ÉQUILIBRE DES MASSIFS PESANTS EN TEHRE OU EN MAÇONNERIE

Ou en aurait deux autres semblables en considérant Tautre

talus, de sorte que les quatre constantes seront déterminées et que

la solution sera complète.

Cette solution est même la seule possible, du moins c'est la seule

solution élastique possible pour le massif indéfini considéré.

Il faut remarquer que toutes' les tensions deviennent infinies

quand x ou y, ou p, deviennent infinis. Les réactions à Tinfini

doivent donc être supposées également infinies, et sous cette seule

réserve elles sont indifférentes.

Si, au lieu d'un massif indéfini en hauteur, on considère un

massif limité par un plan horizontal, tel queMN, on pourra encore utiliser la solution obtenue, mais à condition toutefois que la répartition des réactions extérieures sur ce plan de base, qai fait

partie de la surface du massifs puisse être conforme à la loi linéaire déduite de la solution elle-même. Cela exigera que les déformations de la base puissent être égales à celles que Ton obtiendrait dans le massif indéfini. Il y a là une hypothèse supplémentaire qu'il faut admettre et qui pourra se trouver en défaut lorsque le massif et le sol de fondation auront des propriétés élastiques très difTérentes. On aura donc à apprécier, en définitive, la convenance de l'hypothèse initiale d'après laquelle des massifs homothétiques se comportent d'une manière semblable.

Quand l'angle au sommet i-^j est relativement petit et que la surface de base est petile relativement à la hauteur, il paraîtra généralement naturel de supposer que la composante N2 varre linéairement sur la base du massif, au moins à titre d'approximation. C'est là, au fond, l'hypothèse de la résistance des matériaux que vient compléter seulement, dans ses conséquenc'es, la théorie de l'Elasticité.

Remarque. — Au lieu de prendre, pour N,,N2,T3, des expressions linéaires et homogènes en x et y^ on pourrait envisager des expressions linéaires seulement, c'est-à-dire ajouter d^s constantes arbitraires. Cette solution, qui satisfait encore aux équations générales d'équilibre et à la condition A(Nj -H Na) = o, con\iendrait au cas où les composantes \ et Y des forces extérieures sur les deux parements seraient de la forme Ay + B, au lieu d'être de la forme Ay. Toutefois, pour que l'identification soit possible, les

74o CHAPITRE XXVII.

quatre cpefficienls tels que B ne peuvent être tous arbitraires, il doit y avoir entre eux une relation. Nous n'insisterons pas sur cette extension du problème, qui peut offrir certaines ressources.

Application aux massifs triangulaires en maçonnerie ayant un parement libre OM et un second parement ON, soit libre, soit soumis k une pression hydrostatique sur toute sa hauteur. — Pour un massif indéfini, ce n'est évidemment qu'un cas particulier du problème précédent, la proportionnalité des forces appliquées aux distances comptées à partir du sommet étant réalisée sur les deux talus. Pour un massif de hauteur limitée, on admettra que la solution reste applicable à titre d'approximation, pour la raison donnée plus haut, de sorte que ce massif lipiité sera considéré comme une partie du massif indéfini. On pourra alors le matérialisrer, c'esty à-diré cesser de le considérer comme une matière idéale capable de supporter des efforts de grandeur infinie, et rechercher les régions dans lesquelles les efforts peuvent demeurer compatibles avec la nature de la matière envisagée.

Ceci bien entendu, reprenons la détermination des coefficients,

Pour le talus OM, on a X = Y = o. La normale, dirigée vers l'intérieur, fait d'ailleurs avec Ox un angle égal à — i-f^iï, de sorte que les équations à la surface s'écrivent, en désignant par

cos i

4 Ni — Tjm = o, .,

Développons la seconde et la troisième équation, en tenant compte de ce que T3 = (Il — 62) x — a^ y et de ce que x = my^ nous aurons, en supprimant le facteur y,

( «1-4- ai-/n*-i- !i'èi/n= Dm,

( a|/n -h 61— (aj m -f- ^1) m' = o.

Pour le talus ON, nous aurons des équations toutes semblables en remplaçant m par — /i, si ce talus est libre. S'il supporte une pression hydrostatique F, celle-ci aura pour valeur Ky, en désignant par K le poids de l'unité de volume de l'eau. Elle est d'ailleurs normale au talus, et cette normale fait avec Oor-un angle égal ày .

^QUILIBl^B DBS MASSIFS PES4NTS iSN TBRRB OU BN MAQONNBRIB. 74 1

On a doiic

X 2= F co'sy =s K/ cosy , Y = F siny = Ky siny ,

et les équations à la surface s'écrivent

F cosy = Ni cosy -h T| siny, F siny = Tj cosy ■+■ Nj siny.

On peut les remplacer par

Développ.ons-les en tenant compte encore de la valeur de Ts et

de ce que cette fois x = — ny, nous obtiendrons, en supprimant le

facteur j^,

( «1-4- a» n' — a6j/i =^ — Un — K/i,

1 — ain-h ai — ( — a2/n-6i)/i*= K(i — 71»).

Le système des équations (i') et (2') n'est pas difficile à résoudre; On éliininera, par exemple, ai et 6|, et les inconnues restantes a2 et 6a seront données par les deux équations

2a,(/n»-Hn»)-f-3é»,(m*— 71*) = n ( /n« — /i» ) -+- K(i— in'^).

On peut remarquer en passant que ces deux équations, à des facteurs constants près, s'obtiendraient directement en suivant la méthode usuelle de la Résistance des matériaux, c'est-à-dire en évaluant, pour une section horizontale quelconque, l'effort normal, ainsi que le moment par rapport au point situé sur l'axe Oy. On aurait à les égaler respectivement aux intégrales

Jia..^b.y)d. et J (a.. ^ t,y). d.

appliquées à toute la section.

