DF,:--F;.,G
Dans ces deux cas, la dét<îrmination du point D est immédiate.
Lne fois le point D connu, la détermination du point 4>/ s'(»n déduit évidemment. On trace B\ passant par le foyer <^/,. On joint B à D, ce (|ui donne le point C, et Ton joint (iA ])ar une droite qui passe en <I>/.
Tout ce que nous venons de dire pour les foyers de gauche peut se répéter sans changement pour les foyers de droite en supposant la poutre retournée bout pour bout.
Étude de la travée chargée. - - Revenons aux équations (>• ) que nous récrirons, en supprimant les indices des coefficients
P My -h rt Ny — /* w, d'où My = •^- ^ [ Yct> -î- aïo'],
tJ 1 ~~~ Cl I I
Elles sont identiques aux équations (3 ) que nous avons discutées à propos de la poutre encastrée (Chap. X), à cette seule différence j)rès que les quantités b et c figurant comme coefficients dans ces dernières sont respectivement remplacés par p et v qui leur sont supérieures. On a P >> 6 ainsi que nous l'avons vu, et de même Y >» c. Nous pouvons donc répéter sans cluingement tout ce que nous avons dit des lignes d'influence de M — ijl et des lignes de charge correspondantes.
Ces lignes de charge passent par un point fixe. Celle qui correspond à l'appui de gauche passe par le foyer de droite, celle qui correspond au foyer de gauche passe par l'appui de droite. Aucune d'elles ne coupe la ligne des appuis entre les deux foyers. Le point d'inlersection, qui détermine la position exacte ou approchée du point d-'inflexion de la ligne d'influence correspondante, est au delà des limites de la travée pour toutes les sections comprises entre les foyers.
Les lignes d'influence de M, rapportées à la ligne d'influence de (-- ijl), conservent la même allure générale que précédemment. Elles n'ont qu'une zone positive pour les sections comprises entre les foyers; elles ont une zone positive et une zone négative pour les autres.
11 y a cependant une diflerence à noter : c'est que les lignes d'influence de M — jjl et celles de ( — jjl) n'ont plus en général mêmes tangentes à leurs extrémités.
En effet, si l'on se reporte à l'équation (4) du Chapitre \, on trouve pour M - |jl l'expression suivante :
(Py — a»)(M — jjl)= |y(/- ^)- ax]ltx}'h[a(l-'j:)—^x /w'.
a5o GUAPITBE XI.
Si Pon dérive par rapport à a, et si Ton fait a r= o, ou aura
djltxi) b d(l(ii') a
da ~ 1 doi ^ l
et par suite
11 s'agit de comparer le second membre à rexpression
coefficient angulaire de la ligne d'influence de ( — p.); multiplié
par le facteur (^v -a^). Posons^ = \ ^^ second membre
devient
TI s'agit donc de voir le signe de la différence
Ay - «5 — fl(^ — [i)). — ( ^Y — a») = (7> — p) I Y — aX].
Or h — ^ esl toujours négatif. Si donc on a y — «X positif,
cVst-à-dii*e si l'on a X <" — > ou -; <; t-^ — ;> ou encore x < o',
la différence dont il s'agit est négative et la ligne d'influence de M — jjL a un coefficient angulaire inférieur en valeur absolue à celle de (— a). Ellr s«» tient au-dessus. Elle ne lui devient tangente que pour x = ^\ el elle ne se lient au-dessous que pour x >► s', alors qu'il y a à considérer de ce coté une zone négative.
Les conclusions relatives à la forme des lignes enveIo|)pes, dans les cas de charges assimilables à des charges uniformément réparties, demeurent donc les mêmes que dans la théorie de la poutre encastrée à ses deux extrémités, lorsque la charge ne sort pas de la travée considérée.
Il est utile, en passant, de noter la valeur des coefficients angulaires des tangentes aux deux extrémités des arcs qui forment les lignes d'influence de My et My lorsque la charge parcourt la travée d'indice j.
