CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR LES SOLIDES NATURELS

APPLICATION BE9 CONDlTlONfi OKNKRALRS I) EQUILIBRE Al X SOLIDES NATUHEI^**,

Les solides naturels diflerenl iiotableinenl des solides invariables roiisidérés dans la mécanique rationnelle. Sous rinduence des forces qui leur sont appliquées, ils éprouvent des déformations dont la f^raiideur varie avee, la nature du solide. En exceptant le cas tout à fait théorique où deux forces égales agiraient sur 1^ mén^e point matériel, on peut donc dire /qu'il n'y a aucun système de forces qui puisse tenir en équilibre un solide naturel jauquel il vient d'être appliqué.

Mais si les forces a])|)liqué(îs sont telles qu'après une période de déformation du corps ce dernier, supposé primitivement au repos, revienne à l'état de repos, c'est-à-dire si les forces appliquées se font à un certain moiueut équilibre sur le corps déformé, on |K>urra dire en général, d'une manière abrégée et approchée, que <"es forces se font équilibre sur le corps lui-même. En voici la raison.

L'expérience appreiiil <|ue, dans le cas le plus ordinaire, loi*sqiie les forces appliquées ne sont |)as a>sez grand<vs pour briser le corps et qu'en outre elles sont applicpiées lentement, h's déformations subies par les différentes parties du corps scmt 1res jH^tites par rapport aux dimensions du corj)s, ou par rapjuMi aux distances séparant les points d'application des forces. 11 <si résulte que les équations d'équilibre que l'cui écrirait pour Iv cor|)s déformé 'ne différeraient de celles relati\es au corps dans S4>n étal naturel que j)ar des termes de valeur relali>ement petite; négligeables en pratique. On écrira donc les (!(uidilions nécessaires d'équilibre en supposant le corps dans son état primitif.

On peut ajouter que, in\ersement, si un système de forces est

eu équilibre statique sur un corps pris dans son étal primitif, et dans r hypothèse où ce corps serait invariable, le même corj>s, supposé déformable, reprendra généralement un état de repos, ou d'équilibre, sous Faction des mêmes forces après une première période de déformation, pourvu encore que les forces ne brisent pas le corps et qu'elles soient appliquées lentement. En effet, l'expérience apprend qu'il en est toujours ainsi quand le système se réduit à deux forces égales de sens contraire, et dirigées suivant la droite qui joint leurs points d'application. D'un autre côté, elle apprend aussi que des forces en équilibre appliquées au voisinage d'un même point d'un corps ne lui font pas subir de déformation sensible. Ces conditions suffisent évidemment pour démontrer qu'un système de forces qui se feraient équilibre sur un solide invariable doivent laisser un solide naturel au repos après une première période de déformation. Il en résulte que les conditions d'équilibre des solides invariables sont en général suffisantes aussi pour les solides naturels, moyennant les hypothèses admises et le degré d'approximation que Ton recherche.

Cependant, ij ne faut jamais oublier que celle conclusion n'est pas exacte d'une manière absolue.

Ainsi, lorsque les déformations du corps sont considérables el ne peuvent plus être regardées comme négligeables par rapport aux distances des points d'application des forces, par exemple lorsque Ton a affaire à des ressorts, ou à des corps analogues au caoutchouc, on ne peut se dispenser 'de tenir compte de la valeur de ces déformations avant d'appliquer les. conditions d'équilibre, ou bien d'introduire dans les équations d'équilibre un terme le> représentant.

L'exemple le plus simple qu'on en puisse donner est celui (|ue présente une lame de ressort AB horizontale encastrée à son extrémité A et libre à son extrémité B. Si en B on applique une charge verticale P, la lame de ressort se courbera et B viendra quelque part en B', en dehors de la verticale BP. Si la lame esl très mince et très souple, il pourra se faire que l'écart x' entre les verticales B et B' ne soit pas du tout négligeable devant la huigueur AB = / du ressort.

Par suite il n'est plus permis d'écrire les conditions d'équilibre en supposant que P agit suivant sa ligne d'aclion primitive. Ce>

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conditions d'équilibre doivent s'écrire en considérant Télal du corps déformé.

De même lorsqu'on étudie spécialement les déformations du corps, où bien les forces élastiques développées dans son intérieur,

il n'est plus permis de considérer comme nulles, c'est-à-dire sans action, deux forces égales et opposées. Les opérations ordinaires de composition et de décomposition des forces, de transport des forces en un point quelconque de la direction, ne sont plus du tout légitimes à ce point de vue.

