II. — Sommations ou inïkgrations graphiques

Etant donnée une fonction F d'une variable indépendante o*, un des moyens les plus simples pour la représenter graphiquement consiste à construire son échelle f<énctionnelle. Si l'on suppose que <T ne prend'qu'une suite de valeurs isolées (T|, o-j, . . . , t^ et si l'on appelle F|; Fa? • • • -. F„ les valeurs correspondantes de F|, on obtiendra l'échelle fonctionnelle en portant sur une droite indéfinie, à partir d'un même point origine Fq, des segments

FoFi = F„ FoF,-F„ ..., FoF«=F«.

Fig. ai.

Si T varie d'une manière continue dans un intervalle ^o^n, on supposera cet intervalle décomposé en intervalles ])arliels corres-

STATIQUE GRAPHIQUE. CALCUL GRAPHIQUE d'INTÉGRALES. 57

pondant à une suite de valeurs <ri, t^, ..., Œnt et Ton opérera comme dans le cas précédent.

L'ensemble des points F représentés sur Téchelle fournit les valeurs exactes de la fonction pour les valeurs particulières o-i , «•2, . . . , C/j et permet de trouver par interpolation les valeurs de la fonction correspondant à des valeurs intercalaires de o*.

Par un simple déplacement d'origine l'échelle fonctionnelle représente évidemment toute fonction de la forme F + a, a étant une constante.

Mais dans une foule de questions on a à opérer la sommation des valeurs prises par une fonction F, pour une suite de valeurs de la variable indépendante o". S'il s'agit d'une suite de valeurs isolées Ji, 0*2, . . . , 3-;,, on a à envisager les sommes successives

et alors on a pour représenter ^ à» construire son échelle fonctionnelle. Celle-ci peut s'obtenir en portant bout à bout à partir d'une origine ^q des segments

Fi g. 22.

Cette échelle fonctionnelle de <I> peut être appelée ^ échelle intégrale de F.

Dans la plupart des questions, F a le caractère d'une différenlicUe. Il apparaît comme le produit d'une fonction finie f^ par la différentielle dv de la variable indépendante. Dans le calcul graphique, rfo- ne peut être pratiquement un infiniment petit; c'est l'un des intervalles rfT|, d^^t • • • ^ d<7n en lesquels a été subdivisé l'intervalle total s^s,i et les diverses valeurs de F sont des quantités plus ou moins petites, mais finies, qui sont représentées, avec une approximation plus ou moins grande, par/i ûf3"|,y*2^<y2î •"ffnddrf En cumulant de proche en proche leurs valeurs, et en construisant comme précédemment leur échelle intégrale, on obtient les valeurs

?^ CUAPITRK II.

siiceessivcs prises par in fouet i( m inh'fçmle

Cela posé Ir problème fondiinientiYt <lii calcul graphique peut S4* poser ainsi :

Etant données tt ne /onction V définie pur son échelle inté-

Fig. 23. Fig. 24.

grale^ et deux fonctions \'et7j données par leurs échelles fonctionnelles^ déterminer ^ échelle intégrale dt* la fonction

Soient :

Zi.

la suite des valeurs prises par les fondions V, \, Z resj)^ctivpmeiif ponr 1« suite (les \ aie iri*s a-», 0*2, ..., ^„ de la Mn'Kil>le indépendante.

ConstntisfHis sur une verticaU" oripne (Z^^) TécliHIe inté^alie Vfl, V|, ^ 2, . , . , V„i, V„ de V, échelle tout à fait analogue à un polygone des f<«Tes, dans le cas des forces pandl^les.

Puis menons une sérip de verticales (Z, ), ( Z2 ) (Z„|), (Z„)

STATIQUE GRAPHIQUE. CALCUL GRAPHIQUE l)'lNTÊGIL\LES. 3ç)

à (les distances de ( Zo ) égales acix valeurs de Z,, Zj, .-. . , Z„. C« réseau de droites, que nous appellerons le réseau des droites (Z) découperait évidemnienl syr une liorizonlale quelconque FécheHtî fonctionnelle de Z.

Traçons de même sur une seconde fi<i:ure une série de v<*rtîca)es (\o)- 1^«)? <^2)? " ") (X«f)î (^/ij' dont les distances respectives à ( Xo) îioient é{i»ales aux valeurs \i, \j, . . . , \,,. Nous rappellerons le réseau des droites X.

