MO

To-

rs*

Gomme la disparition des anneaux n*a évidemment pas pour cause, comme dans le cas de Tangle de ô5",52', Textinction de Ton des rayons interférents , puisqu'une quantité suffisante de lumière polarisée est réfléchie par les deux surfaces de la couche, il fiiut nécessairement en chercher la raison dans ce fait que les deux rayons sont polarisés perpendiculairement Tun à l'autre. Nous avons déjà dit que deux rayons polarisés à angle droit n'interfèrent pas.

, 181. En appliquant à ce genre de recherches les formules de Fresnei et celles qu*il avait démontrées expérimentalement» M. Bre^vster arrive à la loi suivante, qui est Texpression vraiment remarquable des faits observés par lui.

Si deux faisceaux de lumière polarisée sont réfléchis par les deux faces d'une plaque mince, posée sur une surface réfléchissante d'un pouvoir réfringent différent , il n'y aura point de demi-ondulation perdue , et , par conséquent , il se formera des anneaux à centre blanc, tant que Finclinaison mutuelle de leurs plans de pol»risatlon sera plus grande que90*. Si cette inclinaison est plus petite qpe 90"*, il y aura une demi-ondulation perdue, et l'on verra apparaître des anneaux à centre noir. Enfin si l'inclinaison est exactement égale à 90% les rayons polarisés n'interféreront pas ; il n*y a plus d'anneaux colorés.

182. M. Brewster était curieux d'étudier toutes les particularités du système parfait d'anneaux formés dans le cas où la plaque mince a un pouvoir réfringent plus grand que la substance sur laquelle elle repose. U y parvint ^f^rès plusieurs vaines tentatives.

DE L\ lumU':re, a33

ea déposant one très petite quantité d'iiuile de laurier sur de l*eau placée dans un vase noir, ou sur de l'encre étendue ou non étendue d'eaa. Les anneaux ainsi obtenus étaient magnifiques, et présentaient dans tout leur éclat les apparences que nous venons de décrire. Comme i*apgle de polarisation de Thuile surpasse celui de Fean , on voyait les anneaux à centre noir sous Tangle de polarisatkm de Feau , pour lequel la lumière réfléchie s'évanouit. Ils conti* nnèrent à se montrer Jusqu'à ce que l'angle d*incidence atteignit Tangle de polarisation de Thuile; ils s* évanouirent alors; les an* neaax à centre blanc commencèrent , et restèrent visibles jusqu'à rincidence de 90°.

183. En examinant les couches minces de substances étrangères qui se déposent naturellement ou artificiellement à la surface de divers métaux, en donnant naissance à des anneaux colorés, M. Brewster retrouva des phénomènes partout semblables à euxmêmes, et qui différaient peu de ceux qu'il avait observés avec des sobstaooes transparentes.

Ainsi , par exemple , lorsqu'il eut déposé sur le métal des miroirs une pellicule très mince d'huile de laurier, il trouva que les an* neaux colorés ainsi obtenus, et qui étaient très beaux, disparaissaient presque entièrement sous l'angle de 59*, qui est l'angle de poiarlsatimi de l'iiuile. Les anneaux à centre noir apparaissaient sons tous les angles plus petits que 56*, les anneaux à centre blanc sons tous les angles- plus grands. On voyait parfaitement les anneaux sous les plus grands angles d'incidence, ce qui n'a pas lieu pour les substances transparentes d*un faible pouvoir réfringent. Pendant que l'azlmuth du plan de polarisation variait de 90 à 0<*, les anneaux disparaissaient sous diverses incidences , de même qu'ils s'évanouissaient pour divers azimuths, tandis qu'on faisait varier Tai^e d'Incidence.

L'ai*gent faisait exception à la loi commune , en ce sens qu'il était très difficile d'observer les azimuths pour lesquels les anneaux disparaissaient. Ne trouverions-nous pas dans ce fait une conformation expérimentale de la théorie de M. Cauchy, suivant laquelle l'argent serait tout-à-fait comparable aux substances peu réfringentes, son indice de réfraction n'étant que de 0,343, tandis que rindioe de réfiraction du métal des miroirs est égal à 1 ,716 ?

â34 THÉOH16 HATHÉMA.TIQUE

Si dans les expériences qui précèdent on emploie de la lumièn ordinaire au lieu de lumière polarisée, et qu'on analyse la lamière réfléchie au moyen d'un rhomboïde de spath calcaire, on le* trouvera à peu près les mêmes phénomènes.

184. Ils seront , au contraire y de nature tout-à-fàit différent» , ai les pellicules ou les lames minces ne sont pas déposées sur la surface de corps solides ou liquides. Les anneaux conservent toqjours alors les mêmes couleurs et le même caractère, sous toutes les incidences et pour tous les azimuths , que la lumière employée soit ordinaire ou polarisée. Pour mettre ce résultat en évidence, M. Brewster étendit de petites pellicules de diverses huiles, par exemple : de Thuile de laurier, de Thuile de cassia , de Thnile de térébenthine, sur de petites ouvertures rondes, et les examina avec la lumière dans divers azimuths. Les anneaux disparureU sous Tangle de polarisation de ThUile ; Téclat des couleurs varia avec i'azimuth et Tangle d'incidence , mais jamais on ne vit les a&> neaux complémentaires , ils restèrent toujours à centre noir. PMr parvenir à découvrir la cause de ce fait singulier, M. BrewKter calcula la position des plans de polarisation des rayons interférents, et s'assura que dans tous les cas ils étaient réfléchis tous deux soy des angles à la fois plus grands, ou à la fois plus petits que l'angle de polarisation; et que, par suite, leurs plans de polarisation , toujours situés du même côté du plan de réflexion et dans le même quadrant , ne peuvent pas être perpendiculaires , et sont, en conséquence, dans T impossibilité d'interférer. Par la même raison, l'inclinaison du plan de p'^ arisation ne peut jamais surpasser 90% ce qui serait nécessaire, suivant la loi que nous venons d'énoncer, pour que les anneaux complémentaires à centre i>lanc pussent succéder aux anneaux à centre noir.

185. Les phénomènes que nous venons de décrire seraient beaucoup plus variés et plus intéressants , si la surface postérieure de la pellicule était inclinée par rapport à la première. On pourrait produire de cette manière des effets analogues à ceux que Ton obtient en modifiant le pouvoir réfringent de la surface postérieure par son contact avec une seconde surûice réfringente; obtenir, par exemple, des faisceaux qui fussent perpendiculaires , et qui donneraient, par conséquent , naissance à des anneaux à centre blanc. Les faits pro-

doits seraiaiit alors les mêmes que ceux que Ton obtieut a Faide d'une eouebe d'huile répandue sur Teau.

Si rindice de réfraction d'une pellicule à faces parallèles surpasse 1,508, le rayon rencontre la surface postérieure sous un angle plus petit que Tangle de polarisation ; mais en inclinant la surface postérieure, cet angle d'incidence pourrait devenir plus grand que Fangle de' polarisation. Les apparences seraient plus variées encore , si la surface de sortie était inclinée par rapport à la face d'inddenee.

