ET
D'autre part, comme nous cherchons le déplacement d'un point (i de la fibre mojenne, nous remplacerons p et q par les coordonnées de G que nous appellerons x, )'. Enfin, nous désignerons désormais par w la rotation totale de la tangente au point G. Nous obtiendrons les trois équations fondamentales suivantes, dues
nEl itRRCHK DES UKPORMATIONS DBS 1>0L'TRES PRISMATIQUK^. IV»<
à Bressi* :
(I) oj = ojo-4- f Yl^^' (A) < (H) V =v^^Lo^{x-Xo)A-J ^{x -\)d<j- j —Jlch^
(III) u = u^ — ta^(y—y^)—j —(y-T^)dij-^J—-^d<J.
Si l'on a aflaire à iin<» poutre droite, on peut supposer son axe longitudinal en eoïi\(*idenee avec Taxe Ox. Alors on aura 7^ = 0 en chaque point, aiusi (lue —5 ;^ ^ -i i^ i .
Les formules deviennent, en remplaçant partout s et t par x et $ n'spectivement et les quantités j' par zéro :
(I) (D^wo— y j^</5,
l.a troisième de ces formules se réduit d'ailleurs à u ^= Uo quand N r= o, ce qui est le cas général des poutres droites.
Ligne élastique dans les poutres droites. ~- La seconde formule (A') joue un rôle très important dans la théorie des poutres droites. Elle fournit, sous forme explicite, Téquation de la courbe représentative du déplacement vertical i', qui (;st le seul à envisager. C'est donc aussi l'équation de la courbe affectée par la lîhre moyenne déformée, courbe que Ton appelle li^^ne élastique.
Si Ton envisage l'intégrale qui figure dans le second membre, on reconnaît qu'elle est d(î la même forme que celle qui exprimerait le moment produit au point x par un ensemble de charges continues,
situées à sa gauche, et ayant pour valeur - ' ."* pour chaque élément d^ de la libre moyenne. L'expression de i' ne diffère d'ailleurs de l'intégrale que par une fonction linéaire de x. 11 en résulte que pour avoir la ligne représcîulative de t-, ou autrement dit la ligne
Vl rit
élastique, il suffit de supposer des charges fictivcîs - —^ y ayant
ia4 CHAPITRE VI.
])our lignes traction les verticales ($ ), et de tracer avec une distance polaire unité, le polygone funiculaire de ces charges sur le réseau des droites (Ç).
On aura un tracé équivalent, suivant une remarque déjà faite, en considérant des charges fictives — MrfÇ et en construisant leur polygone funiculaire avec une distance polaire variable égale à El.
Quant à la ligne de référence, à laquelle il faudra rapporter le polygone funiculaire, elle dépendra dans chaque cas de la fonction linéaire io-h «*)o(5? — Xq)^ c'est-à-dire des conditions particulières dans lesquelles la poutre sera supposée placée. En particulier, si Ton connaît les deux valeurs Vq et l'i prises par c aux deux extrémités Oo et G| de la poutre (ou de la travée), ces deux conditions détermineront la position de la ligne de référence. Si l'on a i'o^= *'i = o, la ligne de référence sera la corde du polygone funiculaire comprise entre les verticales (G©) et (G/) et, dans ce cas, on pourra dire que i' est égal au moment fléchissant qui serait produit par les
charges fictives rrp- dans Thypothèse d'une poutre posée sur
appuis simples.
De cette seconde équation ( \'), on déduit, en dilTérentiant par rapport à ar,
dU^ __ M i7?« "" El"
(^ette seconde équation peut servir de définition à la ligne élastique et est assez fréquemment employée. On peut observer qu'elle équivaut à Téquation trouvée précédemment
car, lorsque p' est très grand, et que (;t-) ^5*1 petit, l'expression
de , se réduit précisément à -r-z* I
Lorsque I est constant, on déduit de celte équation la relation suivante, en dérivant deux fois par rapport à x :
lil — = — ; •
aar^ dx^
RECHERCHE DES DÉFORMATIONS DES POUTRES PRISMATiQUES. I'aS
Or, nous avons vu que, lorsque les charges sont isolées, M esl, dans rintei*valle de deux charges successives, une fonction linéain» de X ely. Ici, y n'intervenant pas, c'est une fonction linéaire de x. Sa dérivée seconde est nulle. Il en résulte que v a une expression du troisième degré en x, La ligne élastique se compose donc d'arcs de paraboles cubiques dans les intervalles des charges, et ces arcs doivent, bien entendu, se raccorder entre eux, en ayant des tangentes communes sur les verticales des charges.
