égale à une demi -longueur d'onde. Il résulte de la formule qui précède que les carrés des rayons , et par conséquent les surfaces des cercles successifs ainsi formés, sont comme les nombres naturels 1, 2, 3, 4, etc. , de sorte que les anneaux compris entre deux circonférences consécutifs seront ^ux. Mais l'onde élémentaire provenant de chaque anneau sera eu complet désaccord avec les deux ondes contjguês : les actions des anneaux successifs se détruiront donc mutuellement, et l'intensité de la lumière au point B sera nulle ou égale à celle du dernier anneau , suivant que le nombre des anneaux , y compris le oerde central, sera pair ou impair. Donc pour une ouverture donnée il y a sur Taxe une succession de points pour lesquels rintensité de la lumière est alternativement nulle ou maximum; et il résulte évidemment de la discussion précédente : 1* que les distances de ces points seront les valeurs de b , données

l89 THIÎORIE MATHEMATIQUE

par réquation e* [-+t ] = ^^ ; ^ ^« 1<^ points de eempMe obica-

rite répondront aux valeurs paires de n ; les points de clarté maximum aux valeurs impaires de n. Voilà ce qui se passe avec la lumière homogène : comme les points d'intensité maximum ou minimum seront différents pour les rayons de différentes couleurs , îî n'y pura avec la lumière composée aucun point d'obscurité absolue , mais seulement une succession de points pour lesquels le centre de Touverture est richement coloré.

139. l4a théorie de Fresnel ne se trouva pas seulement en parfait accord avec les faits connus : elle prévit et pot prédire une caiiUitvde de qircpnstapces que l'on a vérilSées depuis par expérience ; elle mit en évidence plus d*une fois des phénomènes tout-à*fait inattendus. Un des plus étonnants est dû à la diffraction produite par un disque circulaire. En appliquant à ce cas IMntégrale de Fresnel , Poisson arriva à ce résultat extraordinaire, que Tillumination du centre de Tombre dqit être précisément la même que si le disqne était enlevé ou percé #n son milieu. Les principes auxquels nous avons déjà ea recours sufftraient pour nous convaincre , sans calculs difficiles « de ]a vérité de cette conclusion. M. Arago passa le premier à Texpérience , et le succès fut complet. Ici donc le centre de Tombre géométrique se trouvait éclairé. Quel triomphe pour la théorie des ondulations I On raconte que M. Arago répéta un jour cette belle expérience devant Tempereur Napoléon, et que celui-ci, émerveillé^ ne pouvait pas croire que le disque ne fût pas percé de part en part; oq dit encpre que TiHustre^Laplace, défenseur ardent et éclairé de la théorie de rémission, ren4it ce Jour-là noblement les armes, et s'avoue^ convaincu.

1 40. Nous avons vu que, lorsqu'un rayon divergent de lumière rase \e^ txurds d'un cheveu ou d'un û) de fer très fin, on voit apparaître nne série de franges colorées et parallèles aux bords de Tombre. Ij^ distances de ces bandes à Tombre et leurs distances mutuelles sont d'antant plus grandes que le diamètre du fil est plus petit. Si l'on place devant le rayon lumineux plusieurs fils semblables ^ non pas parallèles, mais croisés et entrelacés en tous sens, il est facile de voir que les bandes colorées se transformeront alors en cercles concentriques, dont le centre sera le point lumineux, et

DB LA LUmiRS. l83

qott Ton peut eomparer aux halos et aux eouronnes ^ entourent le «deil ou la lune dans un ciel nuageux. Leur diamètre est en raison inverse de la ténuité des fils.

Ces phénomènes furent observés d'abord par Yoong, qui en fit une application très ing^ieuse a Tappréelation comparative du diamètre des fibres et des petites particules de toute e^^èœ. On lait dans une plaque métallique un trou eiroalairede moins d'un demi* millim. ; autour de cette ouverture, à une distance de 9 ou de limH* lim., on perce une nouvelle série circulaire de trous beaucoup plus petits. On place derrière Touverture la flamme d'une lampe, et ren regardelepoint lumineuxà travers la substanoeque Ton veutexaminer. On voitalors apparaître autour de l'ouverture un anneau oubalo» et en éloignant ou rapprochant la substance le long d'une règle graduée, on peut &ire coïncider l'anneau avec le cercle de petits trous p«cé» dans la plaque. On lit ensuite sur la rèf^ la distance de l'ouvartufe qui varie en raison inverse du diamètre angulaire des qpeetrsa; mais le diamètre des partioulea varie dans la même raison inverse : donc la seule distance lue sur la règle peilt être rq;ardée comme la mesure de ces diamètres. Young a comparé de cette manière lea diamètres d'un très grand nombre de substances, comme les fibrea des laines très flnea, les globules du sang.... L'instrument que nous venons de décrire a reçu de lui le nom d'Ériomètre.

141 • NqniMkvons supposé dans ce que nous venons de dire que les iBterval{es^dj^.fibrefl ou des fils fins étaient beaucoup plus grands ^e leur ^alpiçur* Dans ce cas les phénon^ènes observés dépendeot uniquement 4b diamètre des fibres opaques f mais si ces intervalles étaient par trop petits, il faudrait tenir compte de leur grandeur qui modifie les phénomènes. Si , par exemple, on forme un petit réseau en tendant un fil fin entre deux vis de pas égaux et très pe» tits, et si l'on place ce réseau dans un raycm divergent, on aperçoit à droite et à gauche de l'image directe une série de spectres oo» lorés des couleurs du prisme, et qui s'épanouissent en diminuant d'intensité à mesure que l'on s'éloigne du centre. Pour mieux réussir dans cette expérience , on fixe devant rot;|iectif d'une lunette k réseau éclairé par une fente lumineuse très étroite; les spectres viennent alors se former au foyer de la lunette avec une granés netteté, et smit amplifiés par l'oculaire. Fraunbofer, qui a otMervé

l84 THÉORIE MATHRMiTiQUB

ces phénomènes avec beaucoup d* attention et de soin, a 'compté plus de treize spectres de chaque côté de l'image centrale. Le premier spectre est complètement isolé ; il est séparé de l'image et du second spectre par un intervalle complètement obscur. En mesurant avec la plus grande précision plusieurs réseaux parallèles, Fraunhofer s*est assuré que les distances à l'Image centrale pour une môme couleur dans les spectres successifs forment une progres^on arithmétrique , dont la raison est égale à son premier terme, et que la valeur absolue de ces distances est en raison inverse de Tintervalle compris entre deux fils.

Ces lois sont une conséquence très «impie du principe des interférences. La première paire de spectres est produite par Tinterférence des rayons pour lesquels les chemins parcourus ] diflèrent d'une longueur d'onde; la seconde paire , par les rayons dont les chemins diffèrent de deux longueurs d'onde, et ainsi de suite. Supposons qu'un rayon de lumière venue d'une source très éloignée tombe sur le réseau , dont les parties opaques sont représentées par ah^ a! b\ a^ h^;fX plaçons l'œii en Q.

Prenons une portion a' a* du réseau , composée d'une partie opaque et d'un intervalle éclairé, de telle sorte que la différence des distances de leurs extrémités au point Q , Qa^^ , Qa* soit égale à une longueur d'onde. Il est évident que la portion correspondante a' a" de Tonde incidente peut être divisée en deux parties sensiblement égales , et ces parties seront telles que les ondes élémentaires qu'elles envoient au point Q soient en complète opposition. Sans le réseau, l'effet de cette portion «' a» de l'onde incidente serait nul au point Q , et la lumière n'atteindrait pas l'œil. Le rôle du réseau est donc d'intercepter la totalité ou une partie de l'une des ondes élémentaires et de rendre à la seconde tout son effet. Cet effet sera le plus grand possible , lorsque les intervalles de plein et de vide du réseau seront égaux. Dans tous les cas , une frange brillante sera visible dans la direction Q a^, n est évident que la même chose arrivera pour toutes les divisions semblables du réseau » dont les extrémités seront telles que les dif-

DE LA. LOMIÈRR. 1 86

férences de leurs distances au point Q différeront de deux , trois ,... plus généralement d*un nombre entier de longueurs d'onde, et que par conséquent on verra une succession de franges à différentes distances angulaires , qu'il est facile de calculer. Soit, en effet, d k, un arc de cercle décrit du point Q , on aura :

a^f k = af a»' cos a'a^k=a' a" sin PQa».

Mais a" A = a" Q — a' Q = / ; donc en appelant 0, Tangle PQa", correspondant à la première bande , et faisant a' a^ ^e on aura :

sine, =

pour

la bande de l'ordre

n on aura :

sin On =

ni

Faisons ressortir une circonstance vraiment remarquable du phénomène dont nous venons d'établir les lois. Si Texpérience est faite avec tout le soin requis, les diverses sortes de rayons homogènes sont si pures , si exemptes de tout mélange dans le spectre , qo'on peut distinguer les lignes fixes ou les lignes qui séparent les eonlears, ee qui prouve qu'elles sont complètement indépendantes de la réfraction, et qu'elles existent dans la lumière solaire avant qii*elle ait été décomposée par le prisme. Une particularité tout-àfiiit digne d'attention , c'est que les distances des lignes fixes dans le spectre diffracté sont toujours proportionnelles, quelle que soit la substance dlifringente , tandis que les rapports des intervalles de ces mêmes lignes ou les largeurs des espaces colorés dans le spectre formé par réfraction varient avec le pouvoir dispersif du prisme. Ce seul fait semble suffire à renverser la théorie de Ne^'ton , qui attribue la réfraction et la diffraction à une seule et même cause. Ajoutons que le spectre diffracté est par là même comme un type invariable, auquel on peut comparer tous les autres.

fi l La formule sin 9a = — fournit une méthode très simple pour

déterminer la longueur d*onde correspondante à un rayon quelconque du spectre. On peut mesurer avec facilité et avec la plus

l86 THÉORIE MATHEMATIQUE

grande précision l'intervalle a, ou la distance des axes de deux fihi de sorte qu'il ne reste à évaluer que Tangle 6/i, que le rayon simple fait avec Taxe pour obtenir la longueur d'onde /. Fraunhofer a calculé de cette manière les longueurs d*onde correspondantes aux sqpt principales lignes fixes du spectre , et les valeurs qu*il a obtoiius sont peut-être les constantes les plus exactes que Toptique possède.

1 42 . Les expériences des réseaux intéressent sous beaucoup de points de vue. L'apparence des spectres latéraux aussitôt après l'interception d'une partie de la lumière prouve que la lumière diverge actuellement dans toutes les directions à partir du front de la grande onde, et que si dans les circonstances ordinaires ces ondes élémentaires sont inefficaces , cela tient uniquement à rinterféroioe des deux parties, dont l'une est interceptée par le réseau.

Les belles apparences que nous avons décrites peuvent être variées à rinfini en changeant la forme des réseaux. Ainsi, quand deux réseaux compotes de^ls paraUèleft et équidislMitB sont eiubés À angle droit , de manière à former ud réseau à ouvertures canréai, le phénomène produit est d'une ^lendeur admirable.

On peut construire des réieaux de bien des manièret^ fm exemple, en traçant avec un diamant fin un eertito noMbre de lignes parallèles sur du verre. Fraunhofer obtint, de cette wuMbn des surfaces rayées , dont lea striea restaient invIsibleSf Hième âvee le grossissement des plus forts microacopea, L'inlervalle de deox traits ne dépassait pas un dix-milbème de niUimètre ; rindiuMe française a dépassé de l)eaue(iiip ces prodiges de dîvialOD.

Si Ton grave sur une surfaee polie un grand norabre de lignes pÊtrallèles à des inter?aUe« ^aux et très petit», la lumière réOéchie par les intervalles ou le» oreox ainsi formés interfère d'wie mn^ nière entièrement analogue à eelle qui traversait les ouvertures des réseaux , et donne ainsi naissance aux spectres les plus brillMli. On a obtenu des surfaces métalliques gravéea sur lesquelles les traits étaient si serrés qu'il en fallait plus de 500 pour eewit* l'espace d'un millimètre. Les spectres formés sous l'influence de surfaces aussi parfaitement divisées sont aussi tranchés que ceux que l'on obtient à l'aide des prismes le» plus pui*s et les mieia trth vaUlés ; les couleurs qu'elles d^oient par la réflexion de lu te-

DE Là LCHIERB. 187

mière d*iiiie bougie rivalisent avec le3 feux éclatants des plus beaux diamants.

On observe jusqu'à un certain point les mêmes apparences sur les surfaces métalliques, polies à Taide d'une poudre qui oe soit pas trop déliée. Les stries laissées à la surface donnent naissance à des réseaux , que Ton obtient encore en passant simplement le doigt sur un verre recouvert d*haleine humide.

Les admirables couleurs de la nacre sont des cas particuliers des phénomènes que nous venons de décrirç. Cette substance est formée d'un nombre immense de couches déposées successivement dans la coquille de Fhuitre. La coupe qu'on obtient en la travaillant est formée d'une série de lignes sinueuses , et la nacre même très polie est sillonnée par une iniinité de stries , qui sont les bords des diverses couches. On découvre ces stries à l'aide d'un puissant microscope, quoiqu'elles soient souvent tellement serrées que mille d'entre elles n'occupent pas 5 millimètres. Une expérience très simple de M* Brewster a prouvé jusqu'à l'évidence que ces stries sont la cause réelle des couleurs qui se déploient à la surplace de la nacre. Il obtint sur de la cire très blanche et très pure une empreinte de ces çtries, et vit non sans surprise que l'empreinte reproduisait les mêmes couleurs que la nacre. En réalité , les cou-» leiirs des surfaces striées mettent non moins en évidence leur structure que les autres moyens même mécaniques , et M. Brewster a lait une beile application des lois que nous avons rappelées à la structure des lentilles cristallines chez les poissons et autres ani* maux. Les brillantes couleurs des phimes de certains oiseaux , leurs înoomparables reflets sont aussi des phénomènes de réseau.

