III. — ARCS ENC\STRÉS AUX NAISSANCGf

Définition. — Par hypothèse, les appuis Go et G| sont de position invariable et de nature telle que les déformations angulaires coq et (o, aux deux extrémités de Tare sont nulles.

Dans ces conditions, les premiers membres des trois équations de déformation appliquées à Tare entier sont nuls, quels que soient d'ailleurs les axes coordonnés choisis.

Ces équations se réduisent à

fAda

D\iutre part, les réactions complémentaires d'appui, qui sont

294 CHAPmB XII.

toujours deux forces égales et directement opposées, ne passent plus nécessairement par les points d'appui. Il faut envisager, pour

• Fig. io5.

définir la réaction complémentaire de Tappui de gauche, ses trois composantes A, B et Q, cette dernière composante portant encore le nom de poussée.

Équations générales fournissant les composantes A, B, Q de la réaction complémentaire d'appui. — Laissant indéterminés les axes coordonnés Oxy^ on a d'une manière générale

M = jx-f- A -4- Ba? — Q^,

d\ ds ds ds

Si Ton substitue ces valeurs dans les équations de déformation écrites plus haut, on trouve, après groupement des termes

^iJ El J d<j d^ liSj ~~J K* J dX dfs KS*

— r H^^^^ r<u dY d^

POUTRES 4:0{]ABiiS OU AHCS. %^!i

Ce sont trois équations du premier degré en ABQ, qui ofirent celte pariiculfirité que le déterminant des coefiieients des ineonnuitti est symétrique et ne contient que six coeflieients distincts.

Il est tout indiqué de profiter de Tindéterinination des axes coordonnés pour annuler trois de ces coefiicients, suivant une méthode indiquée par Maurice I-»évy, et de parvenir par là à la séparation des inconnues.

Supposons que Ton attribue des masses fictives égales à -rry) aux

(lifFérenls éléments dv de la fibre moyenne, on pourra tout d'aboixl rendre nulles les deux intégrales

ri!t et r^

en choisissant pour origine le centre de gravité de ce système de masses fictives, que pour abréger on appellera le centre de gravité de la fibre moyenne.

Supposons ensuite que l'on attribue des masses fictives -^-^ aux

points R et IV des deux courbes parallèles à la libre moyenne tracées à la distance /*, on reconnaîtra facilement que les coefficients entre parenthèses, de B et de Q, dans les deux dernières équations, sont les moments et le produit de ce système total par rapport aux deux axes Oa: et Oy, En calculant ces coefficients par rapport à un système d'axes provisoire quelconque, on pourra en déduire la direction des axes principaux d'inertie du système et prendre ces axes comme axes coordonnés définitifs. Le produit d'inertie

J "ET J dfs dtj i:s

deviendra nul et les équations se réduiront aux suivantes :

V Ëi^-J HT'

U ^^ J U^/ i^sj"" J lii J u\ da as' frv^ /-MV^l- />7irfa rdii. d\ d\

VJ ^1 J W^/ ^^Î^J ~ ./ Kl J d\ d^ ES"

Il est à remui*quer que la troisième équation, déterminant la poussée, est identique (>omme forme à celle que nous avons ren-

1kg6 CHAPITRB XII.

contrée pour les arcs articulés aux naissances, mais les ordonnées Tj ne sont plus comptées à partir de la ligne de3 appuis, et le second terme de la parenthèse coefficient de Q doit avoir une importance relative plus considérable.

Quant à Téquation qui donne B, elle est d'une forme analogue, les axes Ox et Oy étant simplement intervertis. On pfeut assez clairement conjecturer que les intégrales qui renferment S, soit dans le coefficient de B, soit dans le second membre, n'auront qu'une importance relative tout à fait insignifiante. C'CvSt en efTet ce que Ton constate toujours dans les applications.

Nous conseillons donc de les négliger toujours, ainsi que le second terme du second membre de la troisième équation, eU par conséquent d'envisager seulement le groupe d'équations simplifiées

V Kl - J El'

El ' I

La réduction des équations générales à laquelle nous avons procédé est particulièrement facile lorsqu'on a affaire à un arc qui est symétrique par rapport à la perpendiculaire élevée au milieu de sa corde. L'intégrale

J El J d(j d<T E

d\ dr^ dfj

Es'

qui représente le produit d'inertie, est nulle dès que Toriginc des coordonnées est placée sur la droite de symétrie et que l'un des axes coïncide avec celle-ci. Pour compléter la réduction, il suffit donc de déterminer le centre de gravité de la fibre moyenne en prenant dès axes provisoires aussi simples que possible, l'axe de symétrie et la corde de l'arc par exemple.

Nous supposerons désormais, pour simplifier, qu'il s'agit d'un arc symétrique.

Coefficients des inconnues. — Dans les équations, soit complètes, soit simplifiées, les coefficients des inconnues ne dépendent