LIGNES ENVELOPPES. TRAVAIL DE DÉFORMATION

I. — Lignes représentativks. lignes d'influence, lignes enveloppes.

Lignes représentatives. — Etant donnée une pou ire GyG| con;prise entre deux verticales ( G„) et ((ji ), on peut avoir à envisajçer pour les différents points G de son axe longitudinal un effet déterminé, du reste quelconque, moment flérhissanl, effort tranchant, fatijçue, déformation, etc. sous Taction d'un svslème de charges

déterminé.

Fig. :)7.

On appelle ligne reprise nia tUe de cet effet une courbe telle que M^MM,, dont les ordonnées pq comptées suivant les \erlicales, ou lignes de rappel, à partir d'une droite de référence A„ A,, mesurent, à une certaine échelle, la valeur de IVffet produit au point G situé sur la même verticale.

PlOEAUD ()

l3o CHAPITRE VII.

C'est ainsi que le polygone funiculaire des forces verticales, <ippliquéesà une travée, a été reconnu précédemment comme étant la ligne représentative du moment fléchissant produit aux diflerents points de cette travée, quand on la rapporte à une ligne de référence ou de fermeture convenable.

Une même courhe, rapportée à diverses lignes de référence, peut ainsi représenter plusieurs effets distincts, pourvu (ju'ils ne différent que par une fonction linéaire de Tabscisse du point Ci- Si la courbe rapportée à une première ligne de référence A^A, représente une certaine fonction m, rapportée à une autre ligne de référence telle que A'„ A'^, elle représente la fonction

M == m -f- A -H Vkx.

pourvu (jue la ligne A'^, A', rapportée à A,, A, ait pour équation

ou que, inversement, la ligne AqA, rapportée à AJ, A', ait pour équation

. Dans certains cas, il est utile de rapporter les ordonnées d'une ligne représentative, non plus à une droite de référence, mais à «ne autre courbe que Ton peut encore appeler la ligne de rèfàvenv '.

Par exemple, si l'on a deux courbes (M) et (M') qui, rapportées à une même droite de référence A^ A|, représentent deux fonctions .(ou effets) désignées par les lettres M et M', la fonction (ou l'effet ) M — M' sera évidemment représentée, sans nouvelle construction, parla différence q q des ordonnées des deux courbes et Ton pourra

LIGNES REPRÉSENTATIVES, d'INFLUEXCE ET ENVELOPPES. DÉFORMATION. l3l

dire que ia courbe (M), rapportée à la ligne de référence courhe (M') représente la fonction (ou effet ) M — M'.

Dans le cas le plus général, une ligne représentative se construira par points. On cherchera la valeur de Feffet produit en un cerlîiin nombre de sections G de la poulrv* et Ton reliera les résultats obtenus par une courbe continu.e facilitant les interpolations.

Mais le cas tjpe, au(}uel on cherche oïdinairement à ramener tous les autres, est celui des moments fléchissants jjl aux différents points d'une poutre sur appuis simples. La ligne représentative se construit alors comme le polygone funicidaire des charges directement appliquées, et cette image graphique précise les idées en même temps qu'elle abrège le langage.

Si Ton a, par exemple, à envisager une fonction telJe (jue

M = A-H ïix— :ù^P{x- a),

dans laquelle A et B sont des constantes et P une fonction prenant une suite de valeurs dépendant de la variable a, on remarquera que M ne diffère que par une fonction linéaire du moment fléchissant (JL, produit au point G, d'abscisse x^ par un ensemble de charges fictives égales à P et agissant sur les verticales (a). On trouvera donc sa ligne re|)résentative au moyen d'un polygone funiculaire de ces charges fictives P, tracé sur le réseau des droites (a), puis on le rapportera à une ligne de référence convenable, que les conditions du problème permettront de déterminer. Si, en particulier, on sait d'avance que M doit s'annuler sur les deux verticales G^ et (ji, cette fonction ne diflerera pas du moment fléchissant de la poutre sur appuis simples et la ligne de référence sera la corde comprise entre ces verticales.

