Nous avons vu que le phénomène de couleur n'est produit

r>E L.\ LUMIÈRE. ^5'J

que lorsque le cristal est mince. Avec des plaques épaisses, pour lesquelles la différence des phases des deux rayons renferme un grand nombre de longueurs d'ondes , les teintes des divers ordres se superposent, comme cela arrive pour les anneaux de Newton quand la couche d'air est trop épaisse , et la lumière résultante est blanche.

On peut cependant ramener alors même ces couleura , en superposant deux plaques , de telle sorte que le rayon qui , dans la première, avait la plus grande vitesse , ait la plus petite dans la seconde, n suffit, pour cela, de faire que les cristaux aient leurs sections principales perpendiculaires ou parallèles suivant que les substances employées sont de même nom ou de noms opposés. Si toutes deux sont des cristaux positife , il faudra rendre leurs sections principales perpendiculaires ; elles devront être parallèles si l'un des cristaux est positif et l'autre n^atif. La raison de cette disposition est évidente.

S03. Considérons maintenant les effets produits lorsqu'un rayon traverse un cristal imi-axe dans diverses directions faisant toutes avec l'axe optique un petit angle , et supposons pour plus de simplicité que la plaque cristalline a été taillée perpendiculairement à l*axe. Supposons que A B G D est la plaque, et E la position de rœil.

(fyo

La portion visible du rayon émergent formera un cône A EB, dont le sommet coïncide avec l'œil , et l'axe avec l'axe optique du cristal. Le rayon qui traverse le cristal dans la direction de l'axe POE n'éprouvera aucune modification; il sera par conséquent réfléchi ou non réfléchi par la plaque analysante, suivant que le dernier plan de réflexion sera parallèle ou perpendiculaire au plan de polarisation primitif. Mais les autres rayons dont se compose le

<|58 THÉORIE MATHBtfàTIQUB

oùne seront modifiés dans leur passage à travers le cristal ; ledungemeot qu'ils éprouveront dépendra de leur inclinaison sur Taxe i^tique et de la position de la section principale par rapport au plan primitif de polarisation.

Supposons que le cercle ci-joint représente la section du cAne des rayons émergents par la seconde surftice du cristal, et menons par son centre O deux droites perpen^ulairesMM', NN^ dont i*unc soit Tintersection de la surface par le plan primitif de polarisation. Le rayon qui émergera de Tua quelconque des poiuts de ces lignes ne sera point partagé dans Tintérieur du cristal , et son plan de polarisation ne changera pas , parce que pour tous ces rayons la section principale du cristal coïncide dans un cas avec le plan primitif et lui est perpendiculaire dans l'autre . Ces rayons, par conséquent, seront ou ne seront pas réfléchis par l'analyseur, suivant que le plan de seconde réflexion coïncidera avec le plan de première réflexion , ou lui sera perpendiculaire. Dans le dernier cas, par conséquent, une croix noire couvrira le champ de la vision; ce sera dans le second cas une croix Manche.

Mais il en est autrement des rayons qui comme CL émergent des points situés au-debors des perpendicul{dres. Pour ces rayons, la section principale du cristal ne coïncide pas avec le plan de polarisation et ne loi est pas perpendiculaire, et par conséquent le rayon polarisé incident sera divisé dans l'intérieur du cristal en deux antres dont iea plans de polarisation seront respectivement parallèles

U£ LA lOMliRR. <25()

«t perpeniiciitalraB à CL. I^ vibrations dans ces deux rayons seront ramenées au même plan par la plaque analysante ; Ils interfërenmt donc, et l'étendae de leur interférence dépendra de leur différence de phases.

Cette différence de phase varie avec Tintervalle d'Interférence ou le retard : si cet intervalle est un multiple pair de la demi-ondulation , ces deux rayons seront en complet désaccord et se détruiront ; ils seront, au eontraire, en complet accord, et leurs intensités s'^OQleront si rintervalle d'hiterférenceest un multiple impair de la demi-loDgaenr d'onde. Nous avons vu que pour une plaque donnée le retard est pn^ortkmnel au carré du sinus de Tangle que le rayon ûdt avec l'axe optique : or, il est facile de voir que le sinus est à très pea prèflT proportionnel au sinus de l'angle LEO (flg. 1) que le rayon émergoit lait avec l'axe, et que ce dernier sinus est luimême proportionnel à L 0 , distance du centre au point d'émergence. L'intervalle d'interférence ou le retard varie donc comme le carré de cette distance , et par conséquent les lignes successivement Mitantes ofu obscures seront disposées en cercles tels que les carrés dfe leurs rayons LO formeront une progression arithmétique.

Nous n'avons jusqu'ici parlé que de lumière homogène; si Ton emploie de la lumière blanche ou composée, les anneaux de différentes couleurs seront en partie superposés, et il en résultera une série d'anneaux colorés des couleurs de l'iris , et séparés par des intervalles obaMrs. Le phénomène/ ** |Qwtioo de la croix , est en tout semblable à celui des anneau^' ^Newton ; tous deux, on

le voit, sont une conséquence aiu . .«^^rmelpe éminemment fécond, le principe des interférences. Ces anneaux apparaissent même dans des cristaux épais, parce que la différence de vitesse

300 TfiiORIE MàTHÂMATIQUE

des deux rayons est très petite pour des rayons peu indioés sur l'axe optique.

204. Considérons brièvement ce qui arrive dans les cristaux bi-axes. Concevons que l*on taille dans un semblable cristal une plaque perpendiculaire à la bissextrice des axes optiques, et interposons-la comme tout-à*rbeure entre les plaques analysante et polarisante.

Les bandes brillantes et obscures ne seront plus disposées en oer* clés y comme dans le premier cas , mais elles formeront des courbes symétriques relativement aux lignes menées par Toeil dans la direction des deux axes. Les points d'une même bande seront ceux pour lesquels l'intervalle d'interférence ou le retard i — f des deux rayons sera constant. Or, nous avons vu que cet intervalle est proportionnel au produit des sinus des angles que la direction du rayon fait avec les axes optiques, et ces sinus sont eux-mêmes sensiblement proportionnels aux distances mesurées sur la face du cristal, du point d'émergence aux projections des axes optiques. Le produit de ces deux distances devra donc être constant pour tous les points d'une même courbe , et il en résulte que cette courbe sera la lemniseate de Jean Bernouilli ^ dont la propriété fondamentale est que le produit des deux rayons vecteurs menés de l'un quelconque de ses points à deux pôles fixes est une quantité constante. L'exactitude de cette loi a été vérifiée de la manière la plus complète, à l'aide de mesuresprises avec le plus grand soin par sir JobnHerschell. La constante qui est proportionnelle à l'intervalle d'Interférence varie d'une courbe à l'autre, et croît pour les diverses bandes obscures successives comme la série naturelle des nombres. Pour différentes plaques d'une même substance , elle varie en raison inverse de l'épaisseur.

La forme des pinceaux obscurs qui croisent le système entier d*anneaux est déterminée par la loi qui fixe la position du plan de polarisation du rayon émergent. On montre facilement, en partant des lois établies par Fresnel , que deux courbes sombres semblables passent en général par chacun des p61es de la leraniscate, et que ces courbes sont des hyperl)oles rectangulaires dont le centre commun est le point milieu de la ligne qui joint les projections des deux axes.

205. Polarisation rotatoire ou mobile. — Dans la série de phénomènes que nous venons d'étudier, le plan de polarisation du rayon restait invariable, à moins qu'il ne vint à subir une nouvelle réflexion ou réfraction. Nous n'avons pas supposé que ce plan variât à cliaque instant dans Tintérieur du cristal. Il est cependant des cas où II n^en est point ainsi , et où le plan de polarisation tourne incessamment pendant toute la marche du rayon , quelquefois de gauche à droite, comme Taiguille d'une horloge, quelquefois dans la direction opposée.

Ce phénomène remarquable a été d'abord observé par M. Arago, à qui revient l'honneur de cette brillante découverte ; il lui apparut dans le cristal de roche, la seule substance solide qui jouisse de cette propriété. Pour bien comprendre la différence fondamentale qui existe entre ce cristal et les autres, il faut remarquer que si un rayon polarisé d'une couleur simple traverse une plaque de spath d'Islande, de béril ou de tout autre cristal uni-axe , dans la direction de son axe , il n'éprouve aucun changement ; mais que s'il traverse de la même manière une plaque de cristal de roche , son plan de polarisation sera modifié h la sortie : dans quelques cristaux , il aura tourné de gauche à droite, dans d'autres il aura tourné en sens

a6a THÉORIE MA.THÉMATIQUE

opposé. On dit que le cristal est dextrogyre ou Uvogyrey suivant que la rotation a lieu dans le premier sens ou dans le second.

