I. — Considérations générales

Définitions. — On appelle poutres continues^ ou à travées solidaires, une poutre droite reposant sur plus de deux appuis.

Fig. 96.

« — ^fc 4

Nous numéroterons ces appuis à partir de la gauche en attribuant rindice i au premier, de sorte que, s'il y a /i -h i appuis, le dernier correspondra à l'indice n-\-\. Nous désignerons par xi l'abscisse de G/ et nous prendrons généralement pour origine des abscisses le point (ji, de sorte que a^i = o.

Ces /i -f- 1 appuis divisent la poutre en n travées. L'indice i s'appliquera à la première, l'indice n à la dernière, et l'indice i à celle qui va de G/ à G14.1. La longueur de cette dernière sera désignée par /|. ,

Lorsqu'il s'agira d'une travée arbitraire et qu'il n'y aura aucune chance de confusion, nous désignerons souvent sa longueur par la lettre / sans indice et par les lettres G et iV ses appuis, dont les abscisses seront respectivement x et x , De même pour un appui arbitraire G, on désignera par des lettres sans indice les quantités qui s'y rapportent.

Nous envisagerons uniquement des charges appliquées verticales, c'est-à-dire perpendiculaires à l'axe de la poutre, et nous réduirons presque toujours le problème à la considération d'une charge unique P dont la ligne d'action sera définie par l'abscisse a,

<le manière à parvenir à la détermination des lignes d'influence des • diverses inconnues.

Les inconnues principales seront les réactions des appuis, ou des quantités ayant avec elles des rapports intimes.

Nature et rôle des appuis. — Les conditions de résistance d'une poutre continue dépendent au premier chef de la nature des appuis qui la supportent et des liaisons qu'elle a avec eux.

Nous nous représenterons généralement un appui G comme le sommet d'un pilier ou poteau vertical dont la base sera fixe. Pour simplifier, nous supposerons ordinairement cette base encastrée, de sorte que le pilier sera en somme une console à axe vertical, ne supportant pas d'autre charge que les réactions exercées à son ' sommet. Dans le cas où la base serait constituée par une simple rotule, il serait aisé d'en tenir compte.

La poutre continue peut être liée d'une manière complète ou incomplète aux pilier^ qui la supportent.

Si la liaison est complète, en un sommet ou nœud tel que G, la poutre et le pilier correspondant auront mêmes déplacements el même déformation angulaire. Si l'on désigne par w, c, to le déplacement horizontal, le déplacement vertical et Tangle de rotation de la fibre moyenne de la poutre, ces trois quantités pourront être regardées aussi comme appartenant au pilier en son sommet. Dans ces conditions, la réaction exercée par le pilier sur la poutre sera définie généralement par ses deux composantes horizontale et verticale, que l'on désignera par X et Y respectivement et par son moment S piis par rapport au point G. Les six quantités w, i', w d'une part, et X, Y, S d'autre part, seront alors nécessairement liées par trois relations, faciles à établir par la considération préalable du pilier dont il s'agit, en se reportant aux résultats donnés à la fin du Chapitre X. En particulier, Y et r seront proportionnels l'un à l'autre. Quant à X et S, ils seront des fonctions linéaires de u et de (o.

Il peut exister des cas très variés de liaisons incomplètes et nous ' envisagerons seulement quelques-uns d'entre eux.

La poutre peut reposer sur les piliers par l'intermédiaire de glissières ou de doubles bielles, ou de lamés, incapables de transmettre des efforts horizontaux X, et l'on peut alors poser X = o.

PiGEAUD 13

âa6 cuAPiTBe \i.

Les rcactions de Tappui sont réduites à Y et îx S, qui sont respectivement proportionnelles à r el à w. Les déplacements horizontaux u du pilier et de la poutre n'ont plus de rapport nécessaire entre eux.

La poutre peut reposer sur les piliers par l'intermédiaire de rouleaux incapables de transmettre des efforts horizontaux X (*t incapables aussi de transmettre des moments tels que S. La seuh^ réaction à en\isager est alors la réaction verticale \ qui reste proportionn-el](? à v- Le déplacement u et la rotation to de la poutre n'ont plus rien qui leur corresponde dans le pilier.

Ce qu'il y a de commun dans tous ces cas, c'est qu'il y a toujours trois au plus des six quantités «, ç^ o) et X, \, S qui soient indépendantes. Ces inconnues indépendantes sont celles qui suffisent à déterminer l'état de la poutre au droit d'un a|>pui, c'està-dire Tensemble des autres inconnues qui ne se trouvent 'pas déterminées a pr/ort.

Il en est de même quand la nalure du "j^ilier impose d'autres conditions. Par exemple, s'il est constitué parun massif en maçonnerie de dimensions transversales suffisantes pour qu'on puisse le considérer comme indéformable dans le sens vertical, on pourini poser a priori r = o. Dans ce cas, \ sera l'une des trois quantités déterminant l'étal de la poutre au droit de l'appui, les deux autres étant soit u et <o, soit X et S.

Pour ex[)oser une théorie j^énérale, nous supposerons des appuis déformables et des liaisons complètes. Ensuite, nous reviendrons en détail à des cas plus simples.

Théorie générale^ — Soient donc «/, .c/, oji les déplacements de la fibre moyenne de la poutre au droit de l'appui G/ et soient X/, \/, S/ les réactions qu'elle sulwt de la part de cet appui- Ces six inconnue^ satisfont à trois équations linéaires, que nous appellerons le groupe { i) sans le préciser autrement. Il y aura en tout 'Ui-\-''\ équations de cette espèce. Elles sont indépendantes des charges appliquées et dépendent seulement de la nature des supports et de leurs liaisons avec la poutre.