11 en serait de même dans le cas d'une fonction telle que

M = X ■+-Bx — I p(x — a)rfa,

lorsque p est une fonction continue de a, la seule diflerence consist^int dans la considération des charges fictives infiniment petites p c/a, au lieu des charges fictives finies égales à P. Si, en particulier, M était sous la forme '

M= — r-^ I poLd%-h-7 I p(l — oi)doLj

on serait assuré que M ne diffère pas du moment fléchissant {x produit par les charges fictives p doL dans la poutre supposée sur appuis simples.

lignes d'ixifluence. — On simplifie notablement tous les problèmes de Résistance des matériaux en invoquant la loi de Hooke, qui s'applique évidemment à tous les effets produits par les char{j;es. On peut à la limite réduire un système de charges quelconques à chacune des charges considérées isolément.

La loi dé Hooke s'énonce de la manière suivante quand on l'envisage comme principe de superposition des effets des forces :

Si une force unité, appliquée successivement aux points A,, A..,? • • • ) A„ d'une poutre, produit des effets y,, y-j, . . . , y» en un même point G, des forces P,, P^, ..., Pn, appliquées simultanément aux différents points A|, A.j, . . . , A^ respectivement, produinmt en G un effet total

^ =Piri-+-Pîri

* /t^ii-

Ce principe conduit immédiatement à la considération de la ligna (Vinfluencc de l'effet dont il s'agit.

Supposons qu'on envisage une charge unique de valeur unité parcourant la poutre d'un bout à l'autre, de gauche à droite, pour fixer les idées. A chacjue instant, sa position est définitive par

Fig. 5f).

l'abscisse a de la verticale qui représente sa ligne d'action. Si, pour chaque position, c'est-à-dire pour chaque valeur de a, on détermine Ja valeurj)' z^f(x, ol) de Teffel produit au point G (effet qui pourra être le moment fléchissant, ou Teflorl tranchant, ou Teflorl mole-

LIGNES REPRÉSENTATIVES, iVlNFLUENCE ET ENVELOPPES. DÉFORMATION. l33

culaire maximum, etc.) et si, sur la verticale (a), on porte, à partir d'une ligne de référence A^, A, (qui peut d'ailleurs être courbe), un segment PM représentant, à une échelle convenue, la valeur de^, l'ensemble des points M formera une courbe qu'on appellera la ligne d^ influence de V effet produit au pointèG.

Une fois en possession de cette ligne d'influence, on pourra obtenir sans peine l'effet produit au point G par un système quelconque de charges P|, P2, . . . , P/i appliquées suivant les verticales («i), («2)5 " "> (*n)- On n'aura qu'à relever les ordonnées yt , ^2, . . . , yn de la ligne d'influence correspondant à ces verti cales et à former l'expression

Si l'on a affaire à une charge continue dont l'intensité en chaque point soit égal à/?, de sorte que la charge de l'élément de longueur horizontale ûfa, soit/?rfa, et si cette charge continue est appliquée depuis l'abscisse a© jusqu'à l'abscisse a^ on aura évidemment

On peut même toujou^'s conserver comme limites d'intégration o et / et écrire :

Y= / ypd%,

étant entendu que p est nul en dehors de l'intervalle «q, oc^.

Lorsque p ely sont des fonctions simples de a, on peut quelquefois eflectuer l'intégration et mettre Y sous forme explicite.

Quand cela n'a pas lieu, on fait pratiquement les sommations par quadratures, en divisant l'inlervalle de o à / en intervalles partiels Aa, au milieu desquels on relève les ordonnées de la ligne d'influence, dont on multiplie la valeur par la charge partielle correspondante pAoc.

Lorsque/? est constant, entre les limites «q, «i, on a

ydoL.

11 suffit alors de multiplier par p l'aire de la ligne d'influence comprise entre les abscisses a© ^t «i .

l34 CHAPITRE VU.

