Flexion composée
Supposons
Y = Z = M;f = M- SB» o avec X ^ o et Myyti.o,
On aura, en vertu de (^a)', (3 , ^4)^
6i = a = as =s o,
^7^ CIIAI>ITnK XXII.
et, en vertu de (i)' el (5), \
Si la section est quelconque, l'équation (6), donl le premier membre est nul, et qui sera débarrassée de b^ et de ©2j fournira pour la constante de torsion A' une valeur proportionnelle à 6| , le coefficient de proportionnalité dépendant d^ailleurs des fonctions ©, et op' qu'on peut suppose^ déterminées à part.
Mais si la section est symétrique, ce que nous supposerons désormais, l'équation (6)' fournit Jc = o . Dans ce cas, il n'y a pas de . torsion.
Les expressions des déplacements se réduisent à :
Les expressions des tensions sont données par
}x dx 2
On peut donner à N;, la forme la plus expressive :
Vy \y
en posant M = M^. -+- Xj. On reconnaît que M est le moment des forces appliquées pris par rapport à la parallèle à Oy menée par. le point X'=i o, y=r o, 5 = 0, c'est-à-dire par le centre de gravité de la section d'ordonnée 5. C'est ce que l'on appelle le moment de flexion relatif à cette section.
Dans une même section, pour z constant, N, varie proportionnellenïcnt'à x distance du point à Taxe neutre, lequel est ici la parallèle à Oy passant par le centre de gravité. Ce sont les résultais de la Résistance des Matériaux.
Quant aux tensions T| et To, elles dépendent de la fonction 0|, laquelle dépend elle-même de la forme du contour de la section droite. On ne peut donc avoir leur valeur explicite sans particulariser cette section. Nous en donnerons quelques exemples plus loin. Cependant, quelle que soit la forme de la «ection, on peut retrouver le résultat relatif à la valeur moyenne de To sur une parallèle telle que MN à Oy dans la section d'ordonnée z.
as
Reprenons Téquation générale d'équilibn;
dx
dy
d\^ ds
Multiplions par ^fe, élément de surfaire, puis inté«;;rons pourretendue de la surface hachurée MNA. En désignant par a et ^ les cosinus directeurs de la normale en un point du contour MINA cl par dl un élément de ce contour, nous aurons
rinlégrale siipple du second membre étant prisj tout le long du contour MNA. Or, tout le long de Tare de courbe NAM, ou a Tja -i- T, p = (). C'est la condition à la surface relative aux parois latérales du prisme. D'autre part, tout le long de la droite M\, on
PiGEAUD 37
578 crtApmiE XXII.
a a= I, p ±± o, de sorte que Tinté grale se réduit à
c'est-à-dire à w^a, si Ton désigne par «la longueur de MNçt par/2 la valeur moyenne de T^ le long de MN. D'autre part, on a
/ -~ ûf «r =. / btxd<i = bi m,
en désignant par m le moment par rapport à Oy de Taire MNA.
On a donc finalement
uif= birn = ^ m.
C'est encore conforme à la Résistance des Matériaux, X étant ici Teffort tranchant.
Cas pïarticulier de la section elliptique. - Nous allons chercher à déterminer pour ce contour la formé de la fonction harmonique 0| dont dépendent T| et T2.
Soit — -f- -^ == I Téquation de contour, on a
dV 'àx df 'xy
da- a^ dy b*
Par suite la fonction ©i doit satisfaire à Téquation différentielle qui se déduit de Téquation générale donnée plus haut en faisant fe, r^ i , èa = K = o, savoir
^ rf(p ^F £][«p dx dx dy dy *
avec
^F / . rrs yt\ rfF
Cette équation devient ici
X do Y do X [ ^ 3^' — y* \ y
On y satisfait en prenant pour y un polynôme harmonique de la forme
dont les coefficients a et ô sont à déterminer, de manière à obtenir, une identité pour les points du contour. Or, pour de tels points, on a
dm
dx do
= — &^ry.