Prenons maintenant sur (Z, ) un point arbitraire O, et joignon.sle aux extrémités \oV| du premier se«j:ment V, de Téchelle intégrale de \, puis prolonjjfeons V|0| jusqu'à sa rencontre en Oa avec la verticale ( Za). Joignons VaOo et prolongeons jusqu'à sa rencontre en O3 avec la verticale (Z3), et ainsi de suite. Xous obtenons une figure polygonale VoOiOa . . . ()„^ 1 (.)« dont les sommets successifs se trouvent sur le réseau des droites ( Z) et dont les cotés successifs déterminent sur la verticale (Zo) l'échelle intégrale de V.

D'un autre coté, partant d'un point arbitraire U, sur (X©), traçons LgC| parallèle à V qO|, puis par C|, situé sur (X, ), traçons L1C1C2 parallèle à V|0|()2, et ainsi de suite. INous obtenons une .seconde figure polygonale dont les sommets successifs se trouvent sur le réseau des droites (X) et dont les côtés successifs déterminent sur la verticale (X^ ) réclielle intégrale de U.

En effet, les triangles semblables tels (pie VqOi V| et LqCi L\ dcmnenl des relations de la fonue

—^ — = ^ ou UoL, = 7-Vt = Ui-

Le second polygone est tout à fait analogue comme construction à un polygone funiculaire de forces fictives égales aux valeurs de \ , agissant sur le réseau des droites (X ), avec cette seule différenc«* que, au lieu d'avoir un pôle fixe, <m a un pôle variable se déplaçant sur le réseau des droites (Z).

Aussi emploierons-nous le langage de la statique graphique pour résumer la construction en ces termes :

On passe de V échelle intégrale de \ à l"* échelle intégrale de V ^=^^ Y en construisant sur te réseau des droites (X) un

4o CHAPITRE IJ.

polygone funiculaire des forces fictives V avec une distance polaire variable et égale à Z.

11 est bien évident qu'il y a réciprocité absolue entre les deux figures et qu'on passerait inversement de l'échelle intégrale de L à l'échelle intégrale de V, le premier polygone Vo.0|02...0« jouant le rôle de polygone funiculaire.

Il est bien évident aussi que le procédé peut se généraliser, et que si X' et 7J désignent de nouvelles fonctions, on pourra passer de Téchelle intégrale de U à l'échelle intégrale de la fonction W définie par la relation

\v — -— 1 1 — fL -^ -- V Z' Z' Z

Remarqae /. - - Quand plusieurs valeurs successives^ soit de X, soit de Z, sont égales, les droites (X) ou (Z) correspondantes sont confondues et les polygones ont plusieurs sommets confondus sans que leurs cotés cessent pour cela d'être distincts.

Supposons notamment que Z soit une constante, tous les points tels que O sont confondus et l'on retombe sur le cas d'un polygone funiculaire ordinaire.

Remarque H, — Si l'on déplace la verticale (X© ) jiarallélement à elle-même, sans modifier le réseau des droites (X ), cchi revient évidemment à substituer à la fonction X la fonction X + M, M étant une constante mesurant à Téchelle des X le déplacement de (Xo). On obtiendra donc sur la nouvelle verticale (X^) l'échelle intégrale de la fonction

Remarque III . - 11 est très important de faire grande attention aux échelles métriques qui auront servi à la représentation des diverses quantités X, Z, V. L'échelle de U se déduit des trois autres. Si l'on s'est arrangé pour que X et Z soient représentés à une même échelle, les fonctions U et V seront aussi représentées à la même échelle. Mais cela n'est pas toujours possible.

Application à la recherche du centre de gravité, des moments du premier ordre et des moments d'inertie d'une aire plane. — Soit

STATIQUE GRAPHIQUE. CALCUL GRAPHIQUE D'INTÉGRALES. 4i

une aire plane quelconque rapportée à deux axes rectangulaires Ox et O^. Traçons les tangentes parallèles à Oy coupant Taxe des x

Fig. 25.

aux points Xq et Xn^ puis divisons Tinlervalle XqXji en n intervalles partiels par les paints de division Xt, X2, .... ^n-i- jNous appellerons Ç|, $2? • • • -• irt l^i» milieux des intervalles dont la grandeur sera désignée par dxt dx^ . . . dxn- (Bien entendu, si rien ne s y oppose, on prendra pour simplifier tous les intervalles partiels dx égaux entre eux. )

Si Ton désigne par y^^ y^^ - -- j Xn les longueurs des segments

J2 GHAPITHE H.