Mais comme il n'est pas facile d'obtenir des pellicules avec surfioes convenablement inclinées les unes sur les autres, il est inutile de s'étendre plus longtemps sur ce sujet

Ajoutons que les apparences physiques produites par ces pelli- CDlessont vraiment remarquables. A partir du bord et do centre du disque, on aperçoit un courant transversal de fluide qui simule la pointa d'un ananas. Ce courant fait que la pellicule est plus minea en certains endroits que dans d'autres, et donne naissance à un système irrégulier de bandes colorées , avec un Jeu Incessant des caoleurs les plus variées , absolument comme si la pellicule était animée. Les bandes colorées sont bordées de points saillants j d'où le fluide semble s'élancer transversalement Ces apparences sont surtout remarquables avec l'buile de cannelle, de pétrole, de menthe poivrée , d'absinthe , de navette , de noix muscade, de bergamote, de genévrier, de romarin, etc., etc. Avec l'huile de pavot blanc , on voit jusqu'au vert et au rouge du quatrième, du cinquième et du sixième ordre.

186. Toujours prévenu contre le système des ondulations qu'il a cru souvent renverser, oubliant une fois encore que chacune de ses attaques avait été Toccasion d'un triomphe nouveau , M. Brewster avait comme défié M. Uoyd de donner dans ce système la théorie des phénomènes qu'il avait observés. L'illustre pliysicien irlandais releva noblement iegant M. Airy avaitdéduit, comroenousravons vu, de la formule de Fresnel, qui donne la quantité de lumière réfléchie , que tout rayon polarisé perpendiculairement au plan d*incidence éprouve une modification remarquable dans sa réflexion par une plaque mince comprise entre deux surfaces réfringentes, dès que Tangle d'incidence est compris entre les angles de polarisation des

a36 THKORIK MiVTHt'^fATIOCE

deux surfaces. Ces déductions anticipées de la théorie avaient été pleinement confirmées par rexpérieuce. lorsqu'une lentille d*UD faible pouvoir réfringent était posée sur une plaque plus réfringente, les anneaux formés avaient un centre noir, dès que Tangle d'incidence était plus petit que l'angle de polarisation de la surface moins réfringente, ou plus grand que Tangle de polarisation de la surface plus réfringente. Le centre des anneaux , au contraire , était blanc, et le nouveau système d*anneaux était complémentaire du premier, lorsque Tangle d'incidence était compris entre les deux angles de polarisation. Les anneaux s*évanouissaient sous l'angle de polarisation, parce qu'aucune lumière n'était réfléchie par une des' deux surfaces, et qu'il ne pouvait, par conséquent , y avoir lieu à interférence.

Sont venues ensuite les recherches de M. Brewster, qui répéta les expériences de M. Airy en les généralisant, c'est-à-dire en employant de la lumière incidente polarisée sous tous les nzimQths;il a obtenu de cette manière les résultats nouveaux que nous avons énumérés. Il a mi les anneaux s'évanouir dans des circonstances oi la lumière était certainement réfléchie par les deux surfaces de la plaque mince ; il a mis eu évidence plusieurs particularités remarquables dans le passage d'un système d'anneaux à un syst^ne complémentaire.

187. Pour établir la théorie de ces phénomènes , M. Lloyd généralise à son tour les méthodes suivies en pareil cas par Poisson et M. Airy. Il décompose la vibration incidente en deux autres : l'une parallèle, l'autre perpendiculaire au plan d'incidence. Chaque composante donne naissance à une série indéfinie de réflexions entre les deux surfaces de la couche mince. Quand on a trouvé l'expression de l'intensité de la lumière réfléclile correspondante à chacune de ces composantes , il suffit de faire la somme de ces intensités partielles pour avoir l'intensité définitive et réelle du rayon résultant réfléchi.

En désignant par Ir cette intensité , par y l'azimuth du plan de polarisation du rayon incident , par u,%i' les rapports de la lumière réfléchie par les deux surfaces de la plaque à la vibration incidente , lorsque la lumière est polarisée dans le plan d'incidence , parv.v' les mômes rapports pour la lumière polarisée perpendicu-

l/t LA LLMiimF* 287

lairement au plan d'incidence, par d Tangle d*incidence à la première surface 9 par 8' l'angle de réfraction correspondant qui est en même temps Tangle d'incidence à la seconde surface , par 6'' Tangle de réfraction à cette seconde surface, par a la différence de phase de deux portions successives du faisceau réfléchi , par e Tépaisseur de la plaque 9 par X la demi-longueur d'onde, M. Lloyd a trouvé :

j U*-{'2Uu'C08a'\-v'* . j t?^ + 2t?P^C0Sa + P^'

^ 1+llu'cOS a +«'«''"*"**" ^1 +2t)t/C08a + r't)'»

8in(e-y) , sin(e^--y^)

**~sin (6+6')'** ~sin (^ + 0')

tang(e--e') tang(y-~y)

~tang(0 + yr "tangCÔ' + O")

a=— e cos 9'

Si l'obliquité du rayon incident n*est pas très grande, on pourra négliger auprès de l'unité le carré et les puissances supérieures des rapports u , a\ «, v, et l'on aura :

Ir = COS2y{l4* + 2t»'u C0Sa + tt'') + Sin'y(t)î+2lVc0Sa+«'»).

Cette valeur sera indépendante de la phase a, il n'y aura par eonséquent pas d'interférence, l'intensité de la lumière réfléchie sera constante, et les anneaux disparaîtront , si l'on a :

uu cos^ y-\-vv sin^ y =: o

uu' cos (9 — e') cos (e' -> 9^' )

* ^~ vv'~ cos(9 + 9')cos(9'4-9")"

Dans cette formule, cos (9 — 9') et cos (9' — 9") sont toujours positifs : tang^ y ne sera positif, l'angle y ne sera réel y et la disparition des anneaux colorés n'aura lieu qu'autant que cos ( 9 + 9' j et cos ; 9' + d'' ) seront de signes contraires : ce qui suppose nécessairement que les angles d'incidence sur les deux surfaces devront être plus grands dans un cas, plus petits dans l'autre, que les angles de polarisation , comme M. Brewster Tavait observé.

De plus, les phases a , a des deux portions des faisceaux réflé-

338 THÀ>RIS MATHÉMATIQUE

chfs, polarisés parallèlement ou perpendtculairemeDt au plan dMncldence, sout données par les formules :

u' (1 — II*) sina

^"^ "^ ~ ti(l +u'') + w'(c + i*>)oûâ«'

,, t?^ ( 1 — p^ ) sin g

^°^" ~t) (1 +»'«) + »' (1 +t>'')oos«

Ces deux phases sont donc généralement différentes, et le rayon réfléchi sera en général polarisé elliptiquement.

188. M. Lloyd déduit ensuite de ces formules des conclusions nouvelles qui semblent avoir échappé à M. Brewster dans le cours de ses recherches, et fait ressortir le rapport remarquable que ce genre de phénomènes peut avoir avec la polarisation elliptique à la surface des métaux.