143. Quand on observe uneétoile brillanteavec une lunette excel^ lente , mais d'un grossissement assez faible , elle a toujours l'apparence d'une masse de lumièrCi dont il est impossible de distinguer la forme à cause de son éclat , et dont les bords sont rarement exempts de dentelures. Mais si le pouvoir amplifiant s'élève jusqu'à 200 , 300 ou 400 fois> et qu'on se trouve dans des circonstances favorables , l'étoile parait parfaitement ronde, bien terminée et entourée de plusieurs anneaux alternativement obscurs et lumineux, dimtles bords semblent légèrement colorés. Ces anneaux sont évi* démêlent de fausses ima^ dues à des effets d'optique, à des in-r

terférences. Lorsque l'ouverture de la lunette est limitée par rai diaphragme circulaire , le disque et les anneaux s'élargissent en raison inverse du diamètre de rouverturc. Lorsque celle-ci est réduite, àOy027par exemple, pour une lunette de 21 mètres de distance focale , le faux disque devient très grand, et est entouré d'un seul anneau, dont les couleurs sont disposées comme il suit : blanc, rouge, noir, bleu, brun, rouge, noir. Quand on emploie des ouvertures annulaires, ces phénomènes sont très beaux et très réguliers. Lorsque l'ouverture a la forme d'un triangle équilatéral, on voit se peindre un disque étoile très brillant et bien terminé : les six raies qui l'entourent en sont séparées par un anneau noir. Ces faits curieux ont été étudiés avec un très grand soin par MM. Herschell et Arago; M. Airy en adonné une théorie mathématique dans son traité si remarquable de la théorie des ondulations. Le calcul , cette fois encore, a pleinement confirmé l'observation.

144. Fresnel doit être regardé comme le véritable créateur de la théorie de la diffraction , quoiqu'il soit vrai de dire qu'il m a établi les lois à poêteriorij d'une manière indirecte. Il n'est pas parti des équations générales du mouvement vibratoire ; mais à Faide du calcul intégral qu'il maniait avec adresse, il a su trouver les sommes des effets infiniment petits produits par les diverses ondes élémentaires, dans lesquelles, suivant les principes d'Huygens, l'onde principale peut être décomposée. Il réduisit de cette manière le calcul si exact des phénomènes à l'évaluation de deux intégrales définies, et comme ces intégrales définies échappant à tous les moyens connus ne pouvaient pas être calculées de toute pièce , il eut la patience d'en déterminer les éléments divers en faisant varier d'un dixième à chaque opération la valeur de la variable dont elles dépendent.

Il restait encore deux pas àfaire, l'un de pratique, si Je puis m'exprimer ainsi, et qui consistait à rendre facile le calcul des intégrales définies, l'autre de théorie, et que personne n'avait encore tenté : déduire des formules qui représentent les mouvements infiniment petits d'un système de points matériels, une théorie mathématique des ombres et de la diffraction; montrer comment ces formules abstraites, et en apparence si continues, renferment ces alternatives réelles de lumière et d'ombre que le physicien a su observer, et mesurer à travers les difBcultés les plus nombreuses.

ta LA tiJMiÈRCé idg

Dès 1836, M. Cauchy avait réalisé cet immense progrès. Nos lecteurs nous sauront gré d'exposer ses découvertes avec quelques développements. Nous ne sommes pas parvenus sans peine à grouper CD les résumant des matériaux précieux disséminés dans un grand nombre de volumes et de mémoires.

145. Disons d'abord un mot du calcul des intégrales dont dépend la diffracti<Hi ; ces deux intégrales sont :

A =/ cos .--dz,B=/ sin ■—- dz

et pour les calculer facilement M. Cauchy a enfin trouvé les deux formules suivantes :

A= -— Ncos h M sin

B = -?— Mcos N sin .

dans^lesquelles ir étant le rapport de la circonférence au diamètre M , N sont données par les deux séries :

jj,J :i.3 . 1.3.6.7

m> ic m' ir

ou, ce qui revient au même » en mettant pour ir sa valeur approchée:

Si , pour fixer les idées, on attribue successivement à m les valeurs entières 2, 3, 4, 5 , on conclura des formules qui précèdent que les valeurs des deux intégrales définies A, B sont :

Pour m =z2, As 0»4885, B = 0,3432,

m = 5^ A ss 0,5638, B s= 0,4992.

igO THEORIE MATHtoATIQUB

Ces valeurs wat exactes Jusqu'au dernier chiffre , et eoîûeident, pour m =: 2 y avec celles que Fresnel a trouvées par la méthode d'approximatioDy de laquelle il a déduit, avec plus de peine et moins d'exactitude, les valeurs correspondantes àm =r 3, m=:4, m=r5....

Nous avons rapporté ces formules et ces nombres dans l'intérêt des physiciens, auxquels ils épargneront des calculs péniMes. Faisons maintenant ressortir un des plus beaux titres de gloire de M. Caucfaj, sa théorie directe et générale de la diffraction ; les décoavertes que cette belle théorie lui a fait ftilre.

146. En vertu du théorème de Fourier, toute fonction continue ou même discontinue, et par conséquent les déplacements des molécules déterminés par l'intégration des équations aux dérivées partielles qui représentent les mouvements infiniment petits d'un système de molécules, peuvent être représentés par la somme d'un nombre fini ou infini d'exponentielles réelles oa imaginaires ; par suite, comme nous l'avons déjà remarqué dans noi précédentes analyses , tout mouvement infiniment petit qui se propage à travers un système de molécules peut être considéré comme résultant de la superposition d'un nombre fini ou infini de mouvements simples ; d'ailleurs un mouvement simple peut être durable et persistant, on s'affaiblir et s'éteindre avec le temps, ou croître indéfiniment tandis que le temps augmente. Pareillement un mouvement simple peut se propager dans l'espace sans s'affaiblir, ou bien il peut croître ou décroître, suivant que l'on s'éloigne dans un aena ou dans un autre d'une surface donnée, par exemple du plan des y, z. Enfin^ dans un mouvement simple qui ne s'affaiblit pa» en se propageant à travers l'espace , les ondes planes peuvent marcher dans un sens ou dans un autre, par exemple dans le sens des x positives ou dans le sens des x négatives. Gela posé, considérons d'abord, dans un système de molécules , ie mouvement produit au bout du temps t par un ébranlement initial et infiniment petit qui ne s'étendait pa» audelà d'une Certaine enveloppe. Pour que ce mouvement, en sepro* pageant dans l'espace, reste toujours infiniment petit, il sera néeee* saire qu'il ne oroisseiudéfinimentni avec le temp^m avec la distance ; par conséquent il sera nécessaire que, dans les expesants des expo' nentielles dont la somme représentera la valeur générale de chaque inconnue , Ip ooefficient *i X&mpB oa d'une longa^ur absolue n'offre

de partie réelle poeillve. Cette eondttion se trouve généralement remplie pour les intégrales qoi représentent le mouvement produit dans un système de moléeules par un ébranlement inKfal inprînaé an système dans le voisinage d'un point donné, et par suite cis intégrales lonmiesent efiectlvement, comme on devait 8*y attendre» les valeurs générales des déplacements et des vitesses moléculaires, au bout d'un temps quelconque. Maïs si l'on suppose qu'un mouvement infiniment petit, propagé dans la portion de l'espace qui ert située par rapport au plan des y, z^ du c6té ômx négatives, doive être sans cessa transmis à la portion de l'espace située du eMé des œ positives^ à travers une surface, ou, tl l'on vent, à travers «ne ouverture terminée dans ce plan, par un certain contour, «n sorte que le uMUvemeBt se trouve intercepté par le plui en ebaean des peints situés au-ddbors du même contour, alors onobtiendra souvcDly pour représenter les valeurs générito des inconnues, des formulea ffui seasUeroiit paradoxales au premier abord. En effet, ks valears des inconnues étant réduites à des sommes d'expooentielles» il arrivera souvent que, dans les exposants de quelques expenmtîdtos, les ooeffieieats des distances absolues offriront des par ties réelles positives. Ikme, alors, quelques uns des mouvements simples dont les exposenlielles seront les symboles caractéristiques^ scmUeront devoir devenir de plus en plus sensibles , et croître indéfiniment aux yeux d'un observateur qui s'éloignerait indéfiniment iu plasi des y, s du o6té des œ positives. Il y a plus : parmi les mouvenMUts sia^les correspondants aux mêmes exponentielles, ceux qui se prepagorent sans s'aflailDlir offriront souvent cette eiriwislangii rsasarquaUe , que les uns sembleront devoir se propager dans le sens des j? positives» lesaulreseD sens contraire; eependani U parait absnrde de supposer qu'un mouvement infiniment petit » pnpagédans un système de molécules du côté des œ négati ves, fasse naître du e6té des «positives des mouvements simples qui croissent Ht avec la distance au plan des y, js, ou des^ mouvements I lesqaelolea ondes planes soient ramenées vers ce plan« Boor lairedlsparaftreees paradoxes, il suffit de considérer les vateurs des déplacementsmoèéeulaires donnés par Tintégration comme I de deux parties, et d'adnwttre que la preaûère imoléculedaas uABouvement

19^ tHÉOBlE MATflEMATIQUB

inOniment petit, qui se transmet et se propage du côté des x positif» ves, mais que la seconde partie, prise en signe contraire, repr^nte le déplacement d'une molécule dans un mouvement réfléchi, e*està^lire dans un mouvement qui se propage du côté des x négatives , en se superposant au mouvement donné. Alors, pour obtenir le mouvement transmis , on doit superposer les uns aux autres, ceux des mouvements simples et relatifs aux diverses exponentielles, qui se propagent dans le sens des x positives , ou s'affoiblisseat et s'éteignent quand on s'éloigne dans le même sens du plan des y, x ; au contraire, pour obtenir le mouvement réflédii, on doit superposer les uns aux autres les mouvements directement opposés aux mouvements simples qui se propagent dans le sens des x négatives, ou s'affaiblissent et s'éteignent quand on s'âoigne dans ce même sens du plan des y, x. En opérant ainsi, on verra toutes les difficultés 8*évanouir. On pourrait objecter, il est vrai, que l'intégratii» ef^ fectuée semblait avoir pour but la recherche unique des déplacements et des vitesses des molécules situées, par rapport au plan des y, J7, du côté des x négatives; mais l'analyse, en nous conduisant à des formules qui sont inadmissibles quand on se borne à tenir compte du mouvement transmis, prouve qu'en ayant égard à ce seul mouvement on ne peut résoudre la question proposée. D'ailleurs, pour interpréter avec justesse les intégrales obtenues, Il est nécessaire de revenir sur ses pas et d'examiner, d'une part , quelles sont les données que l'on a introduites dans le calcul ; d'autre part quelles sont les quantités dont l'intégration peut fournir la valeur. Or, ici les données du problème sont évidemment les déplacements et les vitesses des molécules dans le plan des y, 2, ou plutôt dans une tranche infiniment mince comprise entre le plan des y, x, et un plan parallèle infiniment voisin. Ces déplacements et ces vitesses sont tout ce que Fintégration emprunte aux faits énoncées: supposées connues à une époque quelconque , elles sont considérées comme l'origine et la cause permanente des mouvements qui se propagent hors de la tranche dont il s'agit; et les inconnues du popblème sont précisément les déplacements et les vitesses des molécules situées hors de cette même tranche. Du reste il suffit que les valeurs générales des inconnues aient la double propriété de vérifier les équations diffé* rentielles des mouvements infiniment petits^ et de se réduire dans

DE LA LUMiiRB. 103

répaîsseur de la tranche aux valeurs données : il importe peu que les nouveaux mouvenoents simples, dont la naissance permettra de ren^Iir cette double condition, soient des mouvements transmis ou des mouvements réflécliis. D'ailleurs, comme Texpérience prouve que des mouvements peuvent être réfléchis, et se réfléchissent en effet, dans certaines circonstances, il est clair que rien ne s*oppose à ce qu'on admette comme véritable Tinterprétation à laquelle M. Gaochy est parvenu ; c*est même, à ce qu'il semble , une chose digne d*être remarquée, que l'examen approfondi des formules données par l'analyse Tait nécessairement conduit à la notion de mouvemetits réfléchis.

1 47. Les principes que nous venons d'exposer nous paraissent applicables à la recherche des lois suivant lesquelles un rayon de lumière, propagé dans un milieu transparent, surtout dans l'éther isolé, du c^té des x négatives , est transmis à la portion de ce milieu situé du o6té des x positives , à travers une ouverture pratiquée dans un écran très mince , dont une surface coïncide avec le plan des y,JE. Ce dernier problème est précisément celui des ombres et de la diffraction. Il diffère très peu du problème que nous venons de résoudre. La principale différence entre l'un et l'antre consiste en ce que, dans la question ci-dessus traitée , on n'a point spécifié la cause en vertu de laquelle le mouvement se trouvait en partie intercepté par la tranche infiniment mince dont une surface coïncide avec le plan des y,x, et que l'on a raisonné, au contraire, comme si cette tranche pouvait acquérir le pouvoir d'intercepter le mouvement sans cesser d'être formée avec les molécules qui composent le milieu donné. On pourrait donc craindre qu'il fût nécessaire de faire intervenir la na-* ture même de l'écran dans la solution du problème des ombres et de la diffraction ; et dans la réalité , pour résoudre le problème avec une rigueur mathématique, il conviendrait non seulement de spécifier la substance dont se forfbe l'écran, mais encore de calculer l'extinction des rayons lumineux opérée par cette substance. Toutefob, comme l'expérience prouve que la nature de l'écran n'a pas d'influence sur la nature des phénomènes observés et sur les lois de la diffraction , il parait que , dans la recherche de ces lois , on peut sans inconvénient se borner à développer les conséquences des formules auxquelles on arrive par la méthode ci-dessus exposée.

1^4 TUÉOKIF. UATU£MAX1QU£

1 48. Nous avons mainteDant à signaler une conclusion extraordinaire à laquelle conduisent les principes que nous venons d'établir. Celte conclusion est que , si la lumière passe à travers une ouverture pratiquée dans un écran , cette circonstance fera naître géné« ralement deux espèces de rayons diffractés , les uns transmis , les autres réfléchis. Remarquons d'ailleurs qu'il s*agii en ce moment , non pas de rayons réfléchis par la portion de Técran qui avoisine Touverture , mais de rayons réfléchis , si je puis le dire , par cette ouverture même. Si Jusqu'ici l'on n'a observé que les rayons transmis» cela tient sans doute à ce qu'il est beaucoup plus facile de les apercevoir à côté de l'ombre que porte l'écran. Il serait intéressant d'examiner si» en faisant usage d'un écran très noir, et qui absorberait, autant que possible , tous les rayons incidents , on ne parviendrait pas à rendre sensibles les nouveaux rayons réfléchis et diffractés. Au reste, dans certains cas particuliers et sous eertaines conditions , les rayons réfléchis peuvent disparaître.