Lorsqu'on a affaire à une série de charges isolées P, toutes

égales et régulièrement espacées, leur Intervalle étant Aa, la valeur

de Y peut s'écrire

La parenthèse représente la valeur approchée de l'aire de la ligne d'influence, telle qu'on l'obtiendrait par quadratures en

divisant l'inter^'alle o — l en intei'valles partiels Aa. Le quotient

p -- est la charge moyenne par mètre courant. On peut donc, toutes

les fois que les intervalles Aa sont relativement petits par

rapport à Vintervalle total^ obtenir une approximation suffisante

en remplaçant les charges isolées par une charge continue --> égale

à la charge moyenne par mètre courant.

n n'est même pas nécessaire, pour qu'on puisse légitimement opérer une semblable substitution, que les intervalles Aa soient

égaux, c'est-à-dire que les charges soient régulièrement espacées.

P 11 suffît que — - soit constant, c'est-à-dire que la charge moyenne

par mètre ccfurant soit partout la même. Le degré d'approximation devient, en général, satisfaisant en pratique dès que l'intervalle total est divisé en cinq ou six intervalles partiels.

Si la ligne d'influence coupe une ou plusieurs fois la ligne de référence, elle se divisera en zones positives et négatives, auxquelles correspondront des efl'ets de sens contraire. L'étude de ces zones permettra de reconnaître quel groupement de charges, parmi toutes les charges simultanément possibles, produira l'effet maximum positif ou l'effet maximum négatif.

Le tracé des lignes d'influence constitue donc une méthode d'une grande généralité et d'une très grande utilité.

11 peut arriver c^ o dans certains cas simples l'effet envisagé ait une définition analytique permettant de trouver son expression (explicite en fonction de l'abscisse a. Celte expression ne sera pas alors autre chose qu(î Téqualion de la ligne d'influence.

Mais, en général, on obtiendra le tracé d'une ligne (l'influence par points. On donnera à la charge un certain nombre de positions déterminées et Ton en déduira les effets produits correspondant à ces positions. Entre les points obtenus on tracera une ligne con-

Llli.\E3 BKPRKSENTATIVKS, blNPI-fENCE HT FNVEUIPPES. ORKORUATION. |35

liime. Il esl essentiel de remarquer que la détermination de Veffet produit par une charge unique est dans tous les cas le problème le plus simple que l'on puisse se poser.

On peut du reste, de plusieurs façons, prolîter dos circonstances pinir simplifier les opérations iiintérielles du tracé des li>;ni's d'in- Jhiences relatives à un ensemble de sections transversales G.

Il arrive souvent que l'elTet produit y. dans «ne section arbitraire G, peut s'esprrnier par une fonction linéaire des effets :;, I', ii>, produits dans une section origine, ou par une fonction linéaire des réactions d'appui, par exemple; ou n alors une expression de la forme

les coeflieienis A, B, G dépendanl de ia position de la section G.

Si l'un a tracé la ligne d'influence de l'effet^, celle de l'effet t-et celle de l'effet w, on pourra en déduire la ligne d'influence dvy, dans la .section 0, et dans toutes les antres sections, d'une manière fort simple- On amplifiera les ordonnées de ^ dans le rapport A, celles de c dans le rapport B, celles de tv dans le rapport G, el l'on fera la somme des trots ordonnées amplifiées corres pondant es.

Pour amplifier les ordonnées d'une courhe lelle que (z) dans le rajiport A, on a avantage, à défaut de compas de réducli<m, à pro-

Fig. 6û.

céiler comme il suit : on construit sur la verticale (A) récUelle fonctionnelle de z en traçant, par exem]ile, des parallèles MN à la lifçne de référence AB par un certain nombre de points M convenablement clioi'-is. Si d'un point O, situé à la disUmcc t de la verticale (A), on trace le faisceau des droites ON, ce faisceau découpera sur la verticale (^ ), située à une distance \l du point O, l'échelle fonctionnelle de V ^■= A;.

i36 ciuiMiRP. vu.

