I. — R^>PEL DE QUELQUES NOTIONS DE MÉGANIQUE
Trièdre normal de référence. Sens positif des rotations. — En Mécanique on rapporte ordinairement la position d'un point, ici que M, à trois axes concourants rectangulaires Oa?, Or, O^ au sujet
Fig. I.
desquels on fait expressément les conventions suivantes. La di roclion positive sur Taxe Os est telle qu'un observateur placé le lon^ de cet axe, les pieds en O çt la tête sur la direction positive O^. voie la direction positive Oy à droite de la direction positive Ox.
PlOEACP I
11 est aisé de îivconnaîlré qite, par permiiUtian, un ol^servateur placé le lonjç de Ox\ verra Os à droite de Oy, ef qu'un observateur placé le long de Oy verra Ox à droite de Oz,
Celte convention fixe le sens des rotations positives sur les trois plans coordonnés. Ces rotations, loules effectuées de gauche a droite pour un observateur placé sur la direction positive de Taxe perpendiculaire au plan, sont celles qui perniettenr d'amener respectivement O^, Oy, Oz sur Oy, Oz^ Ox en décrivant un seul quadrant.
Lorsqu'on envisage un système plan, on représente généralement les deux seuls axes de coordonnées Ox et Oy comme il est indiqué sur la figure n* 2. Pour que les conventions et les formules
Fig. 2.
générales demeurent applicables il est nécessaire de supposer que le troisième axe O-z, à considérer éventuellement, a sa direction positive en arriére du plan du tableau. C'est ainsi qu'on obtient un trièdre positif de référence et que le sens positif des rotations reste celui qui amène Ox en coïncidence avec Oj^ par une rotation d'un angle droit.
Demi-droites et faces associées des plans perpendiculaires. —
Il y a un grand intérêt, pour éviter des erreurs de signe, à distinguer sur chaq4ie plan ou surface la face positive et la face négative. On y parvient de la manière suivante.
La face positive sur chacun des plans coordonnés est celle qui se trouve du c(Mé de la direction positive de l'axe perpendiculaire. Ainsi la face positive du plan Oxy est celle qui est du côté de la demi-droite O^.
Pour oliaque plan, ou élément plan infiniment petit d'une surface courbe, on définit un sens positif sur l'une de ses normales. La face positive du plan, ou de l'élément plan, sera celle qui est située du côté de la direction positive de la normale.
RAPPEL DR NOTIONS DE MECANIQUE. MOMENTS d'INERTIK. 3
A chacjae demi-droiu» de l'espace, définies par ses rosinus diree- Huirs*, p, y, roiTe^^pand ainsi sans ambiguïté une face biendélerniîaée du plan perpendiculaire. Le système formv par la dcmi- 4lroile fll la foce associée est évidenunent tel que, si on le déplace de façon que la deml-droile vienne coïncider respectivement avec i)x^ Oy^ Ozj la face associée vienne coïncider avec la face positive des plans Oyjz^ Ozx. Oxy respeclivemenl.
Vectemas* .MomBiit d'un. .^vBCtw. Etant donné «n point M, do oeorrdonaées ar,^, 5, ex. une demi-droite MN de cosinus directeurs a, ^, y, si Ton porle«dans la direction de cette deini^roite une lenteur MF = F, on a un segmewt MF parfaiteiweni défini en gran^ deur et en position par les coordonnées x, y^ z du point M, q»i porte le nom de point d'application ; par les cosinus directeurs a, 3, Y de la demi-droite, qui porte le nom de ligiw d\iction^ el par la longueur F.
Si la longueur F était portée dans la direction MN' de la demidroite prolongement de MN, il faudrait bien c»ntendu cbanger les cosinus directeurs a, jS, v en - a - j3 -y. On peut dire alors conventionnellement que la ligne d action n'a pas cliangé el conscr\e les cosinus directeurs a, p, y, mais (pie le vecteur MF' est négatif.
Les projections suivante les axes coordonnés d'un vecteur tel que MF p;pt respe(.ti\ement pour valeur
Z = Fv.
(les trois proj(M*lious, qu'on appelle composantes du vecteêtry, peuvent être substituées pour définir le vecteur^ im grandeur et en orientation^ aux quatre quantités F, a, p, y, dont les trois dernières ne sont pas indépendantes, mais scmt liées par la relation
En supposant F essentiellement positif, on a, en effet.