196. Les phénomènes de la polai^isation rotatoire ont été étudiés par M. Biot avec une très grande habileté et un très grand succès ; il les réduisit aux lois suivantes :

I. Pour différentes plaques ^ prises dans le même cristal , la rotation du plan de polarisation est toiyours proportionnelle à Tépaisseur de la plaque ; il en est de même à très peu près pour des plaques taillées dans différents cristaux.

II. Si deux plaques sont superposées, l'effet produit sera à très peu près le même que si Ton avait employé une seule plaque, dont répaisseur serait la somme ou la différence des deux premières, suivant que leurs pouvoirs rotatifs seront ou non de même nature.

III. r^ rotation du plan de polarisation est vraiment différente pour les différents rayons du spectre ; elle croit avec la réfirangibilité. Pour une plaque donnée. Tare qui mesure la rotation est en raison inverse du carré de la longueur d'onde. Ainsi, l'arc décrit par Vaction d'une plaque , ayant un millimètre d'épaisseur, est deir T pour le rouge eictrôme du spectre , de 30*» pour le rayon de réfrangibilité moyenne, de H^ pour le violet extrême.

Puisque les rayons de réfrangibilités différentes sortent polarisés dans des plans différents, il en résulte que si un rayon de lumière blanche tombe sur un cristal, et est reçu à son émergence par l'analyseur, il y aura une certaine portion de lumière réfléchie dans toutes les positions du dernier plan de réflexion, et que cette portion sera teinte de très belles couleurs, qui varieront avec l'épaisseur de la plaque et la position du plan analyseur. Ce plan réfléchira les rayons de diverses couleurs dans différentes proportions dépendantes de la position de leur plan de polarisation par rapport au plan de la seconde réflexion ^ et la couleur résultante sera une teinte composée qu'on déterminera facilement dans tous les cas.

206. Cette distinction curieuse entre les di vers échantillons de cristaux de rociie, qui font tourner en sens conti*aire le plan de polarisation , fut longtemps un mystère. M. Herschell souleva le premier le voile qui couvrait cette anomalie en mettant en évidence la liaison

DE LA LUMlkBB. a63

qui existe entre le sens de la rotation et le mode deeristallisation. Le cristal de roche dans sa forme ordinaire présente nn prisme à six pans y terminé par une pyramide à six faees. Les angles solides formés piMT la Jonction du prisme et de la pyramide sont souvent remplacés par des faces secondaires, obliques par rapport aux faces primitives ou principales. Cette variété de quarts a reçu le nom de pl€§iiâral. Les faces accidentelles sont toutes inclinées dans le même sens , et i*on s'est assuré que si le sommet de la pyramide étant en liaut, les faces plagiédrales sont dirigées vers la droite, le cristal est dextrogyre : il sera lévogyre si les faces sont inclinées vers la gauche.

M. Brewster a découvert, depuis, que Taméthyste ou quarts violet est formé de couches alternatives de quarts dextrogyre et lévogyre. On peut mettre en évidence cette structure remarquable en brisant le cristal ; car les bords des couches se dépassent mutuellement à la snrfhce d'un morceau fraîchement rompu , et y produisent ces ondulations singulières qui forment le caractère principal servant àdistinguw ce minéral du quartz ordinaire. Maiscette mèmestnicture se manifeste avec une grande magnificence quand une plaque d'améthyste , coupée perpendiculairement à Taxe et éclairée par la lumière polarisée transmise lelong'de cet axe, est soumise à l'analyse ordinaire: les coudies successives produlseat par leur composition in^le un magnifique contraste de bandelettes colorées et d'espaces obscurs.

207. M. Biot d'abord, et M. Seebeck, ont découvert presque simultanémentque plusieurs liquides, et même des vapeurs, possédaient la même propriété que le quartz, et imprimaient au plan de polarisation du rayon transmis une rotation proportionnelle à l'épaisseur de la masse traversée. On met ce fait facilement en évidence en foisant passer un rayon polarisé à travers un long tube rempli du liquide en question , fermé à ses deux extrémités par des plaques de verre parallèles, et analysant le rayon émergent à l'aide d'un prisme doublement réfringent. L'huile de térébenthine, Thuile de citron , une solution de sucre dans l'eau , une solution de camphre dans l'sdcool , et beaucoup d'autres fluides sont doués de la propriété rotative. L'huile de térébenthine est dextrogyre ; les autres liquides que nous avons nommés sont lévogyres. Ces fluides ne

a64 THÉORIE MATHÉMATIQUE

perdent pas leur pouvoir rotatif par leur dilution dans d*autreB liquides qui ne jouissent pas du même pouvoir. L'on a découvert qu'ils le conservaient encore quand ils passaient à Tétat de vapeur. Ils possèdent cette propriété à un degré plus faible que le quartz, de sorte que le rayon, pour subir la même déviation dans son plan de polarisation, doit traverser une plus grande épaisseur du fluide.

Ainsi » une plaque de cristal dont l'épaisseur est d'un millimètre fait décrire au plan de polarisation du rayon rouge un arc de 18*; une couche d'huile de térébenthine de moindre épaisseur imprimerait une rotation d'un quart de de^ré.

M. Biota trouvé encore que si Ton méleplusieura liquides doués du pouvoir rotatif, la dotation produite par leur mélange est toujours la somme ou la différence des rotations qu'ils produiraient isolément, suivant qu'ils sont de même nom ou de noms contraires: cette loi s'étend même quelquefois au cas où les liquides se combinent chimiquement. De ces faits , et d'un grand nombre d'autres» M. Biot concluait que le pouvoir rotatif était inliérent aux dernières particules des corps. Cette manière de voir est fortement combattue par des faits non moins certains. Le quartz perd son pouvoir rotatif quand il perd sa structure cristalline. M. Herschell a observé que le quartz tenu en dissolution dans la potasse ne dévie plus le plan de polarisation ; M. Brewster a étendu cette observation au quartz fondu.

208. Ou a démontré que le phénomène de la polarisation rotatoire produit par le quartz avait pour cause l'interférence de deux faisceaux ou rayons polarisés circulairement , transmis le long de l'axe avec des vitesses inégales, et dont l'un tourne de di*oite à gauche ^ tandis que l'autre tourne de gauche à droite. Un rayon polarisé rectilignemcDt, ou polarisé dans un plan est équivalent de fait , comme nous l'avons vu , à deux rayons circulairement polarisés , d'intensité moitié moindre, et produit par des vibrations de directions opposées. Lors donc que le rayon polarisé rectilignement tombe normalement sur la surface d'une plaque de cristal de roche taillée perpendiculairement à l'axe, on peut le concevoir décomposé en deux rayons polarisés circulairement. Si l'on suppose de plus que ces deux derniers rayons sout transmis avec des vitesses différentes > de telle sorte que quand ils reprendront la

iDème vitesse à leur émergence, Tud d'eux soit eu avance sur l'autre, ils formeront encore à leur sortie un rayon unique, polarisé dans un seul plan ; mais le second plan de polarisation sera séparé du premier par un angle proportionnel à rintervalie d'interférraiee , et par conséquent à Tépaisseur du cristal.

209. Les lois de la polarisation rotatoire sont ainsi complètement expliquées, et il reste seulement à prouver la vérité de l'hypothèse admise, que deux rayons polarisés circulai rement et de vibrations opposées sont transmis le long de Taxe du cristal avec des vitesses inégales. Il est facile de faire prononcer Texpérience sur la nature de ce fait, car une semblable différence de vitesse doit produire une différence de réfraction , si la surface d'émergence est oblique à la direction du rayon. Si donc , dans Thypothèse admise, un rayon polarisé traverse un prisme de cristal de roche dans la direction de l'axe optique, il devra subir à sa sortie une double réfraction; et de plus les deux rayons dans lesquels il sera décomposé devront être polarisés circulairement. Cette déduction de la théorie a été complètement vérifiée par Fresnel à l'aide d'une* combinaison achromatique de prismes dextrogyres et lévogyres, disposés de manière à doubler la séparation des rayons. L'illustre physicien s*est assuré que les deux rayons réfractés n'étaient ni de la lumière commune ni de la lumière polarisée rectilignement, et qu'ils présentaient tous les caractères de la lumière circulairement polarisée.

210. M. Airy a repris dernièrement cette question délicate delà réfraction particulière au cristal de roche , et il a réussi à démontrer que si un rayon polarisé rectilignement est transmis à travers cette substance, dans une direction inclinée à Taxe , il est divisé en deux autres rayons polarisés elliptiquement, et que les grands axes des ellipses décrites en sens contraire coïncident respectivement avec le planprincipal etuirplan perpendiculaire au plan principal . Le rappoii; des axes des ellipses varie avec l'inclinaison du rayon sur l'axe optique ; ils sont égaux lorsque la direction des rayons coïncide avec l'axe et croissent en même temps que l'inclinaison. Quant à la marche des rayons réfracics , M. Airy a trouvé qu'elle est constamment déterminée par la loi d'Huygens ; mais que la sphère et le sphéroïde qui déterminent la direction et la vitesse des deux rayons ne se touchent pas, comme dans tous les autres cristaux uni-axes

366 THlSORIE MiLTH^MÂTIQUE

coonus ; la seconde surface est entièrement renfermée dans la première. Cétait la conséquence nécessaire de ce fait, que Tintenralle d'interférence des deux rayons ne s^évanouit pas lorsque l'inclinaison du rayon sur I*axe optique devient nulle.