En même temps qu*il explique les faits découverts par M. Bre^'ster, il s'ouvre un champ nouveau, et devança rexpérlenoe. L'avantage appartient donc cett * fois encore 4 la théorie des ondulations , qui rend compte des phénomènes observés, et fait préyoir des phénomènes inconnus.

189. M . Àrago a trouvé dans les anneaux colorés un procédé photométrique ou un moyen rigoureux de comparer les intensités de deux lumières provenant de deux sources quelconques. Nous avons dit ailleurs par quelle ingénieuse expérience il était parvenu à mettre en évidence l'état complémentaire des anneaux réfléchis et transmis. Il s'agissait de substituer à une opération de mesurage fort délicate Tobservation matérielle d*un fait, d'échanger Testimation difficile des couleurs contre l'appréciation toute simple de la présence ou de l'absence d'un phénomène. Il fallait en un mot faire coïncider les anneaux réfléchis et transmis pour prouver par l'évanouissement de toute couleur et l'égalité mathématique des dimensions , et l'égalité d'Intensité, et l'état complémentaire des anneaux correspondants. Or, rien n'est plus simple : il sufflt en effet pour cela de placer un système de deux verres , semblables de forme et égaux en épaisseur, devant un mur blanc ou une feuille de papier dont tous les points soient éclairés avec la même Intensité : tandis que la partie supérieure donnera des anneaux réfléchis, la partie Inférieure

DE LA LUMiArS. 939

ID donnera de transmis en tout identiques avec ceux qui répon* dent aux anneaux réfléchis et qui se trouvent renvoyés à l'œil précisément sur la route des premiers. Or, par suite de cette seule superposition , il y a neutralisation complète des deux systèmes.

100. Pour passer de la comparaison des deux systèmes d'anneaux à celle de deux lumières quelconques ; pour comparer, par exemple, ane bougie avec une' lampe , on disposera un transparent de papier biane séparé d*un côlé en deux parties par un obstacle opaque. De part et d'autre de cet obstacle , oir placera les deux lumières, qui B*éclaireront ainsi chacune que la moitié du transparent; puis on offrira à la partie antérieure et libre de Técran un système de deux verres égaux, dans une position symétrique convenable à la production d*anneaux réfléchis avec la lumière d'une moitié de Técran, et d'anneaux transmis avec la lumière de Tautro moitié. Il suffira alors d'éloigner la plus forte des deux lumières d'une quantité telle que ees deux systèmes d'anneaux se détruisent exactement. Ces deux lumières se trouvant à la même hauteur angulaire relative*ment aux deux points éclairés du transparent qui fournissent les anneaux , on sera sûr qu*elles seront d'égale intensité pour un œil placé à récran. La détermination du rapport vrai de leurs intenâtés à même distance ne sera plus qu'une simple application des lois qui règlent la variation d'intensité de la lumière avec la distance.

191. Il ne sera pas inutile d'énumérer en terminant avec M. Billet les circonstances naturelles ou artificielles les plus remarquables dans lesquelles se produisent les anneaux colorés.

Les eiroonstances artificielles peuvent se rapporter à plusieurs types.

h Uévaporation graduelle des liquides volatils étendus sur upe plaque noire : les anneaux résultants sont irréguliers. La vapeur d*ean insufflée avec un^tube sur un verre noir préalablement savonné, en donne de très réguliers. C'est précisément Tiriscope, dont M. Brewster, en 1841 , attribue la découverte à M. Joseph Beade, et que M. Billet ne signale nullement, en 1833, comme un instruflMit nouveau.

II. L'extension des liquides visqueux , l'huile, par exemple, sur la snrCaoe noircie d'une eau exempte de toute matière graisseuse :.

a4o THÉoniÉ MAtHlb] . \ TIQUE

les anneaux donnes par ce procédé sont d*un ordre moins élevé à h circonférence qu'au centre, sans doute parce que la couche liquide est plus épaisse au centre. On rapporte à cette classe d*anneaiiz les couleurs naturelles qu*on observe à In surface de certaines fontaines ; une huile empyreumatique selon les uns , de la silice adoo les autres en serait la cause.

III. LMnsufflation des liquides visqueux en bulles que Ton conserve par des procédés ingénieux. On peut y rattacher les bulles de verre et celles qui résultent de Tiusufflation de la pelotte qu'on enlève en les éventrant aux vers à soie prêts à liler. Les petits ballons ainsi obtenus offrent en outre le phénomène d'une compacité qui contraste singulièrement avec la ténuité que suppose chez eox la production des anneaux ; on s* est, en effet, assuré qu'ils conservent pendant plus de six semaines le plus subtil des gaz, Fhydrogène. La réussite de ces ballons est de la plus grande difificnlté; il nous suffira de dire que rhabileté si patiente de feu Lebailiif a échoué dans cet essai.

IV. 1/ exfoliation de ce^rtaines substances , et entre autres de cer* tains verres trop riches en alcali.

V. L'oxidation lente de certains métaux donne des eonlears qoi se rapportent aux anneaux à centre blanc.

YI. Le dépôt à la surface des métaux de certains oxides oa seb , à l'aide de la pile ou autrement. Une découverte vraiment étonnante en ce genre est celle du célèbre physicien de Rq;gio , M. Nobili f enlevé trop tôt à la science. Tout le monde connaît ses admirables échelles chromatiques , les dessins si variés , si riches des plus brillantes couleurs qu'il obtint en maniant avec une incomparaUe dextérité les électrodes en platine qu'il suspendait an-dessus de plaques d'acier plongées dans des solutions salines. Ce sont dans tout leur éclat les couleurs si pures du spectre solaire.

La circonstance naturelle la plus remarquable , sans contredit , par son immense généralité nous est offerte par les fleurs de la nature. La succession de leurs couleurs, identique avec celle qui résulterait d'épaisseurs incessamment variables et croissantes, on bien d*uue densité croissante sans changement d'épaisseur, est très favorable à J'opinion qui ramène leur coloration au phénomène des plaques minces. Un habile physicien a même cru remarquer que

Jes couleurs qui se soccèdent pendant le développement de ia force végétative montent dans l'ordre des anneaux , tandis que ces couleurs descendent dans Tordre des anneaux quand cette force s'affaiblit.

Couleurs dit doubles surfaces à distance. — 182. Lorsqu'un rayon de lumière tombe sur deux plaques superposées , quelques unes des portions dans lesquelles il est sul)divisé par des réflexions partielles et successives t la surface de séparation , sont souvent dans des conditions d'interférence, et donnent naissance à des phénomènes de couleur.