D'un autre côté on peut substituer aux trois coordonnées a:,^, z^ qui définissent l'origine M du vecteur et qui fixent, par suite, la position de sa ligne d'action, trois autres quantités fonctions de x^ y, z et de X, Y, Z. On choisit, à cet effet, les trois fonctions
(i) I B = «X — arZ,
Lés trois quantités ainsi définies, qu'on appelle moments du vecteur OF par rapport aux trois axes coordonnés^ sont considérées comme représentant en grandeur et en signe les composantes suivant les axes d'un second vecteur OV, issu de l'origine O des coordonnées et qu'on appelle le moment par rapport au point O du vecteur MF.
On démontre facilement que le vecteur OV est perpendiculaire au plan OMF, car il est perpendiculaire à la fois aux deux directions OM et MF en vertu des relations
(9,) Aar -+- B^ -4- C-5 = o,
(3) AX-f-BY-+- CZ = o,
qu'on déduit des expressions de ABC.
On démontre aussi que sa direction est telle qu'un observateur placé les pieds en O et la tête en V voie s'effectuer dans le sens positif, c'est-à-dire de gauche à droite, la rotation qui amènerait la droite OM sur la droite OF.
Enfin la grandeur de OV est égale au double de l'aire du triangle OMF, ou égale au produit de MF par la perpendiculaire OQ abaissée de O sur MN.
La connaissance du vecteur OV, moment du vecteur MF par rapport au point O, ou de ses trois composantes A, B, C, moments du vecteur MF par rapport aux trois axes coo?*donnés^ ne remplace pas complclement la connaissance du point d'application M du vecteur. Les trois composantes A, B, C ne sont pas, en effet, trois fonctions distinctes puisqu'elles sont liées à X, Y, Z par la relation (3) et ne définissent, avec X, Y, Z, que la position de la ligne d'action MN.
Deux vecteurs qui ont mêmes composantes X, Y, Z et mêmes moments A, B, C, par rapport aux trois axes coordonnés, ces six
RAPPEL DE NOTIONS DE MÉCANIQUE. MOMENTS D*INERTiE. 5
quantités étant liées par Téquation (3), sont donc simplement deux vecteurs égaux ayant la même ligne d'action, mais non le même point d'application. Mais, en Mécanique, deux semblables vecteurs jouent des rôles identiques et on les qualifie d^ équivalents.
11 est bien évident que deux vecteurs équivalents ont mêmes composantes et mêmes moments par rapport à trois axçs coordonnés quelconques.
Si l'origine des coordonnées ne change pas et- si l'on désigne par a, p, y les cosinus directeurs de l'un des nouveaux axes, OX' par exemple, on a
A'= Aa-f-Bp-i-CY.
Si Ton déplace les axes parallèlement à eux-mêmes et si a, 6, c désignent les coordonnées de la nouvelle origine par rapport au système primitif, X, Y, Z ne changent pas, mais on a
B' et C s'en déduisant par permutation.
Systèmes de vecteurs. — Supposons qu'on ail un système de vecteurs Fj, F.^, ... distribués d'une manière quelconque dans l'espace et définis chacun par leurs composantes (X|, Y,, Zi), (Xa, Y2,Z2), ..., et par leurs moments (A,,B«, C|), (A2,B2,C2), . . . par rapport aux axes coordonnés.
Considérons le vecteur OF mené par l'origine et dont les composantes soient
P = X,-+-X,-f- ... =SX,
Q= Y,-+- Y,-h ... = SY, R =:Zi-+-Z, -h ...=-- 2Z,
et le vecteur OV également mené par l'origine et dont les composantes soient
. L = Ai-+- A,-i- ... = SA,
iVl = Bi-h Bj-h ... = SB,
N = Ct H-C,-f- ... =SC.
Le vecteur OF s'appelle la résultante de translation^ ou plus simplement la résultante du système donné. Le vecteur OV s'appelle le moment résultant.
O . CHAPI rRB I.
Elii géuéralisantla uolion d'équivaleiicr, ou dit que deux, systèmes de vecleiips sont rquivalcnts quand ils ont à la fois- même ré&ullanie ei ménhe moment résulianl. Il v ^ une iuianllé de sy>tènies de vecteurs équivalents à un système donné^ et le problèm^^ dil de la oompoëitioa ou de la réduction des veeteurs consiste à reehereher les systèmes équivalents les plus simples possibles. On dimioiilre faeilemenl que deux systèmes équivalentes satisfont «ncôi'ïîiaux conditions! d'éipiivalenee quel que soit le système dv coordonnées (dioi^i. Par exemple, en déplaçant les axes parallèk*raent à eux-mêmes, PQR ne changent pas pour Tun quelconque) des systèmes, et Tonji
L'= L-(6R — cQ), M' = M— (cP — aRj, N' = N — (aQ— 6P).