M. Airy a calculé dans cette hypothèse la forme que doivent présenter les anneaux produits par le quarts dans la lumière polarisée rectiliguement ou circulairement. L'accord entre la théorie et les faits d*expérlence a toujours été frappant. Parmi les phénomènes les plus remarquables dont il a ainsi développé les lois, nous citerons celui qui résulte de la superposition de deux plaques de quartz de même épaisseur , mais de dénominations différentes , dont l'une estdextrogyre et Tautre lévogyre.

211. Tous ces jfiaits si compliqués ont été encliatn^ par M. Maecullagh , qui a ainsi déduit leurs lois d*un même aperçu théorique. Dans ce travail , qui fait partie du dix-septième volume des Tramactions de V Académie royale irlandaite ^ Tauteur débute en donnant comme par divination aux équations différentielles du mouvement vibratoire dans le cristal de roche, la forme qu'il croit leur appartenir : et il en déduit la polarisation elliptique des deux rayons, la loi qui lie les axes des ellipses à l'inclinaison du rayon sur Taxe, l'intervalle d'interférence dans la direction de l'axe, la forme particulière de la surface de Tonde, etc. , etc. H est un fait qui semble donner à cette théorie quelque valeur, c*est qu'elle ne contient qu'une constante, et qu'après que cette constante eut été déterminée par le moyen des mesures prises par M. Biot dans une certaine classe de phénomènes, l'auteur put calculer ensuite les expériences de M. Airy, relatives à un ordre de phénomènes tout-à-fait différent en apparence. Il y eut un accord remarquable entre les résultats du calcul et les données de l'observation. Je n'admets pas avec M. Lloyd que les expériences de M . Airy soient d'un ordre totalement différent de celles de M. Biot ; il s'agissait, si je ne me trompe, de passer du cas où la direction du rayon coïncidait avec l'axe, au cas où cette même direction était oblique à l'axe. Ce n'était nullement comme quand M. Cauchj déduisait de la simple observation de deux angles, l'incidence princlptile et Tazimuth principal de réflexion , les formules qui donnent la quantité de lumière réfléchie à la surface des métaux. Dans tous les cas ,

M. Ifac-CtiUagh n*a lait qu'on premier pas; il Miait déduire rigoDreaaemeDt d*ane théorie générale , de principes mécaniques certains , Inéquation différentielle qu'il avait adoptée par un heureux iostioct Cette gloire n'a pas été donnée au jeune géomètre irlandais ; M. Caucby a-t-ii été plus heureux? nous le croyons. Voici sa théorie , dont nos lecteurs Jugeront.

212. M. Biot , qui, comme nous l'avons vu, s'est particulièrement occupé de la rotation imprimée par certains liquides , ou même par certaines vapeurs, aux plans de polarisation des rayons lumineux , demanda à M. Cauchy , il y a deux ou trois ans , s'il par* viendrait à tirer du calcul intégral l'explication et les lois de ce phénomène , qu il regardait avec raison comme l'un de ceux auxquds il importait surtout d'iqipliquer la physique mathématique. L'illustre géomètre lui répondit qu'il s'occuperait de cette question, dont il espérait bien lui donner une solution satisfaisante. Il croyait alors que la marche à l'aide de laquelle il était parvenu à déduire de l'analyse non seulement l'explication de la plupait des phéno«> mèues lumineux, mais aussi les lois de ces phénomènes, suffiraient pour le conduire à la solution de la question proposée. Mais après l'avoir attaqué à plusieurs reprises il se trouva toujours arrêté par des difficultés inattendues. Pour les surmonter, il s*est vu obligé de suivre une marche nouvelle, qui heureusement n'a pas tardé à les faire disparaître , et qui peut conduire assez simplement à la solution d'un grand nombre de problèmes de physique mathématique.

213. Dans les problèmes de mécanique appliqués , et de physique mathématique, on suppose ordinairement que l'on connaît les diverses forces et les masses qu'elles sollicitent , puis on déduit de cette connaissance les équations différentielles des mouvements de ces masses ; et c*est en intégrant les équations différentielles dont il s'agit qu*on parvient à rexplication des phénomènes représentés quelquefois par les intégrales générales, mais le plus souvent par des intégrales particulières de ces mêmes équations. C'est ainsi qu'après avoir établi les équations différentielles du mouvement des liquides et des fluides élastiques, les géomètres en on déduit les lois de la propagation du son dans l*air, ou de la propagation des oodea li&iuides à la surface d'une eau tranquille. C'est ainsi encore

a68 THÉORIE MATH£ltfATlQU£

qu'en 1829 et 1830, M. Gauchy parvint à déduire des équations du mouvement vibratoire d*un système isotrope de molécules , les vibrations transversales des ondes lumineuses. Des phénom^ies aussi simples ou aussi évidemment liés à deç causes connues que ceux qui viennent d'ôtre rappelés, devaientseprésenter les premiers dans TappUcation de l'analyse à la physique ; mais à mesure que les phénomènes se compliquent, ou que leur cause immédiate est plus cachée , il devient plus difficile de les soumettre à une analyse qai puisse servir à en découvrir les lois. Concevons, pour fixer les idées, qu'il s'agisse de touver les lois des mouvements vibratoires qu'exécutent les molécules du fluide lumineux , dans un liquide qui imprime à un rayon polarisé une rotation proportionnelle au chemin parcouru par ce rayon. On sera , il est vrai , naturellement porté à croire que ce mouvement, comme tous les mouvements périodiques, doit être représenté par un système d'équations liuéaires aux dérivées partielles ou même d'équations linéaires à coefficients constants. Mais quelle doit être la forme particulière de ces équations pour qu'elles puissent représenter le mouvement dont il s agit? Les équations différentielles des mouvements infiniment petits d'un système de molécules , renferment déjà un très grand nombre de coefficients. Le nombre de ces coefficients se trouvera encore considérablement augmenté si l'on tient compte, avec quelques auteurs, des rotations des molécules, ou, avec M. Cauchy, des divers atomes qui peuvent composer une seule molécule; enfin il croîtra de nouveau si Ton considère deux ou plusieui^ systèmes de molécules au lieu d'un seul. A la vérité, on pourra, dans ce dernier cas, en supposant toutes les équations linéaires, réduire les inconnues à trois ou même à une seule par des éliminations ; mais tous les coefficients que renfermaient les équations primitives entreront dans l'équation ou dans les équations résultantes » et ce serait un grand hasard si en essayant d'attribuer à ces coefficients divers systèmes de valeurs paii;iculières , on finissait par trouver précisément celles qui rendent possible la rotation continue du plan de polarisation d'un rayon lumineux. C'est pour vaincre cette difficulté que M. Cauchy a imaginé la nouvelle méthode que nous allons exposer.

Au lieu de former à priori les équations différentielles d'après la

DE Là LUMIÈRE. sGo

nature des forces et des systèmes de molécules supposées connues , et d^iot^rer ensuite ces équations différentielles , pour en déduire les phéDOfflènes observés, M. Gauchy s*est proposé de remonter de ces phénomènes aux équations des mouvements infiniment petits. Parmi les principes généraux qui peuvent servir à la solution de ce probième , il en est deux surtout qu'il importe de signaler.

Un premier principe , c^est qu'avant de rechercher les équations différentielles des mouvements infiniment petits que ce système peut pn^ager , on doit s'attacher d'abord à connaître ceux que M. Gauchy a nommés mouvements simples ou par ondes planes. Lorsque ces derniers sont tous connus , il devient facile d'obtenir le système des équations cherchées , et particulièrement l'équation caractéristique correspondante à ce système.

Un second principe est l'inverse d'un autre principe déjà connu. On sait que si plusieurs mouvements infiniment petits peuvent se propager dans un milieu donné, on pourra en dire autant du mou-* vement résultant de leur superposition. 11 y a plus : tout mouvement infiniment petit, propagé dans un milieu, peut être considéré comme résultant d'un nombrefini ou infini de mouvements simple^, dont chacun peut encore être propagé dans le même milieu. M. Gauchy démontre la proposition réciproque, et fait voir que, si uu mouvement infiniment petit, propagé dans un milieu donné, peut être considéré comme résultant de la superposition de plusieurs mouvements simples , chacun de ceux-ci pourra encore se propager dans ce milieu; toutefois cette proposition réciproque suppose non seulement que le mouvement résultant peut être représenté par un système d'équations linéaires aux dérivées partielles, mais encore que les mouvements simples^ surperposés les uns aux autres, sont en nombre fini , et correspondent à des symboles cai'actéristi(|ues dlICérents. Appliquons ces principes à la théorie qui nous occupe.

