EXERCICES SUR LE CHAPITRE HI
Exercice 11. — Déterminer l'ellipse centrale dCun profil de cornière de 70 mm. de côté et 10 mm. d^épaisseur.
Solution, Nous considérons la section donnée comme formée de deux carrés soustractifs. L'un des axes principaux de la section est l'axe YY, le moment principal ly relatif à cet axe est
7*^ 6* 12 lï
Iy=«f^— I = 92,lcm*,
car l'axe YY passe par le centre de gravité des deux carrés*
Nous obtenons la distance a du centre de gravité S de la seC'
tion au centre de gravité du grand carré en écrivant Féquation des moments :
13a =0,707X36 a =1,96 cm.
Le moment d^inertie Ig relatif à ZZ est égal à la différence des moments d^inertie des deux carrés ; il faut de plus tenir compte du fait que cet axe ne passe pas par le centre de gravité des carrés. On a donc :
Les rayons de gyration principaux sont par suite : /y=i/?!?=2,66«°». /^=i/^=l,35*«».
L'ellipse centrale est ainsi déterminée.
Exercice iS. — Un prisme de i,W m. de longueur, encastré à une extrémité, est sollicité à r autre extrémité par une charge isolée verticale de 500 kg. Déterminer la valeur maximum de l'intensité R des actions moléculaires normales. La
fig. 33 donne la forme du profil et ses dimensions (fer en Z, profil normal allemand nM6). Vâme du fer est verticale, et l'extrémité non encastrée absolument libre.
':âr.-k
Kig. 33.
fSO
Les catalogues indiquent tg % = 0,39, h = Iy = 58,8cm*.
Solution. De /^a = 0,39 nous tirons :
a = 20'^20',sina = 0,36,cosa = 0,93.
Le moment fléchissant dans la section encastrée est :
H93 cm*.
500 X 120 = 60.000 kg. cm.
Le plan formé par la force de I^axe longitudinal ne passe pas par les axes principaux de la section. Il faut donc décomposer le moment fléchissant en deux composantes suivant la direction de ces axes. On trouve :
Mz = 60.000x0,93 — 55.800, My=60.000x0,36= 21.600
^Le travail résultant en un point quelconque de la section de coordonnées y, z est par suite :
R = Ri+Rii = 46,8y + 367s
Nous prenons comme axe positif des y la partie de Taxe SY située au-dessus de ZZ, et pour axe positif des z, Paxe SZ à droite de YY.
Les coordonnées de Asonly = 7,32cm. 2:= 3.29 cm. donc :
Ra = 46,8 X 7,32 + 367 X 3,29 = 1 .550 kg. par cm*. En B« Ri et Ru sont de signes différents, on a donc : Rb= 46,8 X 8,85 — 367 X 3,48 = — 863 kg. par cm».
Le travail maximum a lieu dans Tarète A^ il y atteint à peu près une valeur égale à la limite d'élasticité.
La flexion de ^extrémité libre du prisme sous Tinfluence de la charge verticale a lieu obliquement. Si l'extrémité du prisme était guidée de sorte qu'elle ne pût se déplacer que dans le sens vertical, il se produirait une force horizontale, réaction de Pappui sur l'extrémité de la pièce. Dans ce cas, l'axe neutre est horizontal, et l'on obtient R d'après la formule ordinaire, le moment d'inertie étant alors pris par rapport à l'axe horizontal passant par le centre de gravité.
Exercice 1$. — Déterminer les régions centrales des deux profils précédents.
Solution, — L'ensemble des tangentes au contour du profil comprend : les côtés de la surface (à l'exception de ceux de l'angle rentrant), la droite parallèle à Taxe ZZ qui joint
îi%
¥ïg. 34.
les deux sommets les plus distants de ce dernier, et enfin,
yy tous les axes qui passent par les sommets du profil (sommet de Tangle rentrant excepté) et qui ne coupent pas la surface. Ces axes représentent les positions que prend successivement la tangente au contour lorsqu'on passe de Tune des 5 droites mensionnées cidessus à la suivante.