L'égalité des six quantités PQR; LMIS entraîne relie deL'M'jN' pour 'eux systèmes équivalents.
Lorsqu'on a un système de vecteurs concourants, c'est-à-dire issus d'un même point d^application O, en prenant ce point comme origine, on a évidemment
Oh obtient alors un système équi\ aient en prenant simplement la résultante du système, vecteur passant par O et dont les composantes sont P, Q, R.
Si Ton a un système de vecteurs parallèles on peut, en général, le remplacer aussi par un vecteur unique parallèle à la direction donnée. C'est le cas limite du précédent.
Dans le cas le plus général on ne saurait réduire un système d<^ vecteurs à un vecteur unique, car les six quantités P, Q, R; L, M, N sont alors indépendantes et l'on a vu (équation 3) que pour un vecteur unique les six quantités correspondantes sont liées par une condition, qui serait ici- PL -+- QM -h RN = o.
On peut trouver un système équivalent et simple en adipignant à la résultante de translation, passant par l'origine, et dont le moment est, par suite, nul, un système quelcompie dont la résultante
RAPPEL DE NOTIONS DÇ MECANIQUE. MOMENTS D'iNBRTIE. 7
so4l nulle et dout le momeal résiiltaixt ait pour (!()niposantes. L, M, N.
Parmi les systèmes- de celte espèce le plus simple est (!elui qui peut èipe cousiiiuè par deux vecteurs égaux agisvsaiil S4ir deux droites parallèles et en seas inverse Fuji de Tautre. In pareil système porle le nom de couple. Sa résultante de translation est nulle, et son moment ré^ukaat est le même par rapport à tout point de TespaecDeux couples^soat équivalents quand ils ont inèjBe uoLotnent résultant.
On peut donc avoir un système équivalent à un système donné en prenant sa résultante de translation et en y adjoignant un couple quelconque ayant même moment résultant que lui.
L\)rigine des coordonnées élan t arbitraire, ce résultat s'applique; à un point quelconque de l'espace. Quelle que soit Torigine choisie, la résultante de translation demeure la même en grandeur et en direction; mais le couple varie évidemment, comme le moment résultant, quand on déplace l'origine.
H. — Constantes mk(«\mques d'un système matériel.
SOMME, moments ET CENTRES DE GR.VV1TÉ. MOMENTS d' INERTIE.
Systèmes de points ou d'éléments matériels. - - Soit un système de points M«, Ma, ... situés d^me manière quelconque dans l'espace, et dont les coordonnées sont respectivement (ap«, ^«, ^i), (^2? >'2? ^a )j • • • • ^^^ points peuvent être des points matériels, au sens de la Mécanique rationnelle, auxquels sont attachées des masses m^, mj, . . . qui sont de véritables coefficients numériques, positifs ou négatifs. Ils peuvent aussi être considérés comme faisant partie d'éléments de lignes, de surfaces, de volumes continus dont les coefficients />i«, m^^ ... représentent les grandeurs respectives.
Ln pareil système est défini au point de vue mécanique par un certain nombre de constantes, parmi lesquelles se place en premier lieu la somme des masses ou éléments définie parFégalité
S = mi 4- mi-t- . . . = li/n.
Les autres constantes fondamentales sont celles qui interviennent dans l'expression de la quantité de mouvement ou de la force vive du
système, quand on lui fait subir un déplacement d'ensemble : translation ou rotation autour d\in axe.
Constantes de translation. Moments du premier ordre. Centre de gravité. — Supposons qu'on fasse subir au système une translation égale à Tunité dans la direction a^y.
A chaque point M sera attaché un vecteur égal au produit de sa masse par le vecteur constant qui représente la translation. Les composantes de ce vecteur seront donc d'une manière générale
X = ma, Y = mp, Z = my.
La résultante de tous ces vecteurs aura pour composantes :
i P =^al,m =aS,
( R=yS.
Leur moment résultant aura pour composantes :
(a) \M= = *(^mz — aZmXf
\ N - = a S m.r — p£ my.