214. En faisant tomber sous l'incidence normale un rayon polarisé, sur une plaque de cristal déroche taillée perpendiculairement à l'axe optique, M. Ârago a reconnu, dès 1811, que les deux images produites par un prisme biréfringent offrent des couleurs complémentaires lorsque le prisme vient à tourner, Gette belle expérience s'explique très bien, comme l'a remarqué M. Arago, quand on suppose que les divers rayons colorés se trouvent polarisés à leur

^à'jO THÉOnns HÀTBéMATlQUS

émergenoe dans des plans différents ; et Presnel a démontré qne pour obtenir un tel résultat, il suffit d'admettre dans la plaque de cristal de roche deux rayons simples polarisés eireulairemenC en sens contraires» mais doués de vitesses de propagation diverses. £n effet, si Ton superpose l'un à l'autre deux rayons simples constitués comme on vient de le dire , le rayon résultant de lear superposition offrira les mêmes vibrations moléculaires qu'on seul rayon polarisé rectilignement, mais dont le plan de polarisation toamerait en décrivant un angle proportionnel, comme l'expérience l'indique, au chemin parcouru, c'est-à-dire à l'épaisseur de la plaque. Il y a plus : en vertu de l'un des principes ci-dessus énoncés , les deux rayons simples polarisés circulairement seront bien réellement deux rayons distincts, dont chacun pourra être séparémoit propagé par la plaque de cristal de roche taillée perpendiculairement à Taxe ; et ces deux rayons devront se sq[»aref l'un de l'antre, s'ils sortent de la plaque par une face iDclinée sur cet axe. Ces conclusions se trouvent confirmées par des expériences de Fresnd. M. Biot a reconnu que le cristal de roche n'est pas la seule substance qui dévie les plans de pdarisation des rayons lumineux ; plusieurs liquides et vapeurs, par exemple, l'huile de térébenthine, rhuile de limon , le sirop de sucre concentré , jouissent de la même propriété. Ce phénomène est ici d'autant plus singulier que chacun des corps dont il s'agit est , comme tous les fluides , un eœ^ isophane , et qu'en conséquence la propriété ci-<lessus énoncée se vérifie , quel que soit le sens dans lequel le liquide se trouve traversé par un rayon polarisé. Il importait de rechercher quelle est la fonae paiticulière que doivent présenter dans ce cas les équations diflërcntieties des mouvements infiniment petits des molécules lumineuses. Pour appliquer à la solution de ce problème les principes par lui établis , M. Cauchy a dû commencer , d'après ce qui a été dit ci-dessus , par chercher les conditions analytiques de la polarisation circulaire. Il a été asses heureux pour les obtenir sous une foime très simple. Ces conditions se réduisent à deux ; et pour que la polarisation d'un rayon lumineux devienne circulaire, il suffit que la dilatation symbolique du volume , ou rexpresska imaginaire dont la partie réelle donne la dilatation réelle du volume, s'évanouisse avec la somme des carrés des trois.déplaceinents sym-

bûUques de chaque molécule. En partant de ces conditions , il a pu Mlement parvenir aux équations cherchées. Ce qu*il y a de remar« <[Qable 9 c'est que ces équations, dont chacune est à l'ordinaire du second ordre , par rapport au temps, renferment, par rapport aux coordonnées, non seulement des termes d'ordres pairs, mais aussi des termes d'ordres impairs; par exemple, du premier ordre, du troisième , etc. ; c'est même des termes d*ordre impair que dépend l'existnioe du phénomène. Lorsqu'ils suhsistent, alors, dansle milieu isophane que représente les systèmes des équations différentielles , deox rayons polarisés circulairement en sens contraires peuvent se prqpag^r avec des vitesses différentes. Mais ces deux vitesses deviendront égales si les termes d'ordre impair venant à disparaître, les termes d'ordre pair subsistent seuls , et alors le milieu isophane cessera de faire tourner le plan de polarisation d'un rayon lumineux. Dans le premier cas , les deux rayons simples qui se superposent pour former un rayon dont le plan de polarisation tourne sans cesse , et proportionnellement au chemin parcouru ^ se sépareront s'ils sortent du liquide par une face inclinée à l'axe du rayon. Désirant savoir pourquoi cette séparation n'avait pu être encore constatée par l'expérience , M. Gauchy a été curieux de calculer Tangle que devaient former à leur sortie les deux rayons émergents , et il a trouvé que cet angle se réduisait pour l'huile de térébenthine et pour le rayon rouge à environ -7 seconde sexagésimale, lorsque l'angle de réfraction était de 45". Si l'angle de réfraction ^ient à varier ^ la séparation variera proportionnellement à la tangente de ce même angle. Ce calcul montre que , pour rendre la séparation sensible, on sera obligé de superposer un grand nombre de fois l'un à l'autre, dans un même tube , deux liquides qui^ étant séparés par des plaques de verre inclinées à l'axe du tube, dévient le plan de polarisation d'un même rayon en sens contraire.

215. Les équations difTérentielles que M. Cauchy a obtenues fournissent immédiatement la loi générale suivant laquelle l'indice de rotation d'un rayon homogène et polarisé varie avec la couleur. La nature particulière de cette loi dépend surtout des valeurs que prennent les coefTicients des divers termes d'ordre impair. Concevons, pour fixer les idées, qu'avec les termes d'ordre pair, ou plutôt avec les termes du second ordre , qui d'nprès i\ xpériencc

27^ THÉORIE MATHëMATIQUR

ont la plus grande part d'influence sur les phénomènes observés, on conserve encore les termes du troisième ordre. Alors on obtiendra précisément la loi remarquable énoncée par M. Biot relativement au cristal de roche et à un grand nombre de liquides, et l'on trouvera des indices de rotation qui seront à très peu près réciproquement proportionnels aux carrés des longueurs des ondes. Mais la loi sera modifiée si, aux termes du deuxième et du troisième ordre, on joint des termes du premier ordre. Dans le cas général , Tindiee de rotation pourra être sensiblement représenté par une fonction entière du carré du rapport qui existe entre l'unité et la longueur d'une ondulation , et par conséquent son expression sera semblable à celle que M. Cauchy a obtenue et vérifiée dans la théorie delà dispersion des couleurs, pour le carré delà vitesse de propagation d'un rayon lumineux. D'ailleurs les coefficients des deux ou trois termes sensibles que renfermera la fonction entière dont il s'agît , dépendront ici , comme dans la théorie de la dispersion , de la nature des forces moléculaires et delà constitution particulière du milieu isophane. M. Biot a donc eu raison de dire qu'il y a ici une condition spéciale dépendante des milieux que la lumière traverse, et analogue à la dispersion dans la réfraction ordinaire.

216. Au reste, le nouveau système d'équations différentielles que M. Cauchy a obtenues n'est pas seulement applicable a la théorie de la polarisation circulaire. En effet, ce nouveau système devra représenter généralement les lois de la propagation des mouvements infiniment petits dans un système isotrope de molécules, lors même que ces mouvements viendraient à s'éteindre en se propageant. Donc , si l'on traite en particulier de la théorie de la lumière, il devra représenter les ondes planes produites par les vibrations de l'éther dans les corps isophanes , transparents ou non transparents. Or, en effet , pour que les mouvements simples, représentés par le nouveau système, soient au nombre de ceux qui s'éteignent en se propageant, il suffit que le coefficient des termes du deuxième ordre devienne négatif, et aIoi*s la constante, qui , dans le cas contraire , représentait la vitesse de propagation des ondes , peut devenir en partie réelle, en partie imaginaire. C'était déjà en supposant cette constante composée de deux parties, l'une réelle, l'autre imaginaire, que M. Cauchy est parvenu, en 1836, à expliquer la po-

larlsation elliptique produite par la réflexion de la lumière à la sur face des métaux, et à établir des formules qui , eu représentant ce phénomène, s'accordaient a^ec la plupart des expériences faites par M. Brewster. Mais il n'avait pas bien vu, jusqu'à ce Jour, comment la supposition de laquelle 11 était parti pouvait se concilier avec la forme particulière des équations différentielles des mouvements infiniment petits dans les corps diaphanes. Cette difficulté se trouvant aujourd'hui levée, il ne doute pas que ses nouvelles formules , jointes aux lois générales qu'il a données dans ses précédents mémoires, et qui sont relatives à la réflexion des mouvements simples, ne reproduisent exactement le phénomène de la polarisation métallique.

