ÉQUIUBRB DES MASSIFS PESANTS EN TERRE OU EN MAÇONNERIE

de Rankine, mais tel cependant que Ton ait -^^ =tang'^ le long des

éléments de OA. M. Boussinesq ajoute donc dans ce but à la solu- ' tien de Rankine une solution complémentaire, satisfaisant aux deux équations génépales d'équilibre, sans constante H, et qui est par suite de la forme

avec la condition que ces termes s'annulent le long de la ligne de discontinuité OD. On achève de déterminer la solution par la considération d'ordre de grandeur relative des termes principaux et des termes complémentaires, ce qui revient en gros à s'imposer une condition de raccordement le long de la ligne OD. Malgré tout cela, M. Boussinesq rencontre la difficulté déjà signalée; à savoir que l'état d'équilibre obtenu n'est pas stable au voisinage de la paroi OA, car on aura forcément des éléments plans pour lesquels max. 0 > o. . La différence entre le maximum de 0 et cp est petite, mais toujours positive, naturellement. Pour terminer, M. Boussinesq conseille de

prendre sur la paroi OA la condition -j^r^langcp', l'angle cp' étant

légèrement inférieur à l'angle c».

Pratiquement, les résultats se traduisent ainsi qu'il suit.

Si l'on désigne par H la hauteur du mur, la longueur de la paroi OA

étant —, — » la poussée totale sur cette paroi OA sera

2sin*Y

K étant un coefficient numérique fonction des angles i et y.

En désignant par '1 et S deux angles auxiliaires déterminés par les relations

. , . , sin£ ' ^ © , :r

sin(i -h av) = —. — f 0 = V — ^ — 'L — ~ ,

^ » sin<p '24

on aurait

8) sin(i; -4- Y)

K = lang ( - — î ) L

\ 4 •?. / cos ( ^ —

8) cos(i -f- 6)

La poussée totale est appliquée au tiers de OA, à partir du

point A et fait l'angle y avec la normale à la paroi, du coté de AO.

Ces formules ne sont applicables qu'autant que l'angle 3 est

positif, ce qui correspond à presque tous les cas de la pratique. Elles ont servi à calculer des tables numériques commodes (Flamant et Résal).

On se rendra compte par un exemple de la différence qui existe entre l'application de la théorie deRankineetcelledeM. Boussinesq.

Supposons I = o et Y = f- > terre-plein horizontal et mur de sou-

tènement vertical.

Dans la première théorie, on a

N, = Ay = ny^'~^'."y^ avec T, = o. -^ "^ i-4-sinf

La poussée est horizontale, appliquée au tiers de la hauteur, et a

pour valeur

^ TiH* I — sing Q = r-i-

% i-4-sin^ Dans la théorie de M. Boussinesq la poussée totale a pour valeur

Elle a pour composante horizontale X = Q coso, et pour composante verticale Y = Q sinç.

En attribuant maintenant à o la valeur 3o®, qui correspond à une

terre moyenne, on trouve, au facteur près, les valeurs suivantes :

Théorie de M. Rankine X = o,333, Y = o;

Théorie de M. Boussinesq X = o,a5o, Y = o,i44-

La différence est donc importante surtout quand il s'agit de prendre les moments de la poussée par rapport à un point de la base du mur de soutènement en avant du point A.

Autre manière (ï introduire une ligne de discontinuité. — Si Ton ne juge pas possible de se contenter de la solution linéaire applicable à tout le massif de terre et telle que Tétat ébouleuxse trouve réalisé seulement au contact de la paroi du mur, il est loisible, quand Y>S, de décomposer le massif de terre en deux