D'autre part, les réactions satisfont aux trois équations générales d'équilibre, qui sont linéaires également, et que nous appellerons le groupe (2), sans le préciser davantage pour le moment.

POUTRES COXTLNUES OU A TRAVËC8 SOLIDAIRES. PORTIQUES. 227

Elles son! indépeiidaat4»s des déformations et ne renferment (jmr les ré<ictmns et les forces appliquées.

Enfin, si l'on applique les équations de déformation à clia^nne des travées de la poutre ejontinue, on obtiendra pour chacune d'elles ti'ois relations entre les déformations de ses extrémité et celles des réactions d'appui qui interviennent dans la composition du moment fléchissant et de reffort normal en un point courant G(ç) de la travée. Ces réactions sont uniquement celles qui sont situées à sa gauche. Les relations dont il s'agit seront du reste linéaires et elles seront au nombre de l) n. Elles formeront un troisième groupe (groupe n® 3).

Le problème se trouv<î donc théoriquement résolu, puisqu'on obtient ainsi (li n-\- 3 ) -f- 3 -h «^ '' =z()n -h- <> équations linéairesentre les (5/î-|-6 inconnues. Mais celte constatation ne donnerait qu'une satisfaction fort incomplète, si l'on ne trouvait pas des moyens propres à faciliter la résolution elfective de ces multiphvséquations du premier degré.

H se présente heureusement toujours cette circonstance remarquable que les é((ualions obtenues peuvent se classer et se rang(*r dans un cn'dre tel qu'elles constituent ce qu'on appelle un syslèmr étage ^ les différentes inconnues ne s'y introduisant que successivement à partir d'un certain rang. On peut s'en rendre compl(^ aisément de la manière suivante.

Supposons qu'on laisse provisoirement arbitraires les déplacements £/|, f'i, o>i du premier appui. Les réactions de cet appui pourront être déterminées au mojen des trois équations correspondantes du groupe (i). Dans la première travée, le moment fléchissant et l'eftort normal, qui ne dépendent que des chargeas et des réactions situées à sa gauche, sont exprimables en fonction lii].éaire de \|, Y|, Si, et par suite de M|, r,, a)|. Les trois équations de déformation relatives à cette travée, groupe ( 3 ), permettront alors de calculer les déformations Mj, ('2, to^ du second appui,, et par suite les réactions Xo, Va*. Sa, et ainsi de suite.

Toutes les inconnues w, c, o), ou X , \ , S, pourront ainsi de proche en proche être calculées en fonction des trois premières, et il suffira de porter les valeurs des réactions dans les trois équations d'équilibre statique, grouj)e ('î), pour avoir trois conditions auxquelUîs devront satisfaire nécessairement w 1 , ^f , co 1 , et qui les détermineront .

228 CIIAPITHE Xf.

Toutes les autres inconnues sVn déduiront ensuite. On aura donc, en définitive, à résoudre un groupe de trois équations au plus, moyennant un travail préparatoire, qui est au fond assez simple lorsqu^on se trouve en présence de données numériques.

Cette indicatron est valable, quel que soit le système des char^çes appliquées. Lorsque celui-ci se réduit à une charge unique V placée à Tabscisse a, on peut préciser la forme des équations des groupes (2) et (3) et en déduire certaines conséquences intéressantes, au point de vue du tracé des lignes d'influence des diverses inconnues.

Les équations générales d'équilibre, groupe (2), s'écrivent

!X| H- Xj -^.,. hX;n-i=0, Y, -H Y, -r-... -^Y„^,= P, Yi jTj -+- Ya^Fj-i- ... -f- Ytn-iXfii-x — Si — S» — ... — S^^-i = P a.

Elles sont linéaires évidemment par rapport à P et du premier degré au plus par rapport à l'abscisse a.

D'autre part, supposons que a tombe dans la travée n"y, c'esïà-dire soit comprise entre xj et xj^i .

Pour toute travée d'indice i inférieur ày, on aura, pour le point courant G d'abscisse ;, les expressions suivantes :

M = Yi({ ~x,) -f- Y,($ - T.) -h. . . ■+- Y,(t - x/) -+- S,-i- S,-r-. . .- S/, N =X,-hX,-h...-f- .\.-.

Si l'on a i = j\ tant que Ton aura ç <; a, l'expression de M conservera la même forme, indépendanle de P, l'indicey étant simplement substitué à l'indice i. Pour les seclions telles que S > a, il faudra ajouter à l'expression de M le terme — P(ç — a).

11 en sera de même pour tout point appartenant à une travée d'indice supérieur ày. Le terme — P( ; — a) interviendra.

Cela posé, les équations de déformai ion relatives à la travée d'indice /auront toujours la forme suivante :

POLTRES CONTINUES OU A TRAVÉES SOUDAIHES. PORTIQUES. 229

La dernière équation (3) ne dépendra ainsi ni de V ni de a el ne conliencira que les réaelions horizontales X d'indice égal ou inférieur à i.

Quant aux deux autres équations (3), elles ne contiendront jamais que des réactions Y et S d'indice é^al ou inférieur à i, el elles ne dépendront ni de P ni de a tant que Ton aura i <Cy .

Si l'on a i]>y, les termes dépendant de V seront respectivement de la forme

Kl

el les coeflicienls de P seront du premier degré en a.

