EXERCICES
Exercice 3S> — U?i rail d'une longueur assez considérable pour pouvoir être considéré comme ayant une longueur infi" nie repose de toute sa longueur sur le sol et est chargé en son milieu par une force concentrée P, Suivant quelle loi la pression se répartit-elle sur le sol ?
Solution. — Nous compterons les x positifs à partir du point d'application de P et allant vers la droite. Les équations (437) et (138) ne sont pas modifiées et par suite la solution (142) est encore applicable ; il ne reste qu'à déterminer les constantes d'intégration conformément aux données.
Pour ar = 00 , y = o, donc C, et C, = o,
par raison de symétrie — = o pour x = o
d'où résulte C, = C4.
On a donc :
y = C, e — «« (cos our + sin ax)
et, en vertu de l'hypothèse représentée parla relation (140) :
p z=i AC, e— «a? (cos our + sin owc)
Telle est l'expression de la loi selon laquelle la pression p varie.
On reconnaît que pour :
Btt
p devient négatif. Au point a: = j , le facteur e— «?= 0,094,
tandis qu'il est égal à 1 pour a; = o : la diminution de compression, lorsqu'on s'éloigne de P, est donc fort rapide. Nous supposerons que le poids du rail est suffisant pour que celui-ci ne se soulève pas au point où p est négatif, ou bien simplement que le rail est fixé au sol. Dans cette hypothèse la formule trouvée pour p est valable sur toute la longueur du rail.
La constante AC, a une signification fort simple ; faisons x = 0 dans Texpression trouvée pour p^ il vient :
px = o=fcCz = po
Le produit A;C, est donc égal à la pression spécifique du rail sur le terrain au-dessous du point d'application de P ; pour déterminer cette quantité, servons-nous de la relation évidente :
pdx=''^.
En substituant pour p sa valeur et en intégrant il vient :
/lOO /»00
I pdx=poj tf— «» (cosowc + sin our) rfx
^— oa^cosourl = —
a Jx = o a,
par suite :
où tt désigne la constante définie par la formule (143), laquelle est déterminée dès que Ton connaît le moment d'inertie du profil du rail, le coefficient l'élasticité et la constante k.
Exercice 33. — Une barre d'acier de 80 cm. de longueur et de section carrée de 6 cm. de côté repose exactement sur le sol par une de ses faces et supporte en son milieu une charge concentrée de i. 000 kg. Quelle pression cette barre exerce-t-elle
sur le sol au milieu et à ses extrémités^ et quel est le travail élastique du fer en ces points si Ion admet que le terrain éprouve une compression de 0,S5 mm. sous l'influence d\ine pression de 1 kg. par cm^ ?
Solution. — Nous considérerons la partie de la ligne élastique située à gauche du milieu et supposerons Torigine du système d'axe à l'extrémité gauche du prisme. Nous pouvofis alors appliquer directement la formule (142) ainsi que les conditions à la limite exprimées par les équations (144) et ({45) ;
déplus ici, par raisonde symétrie t- =opourar=a = 40cm.,
d'où la relation :
Cl (m, — m,) + C, (m, + m,) — C, (/w, + m*)
+ C4 (m, — mt) = 0.
Los constantes d'intégration sont ainsi déterminées. Pour trouver leurs valeurs numériques, nous calculons d'abord a. Nous avons :
Nous prenons :
E = 22x10* kg. par cm».
La constante k est définie par l'équation (140), elle est de la dimension d'un travail élastique ; si la pression exercée parla barre est de 1 kg. par cm*, l'unité de longueur (1 cm.) exercera une pression de 6 kg. Comme une telle pression produit une compression du terrain de 0^25 mm., nous avons :
A = - = 240 kg. par cm*
et par suite :
^"^ = 0,0224 cm-'
4x22XlO''^,Xl08cm*
cm*
PRISMES REPOSANT SUR UNE BASE COMPRESSIBLE Ui
Il vient, en effectuant les opérations^
(ta = 0,896, e«a = 2,450, ^-«û = 0,408, cos aa = 0,625,
sin au = 0,781, d'où
Les équations de condition pour la détermination des constantes C s'écrivent maintenant :
Cj = C4, Cl = C3 + 2 C14,
d'où résulte :
Cl =4,7ïC4, Cj = C4, Cj=2,73 C*.
L'équation delà ligne élastique est par suite :
y= C4 |4^73 e««cosaa: + eaa?sinaxH-2,73e— ««cosax