Pour a = <), on trouve, en faisant x =:o dans la formule générale
POUTRES CONTINt'ES OU A TRAVÉES SOLIDAIRES. PORTIQUES. ^Sr
(l<mii4^e plus haat,
(^-^a«)^=-(ftV-«'),
En remplaçant b^ ^, v par leurs valeurs en fonction des absrisses <le> foyers, on trouve IVxpression équivalente
,. , t • 1 d(/to) a
Pour a = /, en tenant compte cette lois de ce que — ^ — = —
et — -T — = — ^, on trouve, d après 1 expression de My,
croù
rfMy a(Y — ^') ? ?' — /' ~dï "" [iY — «* " /— /' 9 — ? ''
En ce qui concerne Ny, on trouverait de même : pour a ^= (),
pour a = /,
</i\/ a(^ — jj.
c^a Py — <^*
é/Ny Bc — a«
(]es deux dernières formules se déduisent d'ailleurs des premières en changeant /en l —f f^t © en / — ©', et en Inversant les signes.
Des considérations analogues s'appliqueraient aux lignes d'inlluence de Teffort tranchant, et nous ne répéterons pas ce qui a
été dit pour la poutre encastrée. Ici, les lignes d'influence de —^ — ^ <»t de -^ n'ont pas mêmes tangentes à leurs extrémités, mais ou
aura toujours deux zones de signe contraire séparées parla section, avec un ressaut égal à P au droit de celle-ci. Les courbes enveloppes conservent la même allure générale.
Lig:ne d'influence de M^^^ quand la charge n'est paa dans la
même travée que la section. — Supposons maintenant que, la section G^ considérée étant dans la travée /y, la charge P ait franchi l'appui Gy+i et se déplace dans la travée suivante /y^i. Les moments My et Ny aux deux (extrémités de la travée /y seront proportionnels aux moments My^i, les coefficients de proportionnalité étant déterminés par les relations (4)- La ligne représentative du moment \f ^ dans la travée /y sera d'ailleurs une droite passant par son foyer de gauche <&y, et si x est Fabscisse de la section on pourra écrire
Mj; sera donc lui-même proportionnel à My^|. Or la ligne d'influence de My^.,, quand la charge parcourt la travée ^y+i, se réduit à une zone négative. La ligne d'influence de M^ dans les mêmes circonstances se réduira donc à une seule zone aussi, qui sera positive ou négative suivant les valeurs relatives' de x et de ©y.
On peut ajouter que My est toujours du même signe que My^i et que My est de signe contraire. On a d'ailleurs |Ny | <C 1 ^Iy+i | et, à moins de circonstances très exceptionnelles, on aura ■
|Myl :j|Nyi<||My^,l.
Si la charge franchit l'appui Gy^a et passe dans la travée suivante, My et Ny seront toujours proportionnels à My^i, mais celui-ci sera lui-même, ainsi que My^,, proportionnel à My^a, dont la ligne d'influence se réduit encore à une zone négative quand la charge parcourt la travée /y^.^. Il en résulte que, dans ces conditions, My+« devient positif, que Ny est positif aussi, et que My est négatif.
Le signe de M.^ sera donc lui-même toujours inversé et sa ligne d'influence sera dans la travée /y^.2 de signe contraire à celle de la travée Ij^k-
On aura d'ailleurs généralement
|M/|<iiMy^,|..:i|My^,|.
On poursuivrait ainsi indéfiniment. La ligne d'influence de \lx se composera d'arcs alternativement positifs et négatifs, en passant d'une travée à l'autre, et les ordonnées maxima de ces diflerents arcs iront en s'atténuant rapidement.
POUTRES CONTINUES OC A TRAVÉES SOLIDAIRES. I»ORTIQl KS. i53
11 en serait de même si la charge parcourait les travées à gauche de la travée /y.
La conclusion de tout ceci, cVst que si Ton a besoin de tracer la ligne d'influence complète du moment fléchissant dans une section quelconque (jx de la travée /y, lorsque la charge se déplace soit à droite^ soit à gauche de cette tras^'ée^ on peu! le faire par des réductions des lignes d'influence des moments M/ ou N/ aux extrémités des travées successivement parcourues. Dans chaque tra\ée ces lignes d'influence ne présentent qu'une seule zone, et Ton pourra généralement les tracer avec une approximation suffisante, conformément à une remarque générale faite précédemment, dès que Ton connaîtra leurs tangentes extrêmes. Les zones successives de la ligne d'influence étant ainsi alternativement positives et négatives, et les points de passage correspondant aux appuis, on saura toujours que les maxima, soit positif, soit négatif, du moment fléchissant s'obtiennent en chargeant de deux en deux les travées autres que la travée /y. Enfin, l'influence des charges situées à une certaine distance de /y pourra- être négligée devant les autres charges. En général, il suffira de prendre en considération les deux ou trois travées encadrant la travée /y.