Enfin, si l'on a i^^j\ les intégrales coefficients de V auront pour limites inférieures a au lieu de Xj. Ce seront des fonctions de a d'un degré plus ou moins élevé, suivant que 1 variera d'une manière plus ou moins compliquée en fonction de Tabscisse. Mais dans le cas important d'une poutre à section constante, ce seront des fonctions du troi.sième degré au plus en a. Dans ce cas les inconnues, déplacements ou réaelions d'a[)pui, sont des fonctions de a qui sont au plus du troisième degré et qui ne changent pas de définition analytique tant que a ne franchit pas les limites d'une travée.

Lorsque a franchit les limites d'une travée el passe» par exemple par la valeur j'y^,, la définition analytique d'une inconnue quelconque change forcément, puisque les termes en P et a qui figuraient dans les deux premières équations du groupe (3) nîlatives à la travée n" y disparaissent. Mais on |)eul remarquer que ces termes, au moment où ils disparaissent, c'est-à-dire pour a = J7y^i, deviennent nuls ainsi que leurs dérivées en a. ils sont, en effet, de la forme

(»t leurs dérivées en a sont de la forme

.4 Kl J, Kl "

Il y a donc forcement, d'une travée à l'autre, un raccordement

v3o CHAPITRE \r.

Iîmp;entiel. Los diflérenls arcs des li^ies d*inllnen€e t»nl non seii- Icinent des points communs, mais des tangentes communes sur les » verlicales des a|)puis.

Ji est également intéressant de remarquer que toutes les équations étant linéaires par rapport aux inconnues, si l'on en prend l<'s dérivées par rapport à a, elles conserveront la même fornae, à <*ela près que les différentes inconnues y seront remplacées par l<Mirs quotients différentiels par rapport à a et que les termes <Iépendant de P y seront remplacées par leurs dérivées en a. Le <léterminant du système des équations dérivées demeurera exactement le même que celui du système primitif. La plus jurande partie <les calculs faits pour j)arvenir à la résolution de celui-ci pouiTa <lonc servir pour le second, en moditiant simplement les valeurs <les termes dépendant de P, c'est-à-dire de a. On obtiendra ainsi simultanément,, si on le désire, non smilenient des points des lij^nes d'influence, mais les tangentes en ces mêmes points, et cela jxrut abréger beaucoup leur détermination.

Prenons en particulier le cas d'une section constante. jNous avom: Mt «pe les différents arcs des ligjties d'influence sont dei» arcs de |>araboles cubiques et que ces arcs doivent se raccorder entre eux ^ur les verticales des appuis. Il suffit » pour les déterminer complètement, de connaître les points et les tangentes situées sur les verticales des appuis, c'est-tV-dire, en somme, d'envisager uniquement les valeurs de x correspondant aux divers a[)puis. C est une • slmpiilicalion notable. Il n'est même pas nécessaire que la.seclion soil (!onstante d'un bout à l'autre de la poutre; il suffit qu'elle le sivïl dans l'élendue de chaque travée.

Dans le cas général^ on aura presque toujours intérêt à détcrminer les points et les tangentes des lignes d'influence corresponnanl aux verticales des ap])uis. Les paraboles cubiques déterminées par ces seuls élémenls fournissent, la plupart du temps, une a[)proximation satisfaisante.

Remarque au sujet des lignes d'influence du moment fléchissant et de l'effort tranchant dans une section déterminée G(^) de la poutre. - - Soil a l'abscisse variable de la charge.

Si l'on a a>;, le moment fléchissant est une fcuiction linéfiire des réactions des a[)|)uis situés à gauche de la section:. Si Ton

POUTRES CONTINUES OU A TRAVÉES SOLIDAIRES. PORTIQUES. >.3l

a 3t<ci, il faut ajouter à cette même fonclfoii linéaire le Icrme — P^; — a).

Or les réactions des appuis clianp^ent de dé(înîtion analytique toutes les fois que la charge franchit un appui, mais les arcs successifs de leurs lignes d'intluence se raccordent tangentiellement entre eux. Il en est donc de même de toute fonction linéaire d'un nombre quelconque de ces réactions. La ligne d'influence de M sera composée d^arcs se raccordant tangentiellement entre eux sur les verticales des appuis.

Mais en outre M change de définition analytique lorsque a passe par la valeur ç, puisqu'il faut tenir compte du terme — ^ P (ç — 3t ) pour a <! i et n'en pas tenir compte pour a !> ç. Les deux expressions de M fournissent d'ailleurs la même valeur pour a = i, puisque le terme additionnel est alors nul.

Mais -T- a deux valeurs distinctes pour a = ;, suivant que Ton

considère Tune ou Tautre des expressions de M- La différence de

ces valeurs est évidemment P — ^, =r — P.

du

Ainsi la ligriie d'influence du moment iléchissant dans une section quelconque présente un point de brisure au droit de cette section et la différence des coefficients angulaires des deux tangentes en ce point dé brisure est toujours égale à — P. Partout ailleurs la ligne d'influence est continue.

En ce qui concerne l'effort tranchant, si çest dans la travée n^ i^ il a pour valeur

dans le cas où a>; et

dans le cas où a<;i»

Sa ligne d'influence se coin|K)sc d'arcs de courbe se raiccordanl tangeotiellement entre eux sur les verticales des appuis, mais elle présente un ressaul égal à P au droit de la section considérée.

.Revue de qu^ques ea» particidîors. — 11 existe un cas particulièrement simple qu'il importe «le mentionner. C'est ceKri où Ton a affaire à des appuis incompressibles, lels que les inconnues auxi-

liaires pv soienl nulles. On connaît d'avance la solution lorsque la charge esl au-dessus d'un appui Xj, On satisfait évidemnienl à toutes les conditions d'équilibre en faisant

et en faisant toutes les autres inconnues égales à zéro. La réaction de l'appui directement chargé suffit, en effet, à assurer l'équilibre et la poutre ne subit aucune déformation. Si, de plus, la poutre est à section constante, on voit que le problème ne nécessitera, en définitive, que la détermination des tangentes aux points situés sur les verticales des appuis.