217. Résumons d'une manière plus nette encore cette théorie si daicate.

Un caractère commun à tous les milieux isophanes , c'est que les seuls mouvements simples, ou à ondes planes, qui puissent s'y propager sans s'éteindre, se réduisent toujours à des mouvements dans lesquels les vibrations moléculaires sont transversales ou longitudinales, c'est-à-dire comprises dans les plans des ondes, ou perpendiculaires à ces mêmes plans. Mais, d'après ce que nous avons dit, la longueur des ondulations étant donnée, les mouvements simples, à vibrations transversales , peuvent ou se propager tous avec la même vitesse, ou se propager les unes avec une certaine vitesse , les autres avec une vitesse différente ; et dans ce dernier cas, ils présentent deux rayons polarisés circulairement en sens contndre. Par suite , on doit distinguer deux espèces de milieux isophanes, savoir, des milieux dans lesquels se propage un seul rayon de chaque couleur, polarisé rectilignement, ou circulairement, ou elliptiquement, et des milieux dans lesquels peuvent se propager deux rayons de chaque couleur, polarisés circulairement en sens contraires, mais doués de vitesses de propagation inégales.

Concevons maintenant qu'un rayon non homogène, de lumière blanche, doué de la polarisation rectlligne, tombe sur la surface soppofiëe plane d'un milieu isophane de la seconde espèce. Il pourra être considéré comme résultant de la superposition d'une infinité de rayons de diverses couleurs, dont chacun sera partagé par le milieu isophane en deux autres rayons de même couleur, polarisés

974 THÉORIE MATHiHATTQUE

circulairement en sens eontraires , mais doués de yitesses de propagations différentes. En d'autres termes ^ le rayon incident de lumière blanche pourra être considéré comme décomposé par le milieu isophane en une infinité de rayons de diverses couleurs, dont chacun serait polarisé rectilignement, mais dont les plans de polarisation tourneraient plus ou moins rapidement en décriTant des angles variables, non seulement avec l'épaisseur du milieu, mais aussi avec la nature de la couleur ; on verra donc ici se produire ce qu'on peut appeler la dispersion circulaire des couleurs. Pour rendre cette dispersion sensible, il suffira d'analyser la lumière transmise à travers le milieu isophane , à l'aide d'un prisme biréfringent. Les deux images produites par le prisme paraîtront colorées , et elles offriront des couleurs complémentaires qui varieront quand le prisme tournera sur lui-même. C'est en cela que consistent , comme l'on sait , les phénomènes de la polarisation chromatique.

218. Quant aux lois de la dispersion circulaire, M. Gaochy a pu facilement les déduire des principes établis dans les paragraphes précédents, en se servant des expériences de M. Biot pour déterminer les coefficients que renferment les formules. Ici eneore, comme dans le cas de la dispersion plane , il a reconnu qu'il suffisait ordinairement de conserver dans choque formule le coefficient du premier ou des deux premiers termes pour que les observations se trouvassent représentées avec une exactitude satisfaisante, et vold les lois très simples auxquelles il est parvenu.

Pour la plupait des milieux Isophanes qui représentent les phénomènes de la polarisation chromatique, la différence entre les longueurs d'ondulation correspondantes aux deux rayons polarisés circulairement en sens contraires est indépendante de la natui-edela couleur. Pour l'acide tartrique étendu d'eau, cette différence se compose de deux termes, l'un constant, l'autre rëciproquemeat propoitionnel aux carrés des longueurs d'ondulation.

Par suite , si , pour l'acide tartrique étendu d'eau, Ton multiplie les indices de rotation relatifs aux diverses couleurs par les carrés des longueurs d'ondulation correspondantes à ces mêmes oo«leurs, les différences entre les produits ainsi obtenus seront à très peu près entre elles comme les carrés de nDmbi*es réciproquement proportionnels aux longueurs d'ondulation.

tm- LA LVMiÀnBi 975

Voyons maintenant jusqu'à quel point cette eonditibtl 8e trdQTe remplie.

Après avoir renfermé dans un tube , dont la longueur est de l^^OOd , une dissolution d'acide tartrfque avec environ 2/3 d'eau et à une température de 26 degrés centésimaux » M. Blot a examiné et analysé la lumière transmise à travers cette dlssoltition, à l'afde a*un prisme biréfringent; puis il a condil de ses expéHences que les indices de rotation relatifs aux rayons violet , indigo , bleu, vert, Jaune, orangé, rouge, étaient sensiblement représentés par lés angles

Or, ces angles sont sensiblemetit proportionnels aux nombres

D'autre part, les longueursd*onduIation exprimées en millionièmes de millimètre , et eorrespondantes aux rayons dont 11 s*agit, sont, d'après les expériences de Fresnel > seiiSiMètnènt représentées par les nombres

Et si l'on multiplie les carrés de ces derniers nombres pttr les pre-^ miers , les produits seremt sensiblement proportiëntiels aux termes éeteseite

tl est important d'observer que dans cette dernière suite les divers termes croissent avec la longueur d'ondulation : ce qui n'avait pas lieo pour la suite (f ). Ce n'est pas tout , les dlffîérences entre les dl^ vers termes de la suite (g) sont respectivement

Et d'autre part, si Ton divise l'unité par tes carrés des longueurs d'ondulation relatifs aux divers rayons , on obtiendra les nombres

276 THiSOBIE MATHÉMATIQUE

dont les différences

seront sensiblement proportionnelles aux nombres

Or, les différences qui existent entre les termes des suites (b) et (I) sont de Tordre des erreurs que comporte la détermination des nombres (g) , puisqu'on ne peut répondre de chacun de ces nombres, et par conséquent des nombres (b) qu*à deux ou trois unités près. Donc , ici encore , les différences qui existent entre les résultats du calcul et les résultats de l'expérience sont de Tordre de celles que peuvent produire les erreurs d'observation.

219. M. Caucby, cette fois encore , a donc eu la gloire de déduire de sa formule une loi qui avait échappé même aux innombrables investigations de M. Biot. C'était une belle manière de relever le gant jeté un peu fièrement peut-être par le grand physicien à Tinfatigable géomètre.

Il est évident , toutefois, que cette méthode de M. Caucby laisse quelque chose à désirer : elle ne se rattache en aucune manière à sa théorie générale , qu'elle semble même nier; elle procède, non plus à priori et en partant de principes généraux, mais à posteriori; elle ne devance plus l'expérience, elle la suit. Nous allions développer avec franchise ces observations critiques , quand une discussion , soulevée tout-à-coup à TÂcadémie des sciences , lundi dernier 19 mai, est venue rendre notre tâche plus facile, et jeter un jour nouveau sur la grande question de la polarisation mobile. M. Laurent, jeune officier du génie employé aux travaux de fortificatioDS du Havre, et qui depuis un an s'est révélé au monde savant par la publication de plusieurs mémoires vraiment remarquables , a adressé à M. Arago, et par M. Arago à l'Académie des sciences, la lettre suivante :

220. « La théorie de la polarisation mobile en est encore aujourd'hui au point où Ta laissée Fresnel. M. Gauchy, il est vrai , a dminé des équations différentielles propres à reproduire Texplicatioa de ces phénomènes telle que Ta présentée Tiiiustre physicien que je viens de citer; mais ces équations sont purement empiriques. En effet, M. Caucby les a formées en admettant à f non préciséaierl

f>£ LA LUMlJilAE. ^'J'J

et qu'il serait très important de vériâer, c*est-a«dire que dans certains systèmes de molécules les mouvements simples , polarisés dreulairement en sens contraire , se propagent nécesêairement avec des vitesses différentes. 1^ outre, ces équations empiriques sont ineompatibles avec celles qui représentent les lois des mouvements d'un système, ou même de deux systèmes isotropes de points matériels , et que , depuis quatorze ans , M. Cauchy donne comme représentant les lois des mouvements delà lumière dans les corps diaphanes. En un mot, il est mathématiquement impossible que dans on système ou même deux systèmes isotropes de points matériels, deux mouvements simples polarisés circulairement en sens contraire doivent néceisairement se propager avec des vitesses différentes. Ainsi donc , si on adopte l'hypothèse de points matériels admise sans réserve par M. Cauchy pour former les équations du mouvement de la lumière, il faut nécessairement admettre que Texplication des phénomènes de la polarisation mobile donnée par Fresnei est inexacte ^ et il en résulterait une objection sérieuse contre le système des ondulations, dont toutes les formules ne pourraient plus être considérées que comme empiriques. Voilà Tétat actuel de la question. Je pense que vous au moins, monsieur, partisan déclaré du système des ondulations, non seulement pour représenter les lois des phénomènes lumineux , mais encore pour en donner Texplication réelle, vous verrez avec plaisir que Texplication que Fresnei a donnée des importants phénomènes de polarisation mobile que vous avez signalés le premier, est une conséquence nécessaire de i*hypolhèse de molécules à dimensions sensibles. Dans le mémoire que j'ai l'honneur de vous adresser, je ne considère, il est vrai, qa'un système unique de sphéroïdes ; mais les conséquences auxquelles j'arrive subsistent, si l'on considère un système de sphéroïdes et un système de points matériels qui coexistent dans une portion donnée de l'espace. Il est donc prouvé que les molécules des corps ont des dimensions sensibles. J'attache d'autant plus d'importance à ee résultat qu*on devra nécessairement admettre les conséquences yraiment extraordinaires qui en résultent, et que je me propose de vous communiquer au ftir et à mesure que le peu de loisirs dont je dispose me permettra de les rédiger. »