Lig:nes enveloppes des moments fléchissants dans la travée /y. — Supposons, pour préciser les idées, qu'il s'agisse d'une surcharge assimilable à une charge uniforme, mais pouxanl couvrir indifleremment une zone quelconque de la poutre.
On commencera par tracer les lignes enveloppes dans l'hvpothèsi» où les surcharges ne sortiraient pas de la travée considérée. On opérera pour cela exactement comme dans le cas de la poutre encastrée. Entre les fovers, les maxima positifs c(>rres|)ondront à la surcharge complète et les maxima négatifs seront nuls. En dehors des foyers, on aura des courbes de raccordement, d'une part avecla parabole représentative des moments fléchissants dus à la surcharge complète, d'autre part avec sa ligne de fermeture. Ces courbes pourront du reste, en pratique, être assimilées à des paraboles cubiques.
Cela fait, on surchargera les travées dr deux en deux, tant fi droite qu'à gauche de la travée /y, et dans chacun de ces quatre cas on déterminera les moments My, ou Ny, cpie les surcharges
produiront aux deux extrémités de la travée, en cumulant, par exemple, les résultats relatifs à chaque travée surchargée, s'il y en a plusieurs simultanément. On tracera ensuite les lignes droites qui, dans chacun de ces cas, représentent les moments fléchissants dans la travée iy, et qui d'ailleurs passent respectivement, soit par les foyers de gauche quand il s'agit de surcharges des travées A droite, soit par les foyers de droite quand il s'agit de surcharges de travées à gauche.
On aura, par exemple, la disposition de la figure ci-dessous. Il ne restera plus qu'à faire pour chaque section la somme des
Fi g. î)8.
ordonnées positives et celle des ordonnées négatives des quatre droites AA' — BB' — CC — I)D'. L'enveloppe des ordonnées positives sera évidemment la ligne brisée macn\ et l'enveloppe des ordonnées négatives sera de même nbdm'^ les droites mm' et nn' étant respectivement les lignes qui joignent en croix les points situés sur les verticales des foyers. En effet, dans chacun des intervalles G4> — <(><&' — <t'G', on doit avoir comme résultat des segments de droites, et il suffit, pour déterminer celle-ci, d'en avoir deux points.
En ce qui concerne les ordonnées positives, par exemple, il faut dans l'intervalle G^ additionner les ordonnées des deux
drolles D4> et A4>', qui passent l'une en <^, rciutre en <P'. Pour obtenir la droite qui en résulte, il suffit de remarquer que a et d sont forcément les points où cette droite résultante rencontre les verticales des foyers.
Pour compléter la solution, il suffit dès lors de rapporter à ces lig^nes brisées inacn^ et nbdm\ considérées comme lignes de référence, les arcs correspondants des courbes enveloppes tracées dans rhy[)othèse où la travée était seule chargée. On aura ainsi les moments définitifs totaux, tant positifs que négatifs, si on les compte à partir de GCV.
Si les surcharges ne sont pas uniformes, la méthode reste la même; mais la détermination des courbes env(;loppes relatives aux surcharges placées dans la travée sera un peu plus compliquée.
Lfig:nes enveloppes des efforts tranchants dans la travée /y. — Nous savons, pour une section Gj^., tracer la ligne d^nfluence de l'effort tranchant
dx Ij
quand la charge est dans la travée /y, et nous pouvons par suite en déduire les courbes enveloppes dans la même hypothèse. Nous répéterons que celles-ci ont la même allure générale que celles qui se rapportent & la travée posée sur deux appuis simples, et il suffira par suite d'en déterminer un petit nombre de points.
Si la charge passe dans la travée Ij^^ on a, pour une section d^ ailleurs quelconque de la travée //,
Ij
et comme My et Ny sont proportionnels à My^i, la ligne d'influence de T sera encore une réduction de celle de My+,. Elle n'aura qu'une zone dans l'étendue de la travée Ij^s et cette zone sera négative, puisque alors My est positif et Ny négatif.