En substituant, on obtient une équation homogène du troisième degré, ne contenant que des termes en x^ ou en xy^. En égalant séparément leurs coefficients à zéro, on obtient les deux équations de condition
a 3fi I
Ti
a* a* a' jia*
En résolvant par rapport à a et p on trouve
(3a2-+-6*)a = a«['2a2(i -+- tj) h- ^* ],
On trouve alors pour Tt et Ta le^ expressions suivantes :
- — T, = a .+. 33(ar«— yî ) — ar* — •/; ^^
On voit que T| s'annule pour x = o et pour y = o^ c'est-à-dire tout le long des axes de coordonnées. 11 prend des valeurs égales et de signe contraire pour deux points symétriques par rapport à Tun ou à l'autre de ces .axes. Sa valeur maxima est atteinte sur: Je contour aux points ou le produit xy est maximum. Le maximum
de xy atteint la valeur — v.
Quant à Tj, il prenTl des valeurs égales et de même signe pour deux points situés symétriquement par rapport à l'un ou à Tautni des axes. Comme i — 2rj est toujours positif, sa valeur maxima s'obtient pour x = o ely = o, c'est-à-dire au centre de l'ellipse.
58o CIIAPITHE XXII.
Il est nul pour r = o et a?. = dz a, c'est-à-dire aux sommets situc'rs sur l'axe Oa^.|Le long de droites parallèles, soit k Ox, soit à Oj', il varie suivant une loi parabolique. ^
Cherchons pour différentes valeurs de y = p et, en supposant
7j = -> le rapport des valeurs niinima et maxima que prend T^ le long de Taxe Oy, Ce rapport a pour expression générale
On trouve les résultats suivants :
Valeur de -r- =.P
Valeur du rapport 0,69
Ces résultats montrent que même pour une section aplatie, lellc que sa hauteur soit la moitié seulement de sa longueur, le minimum de To le long de Oy représente encore 69 pour 100 du maximum, et que par suite la valeur moyenne de Ta représente environ les -^ de ce maximum. Dès que la hauteur atteint ou dépasse la largeur, la valeur moyenne de T.j sur Taxe de flexion de diffère que de quelques centièmes de sa valeur maxima. La règle usuelle qui consiste à déterminer seulement la valeur moyenne se trouve donc justifiée.
On peut de même comparer le maximum de T, au mji^imum deTo, c'est-à-dire a6 [«-* (i +yi) -+- é^y.] à a2[2a2(i -|-7;)4-è*).
Le rapport a pour expression générale
Il est égal au précédent rapport multiplié par — -Pour qu'il
devînt supérieur à 1 , il faudrait que p ^^ j devînt voisin de -r-
Pour p ^:= I, le rapport n'est que de 0,4-^ environ. C'est^donc à bon <lroit qu'on néglige la détermination de T| dans les calculs pratiques de la Résistance des Matériaux.
Cas particulier de la section rectangulaire. - Soit sîale plus
grand côté, supposé parallèle à Ox; 26 le plus petit côté, parallèle à Oy,
Uéquation au contour se- dédouble en deux autres, qu'on peut écrire ainsi :
Pour x = ina^ on doit avoir
rr 1 • ^9' • opi — y*
r* = o ou bien — r— =x*-\-'rï = — •
dx 1
Pour y = ±1 b^ on doit avoir
//fÛ '
Ti = o ou bien -T^=''Q^/'
Essayons la fonction harmonique
Nous aurons
--i r= a*-(\ -4- r,) — 5 {x'- — y*') -h Ao-H S/? A/,(e/'-^-4- e-A'x) cos/?j^,
— :- T=zrixy — ^p \p{ei-^— e--i'^)%\ïipy. cly
'Si Ton fait p = -y^'> m désignant un nombre entier quelconque, on aura toujours sin pb = o, et la seconde condition au contour sera bien remplie, -7^ se réduisant à 'i\bx,
La première le sera également, si pour j; = a on a identiquement >
«-(i-M^) — -{ai — y'-)-h \o-h^p\p(€P'^~e~P'')cospy'
11 s'agit donc de développer la fonction paire / (jk ) = — '^iY' suivant un développement de Fourier, valable de - b i\-\- b. Le terme constant Aq a pour expression
t>82 CHAPITRE XXII.