Il dépend des trois quantités S'ma?, S/wy, ^mz qu'on appelle les moments du pr'emier ordre ^ ou simplement les moments du système/?ar rapport aux plans coordonnés.
On appelle centre de gravité du système le point dont les coordonnées sont définies par les relations
bS==Zmy, cS — 2m5,
et Ton démontre facilement que sa position est indépendante du système de coordonnées choisi.
Les moments du premier ordre et, par suite, aussi toutes les constantes de translation sont ainsi susceptibles d'une représentation simple. Tout se passe comme si la masse entière du système était concentrée en son centre de gravité.
Remarque /. — Il est bien évident que si le système possède un
RAPPEL DE NOTIONS DE MÉCANIQUE. HOHlsNTS d'iNERTIE. 9
plan de symétrie le centre de gravité sera contenu dans ce plan. S'il possède un axe de symétrie, le centre de gravité sera situé sur cet axe.
Remarque II. — Si Toriginte des coordonnées coïncide avec 1q centre de gravité, on a
ou, ce qui revient au même,
^mx — Smj^ = Zmz = o.
Constantes de rotation. Moments et produits d'inertie. — Supposons maintenant qu'on fasse subir au système une rotation infiniment petite, prise comme unité, autour d'une droite ON de cosinus directeurs a, p, y.
Si l'on attache encore à chaque point M un vecteur égal au pro-
Fig. 3.
duit de sa masse par son déplacement, ce vecteur aura pour composantes
La résultante de tous ces vecteurs aura pour composantes
= gS mz —
■yl^my =
S(Pc-
— y2 mx -
- aS mz =
S(Ya-
-ac),
-pSiwa7 =
■ îa),
10 GHAPITBfi 1.
<>iL désiigiiïtfit toujours^ par a^ bj c les coordoiiuées du. ceMre dv gravité .
On \oil que celte ivsuitanle ne fail inlervenir que les moiuenis <lu premier ordre, ou les coordonnées du centre de gravité et que tout se passe encore comme si toute la masse était concentrée en ce dernier.
Quant au moment résultant OR s<\s composantes seront :
L = ^(yZ-- z\) == £/n(a^*— ^ccy - --^coz-^ olz^) = aS m (^* -4- -3*) — ps ntxy — 7! mxz,
\ N = y2 /n (a;* -f- ^* ) — aE mzx — pS mzy . Elles dépendenl^ des six constantes s«ivant(»s :
(6) I Ai=5:m (5«-Hic«), B,= ^m3ar,
Les coefficients A,, Ao, A3 portent le nom de moments d^ inertie })ar rapport aux axes Ox^ Oy^ Oz respectivement. Les coefficients B|, Bj, Bj sont mipelés produits dUnertie ou moments composés dHnertie par rapport aux axes respectivement perpendiculaires à Ox^ Oy, O5. Leur ensemble s'appelle coefficients dHnertie.
Avec ces notations le moment résultant, qu'on peut appeler
vecteur dHnertie de la rotation a^y, a pour composantes, suivant
les axes,
iL= Aia-B3^~B,Y,
( N = — B,a- BiP-hAsY.
Si la rotation s'effectuait autour de Ox^ on aurait a = i, P = Y = O7 ^f le vecteur d^nertie correspondant aurait pour composantes A|, --B3, — Bj.
De même les composantes des \ecteurs d'inertie relatifs aux rotations effectuées autour de O^, O5, res|)ecti\ement, seraient
— B,. A, — Bi ( poor Ox\
— Bj — Bj A3 (|)ourO>s).
Cela précise la signification des six constantes.
11 est facile d'avoir la projection du vecteur d'inertie OR sur
HAPPEL DE NOTIONS DE MECANIQUE. MOMENTS D INERTIE. il
une dk^ectioa quelconque (^a', ^', y'). On aa qu'à former re\f>i:esi>ion
La'H-Mp'-i-NY'.
Si, en particulier, on le projette sur la direrlion (a, ^3, v) de Taxe de rotation, on obtient comme résultat
Cette projection I porte spécialement le nom de moment d'' inertie par rapport à la droite ON (a, p,. y).
On voit q4i 'elle se réduit respectivement a A|, A2, A3 loi^sque Taxe de rotation coïncide avec l'un des axes coordonnés Ox,
Elle représente par suite la somme des produits obtenu*; eu multÂpIiant chaque niasse m par le carré de la distance à la droite ON. Elle est toujours positive.