Si la charge passe dans la travée suivante, la ligne d'influence sera de même une réduction de celle de My^2- Elle n*aiira qu'une seule zone et sera négative, et ainsi de suite. De même pour les travées à gauche.
Pour avoir les lignes enveloppes de T quand la charge est en
dehors de h\ Iravée, il faudra donc encore surcharger les travées de deux en deux, tant à droite qu'à gauche de la travée /y, et, dans chacun de ces quatre cas, déterminer les valeurs cumulées de
—^ — ^} puis ajouter les résultais de même signe. Les lignes enve-
loppes seront des horizontales.
Pour compléter la solution il suffira de rapporter à ces horizontales les courbes enveloppes obtenues dans riiypothèse où les surcharges étaient dans la travée Ij, On aura ainsi les enveloppes des elForts tranchants définitifs totaux.
Résumé de la méthode à suivre dans le cas de charges et de surcharges uniformes. -- L'étude théorique qui précède était nécessaire pour mettre en évidence les propriétés des lignes d'influence, et notamment le sens des efTels produits par une surcharge quelconque dans une section donnée. Mais il n'est peut être pas inutile d'en reprendre les principaux résultats à un point de vue pratique, et principalement dans le cas le plus habituel, où l'on ne considère que des charges uniformes, savoir une charge permanente couvrant nécessairement toute la longeur de la poutre et une surcharge, assimilable à une charge uniformément répartie, mais pouvant couvrir des zones partielles quelconques.
Que la poutre soit à section constante, ou variable, que ses appuis soient capables ou non de développer des couples de réaction, la méthode à suivre est toujours la même et peut se résumer comme il suit :
i" l^our chaque appui on déterminera, d'après sa nature et ses dimensions, le coefficient A' qui figure dans l'équation (i) relatixe à cet appui.
Pour chaque travée on déterminera les trois quantités a, 6, C qui la définissent au point de vue mécanique et qui figurent dans les équations (2) et (3) relatives à cette lravé<*. Ces trois quantités définissent les foyers principaux de la travée, et le tracé à faire pour les obtenir donne les lignes d'influence des quantités /ci> et /o)', relatives à la travée, qui figurent dans les équations (-^. Dans le ca> d'une section constanl(N leur détermination est immé- «liate.
'2^ On résoudra le système des équations {\)\ [2), (3) d'un
POUTRES CONTINUES OU A TRAVÉES SOLIDAIRES. PORTIQUES. H'jy
bout à l'autre de la poutre, dans l'hypothèse co, == i, de manière à obtenir tous les coefficients de proportionnalité figurant dans les relations (4). On en fera autant pour les mêmes équations prises en ordre înA^erse, dans l'hjpothèse ton^i = i ? c'est-à-dire pour la poutre retournée bout pour bout, de manière à obtenir tous les coefficients de proportionnalité figurant dans les relations (4)'.
On déterminera ainsi la position des foyers de chaque travée.
Le cas échéant, on utilisera l'équation de récurrence (i i) ou le procédé graphique qui s'en déduit, ou encore les tableaux de Bresse.
3" On envisagera chaque travée Ij comme si elle était seule, dans le cas où elle serait entièrement couverte par une charge uniforme de valeur égale à une unité arbitraire. On calculera par les équations (7), les valeurs des moments My et Ny à ses extrémités, ou bien encore on calculera par les équations (10) et (10)' les valeurs de la fonction M — jjl à ses deux foyers. Les quantités /yCi> et — Ijiù' qui figurent dans les équations (7) ou (10) et (10') seront données dans le cas général par l'aire des lignes d'influence tracées pour la détermination de aj bjcj. Dans le cas d'une section constante; on pourra les calculer directement par la formule donnée au Chapitre VIII, savoir :
D'une façon ou de l'autre, on déterminera la droite de fermeture, dont les ordonnées représenteront la valeur de M — [x dans l'étendue de la travée, si celle-ci était seule chargée et complètement chargée. C'est aussi la ligne de référence à laquelle il faudrait rapporter la parabole, représentative de a, pour avoir M dans les mêmes conditions.
