I. — GÉNÉRALITÉS SUR LES ARCS

Caractères généraux des poutres courbes. — Les poutres droites, à travées indépendantes, sont généralement caractérisées par ce fait que pour toute section transversale la force extérieure est parallèle au plan de cette section, si bien que la composante normale N de cette force extérieure est toujours nulle. Dès lors il suffit pour définir la force extérieure de deux quantités, le mcMixenl fléchissant M et l'efTort tranchant T, qui d'ailleurs est lui même égal à la composante verticale \ , Taxe de la poutre étant supposé horizontal. Pour parvenir à la détermination de la fatigue dans une section, il suffît de connaître les maxima de M et de T, indépendamment Fun de l'autre.

Les poutres courbes sont au contraire généralement soumises dans leurs difTérentes sections à un effort normal non négliffcable, qui provient soit d'une courbure prononcée de leur 'axe longitudinal, soit des réactions des appuis, ceux-ci étant convenablement disposés à cet efTet.

Pour définir la force extérieure il faut alors trois quantités distinctes, le moment fléchissant M, avec les deux composantes normale et tangentielle N et T, ou bien avec les deux composantes horizontale et verticale X et Y.

En ce qui concerne la fatigue dans une section, on peut encore considérer à part Teflorl tranchant T, ce dernier ayant d'ailleurs la plupart du temps une importance relative assez faible. Mais on ne peut plus séparer TefTort normal du moment fléchissant. L'expression de la fatigue est de la forme

POUTRES COmtBBS OU ARCS. 269

OÙ h désigne, soit la plus grande, soit la plus petite des distances algébriques des fibres de la section à T horizontale du centre de gravité, distances qui sont d'ailleurs de signes différents. Le maximum de la fatigue ne se produit donc nécessairement ni quand le moment [fléchissant est maximum, ni quand Teffort normal est maximum. La considération des maxima de M et de N est ici insuf- (isante, sinon inutile, et Ton est conduit à envisager directement la fatigue dans les deux libres extrêmes de chaque section.

Ligne d'influence de la f&tigue dans une section. — Nous avons vu comment, une fois déterminées les réactions des appuis, on pouvait dans un cas donné de charges, du reste quelconques, construire la courbe des pressions et en déduire pour chaque section les valeurs de M, N, T, ou bien encore le point de passage de la force extérieure. Nous avons vu aussi comment on peut déduire de la connaissance du point de passage la position de la ligne neutre, puis déterminer les tensions dans toute l'étendue de la section et notamment dans ses fibres extrêmes. Nous n'v reviendrons pas et nous nous bornerons à décrire le procédé un peu indirect par lequel on peut parvenir assez simplement à construire la ligne d'influence de la fatigue dans une des fibres extrêmes d'une section donnée.

Supposons connues les lignes d'influence d'où dépendent la grandeur et la situation de la réaction de l'appui de gauche Rq. Pour un certain nombre de positions de la charge mobile P, prise comme unité, on déterminera Ro et l'on tracera la courbe des pressions correspondante. Cette courbe se réduira à deux portions de droites, valables Tune à gaucbe, Tautre à droite de la charge P.

On sera alors en mesure de trouver la fatigue produite par lacharge P dans les fibres extrêmes de toutes les sections que l'on désire étudier, et Ton obtiendra de la sorte le point situé sur la verticale de P qui appartient à chacune des lignes d'influence correspondantes.

Avec dix ou vingt de ces points, suivant le degré de précision cherché, on aura la possibilité de tracer toutes ces lignes d'influence et de reconnaître l'étendue de leurs zones positives et négatives.

Ces lignes d'influence une fois obtenues, le plus simple sera de les utiliser directement à la recherche des fatigues maxima.

Détermination des réactions d'appui. — Le problème fondamental, ici comme pour les poutres droites, consiste donc dans la recherche des réactions d'appui, pour le cas d'une force appliquée unique.

iSous le simplifierons comme toujours en étudiant d'abord lu poutre comme si elle reposait sur des appuis simples et en recherchant ensuite les réactions complémentaires d\ippui. Les forces appliquées sont supposées parallèles à une même direction, que nous supposons verticale.

Dans rhypothèse des appuis simples, les réactions provisoires d'appui, ainsi que le moment fléchissant p. et la composante verticale Y de la force extérieure, sont exactement les mêmes que pour la poutre droite de même portée iiorizontale. On a d'ailleurs

dx'

D'autre part X = o partoul.

Il en résulte que dans cette hvpothèse l'eflort normal et l'effort tranchant sont respectivement

dx ds *

dx ds

Soient mainlenant A le moment par rapport à Torigine des coor^ dcmnées de la réaction complémentiiire de l'appui de gauche et B et C ses composantes verticale et horizontale.