Il y a d'ailleurs, dans l'hjpothése d'appuis incompressibles, une autre source de simplification. Le système des équations à résoudre devient étage à partir de deux inconnues seulement au lieu de trois. Si l'on suppose, en effet, que Ton se donne u^ et tOi, déformations du sommet du premier appui, le groupe des équations ( i) se réduit à deux seulement et fait connaître les deux inconnues Xi et S|. Alors la seconde équation du groupe (3), qui ne contient que \, et S| en même temps que C0|, permettra de déterminer \ |, les deux autres faisant ensuite connaître (1)2 et 1/3 respectivement, et ainsi de suite.

On peut souvent admettre une simplification du même ordre en ce qui concerne la poutre elle-même, et supposer nuls ou négligeables les raccourcissements qui proviennent de l'effort normal N = S^X. Cela revient à supposer, dans les dernières équations du groupe (^3), que la surface de la section est suffisamment

grande pour que les intégrales / r;^ soient négligeables. Alors

toutes les différences ,

sont nulles et tous les déplacements «/ seront nuls eux-mêmes pourvu que l'un d'eux le soit. On pourra supposer qu'il en est ainsi lorsque la poutre sera butée contre un appui fixe à l'une de ses extrémités. Si cette circonstance n'est pas réalisée, tous les w, seront égaux au premier d'entre eux W|, et la marche générale des calculs sera conservée, le système des équations demeurant étage à partir de Ux et (i)|. Toutefois, les dernières équations du groupe (3) n'interviendront plus et, d'autre part, la détermination

POUTRES CONTINUES OU A TRAVÉES SOLIDAIRES. PORTIQl KS. a33

fil* la série des inconnues X; se fera d'une manière indépendante <les autres. Elles n'inter\iennenl pas, en effet, dans les deux premières équations du groupe (3) et sont déterminées uniquement par les équations du groupe (i) qui leur correspcmdenl.

Enfin, une simplification plus profonde encore résulte des hypothèses simultanées iv=^ o et X/= o, qui sont conciliables avec des liaisons incomplètes. On a encore w/^, — ///r=:o, d'après les dernières équations du groupe (3), et d'ailleurs les déplacements ui de la poutre ne peuvent intervenir dans la détermination des réactions des appuis. On n*a plus, dans ce cas, que in -4-3 inconnues en tout au lieu de 6/H-6, savoir : les ^ , S, o> relatifs à chaque appui. Pour les déterminer, il reste :

1** 7/ -|- 1 équations du groupe (i), à raison d'une seule par appui. Elles établiront des relations de proporlionnalilé entre S/ et to/;

2® Deux équations d'équilibre du groupe (a);

3'* 2/1 équations du groupe (3), à raison de deux par lra\ée.

I-.'ensenible de ces équations forme un système èlagè à partir de la première inconnue seulement, a>i par exemple. En effet, si C0| était donné, Sj s'en déduirait [)ar la première équaticm du groupe (i), puis R| serait calcuhible par la seconde équation du groupe (3) relative à la première travée, l'autre é(|uation de ce même groupe faisant connaître Wj et ainsi de suite.

•Sous nous bornons ici à ces indications générales, nous réservant de revenir en détail sur ce cas important.

Effets d'un changement de température. — Avant de terminer, nous ajouterons un mot au sujet des effets que peut produire une modification de la température sur un pareil système, et de la manière d'en tenir compte le cas échéant. Nous ajouterons ces effets à ceux produits par les charges et surcharges, et nous pouvons les évaluer séparément.

Supposons pour plus de généralité que hi poutre et les piliers soient à liaisons complètes.

Dans le groupe des équations ( i ) qui lient les réactions d'appui aux déformations, il faudra modifier celle qui établissait un rapport de proportionnalité entre Y et ç. En effet, le déplacement r

•Xifr CHAPITRE XI.

sera la résultante de riUlongement du poteau sons un accroissement de température t et du raccourcissement dû à la réaction - Y de la poutre sur le poteau. Au lien d'une relation telle que i'^:= — K^ , il faudra donc écrire une relation binôme de la forme ç =z - K\ -f" Iv't. Les autres équations du jïçroupe ne dépendent pas de T.

En sont également indépendantes les- é(|ualions d'équilibre (groupe 2), d'où les termes en P auront disparu, ainsi (jue les deux premières équations du groupe (3). Mais, dans la troisième équation de ce groupe, la différence ni^^ — 1// devra être égalée a la variation totale de la longueur de lar travée, de sorte que le second membre contiendra un terme proportionnel à t.

L'ensemble des équations demeure linéaire et étage, comme dans le cas où Ton envisage les effets d'une surcharge. Dans les applications, on tiendra compte d'ailleurs des simplificatiims qui sr présenteront.

Si tous les poteaux ont même hauteur, leurs dilatations, dues à une élévation de température, seronLtoutes égales et il sera évidemment inutile d'en tenir compte dans les équations ( 1 ).

Si la poutre repose sur des rouleauit et est librement dilatable, il sera également inutile de tenir compte de l'allongement des \raf\ée.s.

11. — KtUUB détaillée des poutres SLR APPUIS INCOMPRESSIBLES, QUAND LEURS DÉPLACEMENTS LONGITUDINAUX SONT SANS INFLUENCE SUR LES RÉACTIONS D'APPCI.

iNoiKs sup|>osons expressément ici que l'on a pour tous les appuis fv=:4), de sorte que les composantes \,- des réactions soient des inconnues indépendantes.