4" On pourra alors dresser un Tableau à double entrée, d'après l'indice des travées, et l'on y inscrira méthodiquement, dans la colonne correspondant à la travée /y, les moments My et Ny qui viennent d'être déterminés, puis tous les moments M/ et Ni que la charge couvrant la travée /y produirait aux extrémités des autres travées, soil à droite, soit à gauche. Ces moments M^ et N/ se déduiront des relations (4) ou (4)' et seront proportionnels soit
PiCEAUD 17 •
à My, soit à Ny. On aura souvenl avantage à les déterminer graphi- •quement.
Bien entendu, on pourra négliger de remplir les cases relali\es à des travées éloignées de /y, dès que, en procédant de proche en proche, on constatera que les valeurs de M; et de N, sont réellement négligeables.
5" Pour étudier l'effet de la charge permanente totale p dans la travée /y il suffira de faire les sommes de tous les moments My et Ny qui proviendraient pour elle des autres travées chargées, et de les H'ijouter aux moments qui proviennent de sa charge propre; en un mot, il suffira de faire les sommes de tous les moments My ou Ky inscrits dans la ligne horizontale correspondant à /y et de les multiplier par p. Ces sommes donneront la ligne de fermeture définitive à laquelle il faut rapporter la parabole tracée pour avoir la ligne représentative des moments fléchissants dans la travée considérée. Si les coefficients k sont nuls, toutes ces lignes d(^ fermeture se raccordent bout à bout.
6*^ Pour étudier l'effet de la surcharge/?', dans les conditions les plus défavorables qu*clle puisse présenter, on tracera d'abord les lignes enveloppes des moments fléchissants, dans Thypothèse où cette surcharge ne dépasserait pas les limites de la travée Zy.
Puis on supposera les autres travées complètement ch-argées de deux en deux, soit à droite, soit à gauche de /y, et Ton fera, d'après le Tableau ( i°), les sommations correspondantes des valeurs qui en résulteraient pour My ou Ny et Ton tracera les lign<»s brisées résultantes des quatre droites qui représenteraient dans chaque cas les moments fléchissants dans la travée /y et qui devront passer soit par Tun, soit par l'autre des foyers.
On rapportera à ces lignes brisées les lignes enveloppes précé- <lemment déterminées et l'on aura les courbes enveloppes définitives.
7" On procédera d'une facjon analogue pour les efforts trani^hants.
Pour la charge permanente, il suffira, dans la ligne horizontale
du Tableau (4°) correspondant à la travée /,, de faire la somme
<les ^y et des My, puis d(? calculer -^^ — 1— HU. La ligne rcprésen-
POUTRES CONTINUES OU A TRAVÉES SOLIDAIRES. PORTIQUES. aSg
lative de Teflort tranchant sera
IN. — 2M/ pi
Pour la surcharge de longueur variable, on tracera les coarl)es enveloppes dans Thypothèse où la surcharge ne dépasserait pas les limites de la travée. Ensuite, on supposera les autres Iravéefs complètement chargées de deux en deux, et le Tableau (4**) fournira les ordonnées des droites horizontales auxquelles il faut rapporter ces courbes enveloppes.
Eifets produits par une dénivellation accidentelle des appuis. — Le cas type auquel on peut rapporter tous les autres est celui où Ton suppose la travée Ij dénivelée^ c'est-à-dire où toutes les quantités t>/^i - Vi sont supposées nulles, à l'exception de Fune d'elles, t'y^, — Ty que Ton supposera égale à une quantité donnée o. On ne suppose alors aucune charge sur la poutre.
La solution est encore donnée par Tensemble des équations ( i), (a) et (3), avec cette observation que le groupe des équations (2) et (^3)' qui sont afférentes à la trayée dénivelée ne contiennent plus dans leur second membre les termes — Zy co et /Jo)', respectivement, mais contiennent par contre dans leur premier membre les termes -|-/yO et — //o.
Les équatioub ( ^ ) et toutes les formules qui s'en déduisent seront donc encore valables, à la seule condition (h» remplacer /*a) ell^co' par /yO.
On en (h^duira notamment, en supprimant )es accents des coeflirients,
My=7j ;^*H-ï) et Ny= ,- -(rt+p).
•^ PY — a^ PY — <'?*
Aux foyers 0 et <^' de la travée, on aurait respectivement, équations ( 10) et (10),
M =1 ^ et M = — ^^ ^-^ .