Dans le mémoire qui accompagne cette lettre, M. Laurent dé-*

a'yR THÉORIE MA.THBMAT1QUE

moBtre qufi ponr qu'an système û% sphéroïdes paisse 'prëseatar la phéDomèoes de la polarisatiOD mobile, il est nécessaire qu'ite m soient point identiques ; que , si l'identité n*existe pas, deux mouvements simples , d*ane même longueur d'ondulation , polarisés cir* culairement en sens contraire , se propageront nécessairement anc -des vitesses différentes. M. Laurent promet de développer plus tard -les conséquences remarquables de cette déduction théorique,

221. Cette attaque contre la théorie de M. Cauchy était un peo vi?e, et quelque peu injuste; le root empirique était mal dioisi, M. Laurent n*en a probablement pas compris la vraie signification et la portée. L'illustre géomètre oppose à son sévère adversaire tes observations suivantes , que nous adoptons.

La méthode de M. Cauchy n'eçt nullement empirique; elle est bien certainement analytique et rationnelle; ses équations sont mathématiquement déduites, sinon d'une hypothèse partioulière sur la nature des forces et sur la constitution d'un système, du moins de nouveaux principes appliqués aux phénomènes de la polarisation chromatique.

M. Laurent fait observer que les équations diflérentiélles de ce genre de polarisation sont incompatibles avec celles qui représentent les mouvements d'un système isotrope de points matériels, telles que M. Cauchy les a données dans les exercices. Cette proposition est évidente par elle-même , puisque pour passer des unes aux antres il faut faire évanouir une certaine fonction , et qu'en réduisant cette fonction à zéro on fait précisément disparattre la polarisation Circulaire : aussi M. Cauchy s'est bien gardé de confondre ces équations les unes avec les autres. Loin de réduire les molécules à de simples points roatériels,M. Cauchy dit expressément (Compr. rend., t, XV , p. 911) : « Le nombre des cœfftcîentsqne renferment les équations des mouvements infiniment petits d'un systèniede molécoles se trouvera encore considérablement augmenté si l'on tient compte, avec quelques auteurs, des rotations des molécules, ou avec moi-même, des divers atomes qui peuvent composer une seule molécole: i* croîtra de nouveau si l'on considère deux ou plusieurs s^'stèmes de molécules au lieu d'un seul. » Ailleurs, page 1082, M. Cauehy parle du centre de gravite de la molécule , et il est clair qu'il n"y a lieu de parler du centre de gravité d'une molécule que dans le cas

0B LA LUKiiRE. «279

OÙ cette molécule ne se réduit pas k un simple point matériel.

Il est prouvé pour nous, 1° que la théorie de polarisation mobile n*en est plus au point où l'avait laissée Fresnel : M. Cauchy Ta enrichie de la belle loi de la dispersion circulaire (n^ 218) qui n'avait été ni indiquée par Fresnel, ni découverte par M. Biot; 2° que les équations de M. Laurent sont identiques avec celles de M. Cauchy.

Reste à savoir si M. Laurent est parvenu à établir à priori les équations différentielles de la polarisation chromatique , en partant de la seule considération des actions mutuelles de molécules dont les dimensions ne sont pas supposées nulles.

Pour se former à ce sujet une opinion raisonnée, il sera nécessaire non seulement de lire avec attention la note de M. Laurent, mais encore de connaître le développement des calculs dont cette note offre seulement un aperçu. Si M. Laurent a effectivement démontré qu'on peut obtenir un système de sphéroïdes qui présente les phénomènes de la polarisation circulaire , cette proposition constituera y dans la théorie de la polarisation ^ un nouveau progrès auquel M. Cauchy s'empressera d'applaudir.

22Î. Avant que M. Cauchy vînt essayer d'expliquer mathématiquement la question délicate de la rotation du plan de polarisation, et révéler au monde savant la loi du phénomène qu'il a heureusement caractérisé sous le nom de dispersion circulaire , M. Babinet , dans un mémoire fort remarquable sur la double réfraction circulaire, répondait d'une manière péremptoire à des difficultés Jusque là non résolues.

Le but de M. Babinet était: 1** d'établir la formule qui donne la loi de la double réfraction circulaire; 2® d'exprimer mathématiquement sa connexion avec les phénomènes de rotation ; 3** de faire connaître les procédés d'interférence qui peuvent, indépendamment de tout autre moyen, donner là mesure de cette singulière double réfraction, même dans les liquides où elle est le plus faible. Soit p l'indice de réfraction pour l'un des rayons circulairement polarisés qui sont transmis suivant l'axe du cristal; ce rapport, pour le second rayon circulairement polarisé , serap (1 + <), e étant une quantité très petite : p pour le cristal de rocheest égal à 1,5484. Si l'un des deux rayoi^ est re^ftrdé siivant l'axe du cristal d'un

a80 THÉORIE MATHEMATIQUE

intervalle équivalent dans le vide à X , le plan de polarisation da

rayon résultant des deux faisceaux a tourné de 90*. Or l'intervalle

1 4 X 131 -X dans le vide est équivalent dans le cristal déroche à-^ — on -—

C'est donc là le chemin que Tun des rayons gagne sur l'autre, quand le plan de polarisation tourne de 90". Soit a Fangle de rotation de ce même plan pour une épaisseur d*un millimètre de cristal et pour une couleur homogène donnée , on aura une rotation de 90''

90* pour une épaisseur égale en millimètres a — . f^s chemins ëc|uiva-

90* lents parcourus par les deux faisceaux sont donc — ^pour l'un, et

H *^~- P^^^ l'autre; le rapportdesdeux quantités p et p (1 + c)

90" 90* 1 X sera celui de — à Ht""? <>« aura dès lors :

Pour donner une idée de ce qu'est en général e , supposons que

Ton ait p = ^ , X =: 0"™, 0006, a = 20*», on trouvera c := x^j^ ;

celte fraction est au-dessous des plus petites doubles réfractions ordinaires qui aient été observées.

Si Ion met a la suite l'un de l'autre deux prismes de cristal de roche, formant un paralléliplpède que la lumière parcourt suivant l'axe du cristal, et que les deux prismes soient de rotations contraires, ou sait que celui des deux qui donne la plus grande vitesre à l'un des faisceaux cîrculaîrement polarisés donne au contraire à l'antre la plus petite vitesse, et réciproquement; en sorte que si le premier faisceau passe de la vitesse p à la vitesse p ( 1 + t ) le second passera de p ( 1 + 1 ) ài. Or , dans ce cas , M. Babînet trouve que si l'on appelle a l'angle des deux prismes collés ensemble , la séparation angulaire i des deux faisceaux est :

j = 2pctaug(r»

DE LÀ LUMIKRE. sSl

Telle est la valeur de la double réfraction circulaire; si, par ejLemple^ a =80», on aura à peu près S = . Cet angle étant

d'environ deux minutes, et la double réfraction étant de — -^^ — ' 1600

de la distance de Tobjet « on voit qu*à une distance de 1500 millimètres, l'image d*un objet ayant un millimètre de diamètre serait doublée.

On conclut d*un calcul semblable que pour obtenir une double réfraction circulaire , avec des prismes multiples d'essence de téré« benthine et de sucre dissous , il faudrait un tel nombre de prismes ou des angles tellement grands que Texpériecce est impossible.

223. Il faut donc avoir recours aux interférences pour obtenir la mesure de ces doubles réfractions circulaires si faibles ; il importait d'ailleurs de vérifier par Texpériencc la formule remarquable et nouvelle :

p=2pctanga

^J. Babinet y est parvenu par un moyen très simple. Il place une lumière bomogène, d*une couleur donnée, derrière une petite ouverture verticale, et polarise la lumière transmise avec une plaque de t4»urmaline. A un mètre de la petite ouverture est une plaque prisme de verre qui, à un mètre derrière elle, produit de belles franges dlnterférences. Au moyen de deux petites lames de mica, les deux rayons qui doivent interférer reçoivent la polarisation circulaire près de la plaque prisme , ce qui , en général , ne trouble pas les interférences, quoique les deux polarisations circulaires soient y bien entendu, de nature contraire. Cela posé, Ton place derrière les deux lames de mica un bloc de cristal de roche , que les rayons parcourront suivant Taxe. L*un des faisceaux gagnant sur Tautre , ainsi que nous Tavons vu , Tinterposition de la plaque épaisse de cristal déplacera les franges d'interférence , et la quantité de ce déplacement peut être facilement évaluée , eu se rappelant

que pour une épaisseur de cristal égale à ( environ 4 — milli. )

un des rayons gagne sur Tautre une demi-longueur d'onde. Avec l'un des cristaux dont M. Babinet a fait usage, le déplacement est

9Ba TUliOitlB MA^THiM ATIQUE

iselai qui correspond à neuf franges , c'est-à-dire qu'il est de 4 à 5

millimètres avec les franges d'un demi-minimètre de largeur. En substituant à la plaque de quartz une plaque épaisse d'un liquide doué de la propriété rotatoire, on obtiendra de même la mesure de la double réfraction circulaire inobservable directement par la détermination de l'Indice de réfraction p.

