ENERGIE POTENTIELLE INTERNE D'UN PRISME DROIT TRAVAILLANT A LA FLEXION
56. Travail de défonuAtion des aetions moléealaire« normales. — Nous avons défiai, à Particle 29 le travail de déformation comme étant le travail mécanique des forces intérieures corrélatives de la déformation du corps. Si les actions moléculaires tangentielles sont négligeables devant les forces intérieures normales ou si elles sont nulles {cas de la flexion
150 CHAPITRE JV
simple) on trouve, pour le travail spécifique de déformation, l'expression (42) :
on a d'aulre part (éq. 49) :
RM
Introduisons cette valeur R dans la formule (42), multiplions par Félément de volume d-z^ et intégrons à l'intérieur d'un prisme élémentaire de longueur ^.ir, nous obtenons ainsi l'énergie potentielle interne e/A accumulée dans cet élément du prisme :
or on a
d-z = rfF. dx de plus M, E, I eidx sont constants ; il vient donc
dA= ^dx I vWF 2EI»
lA'
mais
fy'dF=
donc finalement
Nous pouvons établir cette formule par une autre méthode. Considérons à cet effet un prisme élémentaire pendant le phénomène de la déformation. Les actions moléculaires normales agissant sur les deux sections transversales sont des forces extérieures par rapport au prisme élémentaire et l'énergie potentielle interne de celui-ci est égale au travail fourni par ces forces durant la déformation. Peu importe que le prisme entier
\.*jàÊ
soit en mouvement ou au repos ; en effets les forces agissant sur le prisme élémentaire se font équilibre^ et leur travail serait nul dans un mouvement de la pièce entière. Il suffit donc de considérer les mouvements relatifs des molécules à l'intérieur du prisme élémentaire. Pour nous faire une idée exacte de ces mouvements, supposons Tune des sections transversales fixe, immobile, nous savons queTautre section tourne dans la déformation d'un angle r/^p par rapport à la section fixe. Cet angle est donné parla formule (77) :
^ lE
Le travail des actions moléculaires agissant sur la section transversale supposée immobile est naturellement nul. Pour l'autre section, les forces intérieures se réduisent, comme nous Tavons vu, à un couple de moment égal au moment fléchissant M, le travail de ces forces sera donc
ainsi que nous l'avons trouvé plus haut. Nous avons posé
parce que le moment M n'est pas constant pendant la déformation, il croit au contraire de o à M : il faut donc introduire la valeur moyenne dans le calcul.
L'énergie potentielle interne du prjsme entier est naturellement
2jlE
l'intégrale étant étendue à la pièce entière.
69. Travail de déformation des aetions moléeulaires tangrentiellea. — Lorsqu'il n'est pas permis de négliger les actions moléculaires tangent ielles, l'expression du travail
iÎ58 CHAPITRE IV
de déformation d'un prisme travaillant à la flexion contientun lerme de plus qu'il est facile de déterminer en se basant sur les résultats du § 6 du chapitre III.
Remarquons que le travail des actions tangentielles, dans la déformation due aux actions normales, est nul, les points d'application des actions tangentielles se déplaçant perpendiculairement à leur direction. Inversement et pour la même raison, le travail des actions moléculaires normales est nul pendant la distorsion, c'est-à-dire pendant le glissement relatif des deux sections transversales. Le travail de déformation total d'un prisme élémentaire est donc égal à une somme de deux termes, l'un représentant le travail des actions normales pendant la rotation, l'autre étant égal au travail des actions tangentielles dans la distorsion. Nous avons trouvé^ art 53, pour le travail de déformation dû aux actions moléculaires tangentielles :
Par suite, le travail de déformation d'un prisme, en tenant compte des actions moléculaires tangentielles, est
si le prisme travaillait simultanément à la flexion et à l'extension (ou à la compression) il faudrait ajouter un troisième terme à l'expression précédente, représentant le travail des actions moléculaires développées par cet effort normal.
68. Relation entre le travail de déformation et le travail de» force» extérieures. — En vertu du principe de la conservation de l'énergie, le travail de déformation, soit l'énergie potentielle interne du prisme, est nécessairement égal au travail des forces extérieures pendant la déformation. Il est donc possible de trouver une autre expression pour A et de l'égaler à celle que nous venons d'établir.
ÉNERGIE POTENTIELLE INTERNE OU TRAVAIL DE DÉFORMATION lî»9
i Les réactions des appuis ne fournissent aucun travail ; en
effet leurs points d'application sont ou absolument fixes ou susceptibles d'un déplacement le long de la surface d'appui ; or dans ce cas le chemin parcouru est perpendiculaire à la direction de la force. Il y a toutefois des exceptions : par exemple, le déplacement des rouleaux de friction sur lesquels reposent généralement les extrémités des poutres métalliques, ne peut se produire sans un travail notable destiné à vaincre le frottement, et doqt il faudrait tenir compte. Dans ce qui suit nous exclurons les cas de ce genre ; les résultats trouvés ne seront donc strictement exacts que si le travail des réactions des appuis est bien nul.
Soient P Tune des forces extérieures agissant sur le prisme^ y le déplacement de son point d'application, mesuré dans la direction de la force. Par suite de Taccroissement graduel de P pendant la flexion, le travail de cette force sera
jPy
nous aurons donc
A=^2:Py (91)
la somme s'étendant à toutes les forces extérieures agissant sur le corps. Si les charges étaient réparties d'une façon continue, nous aurions une intégrale au lieu d^une somme.