Ainsi, quand la lumière est transmise à travers deux plaques parallèles, dont les épaisseurs ne diffèrent pas d'une manière sensible, la couleur produite est la même que celle qui aurait pour cause la transmission à travers une plaque unique , dont répaissenr serait égale à la différence des épaisseurs des deux premières plaques ; de plus , cette couleur est complètement indépendante de l'intervalle qui sépare les deux plaques. Ce phénomène fut observé d'abord par Nicholson ; Young démontra qu'il résultait de l'interférence de deux faisceaux de lumière , dont l'un était deux fois réfléchi dans l'intérieur de la première plaque, et l'autre deux fois réfléchi dans le second milieu. 11 est évident, en effet, que si e et ^ sont les épaisseurs des deux plaques, le premier ra3'on aui^a parcouru dans le verre l'espace 3 e + ^, le second l'espace .T c + e, et comme ils parcourent le même chemin dans l'air , l'intervalle d'interférence est le temps employé à parcourir dans le verre le chemin ^ie-e').

M. Brewster a observé un cas semblable d'interférence produit par deux plaques d'égale épaisseur, qu'il inclinait d'une manière presque insensible : cette inclinaison compensait Tégalité d*épaisseur, en modifiant les chemins parcourus.

192. Dans ces deux cas, toutefois, les rayons înterférents sont n»êlés et comme dominés par la lumière directement transmise , de sorte que pour rendre les couleurs visibles il est nécessaire de recouiir à divers expédients. Les phénomènes sont beaucoup plus accessibles avec la lumière réfléchie par deux plaques, lorscjuc par suite de rinclinaîson de ces deux plaques, elle est isolée de la lumière directe. Il est évident, en effet, que l'image directe d'un objet lumi-

a49 THÉoniE MATHÉMATIQUE

noux VU à travers deux verres très peu inclinés est accompagnée de plusieurs images latérales formées par 2, 4, 6... réflexions. M. Brewster a remarqué que ces images étaient richement colorées. Les bandes de couleur sont parallèles à la ligne de jonction des deux verres, et leur largeur est d'autant plus grande que Tinclinaison est moindre, [.es couleurs dans la première image latérale sont pro-

duites par rinterférence des deux faisceaux ABCDEFGH, AB Cdefg h, dans lesquels le rayon incident est décomposé par sa rencontre avec la seconde plaque ; un de ces Taisceaux étant réfléchi intérieurement par la seconde plaque et extérieurement par la première , pendant que l'autre est réfléchi intérieurement par la seconde plaque et extérieurement par la première. Les chemins parcourus par ces deux faisceaux seraient évidemment égaux si les plaques étaient parallèles, et ne diffèrent qu'à cause de leur inclinaison.

Les deux cas précédents d*interférence peuvent être produits par des plaques de toute épaisseur.

193. Les phénomènes qu'on a désignés plus particulièrementsous le nom de couleurs des plaques épaisses , sont d'une tout autre nature et se manifestent dans des circonstances essentiellement différentes : ils fuient d'abord observés par Newton. Dans rexpérience de ce grand physicien , un rayon de lumière transmis par une ouverture étroite était reçu sur un miroir concavo convexe a sur- Ifaces parallèles et argenté sur sa surface postérieure. On flxe sur s'axe du miroir un écran de papier blanc percé (ïune ouverture a on centre, pour laisser passer et repasser le rayon lumineux , et

DE LA. LOItlÈRF. a/|3

l'oD voit apparaître «ur cet écran une série d'anneaux colorés, semblables aux anneaux transmis des plaques minces» mais plus larges. Le diamètre des anneaux varie en raison inverse de la racine carrée de l'épaissear du miroir. Si l'on incline un peu le miroir, de ma* nière à projeter l'image réfléchie sur l'un des côtés de l'ouverture, la anneaux se forment comme auparavant : mais leur centre est au milieu delà ligne qui Joint Touverture à son image. Au-delà de ce centre se trouve une tache qui change d'apparence d'une manière remarquable, à mesure que l'image s'éloigne de l'ouverture; elle est alternativement obscure et brillante dans la lumière homogène ; dans la lumière blanche elle prend tour à tour et avec rapidité toutes les gradations de teinte.

On a démontré que ce phénomène est produit par l'interférence des deux portions de lumière irrégulièrement disséminés par le passage et le repassage du rayon à travers la surface réfringente. Supposons que 0 soit l'ouverture à travers laquelle le rayon est intro-

duit , et que le rayon tombe perpendiculairement en A et en B sur la plaque réfléchissante, une portion delà lumière incidente sera irrégulièrement disséminée dans le passage du rayon OAB, à travers la première surface du miroir, et cette portion divergera, a partir du point A , dans toutes les directions. Soit ÂC , un des rayons dont se compose cette poition disséminée : il &ei*a réfléchi dans la direction CD par la seconde surface, et sortira suivant DM, Mais le rayon direct AO, réfléchi de nouveau en B, sera encore disséminé en traversant de nouveau la seconde surface. Admettons que AM, un des rayons résultants de cette seconde dissémination, tienne rencontrer DM en M, et calculons la différence des chemins pareourus. Le dernier rayon a parcouru l'espace |AB-f BA dans

^44 TrrÉORIR MATHEMATIQUE

le verre et ÂM dans l'air, pendant que le premier a pareonra Tespace ÂC + CD dans le verre et DM dans Talr. La différenee est donc le temps employé à parcourir dans Tair AM — DM , dans le verre 2 [AB — AG) ; et il est facile de prouver qu'en appelant a la distance OA du miroir à l'écran y e Tépaisseur AB du miroir, y la distance OM, p Tindice de réfraction y i la différence cherchée on aura :

a(2e + pa) égalant cette différence à — , il viendra

2 a[2e + pa)' "^ 2e

Cette dernière équation détermine les distances des points auxquels se formeront les anneaux alternativement brillants et obscurs.

Si, comme ceia arrive ordinairement» on suppose que a est très grand par rapport à e, on aura sensiblement

194. M. Babinet, qui suit avec gIo:re la direction que Famitié de Fresnel avait imprimée à ses travaux, a ramené à un même point de vue théorique tous les phénomènes que nous venons de décrire; tous ont trouvé dans la fîiéorîe des ondulations uneexpllcnlion naturelle et facile. On trouvera ici avec plaisir une analyse du mémoire du savant académicien sur les couleurs des doubles surfaces à distance. Dans une série d*expériences sur la diffraction dans la lumière convergente , dont les phénomènes comme le calcul diffèrent essentiellement de ceux de la diffraction ordinaire, M. Babinet fut conduit à interposer une plaque transparente à faces parallèles sur le trajet des rayons convergents qui allaient aa foyer d'une lentille former l'image d'un point lumineux unique placé à Fauti e foyer conjugué. Le résultat de cette interposition, pour pea que les faces de la plaque fussent ternies ou couvertes de poussière, en un mot, rayonnantes, fut l'apparition d'anneaux concentriques.