149. La méthode que nous venons d'exposer pour traiter le problème des ombres et de la diffraction n'est pas la seule qui fournisse la solution de ce problè(ne. En examinant ce qui arrive lorsqu'un ray<m simple est transmis d'un premier milieu à un second, à travers une surface plane , M. Cauchy avait trouvé , comme nous l'avons déjà expliqué, six équations de conditions relatives à la surface. Ces équations sont celles qui expriment que les déplacements d'une nkolécule , mesurés parallèlement aux axes coordonnées , et les dérivées de ces déplacements prises par rapport à x, acquièrent les mêmes valeurs sur la surface prise pour plan des y,z , soit que Ton considère la molécule comme appartenant au premier ou au second milieu. Il avait remarqué d'ail eurs que» si un rayon simple se propage dans le premier des deux milieux, et tombe sur la surface plane, la réflexion et la réfraction feront naître» dans chaque milieu, non seulement les deux rayons qui peuvent être perçus par l'œil» savoir» ceux dans lesquels les vibrations moléculaires sont transversales ou sensiblement transversales» mais encore un troisième rayon dans lequel les vibrations moléculaires seraient longitudinales , s il se propageait sans s'affaiblir. On aura donc à déterminer les symboles caractéristiques et les paramètres symboliques de trois rayons réfléchis et de trcris rayons réfractés. Or, comme nous l'avons dit,

Dli LA LU.M]KUK. I gS

poQr que les conditions relatives à la surface rétlécbissaute puissent être vérifiées, il sera d'abord nécessaire que les symboles caractéristiques des six rayons réfléchis et réfractés deviennent égaux sur la surface au symbole caractéristique du rayon incident ; et , ceUe égalité étant admise, non seulement les directions des plans des ondes et des vibrations moléculaires seront connues dans les six nouveaux rayons, mais, de plus, ces six équations de condition suffiront pour déterminer les seules inconnnes que présentera encore le problème , savoir, les six paramèti*es symboliques correspondants aox trois rayons réJQécbis et aux trois rayons réfi-actés.

Dans le mémoire que nous venons de rappeler, la surface plane , traversée par les rayons lumineux , avait une étendue infinie. Considérons maintenant le cas où cette surface ne se laisserait traverser par la lumière que dans les points situés entre deux droites parallèles, et jouerait le rôle d'un écran pour tous les points situés hors de ces mêmes droites. Lapoilion de la surface plane comprise entre les deux droites pourra être envisagée comme une fente pratiquée dans un écran, et à travers laquelle la lumière est transmise. Le problème à résoudre sera de trouver les lois suivant lesquelles s'effectue cette transmission. Or , pour obtenir la solution désirée , il suffira de recourir aux six équations de condition ci-dessus mentionnées , et de représenter dans le rayon incident les déplacements des molécules situées sur la surface de Técran , et les dérivées de ces déplacements prises par rapport à a;, à l'aide d'int^ralea défioies doubles qui aient la propriété de s'évanouir hors des limites correspondantes aux deux bords de la fente. D'ailleurs , la reflexion et la réfraction , produites par la surface de séparation des deux milieux , feront naître , comme dans le cas où cette surface était illimitée, trois rayons réfléchis et trois rayons réfractés. Si les milieux sont transparents, deux des trois rayons pourront être perçus par lœii dans chaque milieu , et ces deux rayons se réuniront en un seul dans les milieux isophanes. Quant au troisième rayon » il s'éteindra toujours à une petite distance de la surface réfléchissante. Ajoutons que , dans chacun des six nouveaux rayons , les déplacements symboliques des molécules pourront être exprimés chacun ù Faide d'une intégrale définie double. Lorsque la fente deviendra infiniment grande, les six intégrales correspondantes aux six

19^ THÉOKIE MATIlÊM\'ilQUC

rayousse réduiront , comme on devait s*y attendre» à six exponeatielles qui représenteront les symboles caractéristiques de ces rayons, et chaque onde plane aura une étendue Ulimitée, soit dans le premier , soit dans le second milieu : mais il n'en sera plus de même si la fente devient très étroite , et , dans ce dernier cas, chacun des rayons qui se propagera sans s'affaiblir setransibrmera ea un filet de lumière dont la nature se déduira de la discussion de Fintégrale correspondante. Or , les six intégrales étant de même nature j on pourra en dire autant des six rayons , et chacun d'eux sen du genre de ceux qu'on nomme rayons diflractés. Donc, lorsqu'une fente pratiquée dans un écran très mince, qui couvre la surface de séparation de deux milieux, permet à un filet de lumière de rencontrer cette surface , les rayons réfléchis par la surface sont diffractés aussi bien que les rayons transmis.

150. Considérons maintenant le cas particulier où , les deux milieux étant transparents et isophanes , la nature du second milieo devient identique avec celle du premier, alors dans chaque milieu les deux rayons qui se propagent sans s'affaiblir se réuniront en un seul. Mais cette circonstance n'entraînera nullement la disparition des rayons réfléchis, dont, au contraire, on sera obligé de tenir compte pour vérifier les six équations de condition relatives à la surface de l'écran. Nous voici donc amenés de nouveau à la conclusion singulière à laquelle nous avions été conduits par un exannen attentif des intégrales générales qui représentent un mouvement transmis et propagé dans un seul milieu à travers ime portion de surfiaoe plane. Ainsi les deux méthodes que nous avons suivies nous indiquent l'une et l'autre un nouveau phénomène qui parait propre à éveiller l'attention des physiciens, et la seconde méthode a l'avantage de montrer comment ce nouveau phénomène se lie aux phénomènes déjà connus.

Cette conclusion, tout étrange qu'elle paraisse, ne doit pas être considérée seulement comme un résultat du calcul ; car, en l'entendant énoncer dans une séance de l'Académie, M. Arago s'est rappelé une expérience qu'il avait faite autrefois avec Fresnel, et dans laquelle ils avaient observé des franges qui accompagnaient des rayons réfléchis par des sillons arbitrairement tracés sur la surface d'un verre noirci par la fumée. Il y a donc lieu de rechercher les lois de la diffraction.

DE LA. LUMIERE. ig7

non seulement dass les rayons transmis, mais encore dans les rayons râléchis par la surface de séparation de deux milieux transparents.

loi. Supposons qu'un rayon de lumière passe d'un milieu trans^ paient et isophane dans un autre milieu isophane séparé du premier par une surface plane qui sera prise pour plan éesy^ z ; supposons encore que ce plan intercepte généralement lalumière, et ne se laisse tniTerser par elle que dans les points situés en dedans d'un certain eootour tr^ resserré : ce qui aurait lieu, par exemple, si la surface de séparation des deux milieux était recouTcrte par un écran très Doir, dans lequel une très petite ouverture serait pratiquée. Si le rayon incident est simple, le rayon réfléchi qui se propagera dans le premier milieu cessera d*étre un rayon simple, tout comme le rayon transmis au second milieu. Ces deux rayons, dont chacun résultera de la superposition d'une infinité de rayons simples, seront l'un et l'autre de la nature de ceux que l'on nomme rayons diffractés. Chacun d'eux offrira un filet de lumière très étroit, et l'intensité de la lumière, mesurée dans un plan perpendiculaire à l'axe du filet, s'évanouira sensiblement à une distance sensible de cet axe. Il y a plus, cette intensité variera sur les bords du filet de manière à présenter divers maxima et minima. Enfin, comme ces maxima et mlnima répondront à des points diversement situés pour des couleurs diverses, il en résulte que, si le rayon incident est un rayon formé par la superposition de plusieurs autres inégalement réfrangibles, s'il est, par exemple, un rayon blanc de lumière ordinaire , chacun des deux rayons réfléchi et réfracté offrira sur les bords des franges colorées. Les couleurs des franges se réduiraient à une seule, si le rayon incident était un rayon homogène. D'ailleurs la position des franges dans un rayon homogène, et par suite dans un rayon composé, se déduira immédiatement, avec une grande approximation, des régies très simples que nous allons indiquer.

152. Ckmsidérons d'abord le cas où le rayon incident est perpendiculaire à la surface réfléchissante , et supposons que ce rayon, étant simple , émane d'un foyer de lumière placé aune distance très considérable de la surface; enfin supposons ce rayon transmis au second milieu, à travers une fente très étroite, dont les bords soient parallèles à l'axe des z. Si l'on mesure l'intensité de la lumière transmise dans un plan perpendiculaire à cet axe, et à une

igS THEORIE MATHÉMATIQUE

distance donnée de ta surface, cette Intensité présentera divers inaxiroa et minima correspondants à divers points; et cliacun de ces points , quand on fera varier la distance à la surface, se mouvra, comme l*a dit Fresnel y sur une hyperbole sensiblement réduite , dans le cas présent , à une parabole ; d*ailleurs cette parabole anra pour axe, comme Ton sait , la direction des rayons transmis , et pour sommet le bord de la fente. Mais ce qui n'avait pas encore été remarqué, et ce qui résulte immédiatement des formules de M. Cauchy , c'est qoe les paramètres des diverses paraboles correspondant» aux diverses franges se réduisent, à très peu près, aux divers termes d'une progression arithmétique , dont la raison est la longueur d*une ondulation lumineuse , le premier terme étant les trois quarts de cette longueur même. Calculées d'après cette règle , les racines carrées des rapports existant entre les paramètres doublés et la longueur d'une ondulation seront respectivement pour les paraboles correspondantes aux maxima d'intensité de la lumière :

\/Î;6=1,22, x/63=2,3452, v/9^= 3,8022, t/Ï3,5 = 3,6742 \/Ï7~b= 4,1833, x/2Ï,5 = 4,6368, v/25.T = 6,0M8, etc.

et pour les paraboles correspondantes aux minima d'intensité de ta lumière :

v/3^==:l,871,v/7;6==2,7386Vn,6^==3,3912,>/l5;5=3,037^ x/Ï9,6 =4,4169, x/23r5 = 4,8477, \/i7,^ = 6,2440, etc.

A la place des nombres que nous venons d'obtenir, Fresnel a trouvé les suivants :

1,2172, 2,3449, 3,8020, 3,6742 , 4,1832, 4,6069, 6,0500, ele. 1,8726, 2,7392, 3,3913, 3,9372, 4,4l60t 4,8479, 6,2442, etc.

qui diffèrent très peu des premiers , et qu'il a déterminés par un assez long calcul , en formant une table avec les diverses valeurs d'une certaine intégrale définie. Quanta l'amplitude des vibrations moléculaires, si on la représente par l'unité au moment où le rayon transmis commence à pénétrer dans le second milieu , elle se trouvera augmentée ou diminuée , sur chaque parabole, d'une quantité sensiblement égale au nombre inverse de celui qui exprime la circonférence du cercle dont le rayon aurait pour mesure la radne

carrée do rapport entre !e paramètre de la parabole et ia loi^eur d'une ondulation.

153. Les règles que nous venons d'énoncer ne sont pas seulement applicables aux rayons transmis; le calcul prouve qu'elles s'appli* quent pareillement aux rayons réfléchis et diffractés. Il prouve aussi qu'à une distance inflniment petite de la surface réfléchissante, l'Iiitensité de la lumière, dans les rayons transmis et réfléchis , est sensiblement celle que l'on obtiendrait si, l'écran venant à disparaître, il n'y avait pas de diffraction. Il prouve enfln que , si le rayon lu* cident est polarisé rectilignement suivant un certain pian Jes rayons diffractés , transmis ou réfléchis , seront polarisés suivant ce même plan.

Lorsque la nature du second milieu devient identique avec celle du premier, alors près de la surface réfléchissante , Tinlensité de In himière transmise se confond avec l'intensité de la lumière incidente , et le rayon réfléchi subsiste encore, avec cette circonstance remarquable que les diverses paraboles correspondent , non pas à des intensités diverses de la lumière réfléchie ^ mais seulement à des chaogements de phase. Toutefois , comme l'intensité de la lanière réfléchie est alors de l'ordre deé termes que l'on négligeait dans le cas où les deux milieux étaient de nature différente; comme d'ailleurs ces termes peuvent être effectivement négligés , si la vitesse de propagation des vibrations transversales n'est pas très petite par rapport à la vitesse de propagation des vibrations longitudinales, il en résulte que, hors ce dernier cas, les rayons réfléchis diffractés sous l'incidence perpendiculaire seront du nombre de ceux qu'il sera très difficile d'apercevoir. Si les rayons dont il s'agit ici pouvaient être facilem^t rendus sensibles dans un milieu donné, ce serait une preuve que dans ce milieu le rapport entre les vitesses de propagation des vibrations transversales et longitudinales est très p^it

1.54. Jusqu'à présent nous avons supposé que le rayon Incident était normal à la surface réfléchissante. Supposons maintenant qu'il s'incline sur cette surface, et forme avec la perpendiculaire à la surface un angle très petit, alors, dans chaque parabole, la corde ou section rectiligne , faite par un plan parallèle à la surface , décroîtra proportionnellement au cosinus de Tangle d'incidence , et en

200 THEORIE M ÂTIIKMAXIQUE

même temps le milieu de cette corde, primitivemait situé sur la direction naturelle du rayon réfracté, suivra ce rayon , tandis qu'il s'inclinera par rapport à la surface réfléddssante. Par suite , chaque parabole se transformera en une autre parabole , qui sera encore tangente à la surface réfléchissante , et qui aura pour axe une droite parallèle à la direction naturelle du rayon réfracté.

]ô5. M. Caucby a donc déduit de sa théorie mathématique deux conclusions très remarquables et entièrement nouvelles. La première, qui serait constatée , comme on Ta vu, par une ancienne expérience deMM. Arago et Fresnel, c'est que les rayons réfléchis sont diffractés , tout comme les rayons transmis. La seconde, c'est que dans un rayon simple , transmis ou réfléchi suivant une direction perpendiculaire à la surface de séparation des deux milieux , les paramètres des diverses paraboles » correspondantes aux points où l'intensité de la lumière devient un maximum ou minimum, forment à très peu près une progression arithmétique, dont la raison ou différence est la longueur d'une ondulation lumineuse.