On peut mettre sous une {iutrc forme les expressions de My et y^j en introduisant à la |)lace de ^ et v les absisses cp et o des
'26 O CHAPITRE \l.
foyers. On a, en effet,
[i = a i et Y = a
On en déduit
r, Cil a/ „ . .» ®'— 9
a -+- p = — 9 «-f-Y=^ 7 et pY^*^ =^*
f * / — ç' ^* o(/ — tp')
Et par suite on a
My= r-^ — et Ny= '— ; — ^•
11 sera facile dès lors, connaissant les foyers, de tracer la ligne représentative des moments dans toute Tétendue de la poutre.
Si Ton suppose plusieurs travées dénivelées, on cumulera les résultats. En particulier, on pourra trouver l'effet produit parle déplacement vertical d'un appui donné, ce qui suppose des dénivellations égales et de signe contraire dans les deux travées contigiies.
Dans le cas général où tous les appuis auraient subi des déplacements verticaux quelconques, mais connus, cette décomposition du problème en une série de problèmes simples ne présente pas grand avantage au point de vue des déterminations pratiques. Le plus expéditif paraît être d'aborder franchement la résolution du système étage formé par les groupes d'équations (i)', (2) et (3). En mettant une inconnue quelconque MN ou to sous la forme Aw, +B, la série des coefficienis A reproduira celle des coeflicicnts /;«/, /?/, <I>/, qui correspondent à l'hypothèse r,-= o. 11 restera à calculer la série des coefficients B, ce qu'on peut faire en partant de l'hypothèse to, = 0. L'équation de condition déterminant finalement W|, et par suite toutes les autres inconnues, s'obtiendra en égalant à zéro l'expression qui serait fournie pour M^^^i par la dernière des équations (^1 )', dernière équation du système étage.
Influence d'une variation de température qui donnerait pour chaque appui des déplacements vi et ;// connus a priori. — Tout en supposant les appuis et la poutre elle-même incompressibles dans le scMis de leur longueur, on peut les considérer comme dilatables. Alors tous les «/ sont connus, et d'ailleurs leurs différences à l'un
d'eux importeiil seules. Toutes les différences telles que m/^i — iti sont également connues, et si Ton suppose donné Tunde ces déplacements, par exemple u% = o, tous les autres sont connus.
liC problème se résoudra comme le précédent. Toutefois, les équations (i)' devront être modifiées. On aura généralement, en effet, des relations de la forme binôme
Les équations (:>.) et (3 ) restent les mêmes.
-Le système des équations (iV, (2) et (3) reste étage à partir
de(i>,, et si Ton met encoreles inconnues successivement rencontrées
sous la forme •
Awi-+- B,
la série des coefficients A, correspondant aux hjpollièses
Ui = (•/ = o,
sera encore la méiue que précédemment. La série des coefficients 13 s'obtiendra en partant de riijpothése a)i= o.
Comme dans les autres cas précédemment envisagés, les composantes X/ des réactions d'appui se déduiront après coup, si Ton en a besoin, des équations de liaison qui leurcorrespondent et qui seront de la même forme que (i)', savoir
m. — KtUDE SOMMAIRE DBS POUTRES SUR APPUIS COMPRESSIBLES.
Les transformations qui ont été apportées à la méthode générale dans le cas d'appuis incompressibles peuvent encore être utilisées dans le cas actyel. Il faut simplement, dans les équations (2) et (3) et(2y et (3 )', conserver les teriyiesen v^ et, d'autre jiart, tenir compte des relations qui existent pour chaque appui entre le déplacement vertical vi et la réaction verticale correspondante. Ces relations seront généralement, de la forme
mais pour les appuis Gy et Gy^, de la travée chargée, elles seront
(le la forme
(A') - .j=hj[Yj+ Y] = hj ["h^ - ''^-■- ;^>- ] +A,Y,
Y étant la réacllon correspondant à la poutre posée sur appuis simples..
La solution est notablement plus compliquée que dans le cas précédent et ne se prête pas à des développements théoriques aussi intéressants en raison de ce fait capital que le système des équations à envisager n'est étage qu'à partir de (o« et de ^|. On ne peut plus établir de relations de simple proportionnalité.