Il arrive aussi très souvent que Ton puisse construire facilement la li*j;ne représentative de Teflet produit par une même charge P, d'abscisse a, dans toutes les sections transversales de la poutre. C'est la courbe dont Téquation est j' =/(jra), éqyation dans laquelle a est consideîré, cette fois, comme un paramètre donné, et X est considéré comme la variable. Celte ligne fournit alors un point de chacune des lignes d'influence qu'on peut avoir simultanément à envisager pour un groupe de sections transversales. Ce sont tous les points (correspondant à l'abscisse a. On conçoit donc (jue si l'on a tracé un certain nombre de ces lignes représentatives, correspondant à différentes valeurs de a, on en puisse déduire la série des lignes d'influence cherchées.

Il ne s'agit là, au fond, que de grouper d'une manière systématique les résultats fournis par les lignes représentatives tracées. Nous utiliserons assez largement ce procédé indirect qui est souvent plus pratique que la recherche directe des lignes d'influence et qui est particulièrement indiqué lorsque les lignes représentatives sont formées de lignes droites.

Mais il y a une foule de questions dans lesquelles Teflet produit apparaît comme égal (ou proportionnel) à une intégrale déiinie j)articulière et où la ligne d'influence peut se tracer aussi sim- ])lement qu'une ligne représentative du moment fléchissant d'un système de charges fictives. Ce cas mérite une attention spéciale.

Supposons que l'efl'et considéré <ï> se présente dans les calculs sous la forme

l'intégration étant faite entre les deux extrémités de la poutre. La fonction y est une fonction de la variable d'intégration $, et jx est la fonction particulière de Ç et de l'abscisse a delà charge mobile, qui exprime le moment fléchissant produit dans la section (Ç) de la poutre sur appuis simph^s par une charge unité placée à l'abscisse a. jjL a donc la définition suivante, qu'il est bon de rappeler. Pour

LIGNES REPRÉSKNTATIVES, d'INFLUENCE ET ENVELOPPES. DÉFORMATION. I Sj

11 est évident que l'iulégrale ^ peut se décomposer en deux aiilres, prises entre les limiles o et a d'une part, et a et / d'autre pari, la fonrlion [jl changeant de définition à la limite séparative de ces deux intervalles. On a

ou

On reconnaît aisément sous cette forme que <l> n'est pas autre chose que le moment fléchissant produit dans la section d'abscisse a par une charge continue fictive dont l'intensité serait égale en chaque point à o, la charge de chaque élément de longueur d\ étant orf;, la poutre étant d'ailleurs supposée portée par deux appuis simples à ses extrémités.

On obtiendra donc la valeur de l'intégrale <ï>, pour une valeur déterminée de a, en construisant sur le réseau des verticales (ç) une courbe funiculaire des charges fictives od\ et en prenant sur la verticale (a) l'ordonnée de cette courbe comptée à partir de sa ligne de fermeture.

Comme le système des charges fictives od\ ne change pas lorsque a varie, on en conclut que la courbe funiculaire, rapportée à sa ligne de fermeture, constitue la ligne d'influence de <ï>.

Remarque L — La distance polaire servant à tracer la courbe funiculaire est en théorie égale à Tunité, soit de longueur, soit de charge. En pratique, si elle vaut n unités, il faudra bien entendu multiplier par n les ordonnées trouvées.

Remarque IL — Il est bien évident que si ^ est de la forme j^>

o' et I étant des fonctions de Ç, variable d'intégration, on pourra, au lieu des charges fictives orfÇ, envisager les charges fictives «p'rfÇ, à la seule condition de supposer que la courbe funiculaire est tracée, non plus avec une distance polaire fixe (égale à l' Unité), mais avec une distance polaire variable égale à El.

Remarque III. — On pourra appeler ligne de charge la courbe

l38 CHAPITRE VII.

^=i'^qui représente la fonction©, ou encore, dans le cas précédent, la fonction j^ = o'. C'est l'ordonnée de cette courbe qui définit en effet Tintensilé de la charge fictive en chaque point.

