ÉQUILIBRE DES MASSIFS PESANTS EN TERRE OU EN MAÇONNERIE. /GS

autres par la ligne de discoutiiiiiilé OD, qui correspondrait à la direction de rupture dans la théorie de Rankine, et de supposer qu(^ le massif DOx est rendu à Télal ébouleux, comme dans la théorie de M. Boussinesq. Mais, pour le massif restant DOA, on peul recourir à une solution élastique linéaire en satisfaisant ^ deux condiho\is. On dispose de deux des quatre constantes ai , fe« , cu^ 0^. car on a déjà à satisfaire à deux conditions exprimant l'égalité des tensions sur les éléments plans appartenant à la ligne O.D. Ces conditions, daprès le choix de OD et d'après Thypothèse admise pour le massif DOx, rendu à Tétat ébouleux, équivalent à ~ r=: tanfiçpetmax. - 1:= tany;?;. (blette dernière n'est d'ailleurs pas aulro chose que l'équation de Rankine

^ ' v/(N,-iNî)^-f-4Tii ..

-^-^ ='sincp.

On peut donc satisfaire à deux autres condi lions sur la paroi Ox\, <'t en particulier on peut y exprimer deux conditions analogues aux précédentes, l'une exprimant que le massif e^t à Tétai ébouleux le long de OA et Vautre exprimant qu'une direction de rupture ('oïncide avec OA.

On aurait ainsi une solution simple et complète, et assez voisine de celle qui assurerait l'état ébouleux dans tout le massif, si cette dernière existe et si elle correspond bien aux conditions strictement suffisantes pour le mur. Elle pourrait s'appliquer aussi bien au cas où le mur de soutènement est exposé à glisser du pied qu'au cas ou il est exposé au renversement autour d'un point de sa base. A la direction de ru])ture OD on pourrait substituer, le cas échéant, la direction de rupture conjuguée si cette dernière était voisine deOA. '

Au surplus, il semble bien peu nécessaire de rechercher une très haute précision dans une étude de ce genre, étant données toutes ^cs incertitudes inévitables du point de départ lui-même.

En particulier, on pourrait, pri^icipalement lorsque les directions OD et OA ne sont pas trop éloignées l'une de l'autre, supposer

que le long de toute droite intermédiaire issue du point O, la con-

. . T dition ~ est approximativement réalisée, ainsi que la condition relative à l'état ébouleux, puisque C3S deux conditions sont réalisées

766 CHAPITRE XXVU.

aux deux limites. On pourrait alors utiliser pour déterminer la poussée la construction graphique suivante, indiquée par M. Baticle, ingénieur des Ponts et Chaussées.

Fi g. 200.

Prenons sur OD un point D et déterminons la force F faisant avec la normale à OD un angle <p, et représentant Faction due au massif DOo?, rendu à Tétat ébouleux, dans la solution de Rankine. Puis traçons différentes droites intermédiaires 0U|, OD2 convenablement rapprochées, de manière que leurs angles respectifs soient assimilables à des infinimenl petits.

L'action du massif D| OD sur le massif suivant D^ODi est par hypothèse une force F, faisant un angle o avec 0D«. Si l'on trace DD| parallèle à celte direction, la tension <I»f qui s'exercei^a sur DD, sera parallèle àOD| (princijjedes directions conjuguées). La résultante de F et du poids P|, correspondant au massif élémentaire D, OD, doit donc être équilibrée par les deux forces F, et ^i doni les directions sont connues. Ces deux forces F| et <&| seront donc entfèrement déterminées. A des infiniment petits près, la première passera au tiers de D, O, la seconde au milieu de DD| . .

On partira ensuite de la force F, et du point D,, comme on Ta fait de F et de D et, de proche en proche, on trouvera une force Fn qui ne sera pas autre chose que la poussée vsur OD,,. On en déduira la poussée correspondant à une longueur de -paroi quelconque OA^OD.,.

