VT 5.000 X 202,5 ,^
^=7l= 1x5335 =i90kg.parcm'.
146 ghapitrf: m
d'où, pour rialensité de Taction moléculaire principale (équa-
s=830kg. par cm*.
Celte intensité est donc plus petite que celle des actions normales maximum C'est ce que montre aussi le calcul du travail élastique de comparaison qui mesure en réalité le travail du métal. D'après (40) on a, pour m = 3 1/3 :
^ = 0,35Rx ±: 0,65 y/iS + Ro:* = 844 kg. par cm*.
Les résultats qui précèdent montrent bien que, même pour des sections double té, il n*est pas nécessaire en général de tenir compte des efforts de glissement. Si le prisme est encore plus court, S conserve la même valeur (la charge restant la même), tandis que R devient plus petit ; il y a donc une longueur à partir de laquelle les efforts de glissement à la jonction de la plate-bande et de Tame sont plus grands que les efforts normaux dans la fibre extérieure.
Remarquons du reste expressément que tout le calcul n'est qu^approximaiif : Téquation (75) repose, en effet, sur une hypothèse peu certaine, qui, surtout k la jonction deT&me et de la plate-bande, n'est pas exactement remplie.
Exercice 17 , — Répartition des actions moléculaires tangentielles S dans une section circulaire.
Solution. — Calculons d'abord le moment statique, relatif à l'axe Z, du segment indiqué par des hachures sur la figure 37 :
z = \/r^—y' ydF
= 2 / yslr' — y^dy ,
b désignant la longueur de la corde, le long de laquelle nous voulons déterminer les efforts de glissement.
i^LEXiON DES PRISMES A AXE RECTÎLÎGNE
L'équation (75) donne
^xy
121 3ffH
la valeur de la composante Sxz sur le pourtour résulte de la
Fig. 37
condition que la résultante soit tangente à la circonférence ; donc
'JBS
ç. ^2 • 2u 2Vm6
d'où, pour rintensité S de l'effort de glissement :
Sirr* V 37rr»
le maximum de S se produit Je long de l'axe Z, pour6=2r
CHAPITUE III
'mas.
La valeur maximum de rintensité des ciïorls de glissement est doDC à la valeur moyenne de celle-ci dans Thypolbëse d'une répartition uniforme des elTorls sur la section comme 4 est à 3.
Exercice 18. — Quelle force de cisaillement le rivet N de la poutre rivetée (fig. 38) a-t-il à supporter^ la réaction de Cappui étant de 6.000 kg ?
jo^ro'fo
soo
KZP ^Z7 KZP
uvo 9 p
I 'Mm^wf
9000 Kg,
Fig. 38
Solution. — La formule (76) donne
PourI, on a avec une approximation suffisante
I = 2X4'>X23,5V— = 60022 cm*
On a simplement cslimé à 23,5 cm. la distance du centre de gravité de Tensemble formé par la plate-bande et les deux
cornières, au centre de gravité de la section entière ; la décimale est naturellement incertaine.
La valeur approximative de I déterminée ainsi est très suffisante pour ce genre de calcul ; si Ton ne veut pas s^cn contenter il est facile de déterminer I diaprés la méthode indiquée précédemment. Le moment statique T de la platebande et des cornières, relatif à Paxe neutre de la section^ se détermine de la même façon :
T = 46x23,S = 1.081 cm'
d'où, Vêlant 6.000 kg. et /=12cm.
Cette force de cisaillement se répartit sur les deux sections des rivets situées de chaque côté de Tàme.
Exercice. 19. — Déterminer la ligne élastique d* un prisme dont la section transversale varie de telle sorte que I soit en chaque point proportionnel au moment fléchissant M.
Solution, — Posons
nous avons, c étant une constante :
ex* . -
où a et 6 désignent les constantes d'intégration. Cette équation est valable pour toute la longueur du prisme, si la condition posée dans Ténoncé est exactement remplie. La ligne élastique
1 enon< '^fOole ;
est une parqfbole ; foat x = o el x = lj j/ =-0, donc :
^ '' b = o et 0 = — vH-^/
180 CMAPITRE III ^^ ;(^ l^
la flèche au milieu du prisme est par suite : ^ ^ ^
Soient Mm et Im» le moment fléchissant et le moment d'inertie pour le milieu du prisme, on a
Supposons le prisme sollicité par une force unique P, agissant au milieu :
Mm = j
et
Pi»
32ImE
Si le moment d*inertie de la section était constant et égal à Im, nous aurions d'après la formule (83) :
PZ»
la flèche est donc de 50 0/0 plus grande dans le cas présent que dans le cas du prisme à section constante.