DE r.V UiMlîîRK. ^J^^

sons rincidence perpendiculaire, à I*image focale du point lumineux, anneaux dont le diamètre augmentait avec la distance de la plaque au foyer de la lentille et diminuait avec son épaisseur. Les couleurs des anneaux sont très nettes, quand les deux surfaces sont ternies avec de Teau laiteuse, ou du vernis de dextrine. Autour du centre brillant, occupé par Timage focale , est un espace circulaire blanc qui se termine en anneau ronge , et ensuite en anneaux colo* rés, suivant Tordre des anneaux de NcAvtoii. Si Ton incline la plaque, les anneaux cessent d'être concentriques à Timage focale : il se forme un anneau blanc dont la circonférence passe constamment par cette image. Cet anneau principal est accompagné intérieurement et extérieurement de plusieurs systèmes d*anneaux concentriques , dont les couleurs, à partir de Tanneau blanc , sont semblables à ce qu'étaient celles des anneaux autour du centre lumineux, dans le cas de rincidence perpendiculaire : son centre est sur ia direction de la perpendiculaire abaissée du foyer sur ia plaque à faces parallèles.

Il est évident que ces anneaux sont produits par rinterfércncc des rayons émanés de la première surface par dissémination, et propagés tout alentour du foyer , avec les rayons qui sont disséminés seulement à la sortie de la plaque et par la seconde surface. Chacun des points voisins du point lumineux focal reçoit alors une infinité de doubles rayons, que le calcul démontre être simultanément tous d*accords ou tous en opposition , deux à deux , suivant la distance de ce point à l'image focale.

Pour mieux analyser ce phénomène, il fallait le simplifier, et arriver à n'avoir que deux rnyons iuterférents au lieu d'une infmité. Pour y parvenir, M. Babinet forma une ligne lumineuse au foyer d'une lentille cylindrique, cl reçut la lumière divei-gente sur deux fils métalliques polis , tendus parallèlement entre eux et à la ligne lominease. Il faut, dans ce cas, que les trois lignes so'ent pi*esque dans le même plan ; autrement, on serait obligé de ne mettre que peu de distance entre les deux fils destinés à disséminer la lumière. Si l'on place ensuite Toeil ou le foyer de la loupe oculaire en un point tel que la somme des distances de la lif^iie lumineuse à Tun des fils , plus la distance de ce fil à l'œil, soit égale à la distance de la ligne lumineuse au second fll , plus la distance de ce fil à l'œil ; il est

246 THl^ORIR MATHÉMATIQUE

évident qu'alors l'œil et la ligne lumineuse sont aux deux foyers d'une ellipse dont le grand axe est la somme des distances indiquées. A ce point et dans les points voisins , les] rayons réfléchis par les deux fils interférents donnent des franges perceptibles si l'angle qu^ils forment entre eux n'est pas trop grand.

L'expérience de Newton, que nous avons décrite et expliquée plus haut , se lie à rexpérience fondamentale que nous venoDS d'indiquer. On passe, en effet, de Tune à l'autre en observant eomme nous l'avons fait , que dans l'expérience de Newton le miroir rend les rayons convergents , après qu'ils ont traversé la première surace, et qu'ils traversent de nouveau cette première surface , après leur réflexion sur le miroir , et que les couleurs sont produites par l'interférence des rayons disséminés à la première surface du miroir de verre et réfléchis régulièrement par la surface eoncave avec ceux qui ne sont disséminés qu'à leur retour du miroir ; les uns et les autres ayant parcouru deux fois la distance du point lumineux à la surface antérieure du miroir et deux fois l'épaisseur de la plaque épaisse que forme celui-ci.

Le duc de Ciiaulnes observa des anneaux semblables à la surfiiee d'un miroir couvert d'une légère pellicule de lait, desséchée de manière à former une couche semi-transparente, ou d'une mousseline ou gaze très fine.

Sir William Herschel parle, dans les Transactions philosophiques de 1807, d'nnneaux qu'on obtient en répandant de la poudre d*amidon dans l'air, devant un miroir métallique, et en interceptant le rayon réfléchi au moyen d'un écran. La théorie des interférences, appliquée comme l'a fait M. Babinet, rend facilement compte de ces phénomènes.

Elle explique encore une expérience de M. Pouillet, laquelle, comme M. Biot le fait remarquer, embarrasse beaucoup dans l'hypothèse de rémission. Devant un miroir métallique concave, à une distance convenable, on place le bord recliiigne d'un écran, et Ton obtient par réflexion des anneaux circulaires au foyer ordinaire du miroir, ce qui est «ne circonstance extraordinaire. Ces anneaux ne dépendent que des systèmes indivitluels de doubles rayons revenant à récran ; l'éclnt îcul des anneaux dépend de leur nombre ; un fil rcctiligne, aussi bien que le bord d'un écran , en donnerait encore

DB LA LDMiiRE. ^^'J

qol seraient aussi circulaires et de même diamètre , si la distance du fil au miroir était la même que celle du bord rectiiigne de Técran. Il ne peut rester aucun doute sur l'explication de ce fait singulier.

Si Ton ternit une glace ordloalre d*appartement en souflOant légèrement dessus, ou bien en y faisant adhérer un peu de poussière ou de sciure de bois ( il faut éviter le lycopode et les poussières à grains égaux, qui donnent d^antres anneaux à cause de cette égalité même] , on voit de part et d'autre de Timage de la lumière d'une boagieque Ton regarde dans la glace, en la tenant près de Toeil et on peu de côté , une belle série de franges courbes colorées , dans lesquelles la flamme occupe le milieu d'une bande blanche, escortée de part et d'autre de franges colorées à couleurs récurrentes. Il est aisé de voir que ces franges naissent des rayons qui ont traversé deoxfols l'épaisseur de la glace; les uns disséminés en entrant, et revenant après la réflexion dans une direction autre que celle de la réflexion principale, et les autres disséminés à leur retour du fond de la glace par la même surface , et coïncidant en direction avec les premiers. Cette expérience est due à M. Quételet.

Les formules déduites de la théorie des ondulations sont dans tous les cas faciles à obtenir; les distances calculées s'accordent parbitement avec les mesures obtenues. Les différences sont toujours comparables aux erreurs d'observation ; chaque nouvelle expérience, Aaque nouveau calcul devient une preuve nouvelle et efficace de la vérité de cette belle théorie, une difficulté insurmontable dans rhypothèse de l'émission.

Couleurs des plaques mixtes. — 195. Si l'intervalle entre deux verres est rempli avec différentes substances , de l'eau et de l'air, par exemple, de Teau et de l'huile trè^s divisée ; les portions de lumière qui les traverseront seront dans des conditions d'interférence, et la différence des chemins parcourus ou l'intervalle d'interférence dé*pendra de la différence entre les vitesses de la lumière dans les deux milieux. Si donc alors on regarde un objet lumineux à travers ces verres, on verra des anneaux colorés semblables à ceux qu'on volt ordinairement par transmission , mais beaucoup plus larges. Si un objet obscur se trouve derrière les lentilles , et si la lumière incidente est quelque peu oblique , les anneaux colorés changent immédiidement de caractère , et ressemblent à ceux qui sont commune*-

a4B THÉORIE MATHEMATIQUE

ment produits pai' réflexion : nue des perlions, dans ce cas, est réfléchie et peràpar conséquent une demi*oDdulatlon.

