De l'influence du mouvement de la charge sur la

FLEXION DES SOLIVES QUI LA SUPPORTENT. — Ou U'a COUSidéré jUS-

qu*ici les flexions produites par les charges que dans l'hypothèse où ces charges restent immobiles au point où elles sont placées ; mais il n'est pas sans intérêt pour la stabilité des ponts, et sur* tout de ceux qui doivent servir au passage des trains de chemins de fer marchant à grande vitesse, d'examiner comment la vitesse du transport peut influer sur les flexions.

On comprend, en effet, facilement que quand un chariot ou simplement un cylindre roule sur des poutres qui fléchissent sous la charge, la courbure du chemin parcouru par le solide donne lieu à un développement de force centrifuge dont l'action normale à la courbure concourt avec le poids de la charge à augmenter la flexion et peut même produire la rupture. On se rappelle que la force centrifuge a pour expression

r g * r ^ formule dans laquelle

m est la masse du corps en mouvement; V sa vitesse dans le sens de la courbe ; r le rayon de courbure de la courbe.

On voit donc que, pour une même charge, Teffet de cette force ou l'accroissement de pression qu'elle peut produire, croît" comme le carré de la vitesse et en raison inverse du rayon de courbure, c'est-à-dire qu'il sera d'autant plus grand que la flexion elle-même sera plus considérable.

Mais d'une autre part^ on voit bu%û que si les profMsrtions données au solide sont tdles que la flèche de coorbure ^ue produirait la charge au repos, soit uécessaTrementtpès-faiÛe, cette action de la force oenlrifng^e ne pourra pas atteinire une grande intensité, €t (^'alors, aux limites «suelles de ^vitesse 4es trains de chemins de fer, on pourra en faire abstraction.

482. EitPËRiENCES EXÉCUTÉES ÀPoRTSMOUTH. — De nombrcuscs et intéressantes expériences ont été faites à ce sujet au dockyard de Portsmouth par MM. Benry James, capitaine, et Douglas Galton, lieutenant de la marine royale d'Angleterre.

Des barres de fonte de '2*,745 de portée ont été disposées de manière à faire partie d'un petit chemin de fer ^horizontal, raccordé vers ses deux euLtrémités par des courbes convenables» avec des plans inclinés, au moyen desquels un chariot abandonné à lui-même pouvait acquérir une ^tesse considérable.

Des appareils ingénieux, munis de styles, traçaient pendant le passage, sur une surface plane, lès flexions que prenaient les barres, ce qui a permis de comparer celles qui avaient lieu pendant le mouvement aux flèclies de courbure obtenues quand le chariot était au repos et placé au milieu des barres.

Ces expériences ont été répétées sur des barres de fonte ayant toutes la même portée ^ = 2".74^, maïs de sections diBïrentes. Les résiAtats Blnsl que les données sont consignés dans les tableaux du n"* 455, où l'on trouve la flexion produite par des charges diverses au repos €4 t^le qui a lieu pendant le mouvement à différentes vitesses ainsi que le rapport de ces flexions.

L'examen de ces tableaux montre d'abord qu'effectivemenlles flexions maximum prises par les solides, croissent avec la vitesse du mouvement , et Ton voit en outre que la rupture ia lieu sous des charges de plus en plus faibles à anesure que la vUesse devient plus grande.

L'observation a ans» prouvé que la rvptmie a liea en général 'à des poiiits situés au delà eu iBîlieu de la longueur des barres fA qu'elle se produit sMvcnt en plustears endroits différents & la fois.

L'influence de la vitesse de passage sor des solides ifod flécUs-

INFLUENCE DU MOUVEMENT DE LA CHARGE

«ent est donc rendue très- manifeste par ces expériences, et l'action de la force centrifuge dans cet effet est incontestable; mais comme il faut toujours un certain temps pour que les flexioDs se produisent , et que cette force qui en dép^id se dé*yeloppe pendant le passage , il arrive qu'au delà de certaines limites de vitesse, l'effet ou la flexion diminue au lieu d'augmenter. C'est ce qui résulte des expériences suivantes faites sur des barres d'acier et de fer forgé.

Eipériences stqt deux barres (f acier de G".685 de longueur, 0^.050S de largeur,

et 0*.0063 d'^itsenr.

Vitesses en 1". ... .

Plezion au milieu,

mill.

mill.

miil.

Bill.

miU.

nill.

Expériences sur deux barres de fer de 2". 745 de longueur, 0*0254 de largeur, et 0"'.0762 d^épaisseur, avec une charge de 805 kilogr.