L'interposition de la plaque de cristal ou de la plaque liquide , dans rexpérience précédente, devant déplacer un peu les franges de leur position , par l'effet de la réfraction ordinaire , à cause de riropossibilité de faire les faces d*entrée et de sortie parfaitement parallèles , on sait qu'il est indispensable de s'affranchir de cette cause d'erreur. Pour y parvenir, on laissera la plaque et les lames de mica immobiles ; il suffit , en mettant à angle droit de la portion primitive la plaque de tourmaline , de faire tourner de 90* le plan de polarisation de la lumière qui, passant par l'ouverture étroite, sert d'origine commune aux rayons interférents ; alors à leur arrivée sur les deux plaques de mica la polarisation circulaire des deux rayons change de nature, ainsi que la double réfraction circulaire. Le plus retardé des deux faisceaux , dans le premier cas , devient celui qui Test le moins dans le second. Les interférences sont déplacées sans perturbation aucune dans le système des lames de mica et delà plaque circolairemeot biréfringente, d'une quantité dont la moitié donne l'effet de la plaque épi^isse. Eln admettant que cet effet est représenté par le nombre n de largeurs de frange , qui marque la valeur de la moitié du déplacement total, pour une épaisseur e de I4 plaque, l'épaisseur qui correspondrait à une

dernière frange serait évidemment - — , et l'on aurait c = ,

en remplaçant — par .

224. Remarquons encore, avec M. Babinet , que les rayons polarisés circulairement présentent dans leurs interférences autant de singularités que dans leurs autres propriétés optiques. Ainsi» à dire vrai, deux rayons polarisés circulairement et en sens contraire donnent toujours par leur réunion une illumination constante, quelle que soit leur différence de marche; mais si l'un d'eux a éprouvé un retard d'une demi-longueur d'onde, ces deux rayons

BB LA LUMii&B. tt83

poiaiiaës eliralairaBent se oGiaWseot êa an seul reyoA polarisé evdlnaire, mais doBt le plan de polarisation est à 00* du plan de polarisalioD du rajroa primitif d'où ils proviennent. Alors en ana^lysant la lumière à son émergence, par une tourmaline placée parallèlemeBt à oelie qui produit la polarisation primitive» on a une extinction là où le plan de polarisation a tourné de 00* ; c'està-dire » d'après ce qui précède, quand la différence de marctie

est — X, exactement comme dans les cas ordinaires d'interfërences.

Les lois fondamentales de la double réfraction circulaire, de la rotation du plan de polarisation et des interférences des rayons polarisés drcolairement , ont donc été expérimentalement et théorlqneiiiait déterminées par M. Babinet, ainsi que les variations de vitesse des rayons cireulairement polarisés, transmis dans les substances qui produisent la rotation. Le savant académicien ajoute que le même procédé expérimental permettra d'explorer, par des mesoses de vitesses qu'aucun autre ne peut donner, comment la double réfraction circulaire du cristal de roche, suivant faxe, passe à la double réfraction ordinaire à mesure que la route des rayons s'incline sur Taxe ; objet sur lequel, même après les recherehes Importantes de M. Airy « la tiiéorie et Tobservation laissent encore une grande obscurité.

225. Les effets de polarisation et de coloration produits par les cristaux doublement réfringents sur la lumière transmise , sont, comme nous l'avons vu, la conséquence nécessaire de l'interférence des deux rayons, suivant lesquels la lumière se partage dans l'intérieur de ces cristaux* Ce double effet devient ainsi un caractère dlstinctif de la structure doublement réfringente; il nous fournit les moyens de mettre cette structure en évidence et d'en étudier les lois, môme dans des substances où la séparation des deux rayons est trop petite pour qu'on puisse l'observer directement. Les mêmes phénomènes ont amené cette découverte importante, que l'on peut, par la compression mécanique ou par la dilatation , communiquer la structure doublement réfringente à des corps qui ne la possèdent pas naturellement. M. Brewstcr a observé que si l'on presse à la fois les deux faces opposées d'un parallélipîpède de verre, il colo^ rera la lumière polarisée delà même manière qu'un cristal double-

a84 TH^Oai£ MATHÉMATIQUE

ment réfringent, et que la teinte produite deaeend de rang dans l'échelle à mesure qne la pression augmente. Des cristaux simplement réfringents, le chlorhydrate de soude, le spathfluor, acquièrent par ce moyen la propriété de la double réfraction.

Ces faits sont pleinement d*accordavec la théorie des ondulations: en yerta de la liaison qui existe entre le milieu Tibrant et le milieu qui le contient, Télasticité de ce milieu ou de l'éther cesse d*èlre la même dans les différentes directions sous Tinfluence de la compression. De plus, le maximum et le raininum d*élasticité correspondent aux directions de plus grande et de moindre pression. Chaque vibration du rayon incident sera par conséquent , à son entréedans le cristal, divisée suivant la direction de plus grande et de plus petite élasticité en deux autres vibrations qui se propageront avec des vitesses différentes. L'une d'elles sera plus retardée que l'autre, elles se trouveront à leur émei^gence dans des phases différentes de vibration ; leurs composantes parallèles au plan de réflexion de la plaque analysante pourront par conséquent interférer, et donner naissance à des couleurs dont la teinte dépendra de l'intervalle d'interférence.

226. Les déductions de la théorie ont été confirmées expérimentalement par Fresnel , qui trouva que la vitesse avec laquelle le rayon traversait le verre était plus grande ou plus petite , suivant que^iu plan de polarisation était parallèle ou perpendiculaire à la ligne suivant laquelle s'exerçait la pression. La double réfraction du rayon était une suite nécessaire de cette différence de vitesse; oo pouvait l'en conclure immédiatement; Fresnel fit plus, il Tobserva directement. Il disposa une série de prismes de verre , de telle sorte que leurs angles réfringents fussent alternativement dans des directions opposées , et pressa fortement à l'aide de vis les extrémités des prismes alternés. Tout rayon transmis à travers cet ensemble de prismes était divisé en deux rayons de polarisations contraires, ou polarisés à angle droit. Les prismes comprimés avaient acquis dans cet arrangement la structure doublement réfringente, et la ligne de pression devenait Taxe de double réfraction. Gomme les angles réfringents des prismes comprimés étaient tous tournés dans le même sens , la divergence des deux rayons croissait proporliouneliement au nombre de ces prismes et devenait

DE Lk LUMlèitE. q85

|Mr là sensible. Les prismes intermédiaires servaient, en corrigeant la déviation des rayons de diverses couleurs , à rendre la onnblDaîson aehnmiatique.

i27. Les effets contraires de la compression et de la dilatation peavent être rois en évidence et étudiés, à l'aide d*une plaque épaisse de verre bandée ou. tendue par une force extérieure. La masse entière de la plaque est ainsi constituée dans des états différents d'élasticité. La portion convexe est dilatée^ la portion concave est comprimée, tandis que, dans la partie correspondante à Tépaisseur moyenne , les molécules d'étber ont leur densité naturelle. Dès lors si i*on interpose cette plaque entra un rayon polarisé et la plaque analysante , de telle sorte qu'elle forme un angle de 45'' avec le plan primitif de polarisation, on verra apparaître deux séries de bandes colorées séparées par une ligne neutre» et qui s'évanouiront ensemble si la force comprimante cesse d'agir. La partie située Ters la convexité ou vers le côté dilaté de la ligne neutre acquiert la structure doublement réfringente positive; la partie située vers la concavité ou A^ers le côté comprimé acquiert la structure doublement réfringente négative.

Dans tous ces cas de double réfraction consécutive et transitoire , les pbénomènes sont produits par la masse entière de la substance; les axes d'élasticité sont deux simples lignes, fixes de position comme de direction dans l'intérieur de la substance. Sous ce rapport les pbénomènes sont essentiellement différents de ceux qui sont produits par une cristallisation régulière : les axes d'élasticité daus les cristaux sont simplement fixes de direction et non de position. La double réfraction dépend uniquement de cette direction , et est la méflie en tous les points du cristal.