Ce qu'il y a de plus remarquable, c'est que son analyse ne s'applique pas seulement à la théorie des ombres et de la diffraction des rayons lumineux ; elle s'applique généralement à la propagation des mouvements infiniment petits , transmis d'un milieu dans un autre à travers une portion de surface plane, et prouve que les lois générales de cette transmission doivent rester les mêmes , qudie que soit la nature des phénomènes que ces mouvements produisent. Ainsi, par exemple, il résulte de sa théorie que les ondes sonores doivent être , tout comme les ondes lumineuses , non seulement réfléchies, mais encore réfractées, quand elles viennent à rencontrer la surface de séparation de deux milieux. Il y a plus : si le son est transmis à travers une ouverture pratiquée dans une cloison très mince, qui sépare l'une de l'autre deux portions d*un même milieu, les ondes sonores transmises devront être des ondes diffractées, dans lesquelles l'intensité du son, mesurée à une distance donnée de la surface de la cloison, offrira des maxiaia et des minima correspondants à divers points de l'espace. Si les ondes sonores qui rencontrent la cloison émanent d'une source placée à une très grande distance, et si d'ailleurs l'ouverture qui leur livre passage se réduit à une fente verticale, alors dans chaque plan ho-

DE L\ LUMIÈRE. QOl

riztmtal les points correspondants aux plus grandes et aux moindres intensités du son se trouveront situés, à très peu près, sur di?erses paraboles, dont les paramètres formeront une progression arithmétique qui aura pour raison Tépalsseur d*une onde sonore. À la vérité, ces conséquences de T analyse doivent paraître au premier abord d'autant plus extraordinaires, qu'une différence bien marquée semble exister entre les phénomènes que prodoit d'une part la transmission de la lumière à travers les fentes d'un volet, d'autre part la transmission du son à travers une ouverture pratiquée dans une cloison ou dans une muraille. En effets sans qu'il soit nécessaire de recourir à des expériences délicates, l'observatear le moins exercé reconnaîtra sans peine que derrière une cloison, et tout près de cette cloison même , les sons peuvent être perçus par l'oreille à. des distances considérables de l'ouverture par laqudle ils sont transmis, tandis c[u*un rayon de lumière , passant à travers une fente, devient insensible pour TœiL à une petite distance de Taxe de ce rayon. Toutefois l'accord qui a subsisté jusqu'ici entre les résultats de l'observation et les conclusions tirées des formules de M. Cauchy nous donne la ferme confiance que cette fois encore l'expérience viendra confirmer les prévisions de la théorie. Déjà même l'analyse explique la différence capitale que nous signalions tout-à-l'heure entre les phénomènes produits par la transmission de la lumière et des sons à travers une petite ouverture. Cette différence cessera de nous étonner, si nous comparons les épaisseurs des ondes sonores aux épaisseurs des ondes lumineuses ; car, tandis que l'épaisseur d'une onde lumineuse varie entre des limites très resserrées, sensiblement représentées, pour les rayons que l'œil aperçoit, par le tiers et par les deux tiers de la millième partie d'un millimètre , l'épaisseur d'une onde sonore , pour les sons perçus par roreilie , ne s'abaisse jamais au-dessous de 2 centimètres, et peut s'élever à plusieurs mètres. Par suite , chacune des paral>oles qui correspondront aux (plus grandes et aux moindres intensités de la lumière dans un rayon diffracté, offrira un très petit paramètre , et s* écartera très peu de l'axe de ce rayon. Mais on ne pourra plus en dire autant des paraboles , qui dans les ondes sonores et diffractées correspondront aux plus grandes et aux moindres intensités du son. Ces dernières paraboles, qui se-

ront encore tangentes à la surface de la cloison » à travers laquelle le mouvement est transmis par une fente, ofifriront au eontrairedes paramètres sensibles , qui pourront s'élever à plusieurs mètres , et en conséquence le son pourra s*entendre derrière la cloison, et assez près de cette cloison même, à de grandes distanœ de la fente. Il est toutefois une observation essentielle que nous devons fSeiire : c'est que , si divers sons, les uns plus graves , les antres plus aigus , mais d'égale intensité, sont transmis successivement ou simultanément à travers une même ouverture pratiquée dans une cloison, les sons aigus seront ceux qui s'éteindront le plus rapidem«it, à mesure que i*on s'éloignera de l'ouverture dans un plan parallèle à la surface de la cloison, il pourra même y avoir à cet égard entre les divers sons une différence très marquée ; car si Tod prend pour mesure de l'intensité du son le carré de l'amplitude des vibrations moléculaires , cette intensité , mesurée dans les ondes diffractées et dans un [plan parallèle à la cloison à de très grandes distances de l'ouverture, sera sensiblement proporttoinelle à l'épaisseur de ces mêmes ondes.

166. Si la même analyse s'applique à la théorie des ondes sonores et à la théorie des ondes lumineuses , cela tient à ce que les unes et les autres peuvent être considérées comm^ produites par des mouvements de vibration infiniment petits , qui se propagent à travers des systèmes de molécules solifeitées par des forces d'attractiim ou de répulsion mutuelle. Ces systèmes de m(4écules sont, dans la théorie du son , les corps solides , ou liquides , ou gazeux ; dans la tjnéorie de la lumière , le fluide lumineux y souvent désigné sous le nmn d'éther. Dans l'uoe ou l'autre théorie, un mouvement infiniment petit quelconque peut toujours être censé résulter de la superpositicm d'un nombre fini ou infini de mouvements simples, c'est-à*dire de mouvements périodiques et propagés par des ondes planes; dans l'une et Tautre théorie , la superposition de deux mouvem^ts simples peut ou i-endre 1^ phénomènes plus sensibles, ou les faire disparaitre, soit en partie , soit même en totalité , suivant que les impressions reçues par rœll ou par Toreille, en vertu des deux mouvements dont il s*agit, s'ajoutent ou se neutralisent réciproquement. Dans i*une et rauti*e théorie , un mouvement simple , en partie intereepté par une surface plane et transmis > d'un milieu dans un autre à travers

DE LA LUMIERE. ao3

une portion de cette snrOace , donne naissance à des phénomènes dignes de l'attention des physiciens. Nous avons déjà remarqué que si un rayon lumineux , transmis d'un milieu dans un autre à travers une ouverture pratiquée dans un écran , se transforme en un filet de lumière; si , d'autre part, les ondes sonores semblent s'épanouir derrière une cloison dans laquelle se trouve une fente qui leur livre passage y il suffit , pour expliquer ce contraste, de songer que l'épaisseur moyenne des ondes lumineuses se réduit à environ un demimillième de millimètre , tandis que l'épaisseur des ondes sonores peut s'élever à plusieurs mètres. Mais ce n'est pas seulement par la longuear d'ondulation que les ondes sonores se distinguent des ondes lumineuses. Le caractère le plus saillant qui les distingue les unes des autres parait à M. Caucby être la nature même du phénomène qui devient sensible aux yeux ou à l'oreille de l'observateur. Ce phénomène parait être, dans la théorie de la lumière, les vibrations transversales du fluide éliiéré , c'est-à-dire les vibrations exécutées par les molécules d'éther perpendiculairement aux directions des rayons lumineux , et dans la théorie du son , la condensation ou la dilatation produite en chaque point par les vibrations de l'air ou du ihiide élastique dans lequel l'observateur est placé. Cela posé , si deux mouvements simples , par exemple un mouvement incident et un mouvement réfléchi, se propagent en sens contraire dans le même milieu , chacun de ces deux mouvements , dans la théorie de la lumière, pourra être séparément perçu par l'œil , et l'observateur apercevra seulement ou le rayon incident ou le rayon réfléchi , suivant qu'il se tournera dans un sens ou dans un autre. Au contraire , dans la théorie du son , l'oreille sera sensible à la ccmdensation ou à la pilatation résultante de la superposition des deux mouvements dont il s'agit ; et corn me ces deux mouvements pourront se neutraliser constamment en certains points de l'espace , il s'ensuit que , dans la théorie du son^ les ondes sonores pourront, comme le prouve l'expérience , offrir ce qu'on nomme des nceuds fixes , bien différents des nœuds que pi-ésente un rayon simple de lumière, et qui sont toujours des nœuds mobiles. C'est aux nœuds fixes dont nous venons de parler que paraissent se rapporter les expériences exécutées par M. Savart dans le grand amphithéâtre du Collège de

ao4 THKORIE MATHEMATIQUE

FraDce. EnfaisantrésoDnerdans cet amphithéâtre un énorme timbre muni d'un tube renforçant, on déterminait par robser^^ation des séries de nœuds ou de points tels que si on y plaçait l'oreille on n'entendait aucun son , que le sable Jeté sur une membrane restait tout-à-fiBdt en repos. En observant les phénomènes produits par la réflexion du son, M. N. Savart a retrouvé des nœuds de la même espèce, qu'il a considérés avec raison comme résultant de Tinterférence des ondes incidentes et des ondes réfléchies. Tl y a plus : la superposi< tion de plusieurs systèmes d'ondes sonores , en affaiblissant ou réduisant même à zéro Tintensité du son dans certains point de l'espace, l'augmente nécessairement en d'autres points, d'autant plus que le nombre des systèmes d'ondes superposés est plus considérable ; et c'est ainsi que le son se trouve renforcé par la présence d'un ou de plusieurs obstacles , dont les surfaces intérieures peuvent le réfléchir. Enfin, il est important d'observer que, dans la théorie du son telle que nous venons de l'admettre, le calcul s*accorde assez bien avec l'expérience, relativement aux places que doivent occuper les nœuds flxes produits par l'interférence des ondes incidentes et réflécliies. Ces nœuds, comme l'a reconnu M. N. Savait, se trouvent situés à'égales distances les uns des autres: nous dirons ailleurs pourquoi la distance du premier nœud à la surface réfléchissante n'était quelamoitiéde ce qu'elle auraitdûétre.

Couleurs des plaques minces. — 148. Boyle parait être le premier qui ait observé avec une intention scientifique les couleurs des lames minces; il réunit, comme cas particuliers d'un même ordre de phénomènes, les couleurs offertes par les bulles de savon, les huiles essentielles, le verre et l'acier recuits à divers degrés, etc. Après lui , Hooke reconnut la disposition de ces couleurs en anneaux concentriques , offrant une succession identique avec celle des couleurs de l'arc-en-ciel , le déplacement des anneaux sous l'influence d'une pression plus grande, etc., etc.

Ces couleurs apparaissent partout où un corps transparent est réduit à des lames d'une épaisseur très petite : on peut en soufflant le verre réduire assez son épaisseur pour que ce phénomène se produise ; mais il est bien plus facile à réaliser avec des lames de mica et autres substances minérales diaphanes douées d'une structure

DE LA LUMiKRfi. *io6

lamellaire. 11 est surtout rendu manifeste à nos yeux par l'écume des liquides , parce que Tenveloppe fluide des bulles dont se compose cette écume est extrêmement mince.

Ces couleurs varient avec Tépaisseur de la lame solide ou de la couche liquide^ et disparaissent quand cette épaisseur dépasse certaines limites : si elle est trop grande ^ toutes les couleurs sont également réfléchies , la lumière réfléchie est dès lors blanche ; si, ati contraire, l'épaisseur est trop petite, aucun rayon réfléchi ne parvient à l'œil , la surface apparaît complètement noire. Ce fait peut être mis en évidence k l'aide de simples bulles de savon mises à l'abri des agitations de l'air. Si l'on plonge rapidement Torifice d'un verre à boire dans de l'eau rendue quelque peu visqueuse par une solution de savon , la couche aqueuse qui le recouvre donnera naissance à la succession de phénomènes que nous venons de rappeler. Si on la regarde en la maintenant dans un plan vertical , on la verra d'abord uniformément blanche sur toute sa surface ; mais lorsqu'elle devient plus mince par la précipitation des molécules d'eau , on voit apparaître des couleurs qui se disposent en bandes horizontales, et deviennent de plus en plus brillantes , à mesure que répabseur de la couche diminue, jusqu'à ce qu'enfin cette épaisseur soit assez petite , car alors la partie supérieure de la couche devient complètement noire : la cohésion des molécules n'est plus assez grande pour résister aux autres forces qui tendent à les séparer ; la couche se rompt et disparait.

On observe le même phénomène quand on dépose une goutte d^buile sur la surface d'une eau tranquille. Cette huile s'étend rapidement , et forme bientôt une couche assez mince pour donner naissance aux plus belles couleurs.

Il n'est personne qui n'ait remarqué que l'acier ou d'autres métaux polis présentent, lorsqu'on les expose à l'air, une certaine succession de teintes dues aux petites couches d'oxide qui se forment à leur surface d'autant plus rapidement que la température du métal est plus élevée. Ces couleurs sont liées d'une manière si^invariable avec l'épaisseur des couches d'oxide, cette épaisseur dépend elle-même si uniquement de la température , que les ooTriers exercés concluent habituellement le degré de chaleur

306 TUÉOHIE MATHÉMATIQUE

de la nuance de la couleur. On dit ainsi, par exemple^ que Tacier a subi la chaleur violette, la chaleur bleue...

Une couche ou lame d'air et même une lame de vide, si l*on peut s^exprimer ainsi , sufiis^t à produire ce phénomène dans tout son éclat. Si l'on presse l'une contre Tautre à Taide des doigts deux plaques de verre ^ on voit autour du point de contact une série de bandes ou anneaux teints de couleurs brillantes , et qui se dilatent à mesure que Ton réduit par une plus grande pression Tespace compris entre les plaques.

158* Pour ol)server ces phénomènes avec ordre et de telle sorte que nous en puissions découvrir les lois, nous adopterons le mode d'expérimentation proposé par Newton. Ce grand homme, en concentrant tur ces phénomènes et son incomparable sagacité expérimentale et son génie inventifs fit faire à celte belle partie de Voptique un de ces pas de géant qui seraient le prix d*un siècU d^ études ordinaires (1). Newton posa simplement un verre biconvexe sphérique sur un verre plan. L'épaisseur de la lame d'air croissait proportionnellement au carré de la distance du point que l'on considère au point de contact, et se trouvait par conséquent la même à une même distance de ce point. Dès loi*s, puisque la couleur réfléchie dépend uniquement de cette épaisseur, les bandes de couleurs homogènes devaient se disposer en anneaux circulaires ayant ce même point pour centre.

On retrouve la même succession de couleur, quel que soit le fluide transparent compris entre les deux plaques; mais toutefois les couleurs sont d'autant plus vives que le pouvoir réfringent de la plaq[ue de verre diffère davantage du pouvoir réfringent de la couche fluide.

Si l'on regarde attentivement et toujours sous le même angle cette série d'anneaux, on voit que la partie centrale est, non un anneau, mais un cercle entier, de couleur uniforme, qui se dilate de plus en plus, et se trouve bientôt remplacé par un nouveau cercle de couleur différente, quand on diminue l'épaisseurj de la coHche fluide en pressant davantage les deux plaques l'une contre l'autn!.

(1) Félii Billet, thèse de physique sur les anneaui colorés* Paris, laaa.

