Applieation des résaltot» précédents. — Si le
prisme n'est sollicité que par une force unique, on pourra, en égalant les formules (89) ou (90) à (9i), calculer le déplacement du point d'application de la charge.
Soit donné par exemple un prisme encastré à Tune des extrémités et sollicité à l'autre par un poids P. Le moment fléchissant agissant dans une section transversale distante de x de l'extrémité libre est
Par
Nous avons donc, en négligeant les actions moléculaires tangenlielles :
A = — 1 x^dx =
/élaiil la longueur du prisme^
soit la flèche à rexlrémilé libre le travail de la force P est
- P/, nous aurons :
i ' ~ 6IE ' ~ 3ÏÊ
en comparant ce résultat avec la formule (83) qui donne la flèche d'un prisme reposant librement sur deux appuis et chargé au centre par une force P, on reconnaît que le prisme encastré que nous venons d'étudier se comporte exactement comme une moitié de prisme de longueur double reposant sur deux appuis et sollicité au milieu par une charge double. Si Ton voulait tenir compte des actions moléculaires tangentielles, il faudrait calculer A selon la formule (90). On retrouverait les résultats trouvés plus haut par une autre méthode.
§ 2 THÉORÈMES DE CASTIGLIANO
•O. Propriétés des dérivées partielles da travail de déformation par rapport anx forées extérieures ^ —
i . Cet article et les suivants diffèrent sensiblement du texte original allemand, Tauteur ayant saisi l'occasion de la publication d'une édition française pour rectifier une erreur commise lors de la rédaction de ce §.
N. du T.
Supposons que Tune quelconque des forces extérieures, Pi, subisse un accroissement infiniment petit et calculons Taccroissement correspondant du travail de déformation. Le rapport de ces deux accroissements, c'est-à-dire la dérivée partielle
peut se calculer de diverses manières. Le moyen le plus simple consiste à dériver partiellement la formule (91) par rapport à Pt ; il vient, si Ton remarque que le déplacement y de chaque force dépend de P» :
^A. 1 „^ du i ,^^^
Le calcul, tel que nous venons de le faire, revient à admettre que, tandis que les autres forces extérieures croissent de o à leur , valeur maximum P, Pi passe de o à P» + rf Pi. Nous aunons pu supposer les forces appliquées d'abord toutes avec leur intensité primitive puis ensuite faire croître Pi de d Pi. Du reste, Tordre dans lequel nous supposons les forces appliquées est indifférent; en effet, dans lesdeux cas, rétatfinalestlemème et par suite aussi le travail des forces extérieures, puisque ce travail est égal à Ténergie potentielle interne, laquelle ne dépend que de Tétat final. Cette déduction suppose toutefois que le travail des forces extérieures se transforme en entier en énergie potentielle; elle cesserait donc d'être exacte, s*ilse produisait des frottements ou des défo7^mations plastiques. D'autre part, il n'est pas nécessaire que les déformations aient lien suivant la loi de Hooke, il suffit qu'elles soient parfailement élastiques^ au sens donné précédemment à ce terme.
Restreignons maintenant notre étude aux corps satisfaisant
dX à la loi de Hooke ; nous pouvons alors déterminer — de la fa-
çon suivante. Les forces extérieures étant appliquées avec leur intensité normale fournissent le travail A. Si nous augmcn*
tons Pi de d P<, le déplacement y de Tune quelconque des forces »*accrolt de
le travail corrélatif de la force F (laquelle reste constante pendant le déplacement) est
Celte expression est valable pour tontes les forces extérieures, y compris Pi. Il faut de plus tenir compte du travail de crPi ; Pi passant insensiblement de la valeur Pi à Pi -f- e/Pi, ce travail est
C'est là une quantité infiniment petite du second ordre que nous pouvons négliger devant les autres termes. Il vient donc :
iA=SP^^,
en égalant les deux expressions (92) et (93) trouvées pour t— on trouve
et pur suite
Il est possible d'établir directement ce résultat. Appliquons
d'abord sur le prisme la seule force dP%;le Iravail de déformation correspondant est:
Appliquons ensuile les charges P, en les faisant passer insensiblement de o à leur valeur maximum : le prisme subit la même déformation que précédemment ; les forces P fournissent donc le même travail A ; en même temps le point d'application de dPi se déplace de ^i, le travail corrélatif de dPi est :
yi dPi
Donc, en négligeant les infiniment petits du second ordre, il vient :
A + e/A=|2:Py + yirfPt
d'où
dk
comme plus haut.
Nous pouvons formuler comme suit le contenu de la for^^ mule (95) : Le déplacement du point d'application d'une force extérieure agissant sur un corps satisfaisant à la loi de Hooke est égal^ dans le cas d'une déformation élastique du corps, à la dérivée partielle du travail de déformation^ prise par rapport à la force considérée. Ce théorème est dû à Casti*^ glîano.