âi8. Les effets de compression et de dilatation inégale peuvent être obtenus bien plus régulièrement par l'élévation et l'abaissement de la température. On peut les étudier en appliquant une bande de ter ébaud au bord d'une plaque rectangulaire de verre, que Ton place dans l'appareil de polarisation ; de telle sorte que le bord dianlfé forme un angle de 45*" avec le plan primitif de polarisation ; on voitau bout de quelque temps la surface entière de la plaque se eoovrir de bandes colorées. Les portions qui confinent au i>ord opposé ont acquis la structure doublement réfringente positive;

<286 THiOlUB MATHéHlTfQUE

celles qal avoleiiieBt le eentre.ont la stnictiire doublèlMot réfrln* gente négative. Left effets produits seroat Inrerses si la plaque de verre/chauffée d^abord uniformément, est refroidie rapidement sar un de ses bOrds ; tonte apparence de couleur s* évanouit dès que tous les points de la plaque sont à la même température.

SI Ton transmet la chaleur de la surface à Taxe d'un cylindre de verre en le plongeant dans rhuile cliauffée , i\ d^loiera un système d*anneaux semblables à ceux des cristaux uni-axes négatif : Taxe du cylindre devient ainsi un axe de double réfraction. Dès que la chaleur atteint i*axe , la double réfraction s'affaiblit et s*évamniit en même temps que toute coloration dès que le verre est Bnffonnément échauffé. Si à ce moment on refroidit rapidement le cylindre en l'entourant d'un bon conducteur du calorique , il acquerra tran« sikoirement une structure doublement réfringente positive, et loiiti trace de coloration ou de double réfraction disparaîtra dès que le cylindre sera de nouveau uniformément refroidi. Si l'on emploie vm cylindre elliptique au lieu d'un cylindre circulaire , on verra naltn! les courbes colorées propres des cristaux bi*axes ; on peot varier à l'infini les apparences produites en modifiant la forme du verre.

Si maintenant y par un moyen quelconque, on arrête, an fixe le verre dans l'un des états transitoires que nous venons de décrire , Il acquerra une structure doublement réfringente permanente. On y est parvenu en chauffant le verre an rouge, et le refhddisganl subitement. Il se condense à sa surface et prend à l'extérienr une forme stable suivant laquelle l'intérieur doit se mouler, en retenant une densité inégale. La loi de la densité , et par suite la stmetare doublement réfringente, dépendront de la forme extérieure; l'on trouve, en conséquence, que les bandes des parties colorées, que de semblables verres déploient dans la lumière polarisée, présentent des arrangements réguliers qui varient avec la figure de la oiasae entière.

22d. De même qu'à l'aide de la compression mécanique o« d*mse inégalité de température ou communique la structure denUeHMBt réfringente à des substances qui ne 4a possèdent pas nat«rellenient« on peut, par les mêmes moyens, modifier cette stmetare dans les cristaux qui en Jouissent déjà. C'est ainsi que MM. Brevrster el Biot ont troQvé que la double réfraetion peut être altérée dans les

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cristaux rëgnlfers , qtic la teinte produite peut monter on des-^ eifidre dans l'échelle des couleurs , par Teffët d'une simple pression.

Les changements produits par la chaleur sont encore plus remarquables. M. Mitscherlich a découvert ce fait important que là dilatation produite par In chaleur dans un cristql est différente eti général dans les différente^ directions, de telle sorte que leur formé étant altérée y leur pouvoir doublement réfringent est iui-mémé modifié. Ainsi , le spath d'Islande se dilate par la chaleur dans ta direction de son axe , tatidis qu'il se. contracte par une petite élé-^ vation de température dans, la direction perpendiculaire à l'axe. Les angles de la forme primitive varient par conséquent : le rhomhfAde devient moins obtus, se rapproche du tube, c'eM-à*dire d'une forme cristalline pour laquelle, comnie nous l'avons dit, 11 n*y a point de double réfraction. M. Mitscherlich aVait conclu de eette observation que dans de semblables circonstances le pouvoir doublement réfringent du cristal devait diminuer ; cette conjecturé a été vérifiée par rexpérience. De fait, l'inclice de réfraction extraordinaire du spath d'Islande croit considérablement avec la tempé^ rature, tandis que l'indice de réfraction ordinaire éprouve peu ou point de variation.

230. Nous avons Vu que rinclinaison des axes optiqttes dans les cristaiiX bi-axes est une fonction simple des trois élasticités priiici-^ pales du milieu vibrant, et que le plan de ces axes est le plan de la plus grande et de la plus petite élasticité. Dès lors , si ces élasticités sont altérées par la chaleur dans des proportions différentes, i'in^ elinaison des axes variera eu même temps , et il peut même arriver que le plan des axes atteigne une position perpetidiculaire à la position primitive.- Toutes ces modifications ont été réellement observées. M. Mitscherlich a trouvé pour le sulfate de chaux que l'angle deé axes , qui est de 60* à la température ordinaire, diminue par Yap* plication de la ehaleur ; qu'à mesure que la température augmente^ ces axes s'approchent Jusqu'à se confondre ; que si la chaleur aug-* mente encore, ils se séparent de nouveau et arrivent à former un angle droit; La chaleur dilate beaucoup plus le cristal dans une âlreetion que dans la direction perpendiculaire. M. Brewster à observé des phénomènes semblables dans la glaubérite.

S31 . Arrètons-uous : il résulte évldcmnoent, il me semble, de cette

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longue étude, qui est comme une analyse complète de toutes les recherches qui ont eu pour objet les modifications que la présence des corps de la nature Imprime aux rayons lumineux, que la théorie de rémission est complètement inadmissible. Parnai tant de phénomènes divers , il n*en est pas un seul que Ton puisse expliquer d*une manière tant soit peu satisfaisante par la simple hypothèse de molécules émises par les corps lumineux et soumises à l'action attractive ou répulsive des corps dont elles s'approchent, ou qu'elles rencontrent dans leur course. Newton se vit contraint de revêtir les molécules de caractères nouveaux ; mais ces caractères paraissent, même au premier aperçu , complètement incompatibles avec d'autres pr(^riétés certaines , et il ne put faire disparaître ces di verglacés qu'en recourant à une complication mécanique bien plus difficile à comprendre que les faits simples qu'il s'agissait d'expliquer. Ge n'est pas tout : chaque fait nouveau , chacune des lois des plaques minces, etc., etc., entraînait pour les accès une propriété nouvelle, et aucune de ces propriétés ne s'accordait avec les antres et ne répondait à l'ensemble mécanique dont on les faisait dépendre.

Ces imperfections de la théorie newtonienne devenaient de plus en plus effrayantes à mesure que l'on passait d'une classe de phénomènes à une autre. Pour expliquer, par exemple , les faits de la diffraction , on s'appuyait de principes entièrement étrangers à ceux par lesquels on expliquait les plaques minces; et ces deux séries de phénomènes dans ce mode d'explication étaient de nature complètement différente ou absolument indépendantes les unes des autres.

232. Il en est tout autrement pour la théorie des midulatlotts. Là tout est simple, tout est parfaitement en harmonie, Tensemble comme les détails. Le principe des interférences est une consé* quence nécessaire, naturelle, du mouvement vibratoire, et ce seul principe rend compte, comme nous l'avons vu, de tous les faits, conduit aux lois de tous les phénomènes. Mais ce n'est pas seulement par rapport à leur origine que les faits observés sont intime* ment liés les uns aux autres ; ils sont de plus étroitement unis par la chaîne des nombres. Les lois si nettes des interférences, les lois si délicates de la diffraction , les lois si multiples des couleurs des plaques minces, épaisses, mixtes, etc., dépendent d'une seule constante, la longueur de l'onde dans chaque milieu , et dès que

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cette constante a été déduite d'une expérience quelconque prise dans une série quelconque de phénonnènes , i>n peut calculer à priotn les détails de tous les autres faits ; les distances calculées s'accorderont toujours parfaitement avec les distances mesurées. La polaiMsation rectiligoe , circulaire, elliptique, la rotation des plans de polarisation , etc. y tout, dans cette même théorie des ondulations , se comprend avec la plus admirable netteté « tout se louclie en quelque aorte du doigt.

i33. Il ne semble iaspessible de réaisler à la vérité d*vna théorie qui s'appttle sor une si éelatante évidenee. l/explieatioD qu*elt^ iiMirnit n*est pas seulement complète, elle est simple. Ses lois der<^ Bières ou fondamenlales comme ses demiî»^ données sont réduites to pins petit nombre possible , et si nous contemplons ia variété iolBie dee phénomènes qui se gronpent ainsi autour duo centre commun , nous sentons qu*il nous a été donné de faire un pas réel si eertaiD dans la connaissance des œuvres du gbàbp et iimque INFINI.

ugo PRÉCIS