^léeoupéft j>ar le contour de la surface sur les verticales ($»), i.ii)? • • •? ($«)•» Icî* éléments d'aire ont pour valeur respective

Nous les supposerons connus ou dclerminés directement (ce qui sera particulièrement facile si les dx sont éj^aux ). La surface totale est

S = I y dx= I u .

Nous nous proposons d'obtenir, d'ahord, son moment du premier ordre par rapport à un point d(* ()/, moment dont l'expression est

(rf désignant une longueur arbitraire ) ou, ce qui revient au mêm<»,

d'obtenir la longueur -7 •

INous formerons sur une verticale l'écliclle intégrale de «/, ou polygone des forces fictives Wj, ^2, .... W/,. Ensuite nous lraceron> le réseau des droites (Ç). Le réseau des droites (<i) se réduit ici à une seule droite à la distance d de l'éclielle intégrale de u. Sur <:ette droite nous prendrons un pôle arbitrain», puis nous tracerons le polygone funicuUiire des forces fi(Mives W|, «a, ..., Un sur 1<* réseau des droites ( ç ). Ses ccMés successifs traceront sur i)y l'éclielle intégrale des éléments

Le segment découpé entre les côtés extréuKîs sera la longueur elierchée

Cherchons maintenant le moment d'inertie par rapport à O^, <lont l'expression est

STATIQUE GRAPHIQUE. CALIIL'L GRAI>HIQUE D'INTKGRALES. /»)

{d' désignant une nouvelle longueur arbilmirr) oiu re qui n*vienl »u ménie^ ta longueur -r — -r-, .

J/échelle intégrale de h étant obtenue sur i)y par la conslruclion précédente, il suffit de prendre un nouveau pôle O' à une <lislance d' de Oy^ puis de tracer sur le réseau des droites (ç) 1<* polygone funiculaire des forces fictives A|, li^ 7/,|.

Les côtés successifs traceront sur Oy FtVheUe inté»;rale des éléments tels que

i = -yf X h.

Le segment découpé entre les côtés extrêmes sera la longueur

cherchée -j 77*

• dx ci

La cmistruclioD très générale qui précède donne Ireu aux remarques suivantes :

i^* Elle fournit, sans construction nouvelle, les aires, les moments du premier ordre et les moments d'inertie de toute surface partielle comprise entre de un abscisses Xp et Xg comprises dans la série des points de division de x^Xn- H suffit <le limiter par la pensée Térhelle intégrale de u aux seuls éléments «y,^.i, . . ., Uq^ v\ de prendre comme côtés extrêmes des polygones funiculaires correspondants ceux qui précédent et qui suivent le> sonnuets situés sur {^p^\ ) ^t (5^).

•?• Si Ton envisage les segments découpés par le premier l>olvgone funiculaire, non plus sur O^, mais sur une parallèle Ot' dont Tabscisse soit />, ces segments seront respeetiienieist les valeur» de

«•l le segment découpé entre les côtés extrêmes sera

Le centre de gravité est par définition sur la verticale iXy (|ui fournit une valeur H' = <». Cette verticale du centre de gravité doit donc passer par le point de rencontre G des côtés extrêmes du j)remier polygone funiculaire.

Vl CHAPITRE II.

3" De même, le segment découpé par les côtés extrêmes du second polygone funiculaire sur la verticale quelconque O'y' a pour valeur

dxd'-'J^ d' ' "" J, d' d'Jx dxd dxd' '

Si O'y est, non plus une verticale quelconque, mais la verticale du centre de gravité G, son abscisse p satisfait à la relation

et Ton a

dxd' ~ dxd' dd''

r représente donc le moment (Tinertie par rapport à la verticale du centre de gra^^ité^ puisque ce moment d'inertie doit être Ici que

4° Une méthode louïe semblable s/appliquerail à la recherche des centres de gravité ou des moments d'inertie d'une ligne.