Vitesses en l^

Flexion au milieu*

mill.

mill.

mfll.

mill.

Ces expériences ont donné lieu à des recherches théoriques fort intéressantes pour lascience, de la part de M. le professeur Willis,

Mais ce savant géomètre a été conduit à des calculs trop compliqués pour être d'un usage habituel, et nous chercherons à discuter les résultats des expériences par une méthode plus simple y qui sera suffisamment exacte pour la pratique.

Quant aux applications usuelles , nous ferons 4'emarquer d'abord qu'une partie de ces expériences ont commencé arec des charges 9 et, par conséquent, sous des flexions qui dépassaient dé}à de beaucoup celles que l'on peut admettre pour des constructions permanentes et que donneraient nos formules pratiques^

Ainsi, les barres de fonte de 0'".0254 de largeur sur 0">.0506 d'épaisseur et 2**. 746 de portée n'auraient dû supporter en leur milieu qu'une charge permanente de 1 19^.44 , tandis que

chariot employé a toujours pesé au moins 508 kiiogr., ce qui revenait à 254 kilogr. par barre.

Les barres de 0'».0254 de largeur sur 0".762 d'épaisseur qui, sous la portée de 2°*.745, ne devaient être soumises d'une manière permanente qu'à une charge de 268^^70, n'ont été d'abord chargées, il est vrai, que de 254 kilogr. par barre; mais il est à remarquer qu'elles n'ont été rompues qu'à la vitesse de 13". 10, sous une charge de 404 kilogr. dans un cas et de 372 kilogr. dans l'autre.

Ainsi, il résulte de ces expériences que les dimensions déterminées par nos formules pratiques sont telles, que les solives légères, comme les barres expérimentées, par rapport à la charge mobile , peuvent supporter le passage de charges qui dépassent celles que nous admettons comme permanentes avec des vitesses de 13 mètres par seconde. A plus forte raison, lorsqu'il s'agira de ponts de toutes formes , dont le tablier et les autres parties accessoires augmentent le rapport de la masse à celle de la charge, dans une proportion plus grande que celle qui existait dans les expériences, pourra-t-on négliger l'influence de la vitesse des charges à supporter.

Toutefois, il doit résulter au moins de ces expériences que, pour les ponts suspendus, les ponts de bateaux sujets à éprouver des flexions, et par conséquent des courbures considérables, la prudence exige que les consignes qui prescrivent de n'y laisser passer les voitures qu'au pas, soient strictement observées.

455. Discussion des résultats de ces expériences. — Pour soumettre les résultats de ces expériences au calcul, il faut remarquer que la force centrifuge dépend de la masse du corps en mouvement-, de sa vitesse et du rayon de courbure correspondant à la flexion. Or, ce rayon dépend lui-même de la pression dans la valeur de laquelle la force centrifuge entre pour une partie souvent très -considérable. Déplus, l'observation montre que le point de la plus grande flexion n'est pas au milieu des barres, et sa position est ainsi très-dif/icile à déterminer exactement.

Mais, s'fl ne paraît pas possible d'exprimer rigoureusement toutes les circonstances qui se produisent dans de semblables

INFLUENCE DU MOUVEMENT DE LA CHARGE. 105

mouvements. Ton peut, néanmoins, s'en rendre un compte approximatif par les considérations suivantes.

Le rayon de courbure r, correspondant à la pression , au repos^ est donné par la formule du n"" 275

El

PC

•en appelant 2P l'effort que Ton suppose exercé au milieu de la barre et dont on connaît a priori une partie, la moitié du poids du chariot ; 2C = 2". 745 la portée totale des barres, E et I ayant les significations connues.

Mais si Ton se rappelle que , dans le cas simple d*un solide posé sur deux points d'appui , et chargé en son milieu d'un poids 2P, l'on a (n° 278) la relation

/•=iËÎ' doùlontire pg^-g^;

on en déduit la valeur très-simple du rayon de courbure

qui montre que , quelle que soit la forme du profil transversal d'un solide, dont on peut négliger le poids par rapport à la charge qu'il porte, le rayon de courbure est égal au carré de la demi-portée, divisé par trois fois la flèche de courbure.

D'une autre part, si l'on néglige le poids des rails par rapport à celui du chariot, la force centrifuge a pour expression

ET

gr *

en désignant par P' la charge qui agit ici au milieu de chaque barre ou la moitié du poids du chariot, et par V la vitesse de transport.