En tenant compte des prppriétés des antipôles et antipolaire, ainsi que des remarques précédentes on reconnaît facilement que la région centrale est limitée par un pentagone dont les sommets sont les antipôles de ces 5 droites et dont les côtés sont les antipolaires des sommets du profil.
On procédera d'une façon analogue pour déterminer la région centrale du profil du fer en Z (fig. 35).
Eexrcice 14. — Déterminer r ellipse centrale et la région cen^
traie de la section transversale cTiine colonne creuse en fonte
de SO cm. de diamètre extérieur. Epaisseur des parois : 2 cm.
Solution. — Le moment d'inertie d'un anneau relatif à un
axe passant par le centre est :
I=^(10* — 8*) = 4.636cm*.
la surface de l'anneau est F= 113 cm', d'où
/=\/Î5^ = 6,40cm.
L'ellipse centrale se réduit à un cercle de rayon I.
La région centrale est limitée par une circonférence dont le rayon k est donné par la proportion :
Fig. 35.
d*où
e,4~ 10 k =s 4,1 cm.
Exercice /5. — Un solide reposant librement par ses extrémi' tés est de révolution par rapport à Faxe longitudinal. Il est
sollicité en son milieu par une charge isolée. Déterminer la forme du méridien de façon qu'en chaque section transversale la valeur de l'intensité maximum R des efforts normaux soit la même,
(Solide d'égale résislance).
Solution, — Soit A la réàclion de Tappui de gauche, le moment fléchissant pour une section d*abscisse x est M = Ao: et par suile :
^ M . Ao;
W Trr'
r désignant le rayon de la section transversale. Pour que R soit conslant, il suffit que le membre de droite le soit ; nous trouvons donc immédiatement ren fonction dex :
V jrR
C^est là Téquation de la courbe méridienne, celle-ci est une parabole cubique. Il est facile de varier à Tinfini le problème en admettant d'autres formes de sections transversales et d'autres lois de répartition des charges. Quelque intéressants qu'ils soient en eux-mêmes, les problèmes de ce genre n'ont toutefois pas grande importance, car dans leur application en pratique on est généralement forcé, pour différentes raisons, de donner au solide une forme différente de celle trouvée par le calcul. De plus, ce dernier est inexact en ce sens qu'il n'y est pas tenu compte des efforts de glissement. Nous trouvons ici r =o pour ;r = o ; il est évident que ce résultat est faux, car il faut qu'aux extrémités la section soit assez grande pour que l'intensité des efforts de glissement ne dépasse pas le travail élastique pratique du métal.
Exercice 16 • — Un prisme de section double té y encastré à une extrémité, porte à l'autre une charge de 5.000 kg. Déterminer le travail maximum du métal da?is la fibre extérieure
FLEXION DES PRISMKS A AXE REGTILIGNE
tiù
et la valeur de celui-ci à la jonction de rame et de la plate-
bande, La longueur du prisme est de 0,8 7n.; les dimensions de la section sont indiquées dans la figure 36.
Solution. — Nous calculons le moment d'inerlie relatif à Taxe faorizonlal passant par le centre de gravité du profil en considérant la surface comme formée d'un grand rectangle additif et de deux rectangles latéraux soustractifs.
Fig. 36.
I=ii^2M^=8.335cm*
le moment statique T de la platebande relatif au même axe est :
yrfF=i,5Xl2xH,25 = 202,5cm»
rintensité R des actions normales en un point d'ordonnée y de la section encastrée est :
R=yy =
Dans la fibre extérieure, y == 12 ; donc
Rmax == 900 kg. par cm*.
Âla jonction de la plate-bande et de Tâme,
y =£= 1 0,5 R = 787 kg. par cm'.
Calculons l'intensité des efforts de glissement en ce point; Téquation (75) donne
