ÉLASTICITÉ PLANE OU A DEUX DIMENSIONS

Par suite,

-2 1 ces 'À ^

De mémo on aurait

Ni+N, Ni — N, I

Inversement, si l'on connaissait les deux vecteurs OA et OB qui représentent les tensions principales, ainsi que Tan^le ^ que fait a avec la direction de Taxe OX, il suffirait de faire avec la •

direction (]A un an^le ACFi = — 2 a, compté dans le sens des aiguilles d'une montre, pour trouver la position du point Fi et en déduire N» et T^.

D'une manière plus générale, «i l'on veut déterminer les composantes j\ et T de l'effort F qui s'exerce sur un élément plan dont la normale fait un angle w -avec la direction de la tension principale a, on tracera la droite CF faisant avec OX l'angle 2(o, compté positivement dans le sens des aiguilles d'une montre. En abaissant la perpendiculaire F!S, on aura évidemment

ON = OC -h CN = 1 cos Aw = N,

^ F = SI n '>. (i> = T.

Le vecteur OF représentera l'effort F -^ y/ ^N'-'-j-T-, et l'angle 9

qu'il fait avec OX est tel que, compté de OF vers OA,"le sens

positif étant celui des aiguilles d'une mcmlre, on ait tang ft = — .

11 est égal à TangUî que fait l'effort F av(»c la normale M\ à l'élément plan sur lequel il sVxerce.

Si l'on rapporte les angles, non plus à la direction de la tension principale «, mais à la direction Oj:, il faut, au lieu des angles to, considérer les angles a liés aux premiers par la relation

a = co -h P,

et il est clair que Fangle FGF^, compté à partir de (^F«, n^présenle précisément 2 a.

On peut retrouver facilement sur les figures (1) ou (2) tous les

résultats précédemment déduits des formules, et suivre pour ainsi dire à vue les variations de tous les élémeuts utiles à considTh^cr. On reconnaît, par exemple, qu'à deux plans rectangulaires, dont

Tun est défini par l'angle «o çt l'autre par l'angle w -|r- -i corres-

pondent des angles aw, ou des angles 2 a, différant de tc, et par suite deux points F et F' situés aux extrémités .d'un même diamètre. A ces deux plans correspondent des valeurs de T, égales et de signe contraire. On a de plus les relations évidentes suivantes :

OC = — : , doù N-hN'=aH-6;

CF* = CiN* -4-FN*, d'où (N - N')«-h 4T«= (an-^)».

Enfin, on voit que les angles 6 correspondant à F et F' ne sont pas égaux en général et ont toujours des signes différents.

Si Ton veut maintenant suivre les vacations des composantes des tensions ou des diverses quantités qui s'y rattachent, on n'a

qu'à faire varier co entre o et ±: -> et à voir ce qui se passe quand

le point F décrit la moitié inférieure ou supérieure de la circonférence. Il n'y a au fond que deux cas distincts à considérer, suivant que a et 6 sont de même signe dOU de signes différents, le point 0 étant à l'extérieur du cercle dans le premier cas, et à l'intérieur dans le second.

En ce qui concerne la composante normale N, elle prend toutes les valeurs intermédiaires entre a et b. Elle peut devenir nulle quand a et & sont de signes contraires {^fig- 2). L'angle (o correspondant à N = o est alors tel que, en valeur absolue,

a — o €t ro.n a alors

En ce qui concerne la composante tangent ielle T, elle part de zéro, quand F est en A, passe par un maximum égal eii valeur

absolue à > ravon de la circonférence, lorsque a> i=r ±: -' .

Ensuite, T décroît pour redevenir nul (juand F est en B.

En ce qui concerne l'angle Ô, il faut distinguer le cas de la figure (i) du cas de la figure (2).

ELASTICITK PLANE OU A UEL'X i>lMRNS10.NS.

Dans le premier cas, lorsque to croît de o à ;^, Tangle 6 part de

Kig. 183.

zéro, \a en croissant el atteint son maximum lorsque le point F

coïncide avec le point de contact de la tiingente issue du point O.

A ce moment, on a

sinO =

Ensuite 6 diminue et redexient nul pour co = - •

Dans le second cas, Tangle 6 va constamment en croissant; il

atteint la valeur - lorsque N = o, el atteint la valeur t: quand F

arrive au point B.

Enfin, supposons que Ton \euille étudier les variations de Tex-

Fig. i83.

pression |T| — |^|tang'f, dans laquelle cp représente un angle

donné. Cette recherche n'a d'ailleurs d'utilité que dans le cas de

la figure (i). On mènera par le point O une droite 0<1> faisant

avec OX Tangle es. Si cette droite ne coupe pas la circonférence,

on aura partout

I T I - 1 N I tang<p < o.

Si, au contraire, elle la coupe en deux points tels que <I> et <&', l'expression deviendra positive lorsque F sera dans la zone <&<!>' et sa valeur sera représentée par le segment FP = FjN — PIN. Son maximum correspondra au point II que l'on olitiendrait en menant une tangente parallèle à 0<&. L'angle aw correspondant serait évidem-

5i4 CHAPITRE XX. — ÉLASTICITÉ PLANE OU A DEl'X DIMENSIONS.

ment égal à -' -{- cp, de sorte que Tangle w serait

Le maximum de ^exp^esslon serait d'ailleurs

HL= — i HK = — !— (CH-CK).

COSÇ coso

Or, on a

INous n'insisterons pas davantage.

Nous dirons cependant un mot de quelques cas particuliers.

Supposons N, = --î\2. I-.e point O sera confondu avec le point C (Jig^ 2). Dans ce cas, on aurait a = — b^ et sur deux plans rectangulaires quelconques on aura !S = - - N'. Sur les deux plans bissecteurs des directions principales, on aurait N =;: o avec T =±a. Enfin, on aurait constamment la relation 0 = 2<o. Dans ce cas rentre celui où l'on aurait N^ =:N2 = o avec Tsp^^o.

On aurait alors a = zb T3 et 3 = -' .

Le cas particulier où l'une des tensions principales s'annule mérite aussi une mention spéciale (yoir /ig-, iH'i). Supposons, par exemple, b = o, et par suite le point O confondu avecVB. On aura constamment 0 = o). La direction de la tension demeure donc constante, quelle que soit l'orientation w de l'élément plan. Ce cas se reconnaît à ce que ab = N»^!2 — T, = o. On a alors, d'après la formule générale,

I\ = 1 cos itt) = a cos* (ii.

Ou a en particulier î\, = a cos- ^, d'où a =^ — ^ô

IQQQ —