S'il s'agit de charges verticales à répartition continue, nous
avons vu que -T-j =- ^, si p est l'intensité de la charge au
point X, L'équation dillerentielle de la ligne élastique est donc alors
Si /> a une expression simple en x^ si c'est par exemple un polynôme, cette équation sera intégrable. En particulier, ' si /> est une constante, l'expression de c sera un polynôme du qualriêhie degré en X.
On disposera, dans chaque cas, des constantes arbitraires pour satisfaire aux conditions que l'on aura admises pour les ex l rémités.
Ligne élastique dans les poutres courbes. — Potir les poutres courbes, la forme affectée par la poutre déformée dépend à la fois de H et de v. Mais la seconde de ces quantités a de beaucoup le rôle le plus important. C'est elle surtout que l'on mesure dans h's épreuves. On peut encore appeler ligne élastique la ligne représentative de ce déplacement i', généralement vertical.
La seconde équation générale (A) peut d'ailleurs être sinipliliéc dans la plupart des cas, en négligeant son dernier terme :
f Es ^^^-
Ce terme est, en effet, très petit d'une manière absolue toutes
dr les fois que -7^ peut être considéré comme négligeable, c'est-à-dire
qiron a affaire à une poutre de grand rayon de courbure.
126 cbapithe vi.
Dans les autres cas, t^ -j5 est petit relativement aux autres
termes^ ainsi qu\)n s'en assure par des calculs numériques, et l'intégrale dont il s'agit n'apparaît jamais que comme un terme correctif sans importance.
En admettant cette simplification, on a simplement
Si l'on définit une quantité J, îq>pelée tnoment d^ inertie
réduit^ par la relation
rfff dl
T-T' on pourra écrire
V = Vo~h
et l'on retrouve exactement la formule applicable aux poutres droites, â^rec cette seule difi'érence que le moment d'inertie réel I est remplacé par le moment d'inertie réduit
On tracera donc la ligne élastique, ou ligne représentative de r, au moyen d'un polygone funiculaire des charges fictives
M^ __ Md7 JiJ "" Kl
sur le réseau des droites (5).
Oh trouverait encore les deux formules différentielles, souvent utiles.
dp
dx^
EJ
Déformation éventuelle due à un écart de température. — Les principes qui nous ont conduit aux équations de Bresse s'apj)liquent évidemment au cas où Ton rechercherait l'action d'un ôairt de température sur une poutre, indépendamment des déformations
RRCHERCHE I>ES DEFORMATIONS DES POUTRES PRISMATIQUES. I27
qui pourront être dues aux moments fléchissants et aux efforts normaux développés de ce fait dans la poutre, chaque élément de la longueur de celle-ci éprouvera une dilatation ou une contraction dont il est aisé de tenir compte. Supposons, pour fixer les idées, qu'il s'agisse d'une augmentation de température, dilatant d'une quantité t Tunité de longueur du métal, la dilatation de rélément rfode la fibre moyenne sera X=z'zd(T, Les termes à ajouter aux équations (II) et (III) du groupe (A) seront, par suite, respectivement
So S
z d^ = x(x — Xo)' '0
Défonnatioii générale attribuable à l'efTort tranchant. ~ On s'est souvent préoccupé de savoir s'il convenait ou non d'ajouter aux équations de Bresse des termes tenant compte de l'eiFort tranchant, c'est-à-dire d'un glissement relatif des sections transversales dans leur plan.
Il ne semble pas, comme nous l'avons vu, que le mode de glissement, qui a été supposé, des différentes fibres les unes par rapport aux autres, dans le sens de Taxe longitudinal de la pièce, puisse avoir pour effet de modifier la forme de la fil)re moyenne.
Toutefois, voici l'hypothèse faite quand on veut tenir compte de l'effiort tranchant. On suppose que le point y' de la fibre moyenne,
infiniment voisin de y, subit un déplacement normal à la fibre
T moyenne dont la valeur est de la forme 7r^d<T, G étant une quantité
analogue au coefficient d'élasticité E.
Dans ces conditions, on est amené à introduire dans les équations (II) et (lll), respectivement, les termes
r* T « = -/ ^ dr,.
Sq
En réalité, on n'en tient jamais compte en pralicpie, leurpetitesscî relative étant un motif suffisant pour cela.
M. Résal a calculé, en particulier, que pour des poutres droites