Nous supposims également que le* dépla<'ements longitudinaux /// de la poutre soient, sinon nuls, du moins sans inUuence sur les réactions désignées par S/ et \/, de sorte que ceDes-ci soient siuiplement proportionnelles à o>/

En particulier nous poserons des relations de la forme

(l) S/=/vto/,

Ifl étant un eoenicient essentiellement positif.

Quant aux composantes horizontîiles Vj, mms ne nous en occuperons pas et nous supposerons qu'elles peuvent être déterminées a[)rès coup et équilibrées par une i)utée convenable d'une des extrémités de la poutre.

Dans ces condrfions, lé groupe de relations désigné [vrécéd(*miïK»nt par le n** ( i ) se réduit aux seules équations ( i ).

Changement d'inconnues. — On peut, d'un autre côté, simplUier notablement les groupes d'équations (2) et (3) par certains chanjcements d'inconnues.

Supposons que toutes les charges agissent dans la travée- /y, autrement dit que la tracée Ij soit seule chargée. On pouiTa commencer par faire FéUide de celle travée dans Thypothèse où elle reposerait sur deux appuis simples coïncidant avec Gy et Gj^^,

On obtiendra dans ces conditions, pour un point courant G(i)' de cette travée (Tabscisse Ç étant rapportée à son extrémité de gauche Gy), un cerlain moment fléchissant [jl que nous savons»

déterminer, et un effort tranchant égal à — ^•

On aurait également* des réactions d'a[)pui déterminées que nous appellerons respectivement \ et \' pour Gy et Gy,.«.

Enfin, on aurait des déformations angulaires bien dél<?rminées co et co' au droit des appuis, et Ton aurait pour ces déformati(ms les deux relations connues

'>-'=/ 'eî''^-

(Quand il s'agira de lignes d'influence, le système des charges se réduira, bien entendu, à une charge unité P a|)pliquée au droit de l'abscisse a.)

Dans toutes les autres travées le moment fléchissant serait nul, et toutes les réactions des autres a|)puis seraient nulles.

I-.' intervention des autres ap[)ms a pour cfîet d in-lrodnire des réactions compk*mentaires que nou^ désignerons jnrr \/ et S/, en ce ([ui concerne un appui quelconque G/. De celle façon, les réactions verticales réelles des detix appuis sj)écrau'x Gy en Gy,i

îSG CHAPITRK XI.

encadrant la travée chargée scronl évidemmenl :

YyH-Y et \j^t-r-V.

Celle considéralion des réaclions complémentaires, au lieu des. réactions réelles, a déjà pour effet de rendre homogènes par rapport à elles les équations d'équilibre (groupe a)? de sorte qu\m peut dire que les réactions indépendantes ne sont qu'au nombre de 2/j au lieu de 2/i 4- 2. On peut effectivement réduire à 2 /i le nombre des inconnues distinctes, et s'épargner la considération des équations d'équilibre en écrivant que dans chaque travée M — u. est une fonction linéaire de l'abscisse, ce qui n'introduit que 2 n coefficients inconnus.

Nous prendrons comme inconnues dans chaque t ravée les moments fléchissants à ses deux extrémités ; l'un, désigné par M/, sera le moment fléchissant obtenu en un point situé immédiatement à droite de G/; l'autre, désigné par N/, sera le moment obtenu en un point situé immédiatement à gauche de 0/4.4. De celle façon, dans toute li^avée non chargée, c'est-à-dire pour i^Jf le moment fléchissant, au point courant d'abscisse $, a pour expressidn simple *

'/ fi

Pour la Iravée chargée, c'est-à-dire pour i =j\ ou a

Les nouvcHes inconnues M et N sont liées aux réaclions complémentaires d'appui par des relations 1res simples que l'on obtient en écrivant les conditions d'équilibre des pelils tronçons situés au-dessus des appuis. Ce sont :

Les réactions complémentaires d'appui seront donc aisées à déterminer après coup, en fonction des nouvelles inconnues M/ et N/.

L'équation de condition ( i ) est d'ailleurs immédiatement rem-

placée par

Équations de déformation. - - I/introduclion des nouvelles inconnues permet de simplifier notablement le groupe (3) des équations de déformation, donl l'on n'a du reste à considérer que les deux premières pour chaque travée.

Ces deux équalions s'écrivent, d'une manière générale, en rapportant dans chaque travée les abscisses à son extrémité de gauche.

Pour obtenir plus de svmélrie, nous remplacerons d'ailleurs la première d'entre elles par la suivante qui en est une combinaison linéaire, savoir :

«Vm — *V— ^/ '•>/+]

Remplaçons mainlenant M par sa valeur dans ces équations de déformation, en posant dans chaque travée

iOP.

/^ El """ •'

Et '"' ""''

et en nous rappelant, pour la travée chargée, la signification de w et de ti)'. Nous obtiendrons pour toute travée non chargée (£ ^y) les deux équations suivantes :

C 2 ) l/( v,+ 1 — 1/ ) — /f f.if = b, M i -H rti IV/,

( 3 ) — // ( Vi ,. , — Vi ) -t- ij r,ii+ 1 = ai M/ - c, N/,

238 CHAPITAE XI.

et pour la travée -chargée, i=^j\ les deux équations analo«^ue.s

^ 2 )' Ij ( Py -.- 1 — Vj ) - /J wy = bj My -+- ^y ^j — Ij m ,

(3)' — lj{Vj^x — t'y) — 0 ^y-^-I = «y ^^J-^ CyNy-+- // w'.