Ces phénomènes ont été observés et expliqués par Young, qui les a désignés sous le nom de couleurs des plaques mixtes. Cet illa&tre physicien a encore observé de semblables phénomènes de couleur dans des milieux indéfmis. Ainsi, quand on mêle avec Teao de la poussière de lycopode, ce mélange vu au moyen de lumière directe ou par transmission a une teinte verte , tandis que sa teinte devient pourpre s'il est vu au moyen de la lumière indirecte ou par réflexion. Les tons de ces deux couleurs montent, chacun dans sa série, si Ton rend plus petite la différence entre les pouvoirs réfringents, en ajoutant du sel à Feau. L'intervalle d'interférence dépend dans ce cas de la grandeur des particules transparentes.

Dans la première des expériences que nous venons de rappeler , on voit autour de la bougie que Ton regarde à travere la plaque mixte, le champ des deux verres teint d'une couleur plus faible, et complémentaire de la couleur de la bougie. Ce fait a été observé par M. Babinet, qni en demanda au célèbre Youug la cause encore inconnue. Le môme savant a remarqué que les couleurs des tames mixtes diffèrent de celles des lames minces, en ce que celles-ci, dans les incidences obliques, sont polarisées suivant le plan d'incidence, tant pour les anneaux transmis que pour les anneaux réfléchis ; ce qui n'a pas lieu pour les couleurs des lames mixtes , transmises obliquement, lesquelles sont polarisées partiellement, comme par transmission, c'est-à-dire perpendiculairement aux plans d'incidence, de réflexion ou de transmission qui coïncident ici. Ajoutons encore que les couleurs des lames mixtes n'ont pas besoin , comme celles des anneaux ordinaires , d'être placées à la distance de la vue distincte ; que les deux rayons interférents n*ayant pas en général la même intensité , il ne peut y avoir destruction complète d'aucune couleur ; ce qui veut dire que toutes les teintes sont plus ou moins mêlées de blanc, et qu'enfin pour les anneaux réfléchis des plaques mixtes, le centre est blanc , contrairement à ce qu'on observe dans les anneaux ordinaires , à cause de la perte connue d'un demi-intervalle d'interférence.

l,a théorie des plaques mixtes rend compte d'un phénoiv.ènc rare et curieux, le soleil bleu. Le disque de cet astre est dans certaines

DE LA. LUMIÈAE. ^49

drcoDBtaDces d*OQ bleu de bonne teinte y un peu mêlé de blanc. M. Babinet affirme qu*i] faut attribuer ces couleurs à Tinterférence des rayons qui ont traversé les vésicules d*eau ou de vapeur, avec celles qui ont passé à travers Pair seulement. 1^ phénomène suppose uniquement que la partie de chaque vésicule traversée ne soit pas trop épaisse , ce qu'il est facile d'admettre à priori.

Pour reproduii-e le soleil bleu , rouge , violet même, M. Babinet prend deux verres plans circulaii^es, séparés par une couche mixte d'eau et d*air, d'huile et d'air , enfin d'huile et d'eau. En rapprochant convenablement les verres , on rend une bougie vue au traversd'une teinte uniforme rouge, bleue, violette, à volonté : l'image af/aiblie du soleil réfléchie par l'eau , et la lune vues à travers les deux plaques, prennent successivement les mêmes couleurs.

On arrive facilement à donner à la lame mixte la couleur conveimble en tournant les deux verres l'un sur l'autre , avec l'aide d'une pression modérée et d'un peu de chaleur.

Il nous reste à examiner, dans un dernier article , les deux systèmes rivaux dans leurs rapports avec un dernier phénomène qui se modifie à rinfinî : la polarisation circulaire. Ce sera pour la tlu'orie des ondulations un triomphe plus éclatant encore.

Polarisation circulaire et chromatique. — 196. Nous réunirons sous ce titre l'ensemble des phénomènes qui se manifestent lorsqu'un rayon poiariisé est transmis à travers des substances douées d'une slnicture cristalline. Parmi tous les phénomènes d'optique, ceux-ci sont probablement les plus magnifiques; ec si l'on remarque de plus qu'en nous révélant la structure intime des corps, le mode d'arrangements moléculaires qui les constitue, ils nous font comme pénétrer dans le laboratoire de la nature pour lui arracher ses se« crtts, il sera facile de comprendre que le sujet qui va nous occuper doit par son importance être placé au premier rang.

Les premières découvertes dans ces régions si attrayantes de la science ont été faîtes par 1^1. Ârago. Il les exposa dans un mémoire présenté à l'institut en 1811 , et qui avait pour objet les couleurs que présentent les plaques cristallines, lorsqu'on les éclaire avec de la lumière polarisée. Ces recherches ont été poursuivies depuis avec une ardeur qui ne s'est jamais ralentie par les physiciens les

a50 THBORIS MATHÉMATIQUE

plus illastres» et rartoat par MM. Biot, Sedbeek» BrewBler et Fresnel.

Nous avons déjà dit que lorsqu'un rayon de lumière polarisé par réflexion rencontre sous Fangle de polarisation une seconde surface réfléchissante, il n'est pas réfléchi, s! le second plan d'incidence est perpendiculaire au premier. La première surface réfléchissante ou le premier plan réflecteur a reçu le nom àe plaque polariêonte ou plan réfleeitur; la seconde, par des raisons que nous énumérerons plus tard , a été appelée plan analysant ou analyseur. Cela posé, si entre les deux plans on interpose une plaque prise dans une substance doublement réfringente, et qu'on oblige le rayon polarisé à traverser la plaque , la faculté de se réfléchir loi est instantaBément rendue, une certaine quantité de lumière, plus ou moins abondante suivant la nature du cristal Interposé , sera réellement réfléchie. On dit dans ce cas que le rayon a été dépolarisé par le cristal. Ce fut par ce moyen que Malus mit en évidence le pouvoir doublement réfringent d'un très grand nombre de substances, pouvoir qu'on n'avait pu observer directement , parce que la séparation des deux rayons était trop peu sensible.

197. Pour mieux analyser le phénomène que nous venons de rappeler, supposons que la plaque cristalline soit placée de telle sorte que le rayon polarisé la rencontre perpendiculairement , et £aisons-Ia tourner dans son plan. Nous observerons alors qu'il y a deux positions de la plaque, qui sont telles que la lumière disparait totalement, absolument comme si le rayon réfléchi s'évanouissait, ou comme si le cristal n'avait pas été interposé. Ces deux positions sont perpendiculaires l'une a l'autre; ce sont précisément celles dans lesquelles la section principale du cristal coïncide avec le plan de la première réflexion , ou lui est perpendiculaire. Si l'on fait tourner la plaque à partir de Tune de ces positrons, la lumière augmente graduellement jusqu'à ce qu'elle atteigne son maximum, ce qui arrive quand la section principale fait un angle de 45* avec le plan de la première réflexion.

