I. — Méthode baskk sur la thkorib des systèmes articulés
On calcule les tensions dans les barres absolument comme si chaque nœud présentait une articulation au lieu| d'un assemblage rigide. On en déduit les allongements des barres, puis la nouvelle forme prise par la poutre. En tenant compte alors de la rigidité des attaches, qui empêche toute modification des angles respectifs des barres autour d'un nœud déterminé, on en déduit, approximalivement tout au moins, les directions prises par chaque barre à ses deux points d'attache et les angles o>o et (0| que fait la libre moyenne déformée avec la droite joignant ses extrémités. La forme prise par la barre s'en déduit approximativement, et elle affecte soit Tune soit l'autre des figures ci-contre, suivant que les angres w sont de même signe ou de signe contraire. Dès lors, on
POUTRES TRIANGULBRS A ÀSSBHBLÀGBS RIGIDES. 4^3
peut évaluer les réactions transversales des abouts et les efforts supplémentaires qui en résultent.
Fig. i',8.
La justification de cette façon de procéder résulte des considérations suivantes :
* 1* Evaluation du maximum des angles fo© et Wj. — Ces
angles sont de l'ordre de grandeur des variations que peut subir
Tangle d'un des triangles constituant la poutre. Soit ABC un de
ces triangles, dont ahc sont les côtés. De la formule
a*= 6'-i- c*— tiôccosA,
on déduit par différentiation, en appelant a^y les allongements respectifs :
aa = 6 P -t- CY — (^Y "^~ c^) cos A -4- hc sin A ^fA.
Remplaçons hc sin A par ah et remarquons que
b — c cosA = a cosC, c — b cos A = a cos B.
La formule précédente donnera
dK
« — p cos C — Y cos B Â
4 'il CHAPITRE Xvi.
Supposons qu'en valeur absolue on ait des allongements ou
raccourcissements proportionnels égaux dans toutes les barres, ce
qui signifie que toutes les barres ont approximativement la même
fatigue, et posons
abc La formule précédente deviendra
d\ = -7-(a ± 6tosc,=b ccosB).
Si les trois barres étaient allongées ou raccourcies à la fois, la parenthèse deviendrait a — b cos C — c cos B = o. Si Ton suppose, au contraire, que t et c ont des variations contraires à celle de a, la parenthèse deviendra
a -4^ A cos C H- c cos B =s '2 a.
Le maximum de t/A est donc 2m -r*
Or T est presque toujours inférieur à 2 ; il n^atteint celte valeur que quand A atteint 90".
Quanta/?? ^^- il est égal à p^« Or, ^ est toujours inférieur à
12 X 10® et E est égal à 2 X 10*^ environ, pour Facier,
Par suite m est inférieur à — r« •
Le maximum de dh. peut donc se fixer à
l X JL X 7 = r = 0,00'24î
soit 8' environ.
2'' Evaluation de la variation de distance des deux extrémités d^une barre courbée, - -■ Lorsqu^un arc de courbe est entièrement d'un même coté de sa corde et que ses tangentes extrêmes font avec la corde des angles to très petits, la différence de longueur entre l'arc et sa corde est approximativement
p tu — -2 p SI n — <ip—T'
Le rapport de cette différence à la longueur de Tare est < —• 11 en serait a fortiori de même si l'arc coupait sa corde.
POUTRBS taiANGULBES A ASSEMBLAGES RIGIIM S. 4'^^
Si l'on introduit dans cette expression la valeur trouvée préci'deniment pour le maximum de w, savoir: — r, on trouve — -.
nombre extrêmement petit. i
I^s variations de distance des nœuds provenant de la courbure des barres ont donc une valeur tout à fait négligeable. Il est, par
Fig. iJo.
suite, tout à fait légitime de ne pas s'occuper de ces courbures pour déterminer les positions relatives des nœuds de la poutre déformée. Autrement dit, dans ia poutre dèjormée^ les différents nœuds occupent les mêmes positions que sHl s'agissait d^-une poutre réellement articulée»
Détermination approximative des angles co que fait une barre à ses deux extrémités avec la droite joignant ces points. — On peut tracer le schéma de la poutre déformée, c'est-à-dire mettre en place les différents nœuds et en déduire les directions que devraient occuper les barres autour d*un nœud déterminé, si ces barres étaient articulées. t
Le problème consiste à superposer au premier faisceau de droites ainsi constitué autour d'un nœud un second faisceau de droites représentant les barres dans la poutre non déformée, et dont les angles mutuels sont supposés conservés en raison de la rigidité des assemblages.
En général, on constaterait que l'angle des deux membrures aboutissant au nœud est très sensiblement conservé dans la déformation, et subit des variations moindres que les angles partiels
dont il est la somme. Cela tient à ce que les membrures sont généralement beaucoup plus rigides que les diagonales. Quoi qu'il en soit, on fera coïncider du mieux possible les lignes correspondant aux membrures primitives avec les lignes correspondant aux membrures déformées, et cette condition suffira à déterminer, la position relative des deux faisceaux de droites et l'on en déduira approximativement les angles cherchés.
Bien entendu, nous n*emplojons ici le langage graphique qu'en raison de sa simplicité. Jl faudra s'aider du calcul pour trouver les valeurs des. angles après déformation et pour les comparer aux valeurs primitives.
Détermination des efforts secondaires. — Connaissant les angles (i>o et (i>| que fait une barre ÂB àses deux extrémités avec la droite
Fig. i5i.
qui joint ces points, on peut déterminer les couples Mo et M| qui agissent aux deux bouts, ainsi que la réaction transversale
T= — ^-j — ' qu'elle exerce sur les attaches^ On a tout le long de la poutre
M=:Mo^-^-t-Mt5,
et l'on a les deux équations connues
^ li^O =zj gp-2- dl, /ci», =J ^ rf{,
où El est supposé constant.
On en déduit
— EIwo= gMo4- jMi,
1*01TRES TRIANGULÉE8 A ASSBIIBLAGE9 RIGIDES. 4^7
Mo= -^(o>o-^2CUl),
Mi = 7-(wi-+-a(i)o).
On prendra, naturellement le plus grand de ces deux moments en valeur absolue pour déterminer la fatigue supplémentaire qui est produite dans la barre. On emploiera à cet effet la formule
Mv «=— ,
et Ton obtiendra par exemple, si Wg > a>o,
Le moment d'inertie disparaît de cette expression. La fatigue supplémentaire ne dépend donc pas de ce moment d'inertie, mais
seulement du rapport -j- > qui, dans le cas d'une section symétrique,
est le rapport de la largeur à la longueur de la barre. Il y aura donc en général intérêt à ne pas exagérer la largeur des diagonales d'une poutre triangulée rigide.
Si l'on s'en rapporte aux calculs faits par différents auteurs, la fatigue supplémentaire pour certains types de poutre pourrait
atteindre 3o et même 5o pour loo de la fatigue principale, ^»
correspondant aux efforts de traction ou de compression dans les barres.
En ce qui concerne la réaction transversale T, elle est donnée par l'expression
,« M,- Mo GEF ^ ^ .
1 = j = ^(lDo-+-U),).
Elle est nulle si Wo = — Wi, et c'est toujours une fraction négligeable de l'effort principal t,
H. — Méthode de M. Résal.