La ligne brisée DDiDaD,, représente approximativement une ligne de rupture du massif DOA. Elle se prolongerait dans le massif supérieur DO^ par une ligne droite parsdlèle à F. Gett.e

iOOILIBRK DBS MASSIFS PB8APITS BN TBRIIB OU BN MAÇONNBBIB. '767

ligne brisée se transformerait à la limite en une spirale, sa tangente faisait avec le rayon vecteur un angle constant.

Hypothèse sur raction de couches successives. — Signalons, en terminant, une autre hypothèse qui tiendrait compte dans une certaine mesure d'un mode habituel de constitution des remblais

Ml!

Fiic. 201.

vy^y., 'y/z/zy^/////^.

derrière un mûr de soutènement. Pour simplifier, supposons la paroi OA verticale et le remblai exécuté par couches horizontales indéfinies.

Une première couche AB de poids Wdy^=p appliquée sur un sol indéfini sous-jacent doi^nerait en un point A', si Ton appliquait les résultats du Chapitre XXV^II, des tensions

\\dy

ra = — — (cos*a — cos*a ) = — —y

Cl ces tensions seraient les mêmes à toute profondeur sur la verticale du point A, pourvu que cette profondeur soit limitée, car on aurait

toujours 7! = 0 et a = — • On peut les admettre en particulier pour

le point A.

Admettons maintenant que cette première couche de remblai, butée par le mur de soutènement, se comporte à son tour comme une couche indéfinie superposée au terrain primitif, et qu'ion luî superpose successivement d'autres couches horizontales jusqu'à ce que le niveau du remblai arrive en (). En un point tel que C, pris dans l'épaisseur du remblai, on aura comme réactions totales

Avec une pareille répartition, on aurait pour les composantes de

jC)S <:îiapitrë xxvii. — équilibre des massifs pesants en tehrr.

la réaction totale appliquée sur une hauteurs les valeurs suivantes :

(]es valeurs seraient à peu près le double de celles indiquées plitj haut comme résultant de la théorie de M. Boussinesq lorsque o = 3o". On a en efFol, pour les coefficients de X et de Y, respectivement les valeurs

o,5oo au lieu de o,25o et

0,3 18 • au lieu drt o,i44.

L'évaluation qui vient d'ôtre ainsi faite se rapporte aux réactions réelles et immédiates qui pourraient résulter de la conslry^ction du remblai derrière un mur préalablement établi, et d'ailleurs indéformable, et non aux réactions limites qui peuvent résulter des mouvements ultérieurs possibles du mur. Il serait peut-être prudent de les envisager au moins comme ordre de grandeur pendant hi période de construction, qui est toujours en fait la période dangereuse.

Les valeurs trouvées sont indépiendanles de la qualité de la terreformant le remblai, puisque les coefficients C et tang-^ n'y figurent pas. Toutefois, il faut remarquer que dans Tévaluationqui a été faite on a supposé que les couches successives du remblai n'agissaient que par leur propre poids et n'étaient ni pilonnées, ni lassées. En réalité, la composante IN i duc à la couche AB peut, au ' droit de cette couche et suivant le traitement qui lui est imposé,

varier entre zéro et lu valeur limite : — - qui est admissible,

1 — sinçp *

comme nous l'avons vu, à la surface libre d'un remblai. Il en résulte que, tout le long de la paroi, on peut avoir, indépendamment des réactions ci-dessus évaluées, une compression uniforme égale à cette valeur limite, si l'on a pilonné chaque couche au refus, c'est-à-dire si on liiî a fait prendre artiliciellcmenl et individuellement son état d'équilibre limite supéi'ieur.

Cette compression uniforme serait nulle pour les terres pulvérulentes, et elle demeurerait vraiseml)lablement petite pour des terres (juelconques faiblement ou moyennement pilonnées.

Entre toutes ces théories, il est assez délicat de faire un choix.