Représentation générale des veeteurs d'inertie et des moments d'inertia autour |d\m point. -- Lorsque la droite ON varie, le vecteur d'iaertie et le moment d'inertie subissent des variations corré^latives que Ton peut suivre aisément au nioven d'un mode de représentation em{>lojé daos plusieurs théorieir de Mécanique.
1* Vecteur d'inertie. - - La surface décrite par l'extrémité R du vecteur d'inertie OR est un ellipsoïde.
L'équation de cette surface s'obtient, en effet, en éliminant a, p, Y entre les équations (7) et la relation
Or, les équations (-y) fournissent pour a, p, y des expressions du premier degré en fonction des coordonnées L, M, N de l'extrémité du vecteur OR.
Cette surface s'appelle V ellipsoïde des vecteurs d'inertie.
2® Moment d'inertie. — Si l'on porte à partir de O, dans la direction de Taxe de rotation ON, un vecteur prepopticniftel à l'inverse de la racine carrée du moment d'inertie, égale par suite
à -;r> son extrémité décrira un second ellipsoïde.
la CHAPITRE I.
En effet, les coordonnées X, \, Z de celle extrémité sont telles
que Ton ait
En éliminant a, ,3, y entre ces équatipns et Téquation (8), on obtient comme équation de la surface
(g) A,Xï-f^ A,Yî-t- AaZ»— 2B,XY — aBjYZ — aBjZX = X«.
Ce second ellipsoïde s'appelle V ellipsoïde des moments d^ inertie ou, plus simplement, ellipsoïde d^inertie. On peut le particulariser en disposant de la constante arbitraire X.
On lire de là[ cette conséquence qu'il existe autour du point O trois directions! appelées directions principales, qui sont telles que, si on les choisit pour axes coordonnés, les produits d'inertie correspondants sont nuls. Ce sont les axes de l'ellipsoïde d'inertie. En effet, dans son équation, rapportée à ses axes, les termes rectangles en B doivent disparaître.
La détermination des irois axes d'un ellipsoïde dont on connaît l'équation est un problème connu de Géométrie analytique. Si le système possède un plan de symétrie passant par O, une des directions principales est évidemment perpendiculaire à ce plan.
Nous ne nous y arrêterons pas dans le cas général, et nous supposerons qu'on ait fait clioix des axes de Fellipsoïde comme axes coordonnés.
Dans ces conditions, le vecteur d'inertie se confond avec le moment d'inertie pour chacun des axes coordonnés.
D'un autre crMé, les composantes L, M, N du vecteur d'inertie relatif à l'axe ON (a, p, y) se réduisent a
cl l'ellipsoïde des vecleurs d'inertie a pour équation
rtj iX^ /^j
Quant à l'ellipsoïde des moments d'inertie, il a pour équation (II) A,X«-+- AjY»-hA,Z«=X«.
Si, dans ce dernier ellipsoïde, on prend le plan diamétral con-
RAPPEL DE NOTIONS DE MÉCANIQUE. MOMENTS d'iNERTIE. I ^^
jugué de la direction ON (a, p, y), ce plan a pour équation
AiaX-+-A,p\-f-A,YZ = o.
Sa normale a pour cosinus directeurs des quantités proportionnelles à A|a, AjP, As y, qui sont les composantes du vecteur d4nertie.
Il en résulte que ce second ellipsoïde suffît pour faire connaître non seulement les moments d'inertie, mais aussi la direction et par suite la grandeur du vecteur d^nertie, dont le moment d'inertie n'est qu'une composante.
Si, dans le plan diamétral conjugué de la direction ON, on prend la trace OU du plan ONR, cette droite jouit de la propriété que chacun de ses points demeure dans le plan diamétral lorsqu'on lui fait subir une rotation infiniment petite autour de ON. Le vecteur d'inertie d'un de ses points est donc dirigé suivant OR, et, pour que ce vecteur soit égal à celui du système donné, il suffit que sa projection sur ON, ou que le moment d'inertie du point par rapport à ON soit égal au moment d'inertie 1 du système donné.
On appelle rayon de gyraiion par rapport à un axe tel que ON une longueur r telle que l'on ait la relation I — - Sr'. Les rayons de gyration relatifs aux axes coordonnés sont
sJt^ ''-V^' -=\/'
En tenant compte de celte nouvelle notion, IVllipsoïde d'inertie est tel que, dans chaque direction ON, le rayon vecteur soit proportionnel à V inverse du rayon de giration.