Ce second cercle se dilate à son tour et cède sa place à un troisième , si le contact devient encore plus intime ; jusqu*à ce qu'enfin une tache noire vienne occuper invariablement le centre du système d'anneaux. La lame d'air est alors si mince qu'elle ne réfléchit plus aucune couleur : le phénomène est complet, et l'on découvre autour de la tache noire s^t anneaux distincts présentant chacun on certain ordre de couleurs. Cette ^observation a amené Newton à distinguer des couleurs de divers ordres. Ainsi le rouge du troisième ordre est celui que Ton trouve dans le troisième anneau à partir du centre noir. La série entière de toutes les couleurs forme ee qu*on appelle Téchelle des couleur de Newton.

150. Les lois fondamentales des phénomènes que nous venons de décrire sont renfermée» dans les propositions suivantes :

L Avec la lumière homogène les anneaux sont alternativement colorés et noirs. Les épaisseurs correspondantes des anneaux de divers ordres brillants ou obscurs sont représentées» pour les anneaux brillants par les nombres impairs, pour les anneaux noirs par les nombres pairs de la série naturelle des nombres.

IL L*épaî8seur correspondante à un anneau d'ordre donné varie avec la couleur de la lumière. Elle est la plus grande possible avec la lumière rouge, la plus petite avec la lumière violette,; elle a une valeur moyenne avec les rayons de moyenne réfrangibilité. Dans la lumière blanche par conséquent , ou plus généralement dans la iumybtt composée, chaque anneau est formé d'un certain nombre d'ameaux de couleurs différentes , se succédant l'une à l'autre dans Tordre de leur réfrangibilité.

UI. L'épaisseur correspondante à un anneau d'ordre donné varie avec l'dbllquité , et est sensiblement proportionnelle à la sécante de Fangle d'incidence.

lY. L'épaisseur correspondante à un anneau d'ordre donné varie avee la substance de la plaque réflécliLssante , eu raison Inverse de Tiodice de réfraction de cette plaque.

160. Pour établir la première de ces lois , il faut employer de la lumière homogène. On peut l'emprunter au spectre produit par un prisme , ou mieux encore, suivant la méthode de M. Talbot , à une lampe brûlant de l'alcool salé; La lumière d'une semblable lampe a une couleur jaune parfaitement homogène, et qu'on n'a pu dé-

ao8 THEORIE ma^thématique

composer par aucun moyen. Si on s*en sert pour éclairer les pla^ ques pressées l*une contre Tautre, les anneaux colorés obtenus sont tour à tour noirs et jaunes , et leur nombre est si grand qu*on essaierait en vain de les compter.

Il est très facile de démontrer la loi relative aux épaisseurs correspondantes des anneaux successifs. Soit o le point de contact

^ ét^ a euh ly

i> ù a^ € a/ à ty

des deux surfaces plane et sphérique , et aal^ bV, ce' y les diamètres des anneaux successifs qui ont ce point pour centre. 11 est évident que les épaisseurs aa , 66, cy ,... de la couche d*air aux points où les anneaux sont formés, sont proportionnelles aux carrés des distances oa, o6 , oe ,... ou aux carrés des diamètres des anneaux , de sorte que pour déterminer la loi des épaisseurs, il suffit de mesurer ces diamètres. Newton le fit avec beaucoup de soin, et trouva que les carrés des diamètres et par suite les épaisseurs formaient une progression arithmétique. Ce prêtait pas assez : il voulut obtenir la valeur absolue de chacune de ces épaisseurs. Il lui suffisait pour cela , en s' appuyant sur la loi d'abord reconnue par lui , de mesurer directement l'épaisseur de la couche correspondante à un anneau d*ordre quelconque. Il choisit pour cet effet Tanneau obscur du cinquième ordre. Son épaisseur dépend de deux éléments, du rayon de Tanneau et du diamètre de la lentille sphérique : elle est ^ale au quotient que Ton obtient quand on divise le carré du rayon par le diamètre. Newton n*avalt donc que deux mesures à prendre : il les prit, et déduisit de son calcul, après avoir fait toutes les corrections nécessaires, que cette épaisseur était égale à 1/17800* de pouce anglais. L'épaisseur du premier anneau brillant, dix fois plus petite que celle de Tanneau sombre du cinquième ordre, était donc égale à 1/178000* de pouce anglais, de sorte que les épaisseurs correspondantes aux rayons de divers ordres sont pour les anneaux brillants :

D£ LA LUMIERE. Oog

poor les anneaux noirs intermédiaires :

Ces nombres scNdt relatifs aux rayons les plus lumineux du speetre, c*est-à-dire à ceux qui correspondent aux limites de To* rangé et du jaune.

Pour mettre en évidence la variation que subissent , quand la eouleur change , les diamètres des anneaux , et par suite les épais^ sears des couches d'air correspondantes , il sufQt d*éclairer les verres avec diverses parties du spectre solaire, ou plus simplement de regarder les anneaux produits à travers des verres colorés. On verra de cette manière que les anneaux sont d'autant plus grands que Tindice de réfrangibilité de la lumière employée est plus petit

Quand cette loi est une fois démontrée, on s'explique facilement la succession de couleurs observée dans chaque anneau, lorsque la lumière employée est blanche ou composée ; car les anneaux dans ee cas résultent d'une superposition de bandes circulaires diversement colorées ; et comme les anneaux composants sont tous de grandeurs différentes , l'anneau résultant est lui-même formé de di* verses couleurs, dont les plus réfraugibles occupent les bords intérieurs > et les moins réfraugibles les bords extérieurs. Il est aussi facile de comprendre dans cette théorie que les couleurs des anneaux successifs doivent s'altérer et disparaître, parce que les bandes colorées de différents ordres finissent bientôt par se superposer et se confondre.

Il suffit d'abaisser l'œil pour s'assurer que la grandeur des an-* neaux varie avec l'obliquité de la lumière incidente ;; on voit les anneaux se dilater rapidement à mesure que l'obliquité du faîs-^ cean réfléchi augmente. L'épaisseur de la couche d'air à laquelle ces anneaux se manifestent est d'ailleurs sensiblement proportionneUe à la sécante de l'angle d'incidence ou de réflexion.

La quatrième et dernière loi, qui exprime la liaison ou dépensdaace qui existe entre l'épaisseur correspondante à chaque anneau et le pouvoir réfringent de la couche ^ se vérifie aisément par la simple introduction d'une goutte d'eau entre les verres : on voit, en effet y de cette manière , les anneaux se contracter. Si Ton compare

QJO THEORIE MATHEMATIQUE

leurs diamètres dans Teau et dims Tair, on en conclut immédiattment que les épaisseurs correspondantes des deux couches soDt entre elles comme ^ est à 3 , c'est-â-diro çn raison inverse des indices de réfraction.

Iftl. Nws A'avoi» parlé i\isqu*}çi qm clés anneam^ réflécUs;i| enisX^ c^{ien49tAt ^^ a^tre systèç^e Mucoyp pluç. p4le a*anQwix formés par transmission , et qui suivent les mêmes lois q«e les anne£(UK Q))ser\és p%r réflexiqp , «v^ç cette exc^tiow remarquable que I4 couler de TapnçAU tr^MAsmis, qui eojrreapond aune épatesenr jonpée q^e)co^q^9, çsf toujours^ coinptéiQçi^taire <|e (a couleur dr Tann^u r^Qéc)i( qvii ^épo^d à laméipe épaisseur; de sîorte que ^AD^ \% \xm^^ hQmpgèi^ ^a^n^u brilli^nt traiismis est toujpw À \% fîlém^ çiistfmce cm c^tFf q^^ lanneâ^u obscur oprçesjp^ndaat dn pjat^iAç réfléchi.

169. Arrivons ixuiii^tenmi^t à V^p4i<^tion pbysiqqe des pbénopènesi. Nous avons déj^ d\\ que Ne^^kr^ox^ t^ye^^, pour (es e^Uqu^f, sa tl^éprie trog célèbre des accès 4e facile e^ di£(icile Inaiml^on. (.ç fs^qn (umineux est ^9 un i^pçès de facile tr^iyyn^^i^ q\ii^d il tiTA verse \s^ jpr^n^ière surface ; c^t ^ccès 4e facile transoûps^n çst ]^^placé fi^j; un s^cc^ de fs^çilç réfle^igy^, et fu\si suepessiyeipent. (.eSk espaces parcourus par )ç rayo^ pendsint |a durée des Hccè^ sq^t d'aUleufs toujours égaux et consti^çi^t cç qu'on g^t fy^j^l^ Ia toi^eur des f^cès. ^i\ arrivât k la secon4e s^rfooe» \fi r§jfop. ç^a 49QC 4aAS W s^^ de facile tra^smissioq pu de facile r^pfl^io^ suivant que r^ntervalle q\i( sépare les surfjf^ççs oh T^pais^ seur de la lame fluide sera un multiple pair o.i;i iQ(\pçLlr 4e bi H^vy«iT de% acçè§. Ainsi se trpuverait, dU-on^ es^pliquéç d'i^ie ipanière satisffi^V^ntp cette succes^io^ 4'ai;^iefi\v( alternativement bryiauts et obscvrs , et ^ p^ogre^ipn arithQ(\éUq[ue des éjpaisseurs çor^popr- 4a^t¥4à ces annet^ux.

jpoui^ i^çndre compte de la seconde lo^, il fallait supposer quç ^ longueur des accèç varie avçç la co^ieur de la lumière , qu'elle l^ttçipt son maximum dans la lumièrç rouge, son minimum dans la ]|\uaière violette, qu'elle a une valeur moyenne pour les rayons de inoyçnne réfrangibilité. Newton détermina la longueur absolue de ces accès pour les rayons de chaque couleur simple y et trouva que es ^owb^es qui les rej^résentent ont une relaition remai^quabJe ^voc

DE LA LUMIKRE. 31 1

les noinbres qui expriment les longueurs des cordes vibrantes qui OQt tour à tour pour son fondamental les sept notes de la gamme. Us résultats auxquels il est parvenu sont encore considérés aujourd'hui conune une des données les plus importantes de Toptique.

Restaient encore deux lois dont il fallait rendre compte , et Newton, malheureusement , ne put le faire qu'en attribuant aux aceès des propriétés tout -à-fait incompatibles avec les diverses hypothèses physiques par lesquelles on a essayé de s'en faire une idée. Aiasi, pour expliquer la dilatation que subisseut les anneaux quand l'obliquité du rayon augmente , Newton admit que h !ongoeur des accès^augmentaU avec Tangle d*iucidence, proportionnellement à la sécante ie cet angle. Cette supposition est en contradic- Uon absolue avec toute théorie physique. Et , en effet , si les accès ont pour cause les vibrations d'un certain fluide éthéré, vibrations qui $e propageraient avec une vitesse plus grande que celle des iDolécuje9 lumineuses, et qui, dans leur mouvement progressif , 9ermept tantôt eu accord, tant6t en opposition, les longueurs des accès seraient invariableipent les mêmes dans un même milieu , quelle que liât l'incidence.

Ilétaitnon moins impossible, dans les idées de Newton, de concilier la quatrième loi avec la théorie. Les épaisseurs de couche de divers milieux correspondantes à une même teinte, étant en raison inverse 4e$ indices de réfraction, il fallait supposer que la longueur des accès variait dans la même proportion ; et puisque dans la théorie de Newton les indices de réfraction sont directement proportionnels aux vitesses de proportion, 11 en résultait que lorsque les vitesses augmentaient dans une certaine progression , les espaces parcourus par le rayon dans l'intervalle qui sépare un accès de facile transmission d'un accès de facile réflexioq , devaient nécessairement diminuer dans la même proportion.

Il semble que Newton ait regardé cette supposition comme Texpression vraie d'un fait existant, et l'on a longtemps attribué à la lumière la propriété que nous venons d'énoncer.

163. On ne peut nier que lorsque l'épaisseur de la couche croît, la lumière apparaît alternativement réfléchie et transmise, et qu*i] n'est pas un instant dans lequel on puisse dire lequel de ces deux états est son état actuel. Mais si nous approfondissons la théorie de

aia THEORIE MATHEMATIQUE

Newton , nous verrons qu*il admettait que ces apparences alternft* tives de la lumière dans les rayons réfléchis et transmis étaient Teffet de la réflexion et de la transmission produite sur une seule et même surface, la seconde surface de la couche fluide. Or, aucune de ces suppositions n'est vraie. Nous allons prouver non seulement qu*il n'y a à cette surface aucune alternative de transmission et de réflexion, et que la lumière y est toujours réfléchie, mais de plus que la lumière est aussi réfléchie à la première surface, et que cette réflexion joue un rôle important dans le phénomène produit.

En effet, au lieu de lumière ordinaire employons de la lumière <j^olarisée perpendiculairement au plan d'incidence ; Tintensité de la ';• ornière dans les anneaux transmis ou réfléchis varie dans ce cas fvec l'incidence, et ces anneaux s'évanouissent en même temps lorsque la lumière tombe sous un certain angle, qui est l'angle de polarisation de verre. Le même phénomène se reproduit lorsque les anneaux sont formés par une couche renfermée entre une lentille de verre et un réflecteur métallique. Les anneaux disparaissent comme auparavant quand l'angle d'incidence est égal à l'angle de polarisation ; on remarque toutefois dans ce cas une particularité remarquable , c'est que quand les anneaux reparaissent sous un angle plus grand que l'angle de polarisation, leurs intensités et leurs couleurs sont complémentaires de ce qu'elles étaient auparavant , de sorte que s'ils commençaient dans ce premier cas par un centre noir, ils ont pour point de départ dans le second un centre blanc.

Pour bien comprendre cette conclusion , il faut se rappeler que le rayon de lumière qui rencontre sous l'angle de polarisation une surface transparente quelconque est entièrement transmis et nullement réfléchi. Il n'en est pas ainsi des surfaces métalliques; et par conséquent, quoique, dans les conditions où nous nous sommes placés , la lumière ne soit pas réfléchie par la surface supérieure de la couche , comme elle l'est abondamment par la surface inférieure ou par la surface métallique, on ne voit pas pourquoi, dans la théorie de Newton , les anneaux ne continueraient pas à se former. Leur disparition dans de semblables circonstances prouve donc que la lumière réfléchie par la surface supérieure est essentielle à la production des phénomènes.*

En discutant d'autres particularités de cette expérience , nous

DE LA LUMIERE. ai3

venrons que la lamière réfléchie par la surface inférieure concourt eUe-même essentiellement à la formation des anneaux , et nous arri* veroDS ainsi à cette conclusion fondamentale, que le phénomène des anneaux résulte de l'union et de Tinfluence mutuelle des deux rayons réfléchis par les deux surfaces.