Dans le cas où nous nous sommes placés, les appnis étant incompressibles, ces équations se simplifient notatlemenl par la <dispartU<ui des terme* -en v. Nous les supposerons supprimés, sauf à les rétablir exceptionnellement dans certaines circonstances,, par exemple quand nous étudierons l'effet d'une dénivellation accidentelle de deux appuis. Alors la différence vij^^ -<U sera supposée donnée.

Les équatiims (a) et (3), dans le groupe desquelles rentrent (2)' et (3)', résolvent le problème, avec l'adjonction des relations ( I )'. Il y a en effet /i -J- 1. équations ( i )', c'est-à-dire autant que d'inccmnues auxiliaires (o, et a/i équations (2) et (3 ), c'est-à-dire autant que d'inconnues principales M et N. On pourrait d'ailleurs éliminer facilement les 01.

Le système des équations (2) et (3) est beaucoup plus simple que celui que l'on obtiendrait en considérant les réactions complémentaires d'appui. Chaque équation, en effet, renferme au plus trois inconnues à la fois. De plus, il n'y a que deux équations qui dépendent des charges. Ce sont les équations (2 )' et (3)', relatives à la travée cliargée.

Résolution des équations. - L'ensemble des équations (1 )', (2) et (3) forme un système étage à partir de Wi seulement, comme il est fa<:ile de s'en assurer à nouveau. La première des équations ( i )' ne renferme, en effet, que oj| et M^. Il est de la même façon étage à partir de co,,^,. Le procédé. à employer pour résoudre un pareil système, tt)ut en dérivant de la méthode générale applicable aux systèmes étages, devient particulièrement simple.

Supposons qu'on parte d'une valeur to, arbitraire, M, se calculera par la première équation ( i )' et lui sera proportionnelle. Puis Ni se calculera par la première équation (2) et lui sera encore proportionnelle. De même (O2 se calculera par la première équation (3) et ainsi de suite. On voit facilement que toutes l(»s inconinics «l'indice /<<y seront ainsi proportionnelles à oji et qu'il en sera encore de même de toj et de My données respectivement

POUTRES CONTINUES OU A TAAVÉES SOLIDAIRES. PORTIQUES. 'l'içi

par réquatiou {',]) afférenle à la travée lj i el par réqualion ( i )' afférente à Tappui Gy. La première inconnue qui ne sera pas proportionnelle à (i>i sera Ny donnée par l'équation ( 2) afférenle à la travée /y. Elle contiendra un terme dépendant des charges, dont la détermination est d'ailleurs immédiate, ce terme ayant pour

valeur -^^ —

Si donc, partant de riiypothèse to, =z 1, on avait cakul^^, d'un bout à l'autre de la poutre, les valeurs prises par les différentes inconnues, en appliquant systématiquement les équations ( ï ), (2 ) et (3), en faisant abstraction des charges, ou si Ton veut en sup- [)osant ces charjçes nulles, ce travail préparatoire permettrait d'écrire les relations de proportionnalité suivantes, jusqu'à l'indice y :

'*' ~ "'/ ^ ni " Pi "*~ pj ~ m/

et Ton aurait en outre

aj Si maintenant on remplace dans cette dernière équation o)< par

mm

sa valeur w, = — - déduite de (4), et si Ton multiplie par aj^ on obtient l'équation de condition :

(6) Cfy — ^ iMy -H Clj Ny = /j '»>.

mj

D'autre façon toute semblable, en partant de Texlrémité droite de la poutre, c'est-à-dire des mêmes équations (i)' (2) et (.i), mais en renversant leur ordre, on établirait des relations de proportionnalité telles que

Pi

Pj^i "

et Ton aurait pour My, d'après réquatio.n {\\) afférente à la travée char orée

l^lO CHAPITRE XI.

On en déduira une seconde équation de condition, qui sera

fij

Les deux équations (^6) et {(])' résolvent le problème, en ptTmettant de calculer My et Ny. Toutes les autres inconnues s'en déduiront ensuite au moyen des relations de proportionnalité (4) et(4V valables les unes à gauche, les autres à droite de la travée chargée.

Posons pour une travée quelconque

o 71/ ni'f

?/ = — «/— et -'/ = — «/ -7'

les deux é(|uations [6) et ( () V s'écriront

f aj M y -^ Yy Ny = ^ /y '»>'.

Elles sont alors tout à fait semblables à celles que Ton aurait obtenues {voir Chapitre X, équation .'$ ) pour trouver les moments fléchissants aux deux extrémités de la travée /y, si celle-ci était complètement encastrée sur ses deux appuis (iy et Gy^i, à cehi près que les quantités ^y et yy remplacent respectivement dans le déterminant des équations les deux quantités de même nature bi et c/. On en déduira des résultats tout à fait analogues.

On aura d'abord les expressions suivantes :

My r^ -—^ ^ [Yy o, -i- aj ^)' ],

Propriétés des foyers. Considérons dans une travée quel-

conque / le poiut ^ (h)nl l'abscisse © satisfait à la relation

Nous appellerons ce point <^ le foyer de gauche de la travée, j)ar analogie av<*c le point F, d'abscisse f^ qui était défini par la

POUTRES CONTINUES OU A TRAVÉES SOLIDAIRES. PORTIQl KS. ^4'

relation

et qui sérail le foyer de grandie dans la Iravéc; complètement encastrée.

Nous appellerons F le foyer principal de gauche, afin de le di— linguer de ^.