D'un autre côté, le point J, situé sur la droite OU à une distance JJ'= r de ON, est tel que ^ si on lui attribue une niasse totale égale à S, il aura même moment dUnertie et aussi même vecteur dHnertie par rapport à ON que le système donné.
Ellipsoïde central d'inertie. — Tout ce qui \ient d'être dit s'appliquej quel que soit le point O choisi pour origine des coordonnées. Quand cette origine coïncide avee le rentre de gravité du système, on obtient un ellipsoïde d'inertie particulier qu'on
l4 CBrATlTIlE I.
appelle ellipsoïde central dUnertie^ dont la connaisssnice facilite la délerminalion des vecteurs et moments, d'inertie par rapport à lin point el à une droite qiielocinque de l'espace.
Il suffit pouivs'en ren-dre compte de chercher-comment on passe des coefficients d'inertie A ou B, par rapport à des axes coordonnés quelconques menés par le centre de gravité G, aux coefficients analogues relatifs à des axes coordonnés parallèles menés par nn point <|iielcoiiq«ie O.
"Si Ton désigne par x\y\ z les coordonnées d'un point quelconque dans le nouveau système, et par-«, 6, c celles du centre de gravité, on trouve facilement, en tenant compte des relaûens
a; = Zm(y^-hz'^) = Lmiy^-^- z^) -h ibl,my -h 2cl,mz -h {b^-^ c*)S
= Ai-f-(黫-+-c«)S,
les termes en ^my et ^mz étant nuls en vertu de la définition du centre de gravité.
Le moment d'inertie par rapport à wne droite quelconque est ('gai au moment d^ inertie par rapport à la droite parallèle menée par le centre de granité augmenté du produit de S par le carré de la distance (6'-f-c^) dâ centre de gras^ité à la droite donnce.
Opérons de même pour un produit d'inertie tel que B\. Nous trouverons
B', = Smy V= Zmyz -+• hZmz -4- cZmy -t- bc'è
Le produit d^ inertie relatif à deux axes rectangulaires est égal au produit d^ inertie relatif aux deux axes parallèles menés par le centre de gravité^ augmenté du produit de S par les deux coordonnées du centre de giHivité relatives à ces axes.
Tout se passe donc comme si Ton composait le vecteur d'inertie relatif à un axe passant par le centre de gravité avec le vecteui d'inertie, relatif à Taxe parallèle mené par le point O, que l'on obtiendrait en concentrant toute la masse au centre de gravité.
Vecteurs et moments d'inertie des systèmes plans. — En pratique, on a le plus souvent affaire à des systèmes plans (clignes ou
RAPPEL DE NOTIONS DE MÉCANIQUE. MOMENTS d'INERTIE. i5
surfaces). 11 en n;suile des simplifiralif)ns nol«l)les et une plus Jurande précision.
Toutes les coordonn«Vs z clanl nulles, par exemple, on a
(iV)
Al = S/w^*, B| = 0,
As=£mir*, Bs=o,
11 en résulle A, = A| -+- A^* d*- *oi*te qu'il ne reste plus que trois coefRcients di$tiACls.\^, A^ el B^. Par raison de symétrie, Taxe Oz est toujours une direcliou princif>ale.
Fig. 4.
Si Ton se borne à examiner ce qui se passe quand la droite ON ne sort pas du plan Oxy conlenant le système, on peut supposer aussi Y r= o et les deux cosinus directeurs a et ^ seront : Tun l<r cosinus, l'autre le sinus de Tan^le a que fait ON avec Taxe i)x par exemple.
Dans ces conditions, les f(»rmules ( - ) s'écriront
L= \|COsa — Basinat, M = — B3COS3 f- Aj{ sina, N r^ o.
Le vecteur d'inertie OR esl dans le plan Oxy. Il suffit d'étudier
l6 CHAPITRE I.
relllpse d'inertie, intersection avec ce plan, de Tellipsoïdc d'inertie.
Le moment d'inertie par rapport à ON a pour expression
(8') I = Al cos*a -i- Al sîii*a — îîBj sîna cosa,
et Tellipse d'inertie a pour équation générale (9') AiX»-i- A,Y«- aBaXY = X«.