On reconnaîtra facilement les points suivants. Si on laisse a>i et i'i arbitraires, la première équation (i)' donne M^ etla première équation (A) donne ^t. La première équation (2) donne ('2 ^^^^ première équation (3) donne (02, et ainsi de suite. On aura donc des expressions de la forme
m 0)1 -h nvi
pour toutes les inconnues successivement rencontrées jusqu'ici, i^/ et My inclusivement. Quand on arrive à Ny, donnée par Féquation (A'), cette équation dépendant des charges par son terme Y, on n'aura plus une expression linéaire et homogène en C0| et (•<, mais il faudra y joindre le terme hj\ = p. Il en sera de même |)our ry.j., qui est donné par Téquation (2)'.
On peut alors transformer ces expressions de Ny et^'y^i en substituant à o>| et ('1 les valeurs qui se déduiraient des relations linéaires et homogènes existant entre celles-ci et cy et My, de sorte ([u'on pourra écrire pour Ny et i'y^i des relations de la forme
(B) Ny=: mMy-h nry-H/).
En considérant la poutre retournée bout pour bout, c'est-à-dire en prenant le système d'équations dans un ordre inverse, on parviendra de la même façon à exprimer My et vj en fonction de Ny et de ry^, et l'on aura deux nouvelles relations de la forme
( B' ) My = m' Ny -f- n'vj^i -h p'.
Ces quatre équations (qui ne renferment chacune que trois des (juatre inconnues My Ny vj c/^i ) permettront de calculer les quatre
POUTRES CONTINMES OU A TRAVÉES SOLIDAIRES. PORTIQUES. a63
inconnues qui y figurent. Toutes les autres s'en déduiront ensuite puisqu'elles ont des expressions linéaires et homogènes, soit par rapport à (0| et r<, dont on aies expressions linéaires et homogènes vu My et (•/, soit par rapport à w«^| etr„^<, exprimables en Ny et iy^,.
Nous n'insisterons pas davantage sur ces calculs. Ils se simplifient quand on se trouve en présence de données numériques concrètes. Si l'on avait à entreprendre une étude complète d'une pareille poutre, ou la déduirait de la connaissance des lignes d'influence des inconnues My et Ny, et pour tracer celles-ci avec une approximation satisfaisante il suffira la plupart du temps de déterminer leurs points et leurs tangentes au droit des verticales des appuis, C'est-à-dire pour un nombre très limité de positions de la charge, en utilisant à la fois le système des équations (i), (A), {^2) et (3) et le système dérivé par rapport à a, abscisse de la charge, les équations (AV, (2)', (3)' étant convenablement modifiées.
Une autre simplification pratiquement admissible consista à limiter, pour chaque position envisagée de la charge mobile, la région de la poutre sur laquelle cette charge peut produire des eflets appréciables. On jugerait après coup si l'approximation ainsi obtenue est satisfaisante d'après la grandeur même des réactions obtenues pour les appuis extrêmes de la poutre réduite.
Méthode particulière au cas où les appuis ne peuvent développer que des réactions verticales et où les appuis extrêmes sont incompressibles. — Les restrixîtions que nous supposons ici ne sont pas absolument nécessaires, mais il n'y aurait aucun intérêt pratique à généraliser.
Par appuis extrêmes incompressibles, il faut d'ailleurs entendre que ces appuis sont tels, soit d'après leur constitution propre, soit d'après la place qu*ils occupent par rapport à la charge. Il suffit que leur déformation verticale soit considérée comme pratiquement négligeable par rapport à celles des appuis intermédiaires.
Supposons une charge unique P agissant suivant la verticale d'abscisse ot et soient R|, Rj, . . . , R/i^i les réactions des appuis.
Ces réactions ne sont pas toutes indépendantes, car elles doivent satisfaire aux deux équations d'équilibre statique, lesquelles per-
26 i CHAPITRE \1.
mettront par exemple de déterminer les deux réactions extrêmes Ri et R//^i dès que les n — i réactions intermédiaires seront connues.
Pour déterminer ces dernières on peut disposer des n — i équations que l'on obtiendra en écrivant qu'au droit de Tappui intermédiaire n** i le déplacement vertical sous l'action combinée de la force P et des n — i réactions cherchées est proportionnel à R/,
c'est-à-dire de la forme
ki étant positif si Ton convient de compter positivement les déplacements s'opérant de haut en bas.