Classification des corps naturels d'après leurs propriétés élastiques. — Considérons un corps solide naturel soumis à l'action d'un certain nombre de forces e ilCi i r u ii ■< ti^tmêCi uant un système en équilibre statique. Ce corps éprouvent au moment où les forces commenceront à agir 'sur lui !un changement/ de forme plus ou moins grand, mais susceptible d'être constaté et mesuré. En même temps, il se développera à rintérieur du corps des efforts ou tensions moléculaires, assurant l'équilibre de chacune des parties en lesquelles le corps |)eut être déccmiposé. En particulier, supposons

Fig. 28.

le corps séparé en deux parties A et B par une surface de séparation S. Les efforts moléculaires sur les éléments rfS de celte surface devront être tels que leur ensemble maintienne en équilibre les deux parties A et B. La partie A sera en équilibre sous l'action

Pige AU D

(les forces qui lui sonl (lirei'lemout a|)]>li(|uées et qui ne forment j)as en général un système en équilibre et des eflorts moléculaires <ju'elle subit de la part de B.

En vertu du principe de Tégalilé de raclion el de la réaction les efforts moléculaires exercés j>ar A sur B seront égaux et de signe, contraire à ceux exercés par B sur V. Ils formeront un système équivalent au système des forces appliquées à A.

Mais <!es efforts moléculaires intérieurs, dont Texistence néce^saire est ainsi. reconnue, ne se révèlent pas à Tobservalioii directe, comme le loiit les changements de forme.

Supposons ensuite cpie les forces extérieures cessent de solliciter le corps, il pourra se |)résenter plusieurs cas.

Si la déformation constatée antérieurement persiste sans modification, on dira que le corps est formé d'une matière plastique. dont la terre glaise mouillée fournit un exemple lype.

Si au contraire la déformation disparait ave<' la cause qui Ta produite, et si le corps re\ient à sa forme primitive, on dira qu'il est formé d'une matière élastique. I.e ivpe d'une matière élastique est le caoutchouc.

Si eufin les déformai ions ne disparaissent (|u'incom|)lètemenl, si le corps s'est ra[)proché de sa figure primiti\e sans y revenir exactement, on dira que la matière (»st semi-élastique.

En ce (pii concerne h's efforts moléculaires intérieurs, les corps élastiques méritent une mention spéciale. Il es! an moins vraisemblable qu<' ces efforts moléi ulaires cessent, tout comme les déformations apparentes, aussitôt qu4» cess<» d'agir la cause qui les a produits. (.)u ne saurait rien dire d'analogue dîuis le cas de coi*j»î> plastiques, ou semi^élastiques.

Ln même corps peut être rangé dans l'une ou l'autre de ces catégories suivant son èlal pli>si({ue, et, même sans modification <le son état physicpie, .sui\iint Fimportance des déformations qu'on lui fait subir.

Les notions les plus précises (|ue l'on ait <les corps au point de vue de leurs propriétés élastiques sont fournies par des essais de laboratoire et ))articulièrement par l'essai des matériaux usuels à rextensi<ui el à la compression.

Essai des matériaux à la traction. L'une des expériences les

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jïliis fréqiienles des laboratoires d'essai eonsisle à déleriiiiner les déformations subies par une lige métallique travaillant à la traetion. On emploie à cet effet une lige d'environ î^o™'" à •>,.')""" dv diamètre <»l de .'ioo'""* de longueur, l/expérienee eonsisle à uiesurer rallongement qu'éj)rouve la portion centrale de la tige, comprise centre fleux [)oints de repère distants de loo""" à iTx)""". (^et allongement étant très petit il est nécessaire d'avoir un a|)pareil assez sensibb* pour le constater.

Les appareils à nuroir, généralement emj)lo\és, permelliînl de faire des mesures avec une exactitude d'un <li\-minième de millimètre. Us se com|)osent essenliellement de deux ressorts F fixés à

Fig. 29.