On détermine facilement la direction de ses axes et les coefficients des termes en X* et Y^ de son équation rapportée à ceux-ci par les procédés connus de Géométrie analytique. On peut traduire ces procédés en langage mécanique de la manière suivante :
Calculons la projection du vecteur d'inertie (dont les composantes sont L et M) sur la perpendiculaire à ON, qui fait avec Ox
l'angle a H — et dont les cosinus directeurs sont, par suite, — sina
et cosa. Nous obtiendrons
(12) J = — Lsina -+- M cosa = (Aj — Ai) sina cosa — Bs(cos*a — sin*a)
Al — Al . j
= smaa — Bscossta.
L'axe ON sera une direction principale si J = o, c'est-à-dire si le vecteur d'iniertie et le moment d'inertie I se confondent. On obtient donc les angles a que font avec Ox les axes de Tellipse en résolvant l'équation
Al — Ai.
sin -ia — Bj cosa a = o,
(i3) tang2a= '-r- '
Si p désigne le plus petit angle fourni par cette équation, la seconde'
direction principale correspondra à l'angle p + -j^ •
Le moment d'inertie I| correspondant à l'angle p aura d'ailleur> pour expression, en éliminant B3 au moyen de l'écjuation (i3).
- . i-HcosiB . I — ces 2 3 Aj— Al I, = Al !- -H Al ^ '
tang2psin2 3
At -4- Aj Al — A» I
COS 2p
RAPPEL DE NOTIONS DE MÉCANIQUE. MOMENTS d'iNERTIE. I7
Le moment d'inertie Ij correspondant à l'angle p H — aura de
même pour valeur
. A|-f- Aj Aj — Ai I J* = -
'2 2 ces 7. p
On vérifie facilement les conditions d'invariance des coefficients
IiH-I,= A,-+-A„ J,I,= A,A,-BJ,
et Ton a cette autre relation utile
Ii-ïi=(A,-A,)
ces 1^
Cette dernière montre que le signe de !< — lo est toujours le même que celui de A, — A2.
Considérons à présent Tellipse d'inertie et supposons-la rapportée à ses axes Ox et Oy préalablement déterminés. Son équation'est de la forme
ou encore, en faisant intervenir les rayons de gyral ion principaux
r, et /-.j,
Disposons de \ de telle sorte que X- :r^ S r*J rîî , Téquatioii
deviendra
Xî Y2
(Avec la convention admise prérédemmenl : A| >> Aa ou /•, »2, cette ellipse a son grand axe suivant O^k.)
On a, suivant Ox, OA = /'2; (*t, suivant O)', OB=r, . Son rayon vecteur OI, suivant la direction ON, est éiçal à --= = -^ •
Considérons le diamètre OU conjugué de OlN, il est perpendiculaire à la direction OR du vecteur d'inertie, et le point J où il coupe r ellipse est tel que
OJ X 01 X sinJOl = /'irj.
On en déduit que
JJ'= OJ X sinJOÎ = r.
PlOEAUD 2
C'est donc en ce point que Ton devra concentrer toute la masse S du système pour obtenir le vecteur d'inertie relatif à ON.
Uellipse d'inertie, au lieu d'être regardée comme le lieu des points I, peut être considérée comme le lieu des points J. Elle est alors V enveloppe des droites menées parallèlement aux différentes droites telles que ON et à une distance de celles-ci égale au rayon de giration qui leur correspond.
Construction graphique. — On peut, au moyen d'une construction graphique très simple, déterminer Tangle p et les moments d'inertie principaux I« et I2, et ensuite suivre les variations du vecteur d'inertie pour une direction quelconque.
Supposons, pour fixer les idées, A, > Aj et B3 négatif. Le vecteur d'inertie correspondant à Taxe Oa? a pour composantes A| et — B3. Le vecteur correspondant à l'axe Oy a pour composantes -h B5 et — B3, d'après les formules (7') ou bien Aj et +B, par
rapport aux axes Oy et Ox' tournés de a= - par rapport aux
dm
axes primitifs.
Sur une droite indéfinie OO portons OA, = A|, et sur la perpendiculaire élevée en A^ portons A, F, z=z — B3. Le vecteur 0F<
Fig. 5.
représentera le vecteur d'inertie relatif à 0.r. Portons de même OA2= A2 et A2F2— - B3. Le \ecleur OP'2 représentera le vecteur d'inertie relatif à Oy,
Joignons maintenant F, F2. Cette droite coupera OO en un point C, milieu de A2A|, et l'on aura