164. La lumière qui tombe sur la première surface de la couche est en partie réfléchie , en partie transmise. Cette dernière portion se subdivise encore à la rencontre de la seconde surface ; une fraction de la lumière réfléchie par cette seconde surface traverse la première 9 parvient à rœil en même temps que la portion primiti- Tement réfléchie, interfère avec elle, et la renforce ou Taffaiblit vant qu'elle atteint l'œil dans une même phase ou dans une phase opposée.

La première idée dç ce mode d'explication des phénomènes produits par les plaques minces appartient à Hooke ; elle est clairement indiquée dans un curieux passage de sa Micrographie , ouvrage publié longtemps avant que Newton s'occupât de cette grande question. Hooke expose avec clarté de quelle manière les anneaux de divers ordres dépendent du retaixl subi par la seconde pulsation ou onde relativement à la première , et par conséquent de Tépaissesr de la plaque. Mais il ne semble pas s'être fait une idée Juste et distincte du principe des interférences. La manière dont il conçoit que les diverses couleurs résultent de cette double pulsation ou onde est entièrement erronée.

Euler essaya le premier directement de lier les phénomènes des plaques minces à la théorie des ondulations de la lumière ; mais cette tentative, comme presque toutes les études physiques de ce grand mathématicien , ne fut couronnée d'aucun succès.

165. Ce beau et difficile problème demeura insoluble jusqu'au moment où Young découvrit le principe des interférences : sa solution fut, au contraire, complète, lorsque ce principe si fécond ^t se joindre à l'ingénieuse insinuation de Hooke. Soit m o n la marche d'un rayon réfléchi par la première surface, mopo'n' celle d'un rayon réfléchi par la seconde surface et transmis de nouveau par la première. Abaissons des points o , o' deux perpendiculaires sur les deux rayons réfléchis on,(/p}cf r' sera aussi perpendiculaire k€fn' et parallèle, par conséquent, au front des deux

Ql4 THJÉORIE MATHÉMATIQUE

oodes réfléchies. O)ncevons maintenant qu*une onde infléchie à h première surface dans la position cl r^ rencontre à cette même place

«ne onde précédemment réfléchie par la seconde svr&ee ^ et cilealons Tinlervalle primitif qui les sépare. Pendant le temps qu'elles ont mis à atteindre la première surface, elles ont parconru» Tune Teq^ee 0 r*, l'autre Tespace ^ + po^. Mais si, comme nous le supposons, o r est perpendiculaire à o' p > il est évident, en vertu des lois de la réfraction , que les espaces o r^, o* r, sont parcourus dans le même temps dans ces deux milieux , et que par conséquent Tintervalle d'interférence est le temps employé à parcourir l'espace ep'*\-pr. Onad'ailleurspr=zoj»Gos o|»r = iy9 cos^ c^ f » etparsuite :

op+prz=op (l + cos2op(} = 2oj9cos*op9, et patte que op cos opqrz^pq »

op +pf £±s ^pq cos ûpq.

Donc , si nous désignons par è la différence des chemins pareoums, par e l'épaisseur p 9 de la plaque, par 8 l'angle op 9, on aura définitivement i

^e±:20Cose.

Gela posé, les deux ondes , dont nous avons étudié là marche, seront en complet accord ou en complet désaccord , si la différence i est un multiple exact de la demi-longueur d'onde X, cî'est-à-d!rè si

l'on a d=: n ^- : en substituant cette valeur dans l'équation précé-

dente, on a:

DE LA LBMIÈRB. âl5

Cette (ifemlèrè «orfftttlè déteMfkfttë TépAl^iif ë dlB là ^lû^tHé, et nofis apprend , f qu^ Iles encaisseurs suCcie^sIVéil d« Hi plactuts ^ poui* hesqveltes la lilmière ré&iem est un maximum dU dn ttibfmdttt^ «Ht représentéies par la séHe taâtùr^lle d^s tiôtttbreé; 2' (}ue pbUi' dittet^ès ëspècies dé lumière bës ëpaisseuts sUnt prbportiohnëlléà fl Il loUgîieut ddnde; 3^ que pbur difféirfeiit^s bbllqUités éflé^ tariêht piDportiottnfclliËrtl^ut à là sétiaute dé Tariglë d ibddéiicfe ^ar lé ittïliim éxtél'iéttir ; 4* éUfln qUè puui* des pia(|Ues de dîffêrébtéB sub- Ittheesv ^^^^ ^bUt proportiotiueiles à X, et par conséquent eti raisbtt diracte de la vfmsé dé pt'opagation , ou éb raisUb inverse dé Tibdieede réfraction de la substance dbnt ht couebë est fbimëe.

106. Il est dabS éétté explication Ub pMht qd41 Importe dé con** sMérer pairticttllènetnént. Les dèUx budé^ étant éb éobiplét accdrd lorsque la différence I est ub biultiplé pai^ de la dertii-IbngUéur d'oode , en complet désaccord lorsque 9 est un multiple impair de efettebiémb demi-longueur d'onde, il semblerait que lesandeaux brillaikts doivent se fnrtaier là uà TépUissear est Un multiple pair de la quantité | X seé 9, et les abneaux obscùha là où s est ub multiple impair de | X sec 6. S'il en était ainsi ^ le point dé contact serait pour les obdes un point de conoDrdance, et les anneaux devraient partir d'un centre brillant, au lieu de commencer par un eentre noir;

Cette oEtotradiction apparente trouve son explication naturelle dans ce iirit (|ue les deux réflexions ont lied sous des cJrc(Histaneég réellebcDt différentes^ que i'ub deà rayons est réfléchi à la surfbce d'an milieu plus dense, l'autre & la surfiice d'un ibiiieu plus tare.

Un exemple bien simplu fehl fessortir l'effet ^ue doit produire cette difiéfebee. Si une pirmièi^ bille éiastil^ue Vient en frapper une secondé aU repos ^ elle lui communique dans tous les cas ube Céirtaine (laantitë de mouvement ; mais ton état après le éhoc dépend du rapport dés masses de!» deux billes. Si elles sont égales^ la premièt« bille restera en repos après le Choc; ^i elles sont in%ilés. là première bille conservera uneceKainé vitesse dans la direction ptimitive ou dans une direction contraire, suivant qUe sa masse sera plus

aiC THIIORIE MATHBMATfQUe

grande ou plus petite que celle de la seconde bille. Ce ftdt nous aidera à comprendre ce qui se passe lorsqu'une onde atteint la surface de séparation des deux milieux. Les particules d'éther en contact avec cette surface communiquent le mouvement aux molécules adjacentes du second milieu en donnant naissance à une onde ré* fractée ; mais après cette communication , elles ne resteront en repos qu'autant que la densité et l'élasticité des deux milieux seront les mêmes. S'il n'en est pas ainsi , les particules du premier milieu ccmtinueront à se mouvoir en produisant une onde réfléchie. La réfraction est donc accompagnée de réflexion, et cette réflexion est d'autant plus intense que la différence entre les densités de l'éâier dans les deux milieux est plus grande. Il résulte de ce que nous venons de dire que la dii-ection de la vitesse propre des molécules du premier milieu après le mouvement communiqué aux molécules du second, sera différente suivant que Téther dans le premier milieu sera plus dense ou plus rare. Dans le premier cas, la vibration moléculaire s'exécutera dans le même sens qu'avant , elle s'exécutera en sens contraire dans la seconde hypothèse. Il y aura donc dans tous les cas une onde réfléchie ; mais dans un cas Tonde réfléchie résultera de vibrations exécutées dans le même sens que celles qui donnaient naissance à l'onde incidente ; elle résultera dans le second CBS de vibrations exécutées dans une direction opposée.

Le résultat de cette différence est évidemment le même que s l'un des systèmes d'onde avait gagné ou perdu une demi-ondulation ; en sorte que si les deux ondes réfléchies par les deux surfaces devaient s'accorder en raison de la différence qui existe entre les chemins parcourus, elles seront en plein désaccord par suite de cette nouvelle cause perturbatrice. Les anneaux obscurs se formeront donc là où l'épaisseur de la plaque est un multiple pair de la quantité ^ X sec 9 ; les anneaux brillants correspondront aux multiples impairs. La théorie est ainsi réconciliée avec les faits.

167. Nous avons parlé d'une autre série d'anneaux visibles par transmission. Ils proviennent de l'interférence des rayons transmis directement avec les rayons qui ne sont transmis qu'après une double réflexion intérieure : il résulte des considérations précédentes qu'ils doivent être complémentaires des anneaux vus par réflexion . et c'est ce qui a lieu en effet : il faut attribuer leur peu d'éclat à la

différeDce qui existe entre les intensités des rayons interférants.

168. La tliéorie des couleurs minces , telle qu'elle sortit des mains de Young , présentait un côté faible ; elle a été perfectionnée dqpois. Il est évident que les portions de lumière réfléchies par les soriaoes supérieure et inférieure ne peuvent pas être égales , parce que Ja lumière qui arrive à la seconde surface est toujours affaiblie par la réOexion partielle qu'elle a subie à la première. Les deux rayons, par conséquent, ne devraient Jamais se neutraliser pleinement par interffoence ; l'intensité de la lumière dans les anneaux obscurs ne devrait jamais s'évanouir entièrement ; c'est ce qui arrive c^endant quand on emploie de la lumière homogène. Poisson remarqua et combla le premier cette lacune de la théorie. Il est évident, en effet, qu'il y a dans l'intérieur de la couche une infinité de réflexions partielles, accompagnées chacune d'une transmission partielle, et que pour évaluer l'effet produit il faut tenir compte de toute cette série de réflexions , et non pas seulement de ses deux pponi^rs termes. Quand on considère le problème sous ce point de vue plus général , ou trouve que là où l'épaisseur de la couche fluide est un multiple exactde la demi-longueur d'onde , l'intensité des rayons réfléchis et transmis est tout-à-fait la même que si , la couche disparaissant tout-à-fait, les deux milieux qui la comprennent étaient amenés au contact; de sorte que si ces deux milieux sont doués du même pouvoir réMngent, la lumière réfléchie disparait tout-à-fait, tandis que la lumière transmise est égale a la lumière incidente.

1G9. Nous venons de toucher à un point capital, par rapport auquel les deux théories sont en complète opposition. Suivant toutes les deux , une certaine portion de lumière est réfléchie par la première surface de la couche. Dans la théorie de Newton , cette portion produit toujours son plein effet, et par conséquent il devrait y avoir dans les anneaux obscurs une quantité considérable de lumière. Dans la théorie des ondulations , au contraire, cette même portion est détruite à certains intervalles par l'interférence d'autres portions ; et dans la lumière homogène les anneaux obscurs doivent être absolument noirs.

La dernière de ces conclusions semble s'accorder avec les phénomènes , tandis que la première est évidemment en désaccord avec

âl8 THiOKlB MATHÉMATIQUE

les ftitiv ¥r€sae\ l'a clalk^ment démontré pàt une e&péffeiiee tegénieUse. il plUça on pHsme but une l^tille dont ott aritit noiret la surfaee inférieures et fit en Bbrtë qu'une portion de la bUse du pribme s*étendtt au-^leià dé la lentille. La lumière réflén^é par cette portion be devait pas, suivant la tiiéorie de Newtoii4 surpasser ea intensité celle des anneaux obscurs : dr^ tout procédé photométri que suffit à prouver que Tinténsité dé la lumière, dans les deux caâ) est grandement différente v et à dérooiitrer par conséquent q«e les anneaux obscurs ne sont pas produits, comme on le suppose dans rhypothèse des accès ^ par la suppression de la seconde f^flexîon*

170» Pour expliquer la teinte centrale, et notamment la tad» noire que l'on observe par réflexion au centre dés amieaux formés entre deux verres ^ qui comprennent entre eux une lame d*âir, comme aussi pour rendre raison des teintes eomplémeâtUns des anneaux réfléchis et transmis , nOus aVons admis qde la réflaxion à la seconde surface d'un milieu plus detfse que Taif , difftre de la ré^ flexion à la première stirfaeé par bette curieuse ^artieularité» que le ehemin parcouru par le rayon réfléchi à la première surface doit être considéré cottiraesurpaiteant le chemin parcoOru par Un rajoh réfléchi à la seconde suirface, quelle que soit rincidetace ^ d'un certain excès précisément égal à lé demi-léngoéuf d'onde. M. Bàbiaet est parvenu à mettre en évidence cette déduction de la théorie, expérimentalement et indépéhdanlment de toute hypothèse sur la cause des phénomènes dé coloration deS plaques teintes.

Il Eût tomber sur une plaque épaisse, à faces parallèles, des rayons provenant d'une ouverture étroite^ et séparés en deux feisceaux interférants par une plaque-^prisme. La seconde surface de la plaqué épaisse est étamée à moitié > en sorte que Ton peut opérer la réflexion sur ta seconde Surface, dans les trois cas suivants t 1"* les deux folsceaux interférents sont réfléchis tous les deux par la seconde surface, dans la partie non étamée; %" l'un des faisceaux se réfléchit sur la surface non étamée et l'autre Sui^ la sUrfàcé étamée; d"" tous les deux se réfléchissent sur la surface étamée. Le résultst de Texpérience est que^ datis le premier et le ttoisièmè cas où les réflexions sont de même nature, c'est-à-dire de plus réfringent sur moins réfringent , ou de moins réfringent sur plus réfringent , la bande centrale des franges d'interférence est blanche , et les

DE Là LÙMlÈïlE. a) 9

rayons interférettb d'accotid , tbinibe aynnt ptilrcbtlïli dtss fchewifis ^tix ; tai3dl5 qtie dans le second cas, où lissdeux réflextotas Mnt de natures contraires, la bande ceiittale est notre; de sorte q\ie kl perte d'un demf-intelrvalle d'interférehce oti d*ttiie demMongOëlilr d'onde, potir tkn dèS tayons, est évMebte.

171 . La théorie que nous venons de dé vetoppet* rendait nécesMtf^-, sons des eondîtions donbées, Téxistence des abneaux ft centré blanc, n snlBsaît pour lés obteniirde faire qUé s! la réflexion à la première surface a lieu d'un milieu moins réfringent sur tin milieu plus rë^ fHngent, la réfleiion à la secondé surface se fiisse aussi d'Un milieu moins réfi'ingent sur un milieu plus réfHbgent. Ybting lés fCalisa le prefenter eh interpo^nt de l'hUile de sassàfbas entre deux surfaces fortement pressées de flint-gtàss et de croWn-gluss^ Pour jeter tm nouveau Jour sur cette question délicate et tendre la theo^ rte tôut-à^fàit palpable , Il fallait montrer que lé ceutr^ dé ces an-neâUx redevient noilr dès que le liquidé Interposé a j^lU^ dé réfHu^ gence que le flint OU le croWn. M. Soleil a présenté tout l^emmetil à l'Académie un appareil dobt Tidéë est dUé â M. Âf^, «t ft l'aide duquel oU exécute facilement cette belle expérience. Uapparefl se compose d'un prisme dé fliut-glass, dont la base couvé^é appartient à Une sphère d'environ S" dé rayon \ cette base re« posé sur uue lame dé crown-glass parfeitément platié t le tout est reçu dans un cadré dé cuivré; et deuit vis de p^essiotl agissant par l'Intermédiaire d'un coussin éti éuivt>e sUr l'arèlé émousséé du prisme , amënéut au contaét lés déuit surfaces du verre.