W^y?/A/Mi/AiV^WAM/M

une de leurs extrémités au point de repère A pris sur la partie cen traie de Téprouvette. L'extrémité libre des ressorts s'appuie légè rement sur deux roulettes d'ébonite R qui peuv<'nt tourner librement sur leurs axes. Ces axes sont portés par un cadre qui est lui-même fixé sur réprou>ette au droit du second point de repère B. Lorsque Téprouvette subit un efl'ort d'extension, la distance com |)rise entre les deux points de repère \ et B s'allonge et les ressorts F font tourner les roulettes d'un certain angle proportionnel à l'allongement de AB. Les axes des roulettes portent des miroirs qui permettent de mesurer cet angle avec une régie (li\iséc el une lunette.

L'emploi de deux roulettes tournant en sens inverse est tiestiné à corriger les erreurs dues à des imperfections de calage de l'éprouvette, ou à la dissjmétrie des efforts de traction par rapport à l'axe de l'éprouvette. Ces erreurs sont éliminées dans la moyenne des lectures.

On peut de la même façon faire des cd^servalions sur le riicconrcissement de tiges soumises à des efforts de compression.

Si l'on opère sur une lige d'acier doux on constate (pie la longueur entre repères reprend sa valeur initiale loï's([ue l'elfort de

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traclioli cesse, du moins tant que cet effort de Iracliousc maintienl au-dessous d'une certaine li-mite. L'éprouvette se comporle comme un corps parfaitement élastique. La déformation plastique, c'est-àdire celle qui persiste après que Teffort a cessé, est, sinon absolument nulle, du moins inappréciable par les moyens d'investigation dont on dispose et peut être négligée devant la déformation élastique.

Mais si l'on répète l'expérience avec des efforts de traction de plus en plus grands, il arrive un moment où la déformation plastique devient perceptible, et où la matière présente le caractère de semiélasticité. C'est ce que l'on exprime en disant que la limite d* élasticité de la matière a été dépassée. Pour l'acier doux cette limite varie de iS'^b à 22''^ par millimètre carré de section.

Sous des efforts suffisamment grands, la déformation plastique pourra atteindre Tordre de grandeur de la déformation élastique; et même devenir prépondérante. Le corps se comporte alors comme s'il était composé d'une matière plastique, la déformation élastique ne jouant qu'un rôle insignifiant dans son changement de figure.

Enfin, pour une certaine valeur de Feffort de traction, la tige se rompt; on dit que Ton a atteint sa limite de rupture. Pour l'acier doux cette limite varie de \^^^ à So*'^ par millimètre carré. Elle est égale ou même supérieure ou double de la limite d'élasticité.

La période de semi-élasticité et la période de plasticité sont ainsi très caractérisées pour l'acier doux. Il en est de même pour le fer et pour la plupart des métaux durs. Elles sont plus courtes pour la fonte et davantage encore pour les bois et les matériaux pierreux naturels ou artificiels dont la limite de rupture suit d'assez près la limite d'élasticité.

Ces derniers matériaux présentent d'ailleurs d'autres singularités. Si on les prend dans leur état naturel ils sont d'abord semi-élastiques. Mais une application répétée des forces finit par établir un état de régime, les déformations deviennent alors parfaitement élastiques. Le temps durant lequel les forces agissent sur ces corps a aussi une Influence. Les déformations augmentent avec ce temps, surtout si l'état de régime dont nous venons de parler n'a pas encore été atteint par une application réitérée des charges. Mais ces phénomènes, du reste assez mal connus encore, sont relativement peu intenses, et l'on ne s'en occupe pas dans la pratique.

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D'une manière générale, nous distinguerons pour les niatériauv naturels deux périodes, Tune d'élaslicité parfaite, correspondant à des efforts inférieurs à la limite d^ élasticité^ l'autre d'élasticité imparfîiite, comprise entre la limite d'élasticité et la limite de rupture.

Loi de Hooke. Proportionnalité des déformations aux efforts qui les produisent. — Les expériences de traction ou de compression dont nous venons de parler mettent en évidence les lois qui lient les déformations aux efforts qui les produisent et aux dimensions d(; Téprouvette expérimentée.

Pour les nu'îtaux, tant qu'on se trouve dans la période d'élasti- <'ité parfaite, les allongements sont proportionnels aux efforts de traction exercés sur l'éprouvette. On trouve de plus que pour un même effort de traction les allongements sont proportionnels à la longueur entre les repères et inversement proportionnels à la section de l'éprouvette, de sorte que si / est la distance entre repères. A/ rallongement, S la section, F l'effort de traction, on a