I. — Compression normale et uniforme

Supposons un solide qui soit soumis sur toute sa surface à une pression normale et uniforme P. Appelons a, ^, y l^^s cosinus directeurs de la normale extérieure à la surface. Les composantes de la pression sont respectivement — Pa, — P^, -^ Py, et les équations à la surface s'écrivent :

— Pa = Nia-hT3p-l-TjY, -P?==T3a + N,p-4-TiY,

Supposons maintenant que Torigine des coordonnées veste fixe, de manière à ne tenir compte que des déformations. Nous allons montrer que les déplacements m, r, tv peuvent être représentés par les fonctions

a étant un coeffîcient constant a déterminer.

Les équations indéfinies d'équilibre sont évidemment satisfaites,

car on a

du (h dw rfO

w = -7 — h -T — i — r— = 3a, •! ou -s— = o,

dx df dz dx

et, d'autre part, on a

lu = Ai' = ùiw ■-= o.

Parlant de ces valeurs, on peut calculer les I\ et T. On a

N| ~ aO = !i u -— = rt ( 3 A -f- 9. a),

ti.v

et Ton trouve la même valeur pour Nj et ^a. ()uant aux tensions tangentielles, on a

PlORAUD 35

Pour satisfaire aux équations à la surface, il suffit donc de déterminer a par la condition

— P = a(3XH-afx), -d'où a =

On en déduit pour la dilatation cubique

Le coefficient'^ ■» est appelé coefticieni de dil^Aation cubique.

On a es«ay< de le déternaiaèr dii^clemeoi pour <;ertain« corp6,'au no^eii de pressioas Iréë eoiifitdérableâ. «Ces >eiLpépi«3nc<es montreal qli^uo corp« «olide peiii Mipporier saos «e roQ)pre« ^t raêoie &aus s^aUérer, d^s ceinpr^ssions intérieures uaîfopiBeé eiUrémemeiU

grandes.

II. — EXTENSION LONGITUDINALE d'LN PRISME OL' 'D*CN' CÏLINDRK.

Considérons un solifle prismatique ou cylindrique dont les arêtes soient parallèles à O^, et soit F la traction uniforme, rapportée à Funité de surface qui agit sur chacune de ses bases.

Fig. i85.

Nous supposerons que l'une des bases, celle située dans le plan ./Oj', reste fixe, e\ nous xérifierons que les déplacements

DIVERS mOBI.BM£S SIMPLkS. 5ii7

peu veut éire xepréi^ntés par les foBClioAS siiniples

.« = — ^a*, vss — «j^, 'w-vs'cz

a ei c dési^qumt des x^onstantes convenablemeiit choisies. On a ici

c?u <;?(' û?w aa; aj^ a-5

et, d'autre part,

An s= Al' = \w = o.

iW Buile, les énpiaiioas iAdéfinies >d'éqiM4ilibtic s<Mit satisfaites. Calculons maintenant les tensions. On a

Tj 5= Tj= T3= o.

D'autre part, on a

- N3= X(c— j5ia)'-4-2txc = (X ^ 2/*)c — aka.

11 s'agît de satisfaire avec ces valeurs aux éq^iations à la surface qui soiTt de deux espèces. Sur la surface latérale du prisme, il n'y a aucane force extérieure. Comme «n •« -y = o, en m^ême temps que fe« T aoat nuk, «es <éqiaat«r»n8 se ïédiàisemi à

d'où la condition

(i) Xc — rï(XH- îjl)«=: o.

Sur les ba^eë du prisiMe^ on a X = ï.= cet Z = F, «t, d'autre {xarL, K = p :^<o aveac y =:= i - X^6s é^u8ii«ii« a Ja «Mi^faee^seirédttt^eiii

(Toù la seconde condition

(•») ( ^v -4- ^-ii ^«c — '2 X -a = F.

Des équations (!) et (a) on déduit

Dai^s le »«ens des .aréjbes ^ punsme^ H se piciiduit «me (dilatât iou

égale à c par unité de longueur. Si Ton pose c = ^> E désignant le coefficient d'élasticité, on voit que Ton a la relation

r X-t-(Ji ,. „ a(3X-+-2u)

h |Jt(JA ■+■ afx) A -h [JL

D'autre part, dans le sens perpendiculaire aux arêtes, il se pror duit une contraction transversale uniforme, dont la valeur est donnée par a. Ce résultat est conforme à ceux que mettent en évidence des essais de traction sur des barreaux de métal.

Le rapport de la contraction transversale à la dilatation longitudinale a pour valeur

c •2(A-»-jjl)

Ce rapport yj est appelé le coefficient de Poisson. 11 est déterminable par Texpérience, et c'est au nom d'expériences faites sur des matériaux considérés comme isotropes que l'on a été amené à regarder comme généralement inexacte la relation ). = [jl, qui ramènerait à un seul les deux coefficients .de Lamé. Celte relation

conduirait pour ■/; à la valeur constante v) = - = o, 2v5. Or, il

semble que pour les métaux essayés, la valeur de tj se rapproche

plutôt de — = o,3o. Pourvu que l'on admette que jjl est positif,

on a nécessairement la << -•

Les deux coefficients E et yj, coefficient d'élasticité et coefficient de Poisson, qui sont directement déterminables par Texpérienee, sont souvent substitués dans les formules d'élasticité aux coefficients X et [JL de Lamé. Cela ne procure pas une grande simplification en général ; cependant, cette substitution facilite quelquefois l'interprétation des résultats obtenus, ainsi que les applications numériques. Pour l'opérer, il suffit de connaître les expressions de X et a en fonction de E et de t,. En résolvant les équations de définition de E et de t^, on trouve facilement

On s'évite quel(|ues difficultés de calcul en se faisant d'avance un tableau des valeurs de quelques fonctions simples, par exemple

DIVBRS PROBLEIIKS SIMPLES.

le suivant :

IJL(3X4-2{JL)