Comme nous Tavons dit, les déplacements sont comptés suivant la direction des forces correspondantes, ils sont positifs ou négatifs suivant que leur sens coïncide ou non avec celui des forces.
Nous avons établi le théorème précédent en supposant les forces extérieures appliquées à unprismej mais il est bien évi-
164 CHAPITRE tV
dent que celte restriction est inutile : le théorème s'applique à tout corps satisfaisant aux conditions indiquées.
• I. Application au ealoul des forées de liaison. —
En généra], toutes les forces extérieures agissant sur le prisme ne sont pas connues, nous avons eu précédemment l'occasion de calculer : par exemple, les réactions des appuis sur lesquels reposait la pièce. Le corps considéré est le plus souvent relié à des corps voisins de sorte que certains de ses points ne peuvent se déplacer librement. Pour déterminer les réactions exercées par les corps avoisinanls sur la pièce, on se servira de la remarque que ces forces dépendent des gènes apportées aux déplacements des points soumis aux liaisons. Ces déplacements sont le plus souvent nuls ou de grandeur connue, dans le cas le plus général, ils peuvent être représentés en fonctions connues des forces de liaisons.
Il peut se présenter deux cas : V Les liaisons sont telles que le nombre des forces inconnues à déterminer est précisément égal à celui des équations universelles d'équilibre dont on dispose. Le problème se résout alors comme s'il s'agissait non d*un corps élastique mais d'un solide invariable. Nous dirons que les forces extérieures connues et les forces de liaisons inconnues forment un système isostatique. 2" Les forces inconnues sont en plus grand nombre que les équations d'équilibre. Nous savons déjà que, pour résoudre le problème inderminé au point de vue de la Mécanique générale, il est nécessaire de faire intervenir les équations fournies par la résistance des matériaux, qui définissent les rapports existants entre les déplacements élastiques permis par les liaisons et les réactions exercées sur la pièce prismatique. Nous dirons dans ce casque les forces extérieures et les liaisons constituent un système hyper statique.
Formons, par rapport à l'une do ces forces de liaison l'équation (95) ; le membre de gauche est, comme nous venons de le voir, une quantité connue dépendant de la nature de la
liaison : nous pouvons donc ainsi établir autant d*équations de conditions qu'il y a d^inconnues indéterminées et par suite résoudre le problème. En particulier, si la liaison est fixe ou complète {articulation sphérique fixe : un point fixe, généralement le centre de gravité d'une section ; articulation cylindrique fixe : une droite fixe, généralement un diamètre de la section ; enca^strement fixe : le plan de la section de liaison est invariable dans Tespace), le déplacement du point d*application de la réaction correspondante est nul et Téquation (95) devient
La marche à suivre est donc la suivante : après avoir fait chois des inconnues statiquement indéterminées du problème, on exprime les inconnues restantes en fonction de celles-ci à Taide des équations universelles d'équilibre; on forme de même, en fonction des inconnues statiquement indéterminées, les moments fléchissants, les efforts tranchants, etc., et le travail de déformation à Taide des équations (89) et (90). En appliquant les formules (95) ou (96) autant de fois qu*il y a d'inconnues à déterminer, on obtient des équations en nombre suffisant pour résoudre le problème sans ambiguïté aucune, ces équations étant toujours du premier degré par rapport aux quantités cherchées.
La méthode est du reste encore plus générale. Il n'est pas nécessaire que Pi soit une force seulement, on peut entendre par Pi un groupe quelconque de forces extérieures, à condition de prendre pour yi une quantité qui, multipliée par Pi (ou par la valeur moyenne de Pi, dans le cas d'une application graduelle des forces) donne le travail de déformation de ces forces. Cette extension ne modifie en rien les théorèmes énoncés. Par exemple, on pourra prendre comme inconnue un couple de forces : yi sera alors l'angle dont tourne dans la déformation la section sur laquelle agit le couple ; en particu-
lier, si la section est encastrée, Tangle dont elle tourne est nul, et Ton pourra encore appliquer Téquation (96) à la détermination du couple P».
Dans les calculs, il est souvent avantageux de décomposer le système hyperstatiqne considéré en deux ou plusieurs par-* ties, et cela de telle sorte que les forces extérieures agissant sur chaque portion envisagée en elle-même forment un système isostatique ; les inconnues staliquement indéterminées du problème sont alors les actions moléculaires relatives aux surfaces de séparation. Il est facile de voir que ces forces satisfont à l'équation (96).