Dans une section ((i) de coordonnées (a?, >') le moment fléchissant réel a pour «expression

M = u-f- A-hB^- Cy,

(^uant à refFort normal et à TefTort, tranchant ils ont respe<»livement pour expression :

dix dy dx dy

L> = —7- —7- -h \A —j- -r I> —7- * dx ds as ds

T = ^ — -j- B — {'^^ dx ds ' ds ' ds

l>OLTRES COURBES OU ARCS. JL'l

Il s'agira, dés lors, d'introduire ces expressions dans les équations particulières exprimant, les conditions imposées aux appuis, pour obtenir les équations fournissant les réactions complémentaires d'appui A, B, C.

11 est utile de bien remarquer que la fonction jjl, ainsi que sa dérivée -7^5 supposent expressément que Ton a adopté pour les axes

coordonnés deux directions particulières, Tune parallèle aux forces appliquées, ou verticale, Tautre perpendiculaire à la première ou horizontale.

Mais il n'en est aucunement ainsi en ce qui concerne ia fonction linéaire complémentaire A-f-Ba; — Cy qui lîji^ure dans Tcîxpression du moment fléchissant. Le groupe des constantes A, B, C dépend de la position et de la direction des axes coordonnés et par un choix convenable de ceux-ci on peut souvent simplifier certaines questions, ainsi que nous le verrons. C'est une ressource assez |)récieuse.

On peut tout concilier, lorsque cela est nécessaire, en envisaî^eant simultanément deux systèmes distincts d'axes de coordonnées. Lx» premier sera désigné par les lettres majuscules OX\ , étant entendu que OX est horizontale et OY verticale. Le second système sera désigné par Oxy.

Par suite les 'expressions de M el T s'écriront dans ce cas de la manière suivante :

dX ds ds ds

d\ ds ds ds

-y- et -7- étant les coefficients angulaires de la tangente au point G, dans le système d'axes 0X\ .

2; 2 CHAPITRE XI ï.

Rappel des équations de déformation. Leur transformation. — Appliquons les équations générales de déformation à Tare entier Pt désignons par coi, Ti, //<, ^lîJKi les quantités qui se rapportent à Textrémité de droite G|. Convenons, en outre, de désigner, par

le signe / sans indices une sommation s' étendant à Tare entier;

nous obtenons les formules suivantes :

(0 toi— 0)0 = / Êï^^'

[ (3) «1- ao-4-a>o(^i— ro)=— y îTj(^i — r^c/d — y ^ ^c?7.

En multipliant la première équation par ^i et en la retranchant de la seconde, on peut simplifier celle-ci et l'écrire

(2) ç'i — Po— wiiri-htoo.ro = — / Y\^ I FS ST

De même, en multipliant la première équation par y^ et en l'ajoutant à la troisième, on obtient

(3) Wi— Mo-t-toij'i — toojKo= / gf'i^^— / Es ^ '

Sous cette forme, les premiers membres seuls contiennent les coordonnées et les déplacements des points extrêmes, et il est tout à fait simple d'y tenir compte des conditions particulières qu'ils doivent remplir.

Influence de la température. -- Les poutres courbes ne sont pas, en général, insensibles à Faction de la température.

Celle-ci déforme toujours leur axe longitudinal. En outre, comme les appuis s'opposent toujours, dans une certaine mesure, aux déplacements des extrémités, Faction de la température provoque des réactions d'appui non négligeables qui se superposent à celles qui sont dues aux charges.

Ces réactions d'appui, qui s'introduisent dans un système déjà en équilibre, sont de tous points assiniilable.s à des réactions com-

POUTRES COrRBES OU ARCS. 378

plémentaires d^ appui ^ c'est-à-dire qu'elle» sont réductibles à deux forces égales et directement opposées.

En Tabsence de charges, la ligne d'action de la réaction d'appui de gauche constituera par suite à elle seule la courbe des pressions et dans chaque section le moment fléchissant sera égal au produit de rintensité de ftette réaction par la distance du centre de gravité à sa ligne d'action. Il sera donc une fonction linéaire de$ coordonnées {xy) du centre de gravité de la section.

Pour trouver, le cas échéant, les composantes A, B, C de la réaction d'appui due à une élévation de température,, il suffira donc d'introduire, pour M et N, des expressions de la même forme que

précédemment, à cette seule différence près que [x et -j^ disparaissent.

11 convient, du reste, de compléter dans ce cas les équations (2) et (3) respectivement par l'adjonction, dans les seconds membres, des termes.

où T désigne l'allongement de l'unité de longueur, c'est-à-dire le produit de l'écart de température par le coefficient de dilatation.