Lignes enveloppes ou courbes des effets maxima et minima. — Il y a une troisième espèce de courbes utiles à considérer lorsqu'on étudie une poutre sur laquelle peuvent agir dos surcharges variables, telles qu'un convoi de chemin de fer, en même temps qu'une charge permanente. Ueffet produit dans une section de la poutre parla surcharge variable peut prendre tout une série de valeurs entre un certain minimum et un certain maximum, le minimum et le maximum pouvant d'ailleurs être des quantités de même signe ou de signes contraires. En les superposant à l'effet produit au même point par la charge permanente, on obtient les deux limites extrêmes' entre lesquelles se tient l'effet total, limites qu'il est important de déterminer.

Si l'on a trouvé ces limites extrêmes de l'effet considéré pour une série de sections G de la poutre, on pourra construire par points les deux courbes qui leur corresj)ondent. On les appelle généralement des lignes enveloppes^ et cela tient à la nature de l'un des procédés que l'on j)eut employer pour leur détermination.

Le procédé le plus direct et le plus simple consiste, la plupart du temps, dans l'emploi des lignes d^influence. Une fois tracée la ligne d'influence pour une section G, on en déduit sans difficulté l'effet produit tant parla charge permanente que parles surcharges variables. Les surcharges conduisant aux valeurs extrêmes sont presque déterminables à vue. En opérant ainsi pour un certain nombre de sections, on obtiendra par points les courbes des effets nuixima et minimu.

Mais, dans certains cas, ceux où il est plus facile de tracer une ligne représentative de l'effet produit que de tracer une ligne d'influenre, on est conduit à opérer autrement. On détermine, pour un certain nombre de positions arbitraires de la surcharge, les lignes représentatives de l'effet. Les courbes des effets maxima apparaissent alors comme des courbes enveloppes de la série de ces ligues représentatives.

11 existe un cas où les courbes enveloppes peuvent se tracer

LIGNES REPRÉSENTATIVES, u'iNFLUENCE ET ENVELOPPES. DÉFORMATION. l39

directement. C'est celui où la surcharge variable est uniformément répartie et où les lignes d* influence relatives à toutes les sections présentent soit une seule zone sur toute la longueur de la poutre^ soit plusieurs zones avec des points de passage invariables. Dans ce cas, pour obtenir les vjileurs extrêmes de

Fig. 6i.

relFel, il esl bien évident qu'il faut surcharger la poutre d'une manière identique, quelle que soit la section. Alors les courbes des effets maxinia et niinima sont tout simplement les lignes représentatives relatives aux surcharges couvrant les régions de la poutre qui correspondent aux zones prépondérantes des lignes d^influence, tant négatives que positives.

Quelquefois, ces circonstances se rencontrent pour certaines régions de la poutre el cessent de se présenter pour d'autres régions. La remarque qui précède n'en est pas moins précieuse pour le tracé des courbes dans les régions où elle s'applique.

Il ne faut jamais oublier que cela ne s'applique qu'au cas d'une surcharge variable uniformément répartie, ou assimilable à une semblable surcharge.

Dans le cas général, c'est donc la méthode des lignes d'influence qui paraît la plus systématique, et c'est pour cela que nous chercherons, dans toutes l(;s études particulières subséquentes, à parvenir au tracé de ces lignes d'influence.

H. — Travail de déformation dans un corps élastique.

Travail des forces appliquées. — Considérons un corps élastique soumis à l'action de plusieurs forces analytiquernent indépendantes P<, Po, , . . , P/, . . . , supposées appliquées graduellement et sans choc aux points M,, Ma, . . . , Mj. Les points d'application (le ces forces ont subi des déplacements, dont nous considérerons uniquement les composantes v^^ Po, . .., r/ dans la direction des forces correspondantes. •

l4o CHAPITRE VII.