Supposons que les n — i appuis intermédiaires soient provisoirement supprimés, et appliquons successivement une force unité au droit de chacun d'eux, puis traçons dans chacune de ces hypothèses la ligne élastique de la poutre. Nous serons en mesure de connaître les déplacements verticaux aux différents points de la poutre et notamment au droit des différents appuis intermédiaires, ainsi qu'au droit de l'abscisse a, sous l'action de la charge unité placée au droit de l'appui n** /. Si l'on désigne d'une manière générale par t'û le déplacement produit dans la section p par la force agissant dans la section a, on sait par le théorème de Maxwell que i'p==^^g.
Evaluons maintenant le déplacement total au droit de Tappui n^i sous Faction de la force P, on aura
i^^P ou encore t'iiP; sous l'action d'une réaction telle que R^, on aura
de sorte que le déplacement total sera
Pi = A:/R/= t^i P — i^i R,— i>i R,. . .— PÎR/. . .— i';,R„.
On a ainsi une équation linéaire contenant les différentes réactions cherchées, et l'on aurait une équation semblable pour chacun des autres appuis intermédiaires.
Tous les coefficients figurant dans le second membre de l'équation précédente peuvent être relevés sur la ligne élastique qui cor-
rcspond à la charge unité placée sur l'appui n® i. Dans le cas de poutres à section constante, on pourra utiliser le Tableau donné à la fin du Chapitre VIll.
Cette méthode très directe est assez pratique lorsque le nombre total des appuis à envisager ne dépasse pas cinq ou six. Le nombre des équations se réduit à trois ou quatre au plus. Au delà de ce nombre, leur résolution deviendrait pénible, car chacune des équations renferme toutes les inconnues.
La méthode est surtout à recommander quand on a à déterminer les réactions mutuelles d'un longeron pratiquement indéfini reposant sur une série de poutres transversales régulièrement espacées. On peut se contenter souvent de l'approximation obtenue en considérant trois ou quatre travées successives seulement, les réactions étant négligeables au delà.
Cas d'une poutre sur appuis élastiques infiniment rapprochés. — C'est un cas limite que Ton a à envisager lorsqu'on étudie les conditions de résistance d'une traverse de chemin de fer reposant sur un sol élastique, ou encore celles d'un rail sur traverses rapprochées. Les auteurs qui se sont occupés spécialement de ces questions admettent généralement. que les réactions du sol, ou des traverses, sont assimilables à une réaction continue dont l'intensité est p par mètre courant de poutre, et que Ton a partout une relation de proportionnalité telle que
r étant l'abaissement de la poutre au point considéré.
Dans ces conditions, dans chaque intervalle des charges,, la poutre ne se trouve soumise qu'à l'action de p et l'équation différentielle de sa ligne élastique est
dx Son intégrale générale est connue. En posant a=l/
V = A«**cos aa: -+- B e**sin %x -h Cc-«^cos ttx -f- Dtf-*^sîn «a?,
k 4EI
> on a
les .quatre constantes étant à déterminer dans chaque intervalle par \eÈ conditions particulières au problème posé.
On aura d'ailleurs en chaque point
M = -EI^: et T=-EI^.
Supposons, à titre d*e\eniple, un raildeiongueur infinie soumis à une charge unique P, en un point qu'on prendra pour origine des
("oordonnées. Par hypothèse, f doit être nul, ainsi que y-
pour j7i=oc. Cela exige A = B = o pour le tronçon de droite et C = D := o pour le tronçon de gauche. Si Ton envisage seulement le tronçon de droite, on devra avoir, pourx = o, les deux
conditions -;— r= o et T = . On en déduit
d'où
8 El a'
Il en résulte
8Ela>
Le déplacement <', et la réaction p qui lui est proportionnelle, s'annulent pour les abscisses en progression géométrique rentrant dans la formule
aar = — — h ktz,
Ils passent par une série de maxima et de minima pour les abscisses rentrant dans la formule
Les maxima et minima successifs ont d'ailleurs (au facteur .-.,-
^ 8 El «•
près en ce qui concerne r), les valeurs relatives suivantes : (i) — e-^= — o,o432f e-'^= o,ooi8, ....
Ils sont inappréciables à partir du troisième.
En ce qui concerne le moment fléchissant, il a pour valeur
M = --- «-**(cosaa; — sinajr).