Si la travée / a un indice i <ij\ le moment fléchissant a dans cette travée pour expression

= '^''V^^'l = ""hV^'"7;]

Il est nul pour le point <ï>^ foyer de gauche. I^a [droite qui le représente passe toujours par le point 4».

Si la travée / est la travée chargée, d'indice y, on a

Pour le point <&y d'abscisse çy, la parenthèse s'annule et il reste

Au foyer de gauche de la travée chargée M - jjl est donc simplement proportionnel à Iju).

On peut de même définir dans une travée quelconque un foyer de droite 4>' dont Tabscisse o' satisfera à la relation

el qui sera l'analogue du foyer principal de droite F', dont l'abscisse y*' satisfait à la relation

On trouverait évidemment que pour toute travée d'indice i>j la droite représentative du moment fléchissant passerait par 4>' et

PlGKAUD iG

que pour la travée chargée Ij on aurait à son foyer de droite ^j

(loy

^ {!jzi^j}1i2L.

aj

On aurait pu se rendre compte a priori de l'existence des foyers et de leur propriété fondamentale, qui est en rapport étroit avec l'hypothèse faite sur rincompressibllité des appuis.

Supposons daos la poutre une coupure au point situé immédiatt^iuent à droite de Gy. Quelles que soient les charges appliquées au tronçon situé à sa droite, et même quelles que soient les dénivellations accidentelles de ses appuis, la réaction qu'il exerce sur le tronçon de gauche peut se ramener à une force verticale et à un couple A. La force verticale, qui s'exerce au droit de Gy, sera annulée purement et simplement par la réaction de cet appui supposé incompressible, de sorte que le couple A intervient seul dans l'étal déformé du tronçon de gauche et (|ue tous les eflels, quels qu'ils soient, produits dans ce tronçon seront proportionnels à la seule quantité A, et s'annuleront avec A.

Dans une travée quelconque, de ce tronçon qui est sans charge, le moment fléchissant a pour ligne représentative une droite, et cette droite coupe forcément la ligne des appuis en un point fixe ^, car si le moment fléchissant y est nul p(mr une valeur quelconque de A, il le sera pour toute autre valeur.

Dans la travée chargée ij il y aura de même un point 4> tel que le moment fléchissant y est indépendant des charges (ou des dénivellations) qui seraient appliquées au delà de (iy+j. Il en sera de même de M jjl. Supposons donc que, au delà de Gy^.!, l'on applique à la poutre des charges telles que le moment M/ s'annule à l'extrémité Gy de la travée Ij. Tout le tronçon de poutre situé à gauche de Gy sera dans son état initial sous l'action combinée de toutes les charges, et Ton aura en particulier (i>y = o. Dans la l^a^ée /y, la droite représentative de M — ;ji aura une équation delà forme

en désignant par H la valeur de M — jjl au foyer ^.

D'autre pari, la seconde équation de déformation relative à celte

iravée se réduit à

''i"<''-l>,iî = o.

{3iiisque s^'jj^i =-. Vj = coy = o.

Si Fon y remplace M par sa valeur

M = jJH-H^,

on en déduit bien facilement

ajW = oljtjij

résultat trouvé plus haut, équation (10).

Détermination des foyers. — Les divers coefficients m/, ni^ pi qui figurent dans les relations {/{) sont les valeurs que prennent respectivement M/, N/, w^ lorsqu'on part d\ine valeur initiale 0), = I et qu'on résout successivement les équations ( i )', (2) et (3j.

Commençons ce calcul, en admettant pour chaque travée les inégalités ai<^ bi et ai<i c/. Dans la première équation ( 1)', il faut faire N/..j =:r N^ = o, et l'on a

Mi= K,> o.

La première équation (2) donne

Elle montre que N, est négatif et plus grand en valeur absolue que Mj puisque *

La première équation (3 ) donne

Elle montre que (o^ est négatif, puisque |\,|\- M, et que d'ailleurs c« >> a|.

La seconde équation (i)' donne ensuite

Mî== K2WÎ-T- Ni.

Elle montre que Ma est négatif, puisque w^ et N, le sont. Elle montre de plus que, en valeur absolue, Mj est plus grand que N, et par suite que M|.

a44 CHAPITRE \I.

En poursuivant, on constaterait les lois suivantes : Les signes des inconnues M/, N;, w/ vont en alternant quand on passe d'un indice à r indice suii'ant. Le signe de N/ est toujours opposé à celui de M^ et de co/. Enfin^ les i^aleurs absolues des inconnues Mi et Ni vont constamment en croissant^ de telle sorte que

Con a

On le démontrerait par le procédé ordinaire qui consiste à vérifier que si ces lois sont vraies jusqu'à un certain indice, elles restent vraies au delà.

Cela posé, l'équation (2 ) relative à une travée quelconque peut

s'écrire

— ai N / = bi M / 4- /,• w/.

En divisant par M|, on a la relation

— ai — = {J|- = bi-^ li

Puisque (iJ|- et M/ sont de même signe, leur rapport ^ est positif et l'on en conclut que

p/> 6/ ou [i b.

Si Ton se reporte à la définition du foyer de gauche, et si l'on compare son abscisse donnée par la relation

à celle (lu foyer principal correspondanl, donnOe par la relalioii

on voit que l'on a toujours o </. En d'autres termes, le foyer de gauche <I> d'une tra^'ée est toujours compris entre r extrémité de gauche de cette travée et le foyrr principal F, quelles que soient les valeurs des coefficients K figurant dans les relations ( iV.

Le foyer principal correspond au cas limite où tous les coeffi-

cients R seraient supposés infinis, de sorte que chaque travée serait encastrée à ses deux bouts.