D'après la valeur précédente du rayon de courbure, cette ex-^ pression de la force centrifuge devient

g r^gC^-''

106 QUATRlillE PARTIE.

Par conséquent, on pourrait iacilemeat calculer l'intensité de la force centrifuge développée dans chacune de ces expériences* si Ton avait la valeur de la flexion correspondante à chaque charge.

Ce qu'il importe de reconnaître, pour vérifier les considérations précédentes, c'est de s'assurer si la charge supportée par chaque rail, augmentée de la valeur de la force centrifuge, calculée comme nous venons de l'indiquer, surpasse effectivement la charge capable de rompre le solide.

Pour faire cette vérification, nous sommes forcés de supposer la charge au milieu de la portée du solide, attendu que son emplacement au moment de la plus grande flexion et de la rupture n'est pas donné, et de plus, nous ne connaissons que la flèche observée dans l'expérience qui a immédiatement précédé la rupture avec la charge correspondante.

Il est donc évident par là que la valeur de l'effort total à laquelle nous parviendrons sera moindre que l'effort même qui a produit réellement la rupture. Nous pourrons, d'après cela, nous assurer si les considérations précédentes se rapprochent suffisamment des résultats de l'expérience pour pouvoir servir, à l'occasion , à apprécier à l'avance , approximativement , les effets de la vitesse des trains de chemin de fer sur les rails et surtout sur les ponts«

On a rapporté, dans les tableaux suivants, tous les éléments des expériences et des calculs.

Les charges totales en kilogr. , indiquées dans la première colonne, sont les poids du traîneau et se partagent en deux parties égales pour donner la valeur de la charge 2P = P', qui pesait sur chaque rail et que nous considérons au moment de son passage au milieu.

On a calculé pour chaque barre le poids qui, placé au milieu de sa longueur, eût produit la rupture, en admettant que la fonte

employée fût de résistance moyenne, ce qui revient à supposer

(no*5ôl)

Rr=:3244l000kHogr.

On conçoit, d'ailleurs, que ce coefficient pouvant varier assez

INFLUENCE DU MOUVEMENT BE LA CHARGE. 107

notablement d'une barre à Tautre, cette charge de roptore ne peut être déterminée bien exactement.

En ajoutant la moitié du poids du traîneau à la^aleur IrouTée pour la force centrifuge , on a eu la iralenr de la quantité

<iui exprime la valeur approximative, mais un peu trop faible, ^e Teffort total auquel le corps était soumis pendant le passage. Lorsque les poids du traîneau ont été graduellement augmentés jusqu'à la rupture, et surtout quand les dernières charges ont différé très-peu les unes des autres, l'on a obtenu, pour cet effort, des valeurs très-voisines de la charge de^ rupture au repos. Mais quand, au contraire, les charges ont été augmentées trop rapidement, il est arrivé, dans la plupart des cas, que la

3Y* valeur de P'+ -^ P'/" a été trouvée très-supérieure à la charge

de rupture au repos, ce qui en rend compte a fortiori. Dans quelques autres cas, la flexion produite par Tavant-demiëre charge étant notablement plus faible que celle due à la dernière , l'effort total a été un peu inférieur à la chaîne de rupture au repos, mais cela s'est présenté rarement.

Les nombres consignés dans la colonne intitulée Flexion au repos ne sont pas, à l'exception du premier chiffre de chaque série, déterminés par expérience directe; l'observation de la flexion ayant été faite chaque fois pour la charge la plus faible , on s'est servi de cette flexion pour calculer toutes les autres par les formules que nous avons données; les différences que l'on peut remarquer entre les flexions des différentes barres d'un même échantillon donnent en quelque sorte la mesure de leurs résistances comparatives.

Les expériences de la première série ont toutes été faites sur des barres de 2".745 de longueur, présentant une section rectangulaire de 0-.0254 sur 0-.0508; dans la deuxième et la troisième série la longueur est restée la même ; mais les dimensions transversales ont été portées successivementàO". 0254 sur 0".0762 et 0«. 1016 sur 0-.8381.

Ces trois séries sont les seules, qui figurent dans les tableaux suivants : elles sont suffisantes pour faire connaître les résultats * principaux auxquels ont été conduits MM. James et Galton> qui ont encore expérimenté sur des barres plus fortes et d*une plus grande portée, des barres de diverses substances, et aussi des pièces courbes telles que celles que Ton emploie si fréquemment dans la construction des ponts en fonte.

INFLUENCE DU MOUVEMENT DE LA CHARGE.'

EXPERIENCES DE MM. HENRY JAMES, CAPITAINE, ET DOUGLAS GALION, LIEUTENANT DE LA MARINE ROYALE D'ANGLETERRE.