Lorsque Ton mouille la surface du crOWtt aVec un liquidé qui comme l'eau a moins de réfringence que les deux verres, les anneaux produite ont UU éebtre noir s éar il y a perte d^une domioU^ dulation à la première surface du liquide.

Si au contraire on interposé un liquide plus réfringent que les aeux verres , tel que rbuile de cassia , le centre des anneaux produits est encore noir; mais ici la perte d'ondulatioU ise fait i la seconde surface du liquide.

supposons maintenant qu'on introduise entre les deux verres Ub liquide moms réfringent que le flint-glass du prisme , mais plus réfringent que le crown-glass de la plaqué inférieure , les anneaux produits auront Un centre blanc. Dabs ee cas, facile à réaliser avec

d90 THiiOEIE ISATHEHATIQUE

rhuile essentielle dç girofle , les rayons réfléchis à la première sorftiee de la couche liquide éprouveront un changement de phase , nuds les rayons réfléchis à la seconde surface éprouveront un changement tout-à-'fait semblable; en sorte que les uns et les autres venant à se rencontrer après la réflexion , n'auront pas cessé de s*accorder ; ils s'ajouteront au lieu de s*entre-détruire , et produiront un centre blanc au lieu d*un centre noir dans les anneaux.

Il est presque superflu de dire que, dans ces deux cas, cenx-ei seront teints de couleurs complémentaires.

M. Soleil , d'après les conseils de M. Babinet, a remplacé dans ce premier appareil la plaque plane, homc^ène, par une autre plaque formée de deux portions égales : Tune de flint-glass, comme le prisme , Tautre de crown-glass. En interposant de Thuile de girofle entre le prisme et la double plaque, on obtient des anneaux dont la portion correspondante à la lame de crown est à centre blanc , tandis que l'autre moitié , celle qui correspond à la plaque de flint, est à centre noir. On aperçoit aussi l'inégalité de diamètre et la différence de teintes des deux systèmes.

On aurait pu craindre que l'imperfection du travail des deux plaques ne leur fit simuler la production du double S3rstème , sans qu'il y eût aucun liquide interposé ; car, dans la formation ordinaire des anneaux colorés , on a fréquemment observé que l'apparition de la tache centrale noire est précédée de celle d'une tache blanche , résultant de ce que la lame d'air au centre a encore un excès d'épaisseur. Les expériences faites par M. Soleil ont dissipé complètement ces craintes.

En projetant les anneaux sur un écran , ce qui s'exécute avec la plus grande facilité , on voit que sous la même incidence la partie du champ qui contient les demi-anneaux à centre noir est beaucoup plus illuminée que celles qu'occupent les demi-anneaux à centre blanc.

M. Soleil fait observer que le flint de Guinand est un peu trop réfringent pour pouvoir être employé à la confection de ses appareils ; il a dû faire usage du flint ancien , ou à défaut de celui-là , du fliot de Choisy-le-Boi ; quant au crown , celui de Saint-Gobin lui a donné de très beaux résultats.

172. M. Soleil, artiste infatigable, qui s'est consacré tout en-

DE LA LUmiÈftl?. f^qt

tier à la construction des instruments d^optique , a vaiDement essayé d*obtenir des anneaux à centre parfaitement noir ou blanc, en prenant pour seconde surface réfléchissante un métal on une substance ayant l*éclat métallique. Cette impossibilité , qui n*est énoncée nulle part , est pour moi un fait depuis longtemps connu ; le centre des anneaux ainsi obtenus est essentiellement gris. M. Cauchy Fa démontré mathématiquement il y a plusieurs années. Je regrette Tivement que l'illustre géomètre n'ait pas encore publié le calcul si élégant de tous les phénomènes relatifs aux couleurs des plaques minces : c'est sans contredit une des plus heureuses applications de sa grande théorie.

M. Cauchy avait fait ressortir, à Taide de ces ^formules, toutes les particularités importantes que M. Arago a déduites des plus ingâiieoses expériences, et que nous allons décrire.

173. A l'époque où Newton termina son travail sur les anneaux colorés, ce sujet , dit M. Billet, paraissait épuisé , et il l'était, en effet, à ne considérer que l'état de la science d'alors. Mais une découverte moderne , celle de la polarisation , ayant créé une nouvelle optique plus vaste que l'ancienne, il fallait étudier les anneaux colorés dans leur rapport avec cette nouvelle propriété: M. Arago réalisa cette étude avec un immense bonheur.

Regardés à travers un spath, dont la section principale était parallèle ou perpendiculaire au plan de réflexion , les anneaux colo* rés fournissent deux images d'intensités égales, quand on les regardé sous rincidence perpendiculaire. L'inclinaison croissant , l'une d'elles ( l'extraordinaire, si la section principale est parallèle au plan de réflexion, l'ordinaire dans le cas contraire) faiblit incessamment, pour disparaître sous l'angle de polarisation du verre, et reparaître ensuite avec une intensité graduellement croissante, sous des inclinaisons plus aiguës. Cette expérience prouve que la polarisation due à la réflexion de la lumière sur la face inférieure de la lentille supérieure, par exemple, est complètement indépendante du voisinage si rapproché de la surface supérieure de la lentille inférieure, quoique Tangle de polarisation, à la surface de séparation de deux milieux, diffère essentiellement de l'angle correspondant à chacun de ces deux milieux, pris isolément.

Les résultats obtenus sur les anneaux colorés, produits entre' une

Da^ THIÂORIC MATHÉMATIQUE

lentille de verre et un miroir métallique, i^ant été les mêmes qqç es précédents, il se^nblmt «atiu'el de conclure que la réflexion à laquelle sont dus les anneaux réfléchis s'opérait à la surface inférieure de la lentille supérieure, à moins que la lame mince traversée par les royox^ n eût elle-même, ^ c<wse de son extrême ténuité, une actiQ{i spéciale sur ces rayons. La conclusion restait donc indécise, et ToA m pouvait la résoudre qu'en examinant les «nn^ux transmis. Si la polarisation av^it lieu par réflexiOA, le$^ rayons transmis devaient êtrç polarisés perpendiculairement au plan d*incidenee , lorsque les r^ons réfléchis ^nt polarisés dans ce plan. Or, il arrive que la polarisation est la même pour ces deux sojrles de rayon;sL Yus perpendiculairement , les anneaux transmis $e décomposent à travers un spath en deux séries également vives. L*une d'elles s'affaiblit par degrés, a m?sure que la ligne visuelle s'incliue vers la surface des lentilles , disparaît complètement sous rinçlinaisoa de 3.5'', se montre de nouvç^u sou^Pi des inclinaisons plus petites, ^ avec une intensité progres^veo\ent constante : ces modiiicatioi^ sont toi^ours de même geore que celles éprouvées p^ Içs aoneaux réfléchis. C'est un exemple unique d'une lumière tranche, décomposée en deux parties distinctes , qui suivent des routl^ différentes et sont cependant polarisées similairement. Msds cette action particulière de la lame mince d'air ne se produit que sur la portion des rayons tr^smis qui concourt à la formation des amxeaux.

Lorsqu'on place une lentille de verre sous une plaque de spatb d'Islandç, elle donne deux systèmes d'anneaux, provenant des deux faisceaux que produit le spath. Si, se plaçant sous Tincideoce de 35*" , on fait tourner l'ensemble des deux plaques, on voit, durant ce mouyeipent, chaque série disparaître deuj^ fois.

L'examen des anneaux transmis donne lieu à des faits analogues ; mais dans le cas de deux plaques de yerre, l'image qui renaît quaod l'inclinaison décroit à partir de 35% converge vers une polarisation partielle opposée à celle que la réflexion lui avait donnée sous cet angle de 35^

En plaçant le spath dans les positions où il y a deux images, ces deux images paraissent ( sauf l'intensité qui n'est égaJLe que dans deux situations) jouir, dans toutes les obliquités, d'une similitude parfaite à l'é^d desteiptes.

UB LA LUMlàBC. ttâ3

Unis eii siitwlitaant une plaque métallique au verre inférieur « eett^ identité de teinte des deux images des amieaux que donne le qpat^ 09 se «^Utient que jusqn à rtneidence de 35^ sur la suvIiMe. ^ WWOsanl )a seeâon pdnotpale du spath parallèle qu perpendiciUw^da plan deréflexicoQ, Timage qui disparait sous Tinoideiice dç dSc i^fArait au-delà avec des teintes précisément eoraplémentsires de celle qw n> pas disparu..

^insi â<miC) ^çm de% inclinaisons moindres quedô"", la plaque métallique esH WV? la Imui^e qui a totm^ les anneaux la eause d'une modification particulière qi^i la rend ^ la fois distincte et de la lumière ordinaire et de la lumière polarisée , puisqu'un spath la dédéeomi^itfse w deux images dissemblables.

De tQW ces laits , deux i^uts exigent une explication partieu* Jière; ce sont : V lepafçUléUsme des plans de polarisation des ani|eapj( r^éclus et transmis» et la tendance vers u^e polarisation op^ posée, wofi xm in/Qidenee qui excède celle de la pokurisation eomldë|e i 9* (^ eha«gemenl qu'éprouve un des deux systèmes d'anneaux à Vavfic» m prisme blréfriageot , au-dçlàde l'angle de polarisation complète , lorsque la plaque înléffieur« est métallique.

)6Sl Pour r^adre compte du premier fait, il faut c^msîdérer la lufl^ière inçid^te coiimw coQkpasée de dew faisceaux d'égale in-r tensykfé) pçlartijés, \w daua le plan de réflexion, l'autre dans up plan perpeivi^culaire, e( calculer les intensités des ridons réfléchis à la seconde surface d? Ifi IckOPLO usinée et de ceux qui sortent après deux réQezvons întéri^res, en tenant compte des quantités de lumière perdue à ton^es; les réflexions et les réfractions qu'ils ont éprony^ea. Ce^^ in(eiv»itési éteAt préç^^ém^t celles d^ anni^ux Iraua* mis, considérés CQmme déoomppsésen deux systèmesd'anneaux polarisés 4w^ te pMw d'np^si^ence et perp^n^nlairement è oe plan, celui de ces systèn^es qu^ aura l^pius grande intensité déterminei^a le sens d^ le poliffû^tiVm des nnneeui^ transnuA, et en faisant le calcul , nn trouve qne les rayopf polar^ dans te plan d'incidence ont nne plus eecyie intensité qne tes autres* Donc les anneaux transmis t cornue les anneaux réflécUs, seront polarisés dans le plan d'incidence.

Quant au fait ebservé , lorsque la plaque inlérieure est métal* Uipie» il se réduit ^vl^eminent 4 e^i :. an'4eMi de riacideMce cor-

a34 THÉORIE lÉATHiMATIQUE

respondaate à Tangle de polarisation , un des deax sjrstèmeg de rayons réfléchis qui interfèrent éprouve un retard d'une demi* longueur d'ondulation. Ce retard est une conséquence nécessaire des formula par lesquelles M. Cauchy représente rigoureusement les phénomènes des anneaux colorés dans le cas où la seconde surfaee est opaque et métallique. M. Airy cherchait à tort à Texpliquer en partant des formules relatives aux corps transparents. Les vitesses pour les rayons réfléchis à la première et à la seconde surfece de la lame mince sont, disait-il , de même signe que les quantités :

tang. (î + p), tang. (f+p')

p et p' étant- les angles de réfraction correspondant à Tangle d'in« ddence i dans la lame mince et dans le dernier milieu. Or, quand f 4- p dépasse 90®, c'est-à-dire quand î dépasse l'angle de polarisation 9 tang. ( t + f ) change de signe ; et comme il n'^ est pas de même de tang. ( t -|- p' ) , attendu que , le second milieu étant métalliqucy p' serait beaucoup plus petit que p, les vitesses sont de signe contraire. Par conséquent, la différence entre les chemins par* courus est égale à une demi-longueur d'ondulation.

Cette explication , doublement erronée dans son principe et dans l'hypothèse admise que les indices de réfraction des métaux sont plus petits que ceux des substances apparentes, prouvait an ommus que si on formait des anneaux avec une lame d'air renfermée entre deux lames minces transparentes, dont la première serait moins réfringente que la seconde pour les incidences comprises entre i + p = 90* et » + p' zi^W, on aurait des anneaux à centre blanc , si la lumière était polarisée dans un plan perpendiculaire an plan de réflexion; deux systèmes d'anneaux, si la lumière était naturelle, l'un à centre noir, l'autre à centre blanc superposé, et que l'on pourrait facilement séparer en les observant avec un prisme biréfringent. L'expérience a complètement confirmé ces conséquences de la théorie des ondulations , qui , cette fois encore , a un immense avantage sur la théorie vide et stérile de l'émission.

174. Après les recherches si heureuses et si patientes des fondateurs de l'optique ancienne et moderne, de Newton , de Fresnel et de M. Arago, il semblait qu'il ne restait plus rien à découvrir relativement aux anneaux des plaques minces, lorsque M. Brewster,

I>R LA LUMIÈRE. !iu5

éteodftBt les expëriences Daites eu 181 1 par M. Arago, arriva à des rtattats nouveaux, ou qui du moins n*étaient compris qu*impUdteme&t daus les énoncés de l'illustre secrétaire de l'Académie des sdenees. Son mémoire, publié dans les Transacti(m$ fkUoiophiftus, année 1841 , a pour titre : Sur lu appcrênees pu présentent dauê la lumière polarisée lee plaques minces de ptmturs substances solides et fluides. Je vais l'analyser rapidement, et montrer avec quelle facilité M. Lloyd donna dans le système des ondulations la théorie de ces faits nouveaux.