Un second cas limite est celui où tous les coefficients K seraient supposés nuis. Dans ce cas, les appuis ne fourniraient plus de couples de réaction S et l'on aurait constamment Me = \/4, de sorte que le problème se simplifie notablement par la fusion de ces deux séries d'inconnues. On a d'ailleurs dans ce cas

La détermination des foyers est alors très facile, au moyen d'une

équation de récurrence qui permet de trouver <!>; dès que l'on

connaît ^/|. Ecrivons en efiet l'équation ( 2 ) relative à la travée

d'indice i et l'équation (3) relative à la travée d'indice {i — i),

en remplaçant N/ el N/| respectivement par M/^, et M/, nous

obtiendrons

— // b)i= ùi M/ -i-fii M/,,,

En éliminant o)/ il vient l'équation dite des trois moments :

(^ette relation subsiste pour les coefficients m. En divisant par m/, on obtient

Sous cette forme, on voit qu'elle permet de déterminer le rapport p/ = — qui définit le foyer ^1, dès que l'on connaît le

rapport analogue p/ 1 := — qui définit le foyer <&/. 4 dans la

travée précédente.

Or, dans la première travée à gauche, puisqu'on a M| = o et

par suite 0\=^ — ^ = o, le foyer ^, est connu et confondu avec le

premier appui. Tous les autres s'en déduiront successivement en appliquant la relation de récurrence précédente.

Si la poutre est à section constante, Féquation se simplifie et permet de reconnaître les limites entre lesquelleslerapport p/ peut

varier. En tenant compte des relations

b e l^ 9. 1 6 El

on trouve

-■ =2-+--7-(2 — pl-l).

pi U

Si le rapj)ort -^ est très grand, on a p/= o. Si, ^au contraire, ce

rapport est nul, on a p*= -•

En dehors de ces cas extrêmes, on peut trouver pour pi des

limites plus rapprochées. Si -~ = ;?, on voit que - est compris

entre 2+-c et 2 + a ^, puisque pi| est compris lui-même

entre o et - •

Si Ton fait c- = i , les deux limites précédentes sont - et -> de

sorte que p; est compris entre -' = o, 285- et -^ = o, 25 •

Bresse a calculé des Tables donnant les valeurs des p pour des poutres composées de travées égales encadrées par deux travées de rive de longueur là un peu différentes des autres. En voici un extrait :

Valeurs Valeur de p^ pour i '^n — i et pour o r^

de - — ■ — "

l'indice i. 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3

2 P,^'059 o,2'2-i2 0,2308 o,25(K) o,2Ci(j 0,2727 0,2H2()

Nombre n Valeurs de p„ pour ô =

de — ■

travées. 0,7 0,8 0,0 1,0 1,1 1,2 1,3

A o.'liio 0,2951 0,2808 0,2678 o,2)6o o,24')2 o,2J53

.^> o,'Jïi3 0,2953 0,2810 0,2679 o,256i 0,2^52 o,,2352

6 o,3ii3 0,295 1 0,2810 0,2679 o,256t 0,24 )2 o,235a

Les Tableaux ci-dessus peuvent être prolongés indéfiniment, les

POUTRES CONTINUES OU A TRAVEES SOLIDAIRES. l>ORTIQUES.

chiflres de chaque colonne ne changeant plus quand le nombre des travées, augmente.

Tout ce qui précède resterait applicable si la section, au lieu d'être constante d'un bout à Tautre de la poutre, était constante seulement dans Tétendue de chaque travée. II faudrait simplement remplacer les longueurs réelles des travées par les quantités proportionnelles \ j= -.

La recherche des foyers, qui est ainsi très simple au moyen de Féquation de récurrence (i i), peut également être abordée par un procédé graphique (|ui est classique dans le cas de poutres à section constante et qui peut être généralisé ainsi qu'il suit.

Transformons d'abord Téquation (ii) en tenant compte des relations que Ton déduit de (8), (9) et (())', savoir

^/-Hi h — y/ .

Ci^i— ai t

Nous obtiendrons

h'I — fi-l

ou, après réduction,

Gi»i

Considérons maintenant la ligure ci-(1essus où 4^/ |, ^/ sont les foyers de gauche des deux travées, F].j le foyer />/7/ic«/>a/ de droite de la première travée et F/ le f(>y(îr principal de gauche de la

seconde travée. Traçons les lignes de rappel de ^/.i, Oi, F/. Puis menons par <^/i une droite quelconque . coupant (G/) en .\ et (F^.j) en B. Joignons ensuile A à 4>/ et prenons le point C où cette droite rencontre (yi)- Enfin, joignons BC. Cette troisièni<' <lroitc coupera la ligne des appuis en un point D, qui, en verlu d'un théorème connu, sera indépendant de la direction de la droite issue de <I>/|, ou, ce qui revient au même, de la longueur

du segment (i/A = ni,

I)F' Ce point peut être déterminé à l'avance par le rapport ^' * qui

a une expression assez simple. En effet, on a

<*l par suite

df;, bf;., /; ,-9/-.

Or, d'après Téqualion de récurrence transformée, rexpression trouvée est égale à

Ce rapport ne dépend que d'éléments tous connus et est facile à construire.

Si toutes les travées sont symétriques et identiques, que leurs sections soient constantes ou non, on a a,- ■-= a/, i || li =-^ // i cl //! — y";, i^^y*/. Par suite, le rapport est égal à riinité et le point D est confondu a\ec (j/.

Si la section est constante, sans que les longueurs des travées

soient égales, on a ' ' /•' ' ' ^= -7-^ **^ '<* rapjiort se réduit à -j-^- Dans ce cas, il est facile de voir que Ton a