Supposons le système divisé en deux parties, 1 et 2, par une surface quelconque. A désignant le travail total de déformation, nous pouvons poser
A=At + A, (97)
Ai étant le travail de déformation relatif à la partie 1, A| le travail relatif k 2. Soit Pi Taction moléculaire régnant en un point quelconque de la surface de séparation; on a (équation 95) pour la partie i :
et de même pour la portion 2 ; si, de plus, on remarque que, le point considéré appartenant à la fois à 1 et à 2, son déplacement est le même dans les deux cas, on a :
le signe — du membre de droite vient de ce qu'en vertu du principe d'action et de réaction la force agissant au point con* sidéré sur la partie 2 est — Pt. En tenant compte de ce résultat, Téqualion (97) donne
dk dAi dkf
dPi d?i ' dP
Nous pouvons formuler les résultats précédents de la façon suivante :
Les dérivées partielles du travail de déformation d'un corps obéissant à la loi de Hooke, prises par rapport à des forces extérieures choisies de telle façon qu'elles ne produisent elles» mêmes aucun travail y sont nulles. Les équations qui expriment cette condition peuvent servir , le cas échéant y à déterminer ces forces,
Cethéorème, formulé pour la première fois par Castigliano, peut s'énoncer d'une façon différente, plus facile à retenir. L'équation
est la condition nécessaire pour que Pi rende A maximum ou minimum. Formons la dérivée seconde ; ayant égard à (95), nous trouvons :
rf«A <lyi
dPf d?i
le second membre est nécessairement positif, car Taccroîssement dVi d'une force extérieure quelconque Pt ne peut nécessairement produire qu'un accroissement dyi de yi dirigé dans le sens de Pt. Il s'agit donc ici d'un minimum. Nous pouvons par conséquent dire :
Les forces de liaison dont le travail est nul sont telles qu^ le travail de déformation du système hyperstatique considéré est minimum. D'où le nom de théorème du travail minimum de déformation donné à cette propriété.
•9. Exemple. — Soit donné (fig. 39) une poutre uniformément chargée sur toute sa longueur, reposant sur 3 appuis inégalement distants. Soit q la charge par unité de longueur.
Comme quantité statiquement indéterminée du système
nous prendrons la réaction Z de l'appui médian. Les conditions d'équilibre donnent
C — îS^+^z ^
Le moment fléchissant ^'^- ^^ pour une section quelcon-
que de la travée de gauche est
A s'obtient à l'aide de la formule (89).
dk Nous devons calculer -r-yet égaler celte quantité à zéro. Si
CL i*
nous supposons E et I constants, il suffit de former :
Wdx
dZJ
Leslimitesderintégrale sont des constantes, et la seule quantité sous le signe somme qui dépende de Z est M ; nous trouvons donc en différentiant sous le signe somme :
rfM • dZ
pour la travée de gauche nous trouvons :
Jo \ 2 / rfZ \ 3 S J dZ
on voit immédiatement que, pour obtenir le terme relatif à la seconde travée, il suffit de permuter B coiitre C et « contre A. Nous aurons donc finalement :
dX i^{ /Ba» qa^\ dB fW qb^\ dC
rfZ ~ ME 1 \ 3 ~ 8 / rfZ "*" \ 3 8" j ^
cette dérivée doit être nulle, le point d'application de Z ne subissant pas de déplacement. En remplaçant^ et ---parleurs valeurs :
dB b dC a
dZ a + b dZ a + b
nous obtenons Inéquation :
b /2fl» r g + 6 „ h "i ga*\ g /26»r g+&
d'où
en faisant a-=b,'û vient
comme nous Tavons trouvé précédemment.
,Onle voit par cet exemple, Tinconvénienl de la méthode réside dans la longueur des calculs qu'elle exige, inconvénient largement compensé par la sûreté et la facilité avec laquelle elle conduit au but, lorsqu'on la possède complètement.
•3. Chartres iottlaiitauée», elioes. — Nous avons toujours admis jusqu'à présent que les charges appliquées sur le corps croissaient lentement et progressivement de o à leur valeur maximum, de sorte que nous pouvions en toute rigueur admettre que tout le travail fourni par les forces extérieures se transformait en énergie potentielle interne, et négliger par suite les vitesses des différents points du corps. Bien qu'une augmentation lente des forces extérieures soit en général la règle, il est intéressant d'étudier ce qui se passe lorsque les forces sont appliquées d'une façon instantanée, c'est-à-dire, passent brusquement de zéro à leur valeur maximum. Désignons par/d le déplacement du point d'application d'une force P, lorsque celle-ci est appliquée instantanément, /^ étant mesuré sur la ligne d'action de la force. La force P fournit dans ce déplacement un travail égal à :
On voit immédiatement que fd est plus grand que le dépla-
cernent /i qui se produirait dans le cas d'une application lente et progressive de P. Car, lorsque la déformation élastique a atteint la valeur /,, Pa déjà fourni un travail P/«, égal au double de Ténergie potentielle interne qui, d'après les résultats précédents, correspondrait à cette déformation : il ne peut donc y avoir équilibre dans cette position ; au contraire, Tautre moitié du travail des forces extérieures s'est transformée en énergie cinétique, et la déformation dépasse la valeur /,. Dans ce mouvement, la force vive dès masses en mouvement se transforme en énergie potentielle interne, et, lorsque la déformation a atteint sa plus grande valeur fa, la force vive est nulle et Ténergie potentielle interne égale à
Le corps ne saurait toutefois conserver cette position, les déformations étant plus grandes que celles qui correspondent à P dansTétat de repos; il se produit par suite des oscillations, des vibrations autour de la position d'équilibre/*.