Le travail dépensé pour produire la déformation du corps a pour expression générale

pourvu que Ton admette la loi de Hooke, ou le principe de superposition des effets des forces. Si un premier système de forces P^, P2, . . . , P/ amène en un point M un déplacement (^, et

Fig. 6a.

si un deuxième système de forces P'^, P'^, ..., PJ amène au même point M un déplacement i'', le déplacement total correspondant aux deux systèmes de forces agissant simultanément sera (^-|-i''. Inversement, si à un système de déplacements (^1, r^, . . . , p; des points M|, Mo, ..., M^-, ... correspond un système de forces Pi, P.2, ..., P/, et si à un deuxième système de déplacements t'p Tj, ..., i'; correspond un système de forces PJ, Pj, ..., P,' à un troisième système, comportant les déplacements i^i-h^j, i^a+r'j, . . ., (7-4- i'i-, correspondra le système des forces Pi + P^,

Pj+p;, ...,p.+p;.

Si, partant d'un état déformé (A), on passe à un second état déformé (A') provenant de Taltération simultanée des forces P dans le rapport de 71 à i, le déplacement ç du point M d'application de la force P variera aussi dans le même rapport de a à i. On peut donc, pour calculer le travail total dans l'état A, supposer que les forces étant d'abord nulles partout, on les fasse croître chacune proportionnellement à la valeur qu'elle doit obtenir finalement dans le système (A). A un instant quelconque de la mise en charge, la force appliquée en M sera /iP, et le déplacement n^.

Pendant que ii croît de w à /i + o/i, le point M supporte une force nV et son déplacement s'augmente de (^8/*. Le travail correspondant est

LIGNES REPRÉSENTATIVES, D^INFLUENCE ET ENVELOPPES. DÉFORMATION. l4 1

et le travail pour TenseiTible des forces esl

Le travail total produit par le système ( A) sera donc hien

Supposons maintenant que le corps passe d'un état déformé (A) à un second état déformé (A'), par une suite d'opérations au cours desquelles les différentes forces croissent simultanément et chacune proportionnellement à son accroissement total V - P.

Si à un instant quelconque de la mise en charge la force appliquée au point M est ^

le déplacement du point M sera

Le travail correspondant à Taccroissement de (U'-placement

on{v' — (') sera

[P-4-n(P'-P)](p'— i^)an,

et pour la somme de ces accroissements on on aura

p [P-+-n(P'— P)](i''— p)a/i = (i''-t;) Tp-H^i^P'— P)|

Le travail total de déformation du système sera par suite (2) W— W = lv(t^'-^')(P-f-P')= ^Sr'P — -Si^P'-4- W'-VV),

uisaue

puisq

i-2t^P = W et i2:t^'P'= W.

On en déduit comme conséquence (3) i:Pf'=2P'('.

Par suite, si Von multiplie les charges appliquées aux différents points M dans Vétat (A) par les déplacements correspondants à l'état (B) et que Von forme la somme des pj^odu ils ^

on obtient le même résultat qu^en inversant les états {X)et ( B). C'esl une loi de réciproeilé générale.

L'équation (2 ) pourrait encore s'écrire

(•2) W- W = i 2:(P -+- i^'XP'— P),

car en développant le second membre on obtient

en vertu de l'égalité (3 ).

Théorèmes de Castigliano. — En supposant que Tétai (B) soit Infiniment voisin de l'état (A), les équations {'à) peuvent s'écrire

(4) rf\V = SPû?p = Si^é/P.

Les déplacements i' sont des fonctions des forces P et réciproquement. Si dans W on remplace les V par leurs valeurs en fonction des i', on aura pour W une fonction des i' seulement. LVqua-

tioii (4)i sous la forme

montre alors que la différentielle partielle de W par rapport à la variable indépendante v est égale à P; on a donc, d'une manière générale,

De même, si l'on remplace les c par leurs valeurs en fonction des charges P, W devient une fonction des seules variables indépendantes P. L'équation ( 4)? sous la forme

montre que k^ est la différentielle partielle de W par rapport à P, ce que Ton écrit

Cette relation montre que le déplacement du point d^ application M d'' une force extérieure P est la dérivée partielle du travail de déformation prise par rapport à la force considérée, Cet énoncé constitue ce que l'on appelle le théorème de Castigliano,

Si on l'applique à une force extérieure indépendante choisie de

LIGNKS REPRÉSENTATIVES, u'iNFLUENCE ET ENVELOPPES. DEFORMATION. l43

telle façon qu'elle ne produise aucun travail, ou autrement dit que son point d'application ,se déplace perpendiculairement à sa direction, on doit avoir r = o. On en déduit que la dé ruée partielle du travail de déformation prise par rapport à une pareille force est nulle.