L'hypothèse de I proportionnel à M est sensiblement satisfaite dans les poutres riveléès dont la section eist renforcée vers le milieu par Taddition de semelles de telle façon que R ait à peu près la même valeur dans toutes les sections. En effet, les semelles ne modifient pas sensiblement la hauteur de la poutre, de sorte que
est partout à peu près proportionnel au rapport --
FLEXION DES PRISMES À ÂXE RËGTILIGNB 151
Exercice SO. — Calculer la constante x de la formule {84} pour une section circulaire.
Solution. — La formule (85) donne
7J S»dF
" = — vï—
Nous avons trouvé, à Texercice 17, pour une section circulaire :
4Vr«
oti 22 désigne la longueur de la corde distante de y de Taxe des z.
Si nous ne tenons compte dans le calcul de x que de la composante Sxy des efforts de glissement, soit de la composante parallèle à la direction des forces extérieures, nous avons en utilisant les notations de la fig. (37) :
Nous pouvons écrire
zWF = 32 / z»</y = 64 / (r« — y*) dy
+ - r' arc sm-
en introduisant les limites, il vient :
z*dF = lOw»
et par suite
On pourrait naturellement calculer x en partant de S et non de Sxy : on trouverait une valeur un peu plus grande. Gomme il ne s'agit toutefois que d'obtenir une valeur approximative, le
calcul tel que nous venons de le faire esl absolument suffisant.
Exercice Si. — Calculer les réactions des appuis (T un prisme sollicité par une charge uniformément répartie^ reposant libreynent sur 4 appuis de même niveau et équidistants.
Solution. — Par raison de symétrie, les réactions C des appuis intermédiaires sont égales entre elles ; de même, les réactions A des appuis extérieurs. Celles-ci sont égales à
a désignant la distance de deux appuis consécutifs, ;> la charge par unité de longueur,
Le moment fléchissant pour une section d^abscisse x de la travée de gauche est {x étant mesuré à partir de Tappui de gauche) :
Téquation différentielle de Parc correspondant de la ligne élastique est donc
d^où
pour X = Oy y z=z 0 d'où K' = o
et pour a: == fl, y '=^ o d'où :
Pour une section de la travée suivante
FLEXION DES PRISMES Â AXE REGTILIGNE i53
pax , , ^ px^
les abscisses x étant comptées à partir du second appui de gauche, nous obtenons donc :
rf»y pœ^ pax ,
d'où
dx 6 4 ^
pour X = 0 y = 0 d'où K'' = o
pour a; = a // = ^ d'où :
K --;,a C- Enfin nous avons encore la condition que les deux arcs de
dy
la ligne élastique se raccordent tangentiellement. Donc — pour x=za dans le premier arc doit être égal à la valeur de j- pour a: = o dans le second arc. Ceci nous donne l'équation
OU, en introduisant les valeurs trouvées pour K et K'' :
C est la seule inconnue dans cette équation. Il vienl :
et par suite
Exercice 22. — Deux prismes de longueurs l^ et 1% reposant librement par leurs extrémités se croisent à angle droit en leur milieu. Les deux prismes sont assemblés d'une manière invariable au point de croisement et sollicités en ce point par une charge isolée P. Déterminer la répartition de cette charge entre les deux prismes.
Solution. — Soienl Ij et I, les motueDls d'inertie des pièces ; la Qèche du milieu doit être la même pour les deux prismes, et si C est la part de Tun, Taulre supporte uue charge P — G ; nous avons donc Téquation de condition :
A^EU ~ 48EI, d'où
li%+ l,%
La méthode resterait la même si les prismes ne se croisaient pas au milieu, mais en un point quelconque. On aurait alors^ non plus à égaler les flèches /, mais les ordonnées y de la ligne élastique des prismes, correspondant au point de croisement.