Le coefficient B^ de cos *'• a pour expression
•>;/i ^ T I y (*) COS — ^ — aj. = ~ I a* cos — r— ««
Or, en posant — =2 z., on a
r'' , mita , /y» T^ , .
I a- cos —7 — ûTa = — - / 5* cos m 2 a«,
et rintéj^rale générale de z^ cos mz dz est
— sin niz H cosm^ sxnmz.
Pour :;=:=: o tous les termes s'annulent, et pour 5 = tî le second t(,'rme seul est différent de zéro et a pour valeur
iMnaloment on a et par suite il faut poser
On trouve alors pour déterminer Tj et Ta les équations
//lit.»' OTÎTJ"
■ — '— - ^ sin — r^— >
6ï [X * riy ' T- ^ m* "''^" '"^^'^ b
K d^ x* — yi
Ai fi " dx ' ' 2
71 7 cos — : •
e ^' -he ^
En ce qui concerne T|, on voit qu'il s'annule pour x = o
PROBLBMB DB SAiNT VENANT. 583
kly=:o, c'est-^-dire tout le long des lignes qui joignent les milieux
des côtés. 11 s'annule également le long des grands côtés pour
^ y = ± b. Pour une valeur donnée de a:, il atteint son maximum en
valeur absolue lorsque y = -• Alors, dans le second membre, on a
sm — =( — i)*""* quand m est impair, et sin — =o qu^nd
m est pair. Son maximum maxiraorum s'obtient d'ailleurs en faisant x = a. Alors le second membre a pour expression en valeur absolue
mfZn mtta
— - > — - — rr-- =- {m icDûiair).
— i ^^ ^fii mica mna ^ ^ *
En ce qui concerne Tj, le second membre de l'équation correspondante s'annule évidemment pour j: = ±: a. L'expression renfermant le signe ^ a une valeur moyenne nulle. On s'en assure facilement en intégrant terme à terme de — i à + 6. A la place des cosinus s'introduisent les sinus de — -f^ qui sont nuls aux deux
limites. La valeur moyenne est même nulle quand on la prend
«ntre o et è, pour le même motif, et d'ailleurs cette eg^pression est
paire en y. Ses valeurs extrêmes sont atteintes pour y =z o
ety=b. Si l'on faitiF=;.o, la première de ces valeurs a pour
expression
86* yi (~i)w-i I
et la Seconde n'en diffère que par le changement de ( — i)"*"' en ( — i), car cos rmz = ( — i)*".
Il est facile de se rendre compte que, pour peu que a soit égal ou supérieur à t, comme nous l'avons supposé, ces deux dernières expressions sont très petites et négligeables par rapport à rjè^. gn se bornant au premier terme de ces sommes, on trouve pour a = 6 et m = I
de sorte que le coefficient de v|6^ est de l'ordre de grandeur de oJo35. Pour a = :j6, il «erait de l'ordre de grandeur de OjOoiS.
11 suffit donc, pour x = o, de réduire pratiquement l'équation relative à T^ à
T,= anH-Ti)^T.(7^-~)
Lçs valeurs extrêmes du second membre sont :
a*(i-hrj— Tj-j pour ^ = o;-
' «•(«H-'^'J-HiQ-ô- pour y^b, .
Sa valeur moyenne est, en intégrant d-e o'à è,
a»(i-+-rO.
Le plus grand écart par rapport à cette valeur moyenne a donc pour valeur relative
Si Ton fait r. — - et— :-^ i on trouve - seulement.
Pour - = -, on trouverait seulement — • Cela confirme à nouveau
la règle pratique de la Résistance des Matériaux.
Si Ton revient maintenant à l'expression donnée plus haut pour le maximum de T|, on voit également que dès que^/Jft, cette expression est sensiblement égale à
'^ir^ZàHii^ (''^impair).
Or
On trouve donc facilement 7^7-* Son rapport à la valeur moyenne de Ta pour x = o est donc
■2 a* 1 -H Tj ~" 10 a*
Il est donc toujours notablement plus petit que i, de sorte qu'on n'a pas à se préoccuper de Tj dans les calculs pratiques relatifs à la fatigut» de la niiitière.