Les expériences de M. Brewster eurent pour point de départ Tirisoope, instrument récemment inventé, dit-il, par M. Joseph Reade» et qui se compose d'une plaque de verre noir parfaitement polie, dont la surface est recouverte d*abord d'une solution de savon très fin, et frottée ensuite avec un morceau de peau de chamois sèche. Si, à Taide d'un tube de verre, on souffle sur la surface vitreuse ainsi préparée, la vapeur se dépose en anneaux brillants, dont les bords extérieurs sont noirs , tandis qu'à l'intérieur ils sont colorés ou Uancs, suivant que la quantité de vapeur déposée est plus ou motes grande. Les couleurs de ces anneaux vus avec la lumière ordkudre répondent à celles des anneaux réfléchis de Newton ou des anneaux à centre noir, sauf cette seule différence, qu'avec la eouehe de vapeur plus épaisse dans son milieu, les anneaux de firiscope ont des contours noirs.

Les mêmes anneaux se forment avec plus ou moins d'éclat à la surface polie de presque toutes les substances transparentes, quoi* que quelques unes d'entre elles et même certains morceaux de verre n'absorbent pas le savon. Peu importe d'ailleurs que le poli soit naturel ou artiûclet , qu'il soit le résultat de la cristallisation , du clivage ou du frottement. Le savon est peu à peu dissous par la vapeur, et doit par conséquent être renouvelé; on peut le remplaeer par certaines huiles et par d'autres corps. L'éclat et la pureté des anneaux dépendent aussi de la température relative de la vapeur et du verre. Si l'on fait naître sur l'iriscope un grand système d'anueaux, ou sî^ Ton y fait déposer la vapeur en ligne droite^ on pourra étudier tour à tour à l'aide de cet instrument les phénomènes des bandes ou des anneaux colorés» en les observant ^ divers angles d*lncidence.

a^6 THÉOnik AfATHÉMATIQUE

175. M. Arago observa le premier, comme nous TaTons dit , \m modifleatlons que subissent dans la lumière pfolarisëe les anneavi de Newton. Lorsque ces anneaux résultaient de la pression d'une lentille contre une surface de verre , ils avaient généralement le centre noir, et soit qu*on les observât à Fœil nu ou à Taide d'un prisme doublement réfringent, le système d*anneaux simple ou double avait les mêmes couleurs , le même diamètre ; il était eom* plétement polarisé sous Tangle de polarisation du verre.

Lorsque la surface eontre laquelle la lentille était pressée ^taft métallique, et qu'on observait les anneaux à l'aide d'un rbomboèdre de spath calcaire , on voyait enti*e les ineidenees de 90* et de 55* deux images parfaitement égales. L*une d'elles dteparaiasalt complètement sous Tangle de 55% qui est Tangle de polarisation du verre, quand le plan principal du rhombe était perpendiculaire eu parallèle au plan de réflexion. Sous un angle d'incidence plus grand, le système reparaissait, mais avec cette propriété que les couleurs de chacun des anneaux dont H se composait étaient complémentaires des couleurs correspondantes du système qui s'était évanoui.

M. Arago remarqua encore qu'on pouvait s'assurer même à TesH ÉH , sans le secours d'un cristal , que , sous un certain angle très rapproché de 65^, les anneaux se composaient de deux séries de diamètres inégaux , et que ces deux séries , très inégalement polarisées, étaient très distinctement séparables par le moyen d'un rhombe. Il trouva aussi que ces phénomènes n'avaient pins lieu lorsque les anneaux étaient formés sur des cristaux naturels de soufre ou sur le diamant.

M. Arago ajoutait eniln que si la présence d'un miroir métallique était nécessaire à la production de ces phénomènes, lorsque les anneaux étaient formés par une lame d'air, il en était tout autrement dès que la sul)stance mince avait une certaine épaisseur, et se trou ■ vait en contact par une de ses faces avec un autre milieu d'un poovoir réfringent suffisant. Ainsi le charbon de terre présente souvettt dans ses feuillures des couleurs très brillantes, produites par une substance extraordinairement mince , et lorsqu'on regarde ces couleurs à travers un rhomboïde sous des ineidenees assez aiguës , on les voit se partager en deux images complémentaires. Les couleuri produite»

DE LA. LDMIÀIIB. f^qtj

par révaporation dune couche d'alcool ou d huile de sassafras dépoiée sur du charbon de terre ou sur les substances analogues donnent lieu dans les mêmes circonstances à deux images inégales et teintes de couleurs contraires. M. Arago n'étendit pas plus loin ses recherches.

176. Pour étudier les apparences des franges de vapeurs de l*iriscope , M. Brewster les éclaira avec de la lumière polarisée à 90° on perpendiculairement au plan d'incidence ; puis en déplaçant ptu à peu son œil armé d'une loupe, Il arriva à voir le centre des anneaux dans un faisceau de lumière réfléchi sous langle de 58^,11', qui est Tangle de polarisation de l'eau. La figure ci-jointe représente le phénomène très frappant dont il fut alors témoin. La partie

coitrale AB du système CDEF ne présentait ni anneaux ni couleurs, la partie supérieure CD était une portion d'un système d'anneant à contours blancs, et se trouvait formée par la lumière polarisée qui rencontrait la couche de vapeur sous un angle plus grand que l'angle de polarisation de l'eau. La partie inférieure, au contraire, était une fraction d'un système d'anneaux à contours sombres ' semblable à ceux que l'on voit avec la lumière ordinaire, et elle provenait de la lumière polarisée qui avait rencontré la couche de vapeur sous un angle plus petit que l'angle de polarisation de Teau.

L'absence d'anneaux dans la partie moyenne provenait à son tour de ce que la partie antérieure de la couche ne réfléchissait aucune lumière qui pût interférer avec celle que réfléchissait la surfhcft postérieure. Cette dernière surface d'ailleurs réfléchissait encore des rayons , parce que la lumière ne la rencontrait pas sous son angle de polarisation.

177. M. Brewster avait déjà démontré que si l'on étend une couche deau sur un verre dont le pouvoir réfringent surpasse le nombre 1,508, il n'existe pour la surface antérieure aucun angle

2^8 THÉORIE AIAIHKMATIQI'E *

diDcidence qui permette au rayon réfracté de rencootrer le verre sons son angle de polarisation , et que , par conséquent , quel que soit l'angle d'incidence sur la couche liquide , le rayon réfracté sera réfléchi par le verre sous des angles toiyoufs plus petits que Tangle de polarisation des milieux unis, c'est-à-dire plus petits que l'angle

dont la tangente serait égale à ^, p et p' étant respectivement les

indices de réfraction du verre et de l'eau. Si Tindiccde réfraction du verre est égal à l,ô08 , Tangle d'incidence sur la couche d'eau doit être sensiblement égal à 90* pour que le rayon réfracté rencontre le

verre sous l'angle de polarisation dont la tangente est ^.

Signons revenons maintenant aux portions CD, EF, la première est produite , comme nous l'avons dit , par l'interférence des deux faisceaux lumineux CA, DEB, réfléchis], l'un CA, sous un angle DCA plus grand, l'autre EB, sous un angle plus petit que l'angle de polarisation de l'eau ; tandis que la seconde provient de littcrférence de deux faisceaux réfléchis tous deux sous des angles plus grands, ou plus petits que Tangle de polarisation de l'eau. On peut donc admettre que dans la formation des anneaux à contours Wancs, comme dans celle des anneaux à centre blanc, il y a perte d'une demi-ondulation , et que la même perte a lieu , que les rayons réfléchis qui interfèrent soient des rayons ordinaires , ou des rayons pcrfarisés réfléchis du même côté de Tangle de polarisation.

Si l'on considère les anneaux formés sous des angles d'incidence cMipris entre 0" et Î)3%11', on voit qu'ils sont à contours noirs, comme la portion EF. Ils offrent, au contraire, des contours blancs, comme la portion CD, quand ou les regarde sous des angles d'incidence compris entre 53",il' et 90-.

j 78. Si les franges de vapeur étaient formées sur la surface polie

DE LA lUMlivRF. Q^Q

du spath fluor, les choses se passeraient tout autrement. Sous tous les angles d*iucidettce compris entre O'' et 78", la composition des anneaux est tout-à- faitsemblable à^ceile^de ceux que nous venons de décrire; mais le rapport des indices de réfraction de Teau et du spath fluor est tel que le rayon qui rencontre la couche de vapeur sous Tangle de 78^,4' arrive à la surface du spath fluor, de manière à être réfléchi par cette surface sous Tangle depolarisarlon des milieux unis : ainsi les indices de réfraction du spath fluor et de l'eau étant respectivement p=: 1,427, 0'= 1,336, on aura

t= 1,0750 : ce dernier nombre est Tindice de réfraction des mi«

lieux unis ou de leur surface de séparation. L*angle de polarisation de cette surface sera dès lors un angle dont la tangente est 1,0756, c'est-À-dire qu*ll sera sensiblement égal à 47*,5. Or Tangle d'incidence à la surface antérieure de la couche d'eau qui répond à un angle de réfraction égal à 47*,5 ou à Tangle d'incidence 47*,5 sur la surface postérieure est précisément égal à 78",4'.

Sous cet angle d'incidence de 78*',4', les anneaux disparaîtraient donc, comme sous l'angle de SS"",!!', parce que le faisceau qui tombe sur le spath fluor n'est pas réfléchi.

M. Bre>vster n'a pas réalisé cette expérience ; il eût été probablement très difficile d'observer des anneaux colorés sous une si faible incidence. Si l'on considère les anneaux formés avec du savon sur le verre , on de l'alcool sur le spath fluor, on trouvera que leur seconde disparition aura lieu lorsque les angles d'incidence sur la surface antérieure seront respectivement 71*, 45', 82',32'.

179. En général , si p et p' sont les indices de réfraction des deux substances employées, c'est-à-dire de la couche mince et de la surfiMse qui la supporte , et si p est le plus; grand de ces deux in* diees, un rayon incident à 90* rencontrera la surface de séparation des deux milieux sons l'angle de polarisation , si l'angle de réflraction de la surface antérieure est égal à la tangente ou à la cotangente de l'angle de polarisation, suivant que le pouvoir réfringent de la couche mince est plus petit ou plus grand que celui du corps sur lequel elle repose ; on aura donc , en appelant t l'angle d'incidence :

a3o THKORIE MATHÉIVUTIQIIK

8int=- oasiDt=, tangt=:r> oucotf=-„

P P iP ?

A l'aide de ce« formules , on peut déterminer entre quelles limites des indices de réfraction le second évanouissement des anneaux peut avoir lieu , et quelle substance il faut employer pour pouvoir Tobserver. On trouve ainsi que ces limites sont pour les indices de réfraction 1,554, indice de réfraction du quartz et du flint-gtass, et 1,307, indice de réfraction de la glace. Quoique la différence entre ces nombres soit assez petite, ils comprennent cependant une assez grande variété de substances.

Si donc p et p' sont ainsi déterminés , les anneanx à centre blane disparaîtront précisément qnand l'angle d'incidence sera égal àQO", parce qu'alors la lumière rencontre la seconde surface sous Tangle de polarisation.

Mais si Ton emploie une oouehe d'un pouvoir réfringent encore moindre, par rapport à la substance qui la supporte, les rayons réfractés, si i est toujours égal à 90°, rencontreront la seconde surface sous un angle plus grand que l'angle de polarisation , et , par conséquent I les anneaux à centre noir reparaîtront. Il y aura pour la coucbe liquide un angle d'incidence ip , pour lequel l'angle de réfraction i sera égal à l'angle de p(^arisation sur la seôonde sur*

face : cet angle sera déterminé par Téquation : sin ip= —

Si p =1 pS il ne se formera aucun anneau , parce qu'il n*y ami Mcune lumière réfléchie à la surface de séparation. Mais si p n'est égal A p' que pour une couleur particulière du spectre produit par les deux substances, et si les deux indices de réfraction varient notablement pour les autres couleurs , il y aura des anneaux dans les* quels dominera la couleur pour laquelle p>p' ou p'>p. Ce résultat se trouve réalisé d'une manière remarquable pour l'huile de cassia et leflint-glass : p est égal à p' pour le rayon rouge , et plus grand que p' pour le rayon bleu. Par suite, une lumière bleue surabondante sera réfléchie par la sur&ce de séparation de l'huile et du verre , et

DE LA LUHIÈRE. a3l

si Ton dépose sur le verre une couche d'huile suffisammeut mince , la lumière bleue dominera beaucoup dans le système â*anneaux obtenus.

180. Jusqu'ici Tazimuth du rayon polarisé était de 90*, c'est-àdire que ce rayon était polarisé perpendiculairement au plan d'incidence. Admettons maintenant que cet azimuth par la rotation de la surface polarisante prenne toutes les valeurs intermédiaires entre 0 et 90". Pendant cette rotation , on voit des anneaux avec contour noir, tant que l'angle d'incidence est compris entre 0° et 53*, 11' ; mais au-delà, entre 53^^11' etQO'', Tiriscope devient la source de phénomènes très intéressants. Décrivons d'abord ce qui a lieu sous l'angle de ôG^'^^ô', angle de polarisation du verre noir.

Sous cet angle la lumière n'est pas du tout réfléchie, si l'azi*muth du plan de polarisation est de 90°, et Ton voit alors les aa^ neaux à contour blanc sur le fond noir du verre qui ne réfléchit au* cune lumière. Mais dès que l'azimuth atteint 87% 88% la glac# noire réfléchit quelque lumière, les deux faces de la couche en ré* fléchissent un peu plus , les anneaux pâlissent de plus en plus» Jusqu'à ce qu'ils s'évanouissent aussi complètement, lorsque l'azimuth est sensiblement égal à 79% qu'ils le faisaient sous l'angle deôS""»! 1' et l'azimuth de 90^. Au moment de cette disparition, la lumière réfléciile par le verre semble exactement égale à celle qui est réfléchie par les deux faces de la couche. liOrsque l'angle d'incidence a une autre valeur, les anneaux s'évanouissent encore pour des azimuths déterminés qui oscillent entre 90° et ^ô"", pendant que l'angle d'ior cideoce varie entre 53^11' et 90°. M. Brewster avait cependant de la difficulté à déterminer ces azimuths, parce que les anneauic n'étaient pas permanents. Il était forcé en conséquence d'étudier les couleurs des plaques minces sur des substances fortement ré^ fringentes , comme le diamant , le chromate de plomb, le réalgar artificiel , la greenockite , etc., pour lesquelles l'angle de polarisation est très grand. Lu dernière de ces substances est la plus réfringente de toutes les substances connues. Une solution de savon donne, après qu'elle a été desséchée, des couleurs brillantes. Voici le résultat des observations faites par M. Brewster sur un diamant. L'indice de réfraction du savon était i,47ô, celui du diamant 2,44, les angles de polarisation étaient respectivement &5%$i' et 67s4y.

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Angle d'incidence de It

Azimuth du plan de polariHUon i

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