Cela arrive notamment pour la force qui représente la réaction d'un appui fixe, cVst-à-dire tel que le point de la poutre en contact avec Tappui ne subit aucun déplacement, ou tout au moins ne subit que des déplacements perpendiculaires à la direction de la réaction de l'appui. La relation (6) fournit alors une des conditions du problème d'équilibre de la poutre.

Celte seconde proposition s'énonce quelquefois d'une manière un peu différente.

I^ condition

est la condition pour que P rende W minimum. On peut donc dire que, une force de liaisoh dont le travail est nul est telle que le travail de déformation soit minimum.

De là le nom de théorème du travail minimum donné à cett(^ propriété.

Pour que le théorème précédent s'applique, il n'est pas nécessaire que P soit une force. Ce peut être, par exemple, un couple M, mais alors ce qui a été appelé le déplacement v est à remplacer par l'angle © de rotation du bras de levier du couple, car ce qui importe c'est que le travail soit représenté par un produit tel que Pv ou M©.

Par contre^ le théorème suppose expressément quil s^agit d^une réaction d^ appui indépendante analytiquement des forces appliquées^ ce qui veut dire qu^on a éliminé au préalable certaines des réactions d^ appui en faisant usage des équations d^ équilibre statique.

Théorème de Max^w^ell. — Si le corps suit la loi de Hooke, les déplacements v sont des fonctions linéaires des charges. On a, par

exemple,

t-, = aji P, -h «1, Pj -f- a,^P, -i- . . . ,

^î = «îi P] -i- ac« 1*2 -H aj3 Pj

l44 CHAPITRE VII.

Inversement, on pourrait exprimer les P en fonelion des r par des équatio;ns linéaires telles que

Pi= Piit'îH- Plîi'î-^-Pl3^'l•+■...,

Si, dans l'expression de W = - SP^^, on remplace les v par leurs

valeurs, on obtient une fonction homogène et du second dej;ré par rapport aux charges P.

Si, au contraire, on remplace les P par leurs valeurs en fonction des p^ on obtient une fonction homogène et du second degré par rapport aux déplacements ^', que Ton distinguera de la précédente? en l'appelant W.

En vertu des équations (5) et (6) on a, d'une manière générale,

di' dv

On a, en particulier,

^'•=^' '''=dUl' On en déduit

dvj d*'\\ d*' W ^ dVi "~ dV^ di'i ~ dVtdï'i "~ dP^'

(icla exige l'égalité des coefficients «la et a^i <^* l'on trouverait, d'une manière analogue, la relation générale

Celte relation exprinuî (|ue, si e/i M^ on applique une force égale à V unités le déplacement qui en résulte en un autre point My est égal au déplacement qui se produirait en M^ sous l'action d^ une force unité appliquée en M^.

On déduirait d'une manière analogue l'égalité

qui est, du reste, une conséquence de la précédente. Elle exprime» (pie la force nécessaire au point M^ pour produire en M^ un déplacement égal à V unité est égale à la force quHl faudrait appliquer en M^ pour produire en M^ un déplacement égaL

LIGNES REPRÉSENTATIVES, d'iNPLUENCE ET ENVELOPPES. DÉFORMATION. 14^

C'est dans l'ensemble de ces deux propositions, et particulièrement dans la première, que consiste le théorème de Maxwell. Elles ne sont, au fond, qu'une conséquence de Féquation de réciprocité plus générale, exprimée par l'équation (3) ci-dessus.

