IV. — Torsion simple

Dans ce problème, on suppose X = ^= Z = o, M^. = M^ = o et Mz seul différent de zéro.

. Toutes les constantes a et è sont nulles et il reste une seule constante à déterminer, K, constante de torsion, que fera connaître Téquatiori (6) dès que la fonction o' aura été déterminée.

Les expressions des déplacements se réduisent à

tt =0, V =.o, <r = gAf ,

de sorte que la détermination de sv ou celle de '^' constituent dans ce cas un seul et même problème.

D'autre part, les expressioiis des tensions se réduisent à

Il n'y a donc [)lus à s'occuper que des tensions T| et T^, lesquelles dépendent de ©'.

L'élude d'un problème de torsion simple consiste donc essentiellement à trouver la fonction harmonique o qui satisfait à l'équation au contour de la section transversale, équation qui, dans le cas actuel, s'écrit :

dx dx dy dy dx"^ dy

C'est là un problème difficile en général. Mîiis on peut traiter un certain nombre de cas simples en suivant une méthode inverse, indiquée par Saint-\ enant, et consistant à se donner a priori la fonction harmonique cp' et à en déduire au moyen de l'équation différentielle précédente la fonction F qui lui correspond et par suite la forme du contour qui convient. On peut ainsi collectionner un grand nombre de résultats et avoir des solutions approchées pour des formes de sections ne s'écartant pas trop des formes étudiées.

586 CHAPITBS XXII.

i^ Cas de lasection circulaire, — Supposons o'= mx H- ny-^-p.

Cette hypothèse conduit évidemment à une expression linéaire

pour le déplacement w. Elle équivaut donc à supposer que les

sections transversales demeurent planes dans la déformation.

On en déduit

d^* do

de sorte que l'équatron différeatielle ilu contour devieat

ou encore ou enfin

dF. . ^F.

cfy{m -^y) — dx{n — a?) = o

a : — = n dx — m. dy.

En intégrant, on trouve

C'est l'équation d'un cercle. On en déduit que c'est seulement dans le cas de sections circulaires, c'est-à-dire dans le cas où l'on a affaire à un cylindre de révolution, que les sections transversales peuvent demeurer planes.

Si l'origine des coordonnées est au centre du cercle, son équation se réduira évidemment à

en désignant par R le rayon.

La constante de torsion K se détermine, comme nous l'avons dit, par l'équation (6)' savoir

qui devient dans ce cas particulier, en tenant compte de

/ xd^ = j y d9 =^ Oy

^ PROBLÈME DE SAINT-VE;«fANT. ^87

Les expressions des tensions se réduisent d'ailleurs à

Leur résultante est

T = v/Tî + Tî=^r,

en posant r = y/a?^ -^y^-

Cette résultante est maximum, pour r = R et a pour valeur

ttR»

a° Ca5 rfe la section elliptique. — Supposons cp'= mxy. Nous aurons

L'équation au contour sera

d¥ , ^ dF ^

ou encore

dy(my-hy) — dx(mx — a:) = o ou enfin

x^(i — /II) -H^-/i -h m) = A.

C'est l'équation d'une courbe du second degré rapportée à ses axes. Ce sera une ellipse si m •< i.

Désignons par a et b les demi-axes de cette ellipse, de sorte que son équation soit

On aura en identifiant

= — ou m = — j-

La constante K se déterminera par l'équation (6)', qui devient dans ce cas particulier

A ( I^ -H I3,) -4- Ar ^j— ^ ( 1,, - ly ) a A: -^j-p^j^

588 CHAPITRE xxri.

Comme on a

on trouve finalement

Les expressions des tensions sont alors

a^-{-bi 9.x

7t a^b^ ^ Tz ab^

Leur' résultante est maxima ou minima aux points du contour correspondant à l'un des axes, ainsi quMl est facile de s'en assurer, et elle est alors égale soit à T'i, soit à Tj.

A l'extrémité du grand axe, on a ^

T = Ti=:-M. ^

Tz a^b A l'extrémité du petit axe, on a

C'est cette seconde valeur qui est la plus grande en valeur absolue, et c'est là un résultat digne de remarque, car il est contraire à qe qu*on admettait autrefois a priori,

3** Cas de la section rectangulaire. — Soit a a le plus grand côté, supposé parallèle à Ox\ 26 le plus petit côté, supposé parallèle à Oy,

L' équation au contour, qu'on peut écrire, en supprimant l'accent

de «',

dF /df dx \dx

dF /d^ dy \dy

se dédouble

comme il suit :

Pour X

' . a, on a

dF

et par

suite

dx

Pour j^ = ±: 6, on a *

dF do

-r- =0 et par suite i -r- = ^.

dx ^ dy

Parmi les fonctions harmoniques, essayons la suivante :

9 =a?^ -H S A(e/'*— e-/'*)siojP^;

on en déduit :

do Si Ton fait p = -^ en désignant par m un nombre impair, on aura

cos po = cos — = o et la condition -r*- = -^ sera satislaile lonl ^ 2 dy

le long des côtés y =:± b.

Le long des côtés x = dz a, on aura alors :

, / mita /// Tt/i\

d^ -^ ib ^ ^ ib

Pour que la condition t^ = — ^ soit satisfaite sur ces côtés, il faut que Ton ait identiquement

£ A— rAe *'' -f-e *" / sin — /- = — '}.y. '2Ù ^ ' ib -^

Il s'agit donc de développer la fonction — 2. y en une série analogue à celle de Kourier, valable entre — b et -f- b^ et où figurent

seulement les valeurs impaires de Tentier/n.

On sait que, siy(x) est une fonction impaire, on peut la développer par une somme de termes

. mr.x i.B,,, sin — j^y

'lu

où m est un entier quelconque, et que ce développement est valal)le

entre — 26 et + 26, Texpression générale de B„j étant

On a un autre développement, mais valable seulement entre — 6 et -1-6 en substituant dans rinlervalle H- 6 à -f- 26 la fonctiony"(2è — x) À/{x). On peut alors remplacer dans Pexpression

de Bm rintégrale / par 2 / si wt est impair, et par zéro si

m est pair.

On obtient alors la formule indiquée par Poisson

Dans le cas actuel, on a pour m impair

asm — r-aa = -r | acos — -, : — sm — r~ 1