e—^ sin ar
de même, la pression de la barre rapportée à Tunité de longueur est :
p = A C4 j 4,73 e^ cos olx -+- e«J?sin olx H-2,73é?— M? cos our + e—«^ sin ox };
faisons a? = o, la parenthèse prend la valeur 7,46. Désignons par po la valeur de p pour x = 0, il vient :
po = 7,46 k C,
d'où découle la signification et la valeur de C4.
Soit/>a la valeur de jo pour ar = a, c'est-à-dire au milieu du prisme, la formule donne :
P<^=^^\ *»'^3 m, + m, 4- 2,73 m, + mL
M GHàPITAë VI
et en introduisant les valeurs trouvées pour les quantités m :
;)«==*, 36 Pc
Nous avons ainsi déterminé le rapport entre la pression aux extrémités et la pression au milieu. Pour obtenir ces quantités en valeur absolue, nous utiliserons, comme précédemment» la condition que la somme des pressions exercée par le prisme
est égale à sa charge. Pour effectuer l'intégrale fpdx étendue
à tout le prisme, il suffirait, comme il ne peut s'agir ici que d'obtenir une valeur approchée, de remplacer la loi de répartition trouvée par une autre plus simple^, par exemple une répar-
Pa
lilion parabolique pour laquelle le rapport — serait égal à la
valeur trouvée plus haut. Rien n'empêche du reste d'effectuer rintégration avec la vraie valeur de /?, il vient :
a P e^ cos aa: rfa:= 1,221 , a J^* e«« 8inttxrfa:=0,691,
a r^e— ««cos(»a:rfa:=0,787, a /*<?-«« sinoLa:rfar=0,213,
« et, par suite :
Jo P^^ —7,46" 0,024 ' ^'"
L'unité de longueur est ici le centimètre, puisque a. a été calculé avec celte unité. Le double de l'intégrale ci-dessus est égal à 1000 kg., on a donc :
^<' = ÔM = *^^' • ^
et
^ ' cm.
Si Ton avait adopté la répartition parabolique de la pression :
p =;>o+^'*7«^" (2aa:-a:«)
pour éviter les intégrales des fonctions exponentielles et trigonométriques, on aurait trouvé :
I pdx=- — a=4y,opo,
Tapproximation aurait donc été très satisfaisante. Aussi voulons-nous utiliser cette représentation approchée de la pression, pour calculer le moment fléchissant agissant dans la section médiane de la barre. On trouve :
__ pa + po ,
el, en substituant les valeurs numériques :
Ma'=9560A;y. cm.,
d^où
6Ma 6X9560 ,
R= -^ = — - — 266 kg. par cm*.
On aurait pu prouver également Ma sans difficulté à l'aide de la relation
Ldx*jx =z a*
Exercice 34. — Un corps de longueur l repose sur le sol par toute sa base et supporte dans la section médiane une charge égale à P. La section transversale du solide est un rectangle de largeur constante dont la hauteur varie de façon à ce que le moment dinertie de la section soit partout proportionnel au moment fléchissant correspondant. Indiquer la loi de répartition des pressions sur le sol, ainsi que celle selon laquelle la hauteur de la section doit varier pour que la condition du problème soit remplie.
Solution. L'équation différentielle de la ligne élastique peut s'écrire :
244 CHAl-ITRE Vi
dafl lE
OÙ c signilio une cooslaiilc, qui reste indétcrmiDéo A cas parliculier, l'énoncé ne disanl rien sur le fadeur à porlionnalité enire Met I. En intégrant il vient :
i/ = — cf +K,z + K..
Pourx=o,— ^o, donc:
K, = ca.
On trouve par suite :
p = ky = k K, +^ (2ax — a:').
La loi de répartition des pressions sur le sol est i ment parabolique. Pour les pressions aux extrémités milieu il vient :
B problème précédent. On a de même, ai
3pa + po P
^^ 2o 3 ' ' 2aft 3
La forme de la ligne élastique, et, par suite,/) son absolument déterminés dès que l'on connaît les valeu et de k.
PBISHES REPOSANT SUR UMR BASF. COMPRESSIBLE i
Pour le momeal fléchissanl agissant dans une seclic d'abscisse :r (comptée à partir del'exlréniilé gauche), il vient:
" ^ /c '^ ~ "-' P =^ -i-iP'' ~Po) -7^^ ■ On lire de là I à l'aide de la retalion :
I élaul connu en fonclton de x, la hauteur de la section l'o aussi, puisque la largeur de cette dernière est constante.
mw-'^'t