Dans CCS expériences, la lumière réfléchie est blanche; mais si la plnque cristalline intei-posée est assez mince elle se revêt des plus splendides couleurs, et ces couleurs varient avec rinclioaison de la plaque par rapport au rayon polarisé. Le mica et le sulfate

DB LA LUMifeKE. SS I

de ebaox sont émfnemmeDt propres à la prodaction de ee brillant phéDomène, parce qa*on les amène facilement par le clivage à une târaité convenable. Si Ton dispose une plaque mince de l'une de ces deox substances de sorte qu'elle reçoive perpendiculairement le rayon polarisé , et qu*on la tourne dans son propre plan , la lumière variera seulement d^intensité sans changer de couleur. La couleur s'évanouira également lorsque la section principale du cristal coïncidera avec le plan primitif de polarisation , ou lui sera perpendiculaire , et atteindra son maximum qaand Tangle compris entre la section principale et le plan de polarisation sera égal à 45^.

D*autre part , si Ton fixe le cristal y et qu'on toame le plan analyseur de manière à faire varier Tangle que le second plan de réflexion fait avec le premier, le rayon passera à travers toutes les nuances de même teinte , de la coaleur qu'il avait à la couleur complémentaire, de sorte qu'on pourra constater à chaque instant que la lumière réfléchie dans une position donnée de l'analyseur est, sous le double rapport de la couleur et de l'intensité, complémentaire de la lumière qui était réfléchie dans une première position distante de la seconde de 90°. Cette curieuse relation sera rendue plus évidente, si l'on substitue au plan analyseur un prisme doublement réfringent; car alors les deux rayons réfractés par le prisme ont pour plan de polarisation : l'nn , la section principale du prisme; l'autre, un plan perpendiculaire à cette même section: de sorte quMIs sont absolument dans la même condition que les deux rayons réfléchis par l'analyseur dans des positions situées à 90^ Tune de l'autre. On volt à la fois de cette manière les deux couleurs complémentaires, et il est facile de les comparer. Il y a plas : la comparaison peut être faite immédiatement , si l'on dispose l'appareil de telle sorte que les deux images colorées empiètent l'une sur Tautre; car alors, quelles que soient leurs teintes, considérées isolément, on verra que la portion où elles se superposent est absolument blanche , ce qui est le caractère distînctif des couleurs complémentaires.

Ï98. Si l'on interpose entre les plans de réflexion et d'analyre des plaques de différentes épaisseurs, et qui toutes i-eçoivent perpendiculairement le rayon polarisé, on verra que la teinte varie avec l'épaisseur. Les couleurs produites par des plaques taillées pa-

a5a THÉOBie MATHÉMATIQUE

rallèlement dans le même cristal , et qui ne diffèrent que par l'é* paisseur, suivent de fait les mêmes lois que les couleurs réfléchies par les lames d*air très minces ; la teinte s'élève dansTéchelle chromatique à mesure que l'épaisseur diminue y Jusqu'à ce qu'elle disparaisse entièrement, quand l'épaisseur a été réduite au-de^ous de certaines limites; Tespace central apparaît alors noir, absolument comme si Ton avait enlevé le cristal.

Les épaisseurs qui produisent les teintes correspondantes sont beaucoup plus grandes pour les plaques cristallines exposées à la lumière polarisée que pour les lames d'air ou d'un autre milieu homogène isopbaue. Le noir du premier ordre apparaît pour la chaux

sulfatée, lorsque l'épaisseur est — — de pouce. L'on obtient Fé-

cheile entière de Newton entre des épaisseurs qui sont des fractions

du pouce représentées par rrrr- tt -- . Si l'épaisseur dépasse 1/50",

la lumière transmise est toujours blanche. La teinte produite par une lame de mica dans la lumière polarisée est la même que celle qui serait réfléchie par une lame d'nir quatre cents fois plus petite. £u examinant les mêmes phénomènes sous des incidences obliques , M. Biot trouva que dans les cristaux uni-axes la teinte développée ou mieux le nombre de périodes ou de parties de période correspondant à uu rayon d'une réfraugibilité donnée était déterminé par le produit que l'on obtient quand on muUiplîe le chemin parcouru par la lumière dans le cristal par le carré du s-nus de l'angle que sa direction fait avec l'axe optique. Dans les cristaux à deux axes , il faut substituer au carré du sinus le produit des sinus des angles que le rayon fait avec les deux axes.

199, Arrivons à la théorie physique de ces phénomènes, et cherchons à les expliquer.

Nous avons vu que tout rayon qui pénètre une plaque cristalline est divisé en deux autres, différents de vitesse et de direction, ou , dans le langage propre à la théorie des ondulations , que l'onde incidente donne naissance dans l'Intérieur du cristal à deux systèmes d'ondes qui se propagent dans des directions et avec des vitesses différentes. Une de ces ondes, par conséquent, reste en arrière de l'autre , et à leur émergence ou soitie elles sont dans des

DR LA LUMIKRIî. 353

phases différentes de vibration. Si la plnque est mince, le retard de roue des ondes sur l'autre peut n'être que d*un petit nombre d*ondatations ou de fractions d'ondulation, et il est évident dès lors qu'elles pourront se trouver dans des conditions convenables d'interférence et par suite de production de couleurs. Ce mode d'explication, qui n'était encore qu'une pure conjecture, s'offrit d'abord à l'esprit pénétrant d'Yoong.

Mais une grande difficulté vient nous arrêter tout-à-coup. Si cette explication était vraie et fondée en principe , les phénomènes d'interférence et de couleurs devraient se produire par le seul passafredu rayon à travers le cristal , sans l'intervention des plans réflecteur et analyseur. Or, il n'en est pas ainsi. T^ difficulté change dès lors de nature ; il ne s'agit plus d'expliquer pourquoi le phénomène se produit quelquefois; il faut , au contraire , dire poiirqyoi il ne se produit pas toujours.

Pour préparer la solution de cette grande difficulté» il faut d'à* bord remarquer que les rayons dont nous supposions que l'interférence produisait les faits observés ne sont pas dans les mêmes conditions que les rayons qui, par leur interférence, donnent naissance aux couleurs des plaques minces; ils sont polarisés, et qui plus est) polarisas dans des plans opposés ou à angles droits. Or, il résulte, comme nous l'avons dit, des recherches de MM. Fresnel et Arago : 1 "* que deux rayons^ polarisés à angle droit n'interfèrent pas ; 2* qu'on peut les ramener au même plan de polarisation sans qu'ils interfèrent encore; 3° que deux rayons polarises à angle droit et ramenés ensuite au même plan de polarisation interfèrent seulement lorsqu'ils apparliennent à un faisceau polarisé primitivement en entier dans un seul plan ; 4<* que dans les phénomènes relatifs à rinterfn-encc des rayons qui ont subi la double rtfraction , le lieu des franges n'est pas déterminé uniquement par la différence des chemins parcourus ou des vitesses ; qu'il faut dans certaines circonstances tenir compte d'une demi-ondulation qui a été comme perdue. Nous trouvons facilement dans ces lots la raison des faits qui nous ont embarrassé. Et d'abord pour expliquer mécaniquement la nécessité du plan polarisant, ou la non-iiîterfcience des deux rayons, lorsque la lumière qui tontbe sur le cristal u'ett pas polarisée, il .sufiit de rappeler que tout rayon de lumière ordina're

a54 TH£ORI£ MàTHÏMATIQUE

peut être considéré comme formé de deux rayons d'intensités égala, polarisés à angle droit, et dont les vibrations, par conséquent, sont perpendiculaires l'une à l'autre (l). En effet , chacune de ces vibrations est décomposée dans llutérieur du cristal en deux autres qui sont décomposées à leur tour dans le plan de réflexion par la plaque analysante, et produisent le phénomène d'interférence. Mais l'intervalle d'interférence dans les deux cas sera d'une demiondulation; les teintes produites seront dès lors complémentaires, et la lumière résultant de leur ensemble sera blanche (2) ; on ne verra aucune apparence de couleurs : il faut donc nécessairement que la lumière incidente soit polarisée.