Application du principe de conservation de l'énergie. Travail des forces intérieures. — Les principes qui précèdent ont une portée tout à fait ((énérale. On constate, surtout à l'étranger, une tendance à en faire la base de la Résistance des Matériaux, en les adjoignant au principe de la conservation de l'énergie. Quand les forces agissant sur le corps sont appliquées lentement, il est naturel d'admettre qu'il n'j- a aucune dissipation d'énergie, ni sous forme de force vive, ni sous forme de chaleur. Le travail dépensé par les forces appliquées doit alors s'emmagasiner intégralement dans le corps sous forme d'énergie potentielle et il doit être égal au travail des tensions Intérieures.

Si donc il est possible, pour un problème donné, de former l'expression du travail des tensions intérieures, on pourra déduire, notamment des théorèmes de Castigliano et de Maxwell, des conséquences intéressantes sur les relations existant entre les déplacements, les forces appliquées et les variables intermédiaires (telles que le moment fléchissant) qui peuvent figurer dans l'expression du travail.

On peut même, dans certaines questions particulières, parvenir à des expressions distinctes : i" pour le travail des forces appliquées ; 2** pour le travail des "forces intérieures en fonction d'une même série de variables intermédiaires, par exemple, les déplacements t^, et leurs dérivées. En identifiant ces expressions, on peut parvenir aux équations diflérentielles constituant la solution du problème, et même discuter les cas de stabilité ou d'instabilité d'équilibre. L'équilibre n'est stable, par exemple, que lorsque les déplacements virtuels autour de la position d'équilii)re nécessitent un travail positif des forces intérieures.

jNous ne pouvons, dans ces leçons, donner que des indications sommaires sur les développements de cette théorie.

Évaluation du travail de déformation des forces intérieures daas une poutre prismatique. — On peut, quand il s'agit d'une

PlOEALD lO

l46 CHAPITRE VII,

poutre prismatique à laquelle les principes de la Résistance des Matériaux sont applicables, évaluer d'une manière assez simple le travail des tensions intérieures, et par suite le travail de déformation.

Supposons un prisme élémentaire de longueur rfo". Sur la fibre qui correspond à l'élément dS de la section transversale, la force appliquée est

n aS = f ^ H — =- j rfS.

Le déplacement de Tune des extrémités de la fibre, l'autre étant supposée fixe, est

Le travail produit par le raccourcissement de la fibre est donc

En intégrant pour toutes les fibres de la section, on trouve

~ âl ["s "^ TJ ~ TES" "^ lEl '

et le travail de déformation total est le résultat de l'intégration pour toute la longueur de la poutre.

Si l'on veut tenir compte des actions tangentielles provenant de l'effort tranchant, on supposera que le glissement relatif d'une des

bases du prisme élémentaire par rapport à l'autre est de la forme

T ^rfo", G étant un coefficient convenable. Le travail de l'effort

tranchant T pendant ce glissement sera

(') Cette expression n'est qu'approchée en ce qu'elle suppose partout l'effort

tranchant clémeniaire t égal à sa valeur moyenne ^* S'il y avait un intérêt réel

à préciser, voici comment il contiendrait de la modifier.

Pour une tranche élémentaire de longueur di^ de largeur u et de hauteur dv^

LIGNES BEPRÉSENTATIVES, d' INFLUENCE ET ENVELOPPES. DÉFORMATION.

Le travail de déformation total sera donné par Texpression

On néglige toujours le dernier terme, dont la valeur n'est du reste qu'approchée, et c'est le terme contenant M qui joue toujours le rôle prépondérant.

Équation de la ligne élastique déduite du théorème de Castigliano. — Supposons une poutre soumise à des charges quelconques, et cherchons à déterminer le déplacement vertical i^ subi par un point G, d'abscisse x.

Imaginons qu'au point G on fasse agir une force verticale, infiniment petite P. Cette force fictive n'aura aucune influence réelle sur le déplacement t^. Mais si on la suppose introduite dans

reiïort tranchant f, force tangentielle appliquée à ses deux bases, a pour valeur

T tud9= Ymd9 Cette force tangentielle produit un glissement relatif de ces

t dv bases égal à —rr"> G étant un coefficient convenable. Le travail de déformation

correspondant à la tranche est donc

•^ Oudv — — rrr dv.

or

Celui qui correspond au prisme élémeniaire tout entier serait