D'autre part, si chaque élément de surface ou de ligne était affecté d'un coefficient variable k^ de telle sorte qu'on ait à en\i-

sager, non plus les éléments M|, Wj, . . ., «/i, mais les éléments -j^y

TT» '"' ir* iï pourra être avantageux de conserver l'échelle inté-

grale des m, et de tracer le premier polygone funiculaire avec la distance polaire variable kd^ en traçant le réseau des droites (d) situées à la distance kd de réchelle intégrale de «/. Ce pourra être

plus simj)le que de calculer les quotients -r«

Note sur la construction des paraboles cubiques. — Les méthodes graphiques particulières à chaque problème sont tellement variées que nous ne pourrons pas songer à les décrire dans ce cours. Mais nous dirons quelques mots de la construction des paraboles cubiques dont l'équation en coordonnées obliques se présente sous la forme

STATIQUE GRAPHIQUE. CALCUL GRAPHIQUE d'iNTÉGRALES. 45

car on a 1res fréquemment à envisager ces sortes de courbes. Nous

supposons b> a,

La parabole coupe Taxe des a:, ou ligne de référence, aux points

Fig. 26.

a: = o, j? = a =: OA, x^=.h =. OB. De plus, le coefficient angulaire de sa tangente, donné par la relation

se réduit à w pour a: = o, et à w' = to f ^ — i j pour x = a.

Considérons la parabole du second degré, OM'S'A, définie par l'équation

Elle lui est tangente en O et passe par A, sa construction est facile. Or, pour toute valeur de x^ on a

Cela revient à dire que sur une ligne de rappel telle que m M', on passe de F ordonnée j^'=i mM' à l'ordonnée jk = 'wM ^n réduisant

b —~- ûf* Fil i)

la première dans le rapport — ^ — = -— . Il suffira donc de tracer

M'R parallèle à O^ et de joindre RB pour obtenir le point M sur la ligne de rappel de m .

Pour deux abscisses telles que x et a — Xj autrement dit pour deux lignes de rappel également distantes du milieu D de OA, on a deux valeurs dey' égales. On obtiendra donc par un même tracé les deux points correspondants M et N.

40 ClI.VriTRK II. — SrATIQl'B GRAPHIQCI-:. CALCUL GRAPllIQVE d'INTKGRALES.

Si, (*n |>aili<uiiier^ ou fait la <x»nstriictîoa {Kuir ia ligne d-e rappol <^oiTesj)oiitlanl à I), lljçne sur laquelle est le sommet de la parabole^'', la di'oile BR eori'espoiidante sera taiigeate à la parabole j'.

11 est à peine besoin d'ajouter que le traeé elFeelif de la pa^abol(^ <lu se<u)nd dej^ré n'est nullement nécessaire. 11 suffit que Ton ait porté sur Oy les \aleurs de OR correspondant à diverses valeurs de x^ c'est-à-dire que l'on ait construit sur O^ Téchelle fonclionnelb* (1(» j''.

On peut déterminer facilement l'abscisse du point d'inflexion de la courbe. En effet, on a

Cette dérivé*» sec(uide s'annule pour

«r -+- 6 -À a -hb X = = •

Il suffit de |)rendre le milieu H de AB et de prendre ensuite les ^

de OH. Inversement, si l'on connaît l'abscisse du point d'inflexion, <*ette donnée j)ourra remplacer la connaissance du point B. On déterminerait d'abord H, puis B.

Il arrise souvent que l'on ne connaît pas directement la lon-' jçueur ()B=:fc, el que la parabole cubique soit définie par ses deux points O el A, sa tangente en O et sa tangente en A. 1^ relation donnée plus haut

►' = to f -r — I i 9 d'où l'on tire 6 = «

oi = to I -r — 1)9 a ou i on lire o = « -, »

eu -h fo

permettra alors facileuient de calcul(*r h ou de le construire grapliicpiement*. On a /> > a toutes les fois cpie o) >- o ave<!

<♦ >» tii' > (0.

Si le pt»int B t(nube en dehors des limites de l'épure, ou emploiera pour trac<*r les droites telles que RB un artifice quelconque. Par exemple, sur la verticale ])assant |)ar \ (m déterminei'a une échelle foncliT)nnelle d(»s segments

OB a w

v\\ valeur absolue.