Le plan analysant est non moins nécessaire a la prodoction des interférences et des couleurs ; car les deux rayons qui sortent de la lame cristalline étant polarisés à angle droit , ne pourront interférer

(I) Plus exactement, an rayon de lumière ordinaire doil être considéré comme composé d*un nombre indéfini de rayons polarisés dans tous les azimutbs , de teHe sorte que si Ton prend deux plans quelconques à angle droit , il 7 ait dans chacun de ces plans une égale quantité de lumière aetuellement polarisée. La lumière ordinaire, en effet, consiste dans uoe série de systèmes d'ondes dans chacun desquels les vibrations sont difTérentes : ces dirférents systèmes se succèdent Tun à l'autre si rapidement, que, dans un temps fini , il se produit autant de vibrations dans un plan que dans le plan qui lui serait perpendiculaire. Cependant les phénomènes d'inlerférence que présente la lumière ordinaire nous forcent d'admettre, comme l'a fait observer H. Airy, que les vibrations ne changent pas continuellement de vitesse et d'amplitude, et que dans chaque système d'ondes il y a probablement plusieurs centaines de vibrations parfaitement semblables, ce qui n'empêche pas qne les vibrations d'un système n'aient aucune relation avec celles des autres , et que ces systèmes se succèdent avec une telle rapidité que tovis trace de polarisation disparaît nécessairement.

(2] Nous avons supposé ici que la lumière résultante est simplemeot la somme des lumières provenant de chacune des portions dans lesquelles le rayon primitif avait été décomposé, sans tenir compte de leur phase. La vérité de cette supposition dépend du fait que nous avons fait ressortir dans la nota précédente,. et qui consiste en ce que les deux rayons polarlaés é angle droit dans lesquels on suppose que k lumière commune est décosa* posée, présentent une d fférence de phase continuellement variable, il doit en être par conséquent de même des composantes finales , de sorte qu'on doit les regarder comme des rayons provenant de sources différentes , et donnant par cooiéquent une lumièra résultante dont l'intensité soit égale à leuri

DE LA LUMIËRE. 305

qa'autant qoe l'action de la plaque analysante les ramènera aa même plan de polarisation.

Quand donc on tient compte des lois que nous venons de rappeler, toute difficulté disparaît , l'explication du phénomène qui nous embarrassait devient évidente. Le rayon primitivement polarisé dans un seul plan , par le moyen de la première plaque polarisante, d*une première tourmaline , par exemple, est partagé dans le cristal en deux autres polarisés à angle droit; ces deux rayons sont finalement ramenés par la seconde plaque polarisante , une seconde tourmaline, par exemple , au même plan de polarisation ; ils pourront donc Interférer, et le produit de leur interférence dépendra du retard de Tun des rayons par rapport à l'autre : ce retard lui-même a pour cause la différence de vitesse des deux rayons dans leur passage à travers le cristal.

200. Nous avons montré , dans un paragraphe précédent, que la différence entre les rapports inverses des carrés des vitesses avec lesquelles les deux rayons cheminent dans le cristal , est proportionnel au produit des sinus des angles que leurs directions font avec les axes optiques, de sorte que si v et 1/ sont ces vitesses, w et w' les angles qu*elles font avec les deux axes optiques , on aura :

r- =: c sm w sm &•.

Mais si r et i' sont les temps employés par les deux rayons pour traverser le cristal, suivant Tépaisseur Ë, qui sera le produit de Tq^sseur réelle e de la plaque, par la sécante de Tangie de réfraction, on aura aussi :

Le premier facteur du produit qui forme le second membre est sensiblement constant, car les temps t et l' sont sensiblement proportionnels à répaisseur E; on aura donc :

« ~ «^ =r c jB sin w sin «',

c'esl-à-dire que rinlervalle d'interférence ou le retard sera proportionnel au produit que Ton obtient quand on multiplie l'épaisseur

ab6 THÉOllIE MATHÉMATIQUE

suivant laquelle la plaque est traversée par le produit du sinus que la direction du rayon fait avec les ânes optiques. Si ces axes coïncident, ou si le cristal est uni-axe, Tintervalle d'Interférence sera proportionnel au carré du sinus de Tangle que la direction du rayon foit avec Taxe. On sait d^aîlleurs que la teinte est proportionnelle à Tintervalle d'interférence ; la loi découverte expérimentalement par M. fiiot , et suivant laquelle la teinte est proportionnelle au produit de répaisseur traversée par le carré du sinus ou le produit des sinus, découle donc immédiatement de la théorie.

201 . Il va sans dire que la lumière qui sort du cristal est en général elliptiquement polarisée, puisqu'elle résulte de deux ondes dans lesquelles les vibrations sont à angle droit , et qui ont des phases différentes. Dès lors, si Ton se sert de lumière homogène, et si Ton analyse le rayon émergent avec un prisme doublement réfringent, les deux faisceaux dans lesquels il est subdivisé varieront dMntensité avec la rotation du prisme , sans qu'en général l'un et l'autre s'évanouissent. Si cependant l'épaisseur du cristal est telle que la différence de phase des deux rayons soit un nombre exact de demi-ondulations, ils formeront à leur sortie un rayon polarisé rectilignement , et dont le plan de polarisation coïncidera avec le plan primitif de polarisation , ou fera avec la section principale du cristal le même angle que le plan primitif de polarisation, mais en étant situé du côté opposé. Un des rayons par conséquent tians lesquels ce rayon est divisé par le prisme analysant, s'évanouira dans deux positions delà section principale, et il est évident que les épaisseurs successives de la plaque cristalline qui produiront le même effet formeront une progression arithmétique. D'un autre côté , si la différence de phase est égaie à un quart de la longueurd'oudulation, ou un multiple impair de ce quart, et si en même temps la section principale du cristal est inclinée de 45** sur le plan primitif de polarisation , le rayon émergent sera polarisé circolairement. C'est un des plus simples moyens d'obtenir un rayon doué de la polarisation circulaire; mais il ace désavantage que l'intervalle de phase exigé ne peut êti^ rigoureusement exact que pour des ondes d'une longueur particulière, et que par suite la polarisation circulaire u est parfaite que pour une couleur déterininée.