On sait par expérience que ces oscillations diminuent peu à peu, soit parce que les. déformations ne sont pas absolument élastiques, soit par suite des résistances passives. Puisque une telle perle d'énergie se produit durant le phénomène, il est naturel d'admettre qu'elle a lieu déjà pendant la première oscillation, et par suite il convient de poser
A = nPfd
n étant un facteur dépendant des circonstances accessoires, mais en tous cas plus petit que 1.
Il ne s'agit pas d'étudier le mouvement vibratoire du corps autour de sa position d'équilibre, mais seulement de déterminer le plus grand travail auquel est soumise la matière, durant le phénomène. Ce travail dépend de la déformation maximum, donc de fd . Pour trancher la question, le plus simple est de déterminer la force P' qui, appliquée progressivement, produirait la même déformation fd. Nous savons queTénergie potentielle interne sert^it :
et comme A désigne dans les deux cas la même énergie potentielle, celle-ci ne dépend que de Tétai de déformation atteint, nous obtenons en égalant les deux valeurs
ou, en faisant approximativement /i == 1
L'application instantanée de la charge produit donc un travail de la matière double de celui qui correspondrait à une application lente et progressive des charges. Il est souvent nécessaire de tenir compte de ce fait dans les calculs de résistance de certaines constructions.
Quelque chose d*analogue se présente dans le cas des ponts de chemins de fer, sur lesquels passent des trains ariinrès d'une grande vitesse. Toutefois la question est beaucoup plus compliquée ; pour la résoudre il y aurait lieu d'examiner la nature des vibrations de la construction. On peut cependant affirmer que les déformations subies seront plus grandes que celles que produirait une charge statique égale. De là l'idée d'introduire dans les calculs la charge mobile multipliée par un certain facteur numérique. Gerber proposait de prendre ce facteur égal à 1,6, c'est-à-dire un nombre plus petit que la valeur 2 trouvée dans l'équation (99). En effet, il n'y a pas ici une application instantanée de la charge, de sorte que l'augmentation du travail élastique n'est pas aussi forte que dans le cas étudié plus haut.
Chocs. Il nous reste encore à examiner le cas des chocs proprement dits. Soit V la vitesse acquise par la charge au moment considéré, mesurée dans le sens de la déformation qui se produit. La force vive L que possède la charge est égale à :
Ptt*
h désignant la hauteur de chute nécessaire pour produire la vitesse v.
Nous pouvons traiter ce cas comme le précédent et poser :
A = nP (A + /d ) (100)
n désignant un facteur numérique qui peut, ici, être de beaucoup pluspetitque 1. C'eât précisément dans le calcul de cette constante n que réside la difficulté du problème, difficulté qui n a pas jusqu'ici été completementsurmonteo.il se produit, durant le choc, des phénomènes accessoires qui en compliquent beaucoup Tétude. Il peut y avoir, dans le voisinage immédiat du point où a lieu le choc, des déformations plastiques, soit de la charge, soit du corps lui-même, qui sont évidemment sans importance pour la manière dont se comporte le corps, mais qui, par contre, absorbentune partie deTénergie disponible. En outre, une partie de la force vive se transforme immédiatement en chaleur.
Il convient également de tenir compte du fait que la vitesse de Tébranlemônt n'est pas infinie, mais égale à la vitesse du son; enfin la durée du choc peut être si courte que la plus grande déformation n'ait pas encore eu lieu lorsque l'influence de la charge cesse, de sorte qu'une partie de Ténergie n'est pas employée.
Les meilleurs travaux sur cette question difficile sont ceux de St. -Venant. On les trouvera dans sa traduction française de la Théorie de l'Elasticité de Clebsch. Il semble toutefois que les résultats de la théorie diffèrent très sensiblement de ceux obtenus dans la pratique. Il convient donc de considérer la question comme non résolue et d'attendre que des expériences aient montré quelle importance il faut attacher aux divers phénomènes accessoires que nous venons de mentionner.
Si ;?< était connu, on déterminerait la charge P' qui, appliquée progressivement, produirait les mêmes déformations, pour de là tirer le travail élastique de la matière. On aurait
^P7d=nP(A+/rf) (101)
On trouvera un exemple dans les exercices, à la (in du chapitre. Nous attirons l'attention du lecteur sur la remarque qui le suit.
