GI
dv\
I intégrale qui fij^ure dan<< cette expression, n'ayant aucun rapport obligé avec S ou avec I, et dépendant de la forme de la section. Son rapport à P a les mêmes dimensions L~~^ que l'inverse de la surface. Pour une section rectangulaire, ce
rapport est égal à r^» comme si la section réelle était diminuée de -x»
l48 CHAPITRE VII.
l'expression du travail de déformation, le déplacement t» n'en sera pas moins donné, au point de vue analytique, par l'expression (6)
r/VV
dp
Si, d'autre part, on nég^lige dans l'expression de W les termes provenant de l'effort normal et de l'effort tranchant, on aura simplement
en faisant intervenir le moment d'inertie réduit J.
Il > • ) 1 • ' ^^
li reste à voir ce qu est la quantité -7^-
Soit |JL le moment flécliissant que produirait au point G', de coordonnées (ç, yi), une force verticale unité appliquée au point G, dans l'hypothèse d'appuis simples et soient A, B, C les composantes de la réaction complémentaire de Tappui de gauche G©.
Les termes qui seront introduits dans l'expression du moment fléchissant M, par l'adjonction de la force P, seront
Mais il importe de remarquer que les réactions complémentaires PA, PB, PC, bien que proportionnelles en réalité à P, sont néanmoins des forces appliquées distinctes de P, au point de vue analytique. Ainsi que nous l'avons fait observer précédemment, l'équilibre de la poutre serait assuré sans l'intervention de ces réactions complémentaires, qui peuvent être considérées comme introduites après coup, par une sorte de réglage ultérieur des appuis.
En conséquence de ces considérations, la dérivée partielle -^77»
qui figure dans l'expression de r, doit se réduire simplement à jjl, dont l'expression analytique est, comme on l'a vu plus haut,
/ — .r {jL= — j^i pour i<Jr
et
(Ar^y(/ — 5) pour ^>X.
LIGNES REPRÉSENTA II VES, d'i.NFLUENCE ET ENVELOPPES. DÉFORMATION. 1 49
On obtient donc finalement pour {^ l'expression
Sous cette dernière forme, on reconnaît immédiatement que t' est le moment fléchissant qui serait produit au point G, d'abscisse j", par un ensemble de cliartçes fictives -prp agissant aux différents points, d'abscisse $, de la poutre.
C'est identiquement le résultat obtenu précédemment par une autre méthode.
Bien entendu, ici v est compté positivement de haut en bas, tandis que dans les équations de Bresse le déplacement vertical , est compté en sens inverse; c'est ce qui explique que l'on ait les
charges fictives -^Tp» au lieu de ces mêmes charges changées de
signe.
Il faut remarquer aussi que la considération du travail de déformation ne peut conduire qu'à la connaissance de la nouvelle forme prise par la poutre et non à la connaissance de sa nouvelle situation dans l'espace. Si, notamment, les extrémités Go et G^, au lieu d'être fixes, subissaient des déplacements i\ et i',, il faudrait évidemment en tenir compte dans l'évaluation du déplacement total ç du point G. Cela revient à changer la ligne de référence à laquelle serait rapportée la ligne élastkjue.
On pourrait développer une théorie toute semblable à l'égard du déplacement horizontal u. On commencerait par définir un système d'appuis statiques pour la j)outre soumise à des forces horizontales, et une fonction analogue à |jl.
Considérations générales sur la recherche des réactions complémentaires d'appuis. — Dans les études particulières que nous ferons ultérieurement pour diverses espèces de poutres, nous utiliserons de préférence et d'une manière presque exclusive les équations de Bresse, qui sont d'un usage courant en France et qui, au surplus, sont mises d'avance sous la forme explicite la plus convenable. Mais il n'est pas sans intérêt de montrer que le théorème du travail minimum fournit les mêmes conditions.
Comme exemple nous prendrons le cas d'une poutre encastrée
à ses deux extrémités, ces extrémités étant d'ailleurs rigoureusement fixes sur leurs appuis. Ces conditions s'expriment par les suppositions
0>o = Wi = o, ^0= </i = o,
introduites dans les équations de Bresse, appliquées à la poutre entière.
En désignant par le signe / sans indice une intégration s'appli-
quant à toute la longueur de la poutre, on aura donc les trois équations de condition
l et h désignant les coordonnées de l'extrémité G|.
En tenant compte de la première équation, les deux autres se simplifient et finalement les trois équations à envisager sont :
El '
/lï '"'''-/es '''="•
Dans ces équations on aura d'ailleurs à introduire les expressions de M et de N en fonction des réactions complémentaires d'appuis A, B, G, qui sont l'objet de la recherche. On aura, d'une manière générale,
V étant l'effort normal (généralement négligeable) qui correspondrait à la poutre posée sur appuis simples.
Appliquons maintenant le théorème du travail minimum, en
LIGNES REPRESENTATIVES, D'INPLUENCE ET ENVELOPPES. DÉFORMATION. l5l
négligeant, bien entendu, dans l'expression deW le terme relatif à reflbrt tranchant.
Les réactions complémentaires d'appui qui, comme nous l'avons observé précédemment, interviennent analytiquement comme des forces indépendantes sont telles, qu'elles ne produisent aucun travail, les extrémités étant complètement fixes. Les trois composantes A, B, C sont d'ailleurs analytiquement indépendantes entre elles. Elles doivent donc chacune donner lieu à une relation de la
forme -^ == o. Ces trois relations s'écriront respectivement
rfW rfVV rfW
ou encore, en prenant l'expression explicite de W, en fonction de M et N,
Or, d'après les expressions précédemment écrites de M et N, on a
rfM
rfM
rfM
rfN
d^ dr^
rfN d\
rfA=^»
dC d<j
En les substituant, on retombe identiquement sur les équations de condition déjà trouvées.
Application du théorème de Maxwell à la recherche de la ligne d'influence du déplacement Tertical r. — Soit une force P, verticale, égale à l'unité, appliquée successivement au droit d'un point variable G' de la poutre, d'abscisse $, si l'on détermine Je déplacement vertical que cette force fait subir à un point G, d'abscisse x^ supposé fixe, on aura une certaine fonction
des deux variables Ç et x, qui, en considérant x comme constant, représente la ligne d'influence du déplacement du point G.
l5'.>. CHAPITRE VU. — LIGNES REPRÉSENTATIVES, D'INFLUENCE ET ENVELOPPES.
Le théorème de Maxwell enseigne que
Vx^ représentant le déplacement subi par le point G' {^) sous Tartion d'une charge unité placée au droit du point G (x).
Il en résulte que la ligne d'influence du déplacement du point G n'est pas autre chose que la ligne représentative du déplacement du point variable G\ sous Faction d\ine charge unité placée au droit de G, c'est-à-dire se confond avec la ligne élastique correspondant à cette charge unité.
On ramène donc ainsi à la construction d'une ligne élastique la recherche de la ligne d'influence du déplacement vertical ^,