On trouve finalement les expressions suivantes :

rf, =

a*=:— (m — /i ) — --(n«-t-3/nn — -a),

(m-f-/i)« ^ ^ (m-hny^ '

Il suffit évidemment de faire K = o dans ces expressions poin* obtenir celles qui se rapportent au cas d'un réservoir vide.

Le problème, dans ce qu'il a d'essentiel et de général, se trouve entièrement résolu pat ce qui précède. Dans un cas particulier quelconque, m, /i, II, K étant connus, on connaîtra en tout point du massif les trois tensions Ni, N^, T.,, d'où toutes les autres circonstances dépendent. On pourra donc faire tout(;s les vérifications numériques utiles.

En pratique, il suffit de calculer, pour une valeur donnée de y, les valeurs de Na sur chacun des talus. Les valeurs correspondantes de N| et T3 s'en déduisent au moyen des équations (i) et (2). On peut ensuite déterminer les trois tensions en un point intermédiaire quelconque, puisque l'on sait qu'elles varient linéairement.

On trouve facilement pour N.j les valeurs suivantes pour les deux talus :

i" Talus d'aval :

iw / t ^ [Un . ( 1 — mn ) 1

[/n-f-/i {m-k-nyj

a® Talus d'amont :

Pour le cas du réservoir vide, il faut faire K = o.

En un point du talus libre, on a des relations analogues à (1). Il est d'ailleurs évident que la compression nulle qui s'exerce à la surface est une compression principale. L'autre compression principale s'exercera sur le plan normal au talus. Sa valeur est

— -H iv/(N,— ^,)»-h 4Tî = N2(i-+- m«).

En un point d'un talus chargé, on a les relations (2). Il est d'ailleurs évident que la pression hydrostatique F, étant normale à la surface, est encore une compression principale, et que l'autre compression principale s'exercera encore sur le plan perpendicu-

ÂQUlLIBRiE DES MASSIFS PESANTS EN TERRE OU EN. MAÇONNERIE. 743

laire au talus. Les relations (2) conduisent à i

N, -t- Ni == F(i — /i«) -^ N,(i -f- n»),

v/(Ni-N,)*+4Tî=±(N,~F)(i^n«).

Il faut prendre le signe + ou le signe — dans le second membre de la dernière relation, suivant que N^ est supérieur ou inférieur à F. Dans le premier cas, la valeur de la plus petite compression b est égale à F, et la compression sur le plan perpendiculaire est la compression maxima, donnée par la formule

^^ N, -4- Nt ^ 1 ^^^^^ ^^ ^^ ^ 4T} = N,(i -h /i«) — F/i«.

Dans le second cas, au contraire, F serait la plus grande compression, et Texpressmu précédente fournirait la valeur de la compression minima.

Conditions générales de résistance indépendantes de la hauteur du massif. -^ Il convient de distinguer le cas du réservoir vide de celui du réservoir plein.

i" Réservoir vide, — La seule condition générale est qu41 n'y ait nulle part d'effort de traction dans le tnassif. On s'assure facilement qu'elle est toujours remplie.

D'abord, en un point du parement aval, à la profondeur àt y^ on a

N,= ny — - — >o, d*où Ni=N,m«>o. /Il -+- /i

En un point du parement amont, on aurait de même N,= ny — ^— >o, d*où Ni = Nj/i*>o.

Il en résulte qu'en tout point intérieur on aura N| >► o, Na >• o. Dans ces conditions, les compressions principales sont positives, Tune d'elles s'annulant sur les parements, par hypothèse.

2** Réservoir plein, — Il faut tout d'abord satisfaire à la même condition générale que ci-dessus :

Sur le parement d'aval, à la profondeur j', on a

d'où la condition

nn(m -h /i) -+- K(i — /n/i) > o.

Si elle est remplie, on aura évidemment N, >- o. Sur le parement d'amont on devra avoir de même N^ > o. Mais cette condition ne suffit pas.

Dans le cas. où Ton aurait N2 ■< F, nous avons vu en effet que l'on aurait

Il faudrait donc encore écrire cette condition plus rigoureuse :

C'est d'ailleurs là la condition suffisante pour que l'on ait è>o dans tout l'intérieur du massif, en supposant remplie celle qui a été écrite pour le parement d'aval.

Mais il -y a une autre condition plus rigoureuse encore à s'imposer sur ce parement, et sur laquelle divers auteurs ont insisté avec raison. Il est essentiel qu'en cas de fissures accidentelles passant par une horizontale du parement on se mette à l'abri des troubles qui résulteraient des sous-pressions. La sous-pression n'est pas, en effet, une réaction progressive et variable comme celle du sol de fondation. C'est une pression effective atteigaant la^ valeur F, dont elle est susceptible, dans toute la profondeur de la fissure. Si donc dans le plan d« celle-ci on avait N < F, tout se passerait comme si i'on introduisait dans ce plan, et après coup, des efforts égaux à la différence entre F et N. Il faudrait donc, et cela pour diverses^ orientations du plan de fissuration, reconnaître la gravité du trouble apporté, et déterminer les limites des fissurations possibles. Il faudrait aussi s'assurer qu'il n'y a pas de danger de cisaillement ou'de glissement suivant le plan fissuré. Tout cela ne laisserait pas d'être assez complique et assez incertain. Si l'on a, au contraire, N > F, rien n'est changé aux conditions d'équilibre, même en cas de fissure réelle.

D'autre part, on connaît les inconvénients pratiques des fissures