CIRCULAIRES
V9. CoudltloMA du promèitte, équation» téiiérale«.
— Nous traiterons dans ce qui suit les deux cas : d'une force unique agissant au centre de la plaque, et d'une charge uniformément répartie sur toute la surface. On résolvrait le problème (le la même manière s'il s'agissait d'une autre loi de répartition des charges, à condition cependant que celles-ci soient réparties symétriquement par rapport au centre de la plaque. Pour une loi de répartition quelconque, le problème devient si compliqué que, dans la plupart des cas, on doit se contenter d'une approximation.
Lçs charges symélriques sont du reste celles que Ton ren-. contre le plus fréquemment dans les applications.
Nous admettrons que la plaque est ou encastrée sur tout son pourtour ou qu'elle repose librement. Contrairement à ce qui se présente dans la théorie de la flexion des prismes, le cas de la plaque encastrée est plus simple à traiter que celui de la plaque reposant librement. Dans ce dernier cas en effet, les parties de la plaque situées en dehors du cercle d'appui participent au travail de la plaque, il nVst donc pas indifférent de savoir de combien celle-ci dépasse le cercle d'appui. Nous supposerons dans ce qui suit qu'elle ne dépasse que de fort peu^ de façon a pouvoir négliger les actions moléculaires dans la partie extérieure au cercle d'appui. On peut naturellement s'attendre à ce que le problème présente certaines analogies avec la théorie de la flexion des prismes. En particulier, au lieu d'une ligne élastique, nous aurons à considérer une stir-face élastique. Nous appellerons ainsi le plan médian déformé de la plaque, et nous admettrons comme précédemment pour le prisme, que les ordonnées y de la surface élastique, mesurées à partir du plan médian initial, sont des quantités très petites. Par raison de symétrie, y ne dépend que de la distance X du point considéré à Taxe de symétrie perpendiculaire au plan médian; la surface élastique est donc de révolution. Nous négligerons les déformations des points du plan médian parallèles à ce plan.
Il est nécessaire de faire certaines suppositions sur la nature des déformations ; ces hypothèses jouent ici le même rôle que celle de Bernouilli dans la théorie de la flexion des prismes.
Nous admettrons que tous les points de la plaque situés primitivement sur une droite perpendiculaire au plan médian se trouvent encore, après la déformation, sur une droite qui, par raison de symétrie, doit couper Taxe de symétrie de la plaque (à moins qu'elle ne lui reste parallèle). Une section annulaire, faite par un cylindre dont l'axe coïncide avec Taxe de symétrie, se transforme donc, dans la déformation, en une surface conique.
Ces hypothèses faites^ nous allons établir, comme précédemment dans la théorie des prismes, une expression des variations spécifiques de longueur qui se produisent dans la déformation^ puis nous en déduirons la valeur des actions moléculaires corrélatives. En un point distant de x de Taxe de symétrie^ et distant de z du plan médian (fig. 54), il se produit des dilatations tangeoiielles et normales que nous désignerons par e^ et £r- Le rayon x de la circonférence qui passe par le point envisagé s'accroît de 2Qp, par suite de l'inclinaison ^ que la normale à la surface élastique prend par rapport à Taxe de symétrie (l'angle 9 est toujours assez petit pour qu'il soit permis de remplacer le sinus de l'angle par l'angle lui-même). La circonférence croit évidemment dans le même rapport que le rayon ; la dilatation tangentielle, au point considéré, sera donc donnée par la relation :
Fig. 54.
Prenons une seconde normale à la surface élastique, distante de dx de la première, soit d^ Tangle qu'elles comprennent ; la fibre qui passe par le point z s'allonge, entre ces deux normales, de zd'^ par rapport à la fibre correspondante située dans le plan médian, et dont la longueur n'a pas varié.
if-'.
La dilatation dans le sens radial- est donc :
rdf
Cette expression est la même que celle trouvée dans la théorie de la flexion des prismes ; nous avons ici en plus la dilation e^qui, dans le cas du prisme, était indifférente. Nous aurons donc, outre les actions moléculaires Rr (qui correspondent aux actions moléculaires normales dans un prisme), des actions dans le sens tangentiel R^ D'après la loi de l'élasticité, ces actions moléculaires sont déterminées par les formules :
En résolvant par rapport à Rt et Rr^ il vient :
Rf =
mE
mE
* = ^;rrï (^^' + ^^) » **'= ^^m (^^'- + '*) î (*5i)
d'où, si Ton introduit dans ces formules les valeurs (149) et (150), trouvées pour et et er :
tm ^ i \ dx xj
La loi de répartition des actions moléculaires le long d'une normale à la surface élastique est donc linéaire tant pour R< que pour Rr; ces actions moléculaires sont proportionnelles aux distances des points considérés au plan médian.
Les valeurs des actions moléculaires étant trouvées, nous pouvons ^maintenant établir les conditions d'équilibre d'un élément de la plaque. Menons, par Taxe de symétrie, deux plans méridiens formant entre eux un angle infiniment petit rfa, celui-ci ne subit pas de variation dans la déformation. Con* sidérons encore doux sections circulaires concentriques de rayon x et ar + dx. Les quatre sections précédentes déli-
mitent un élément de volume représenté en plan et élévation dans la figure (55).
Sur chacune des quatre sections agissent les actions moléculaires R« et Rr, que Ton peut réduire pour chaque face de l'élément à un couple résultant. En outre, il existe évidemment
t^< iLv — >-
fi.
des
Fig. 55.
La lettre R du texte correspond & 9 de la figure.
dans ces sections des actions moléculaires tangeatielles. En effet, les forces R, qui sont toutes horizontales, ne sauraient faire équilibre aux charges verticales.
Nous allons établir maintenant les équations qui expriment les conditions d'équilibre de ces forces. Considérons d'abord les actions moléculaires R< ; à chaque élément dF de Tune des sections méridiennes correspond un élément de l'autre section, dans lequel Taclion moléculaire est égale en intensité ; les lignes d'action de ces deux forces se coupent dans le plan bissecteur de l'angle dièdre r/a. Déterminons la résultante de ces forces, elle est contenue dans le plan bissecteur, et égale en grandeur à R< d¥d%. Supposons qu'on effectue la môme opération pour tous les éléments r/F des sections méridiennes : toutes ces résultantes partielles, contenues dans le
plan bissecteur, peuvent être remplacées par un couple résultant, dont il est facile d'indiquer le moment. En effet, le moment delà îovceRidFdx par rapport à un point quelconque du plan médian étant R^zrfFrfa, le moment du couple résultant de toutes les forces semblables est :
rfa TR/ zdFy
ou, en tenant compte de (152) :
''—M^tjf'-"^-
L'intégrale dansTespression ci-dessus n'est autre chose que le moment d'inertie de la section relatif à Tintersection du plan méridien avec le plan médian:
fz'dF = dx^'
Nous avons donc :
Moment résultant des: R^ = -^- f mt4--I Wa?rfa.(153)
iz(m — 1) \ X dx/
En ce qui concerne le signe de ce moment, il y a lieu de faire la remarque suivante : convenons de compter les ordon-
nées z positivement en allant de haut en bas. Si © et —
sont positifs, il se produit dans la partie inférieure de la plaque des efforts d'extension R<, et la résultante de ces efforts dans les deux plans méridiens est dirigée comme Tindiqueles flèches dans la fig. (55). Dans la partie supérieure de la plaque, c'està-dire pour les z négatifs, les directions sont renversées. Le couple résultant des actions moléculaires R^ tend donc à faire tourner l'élément considéré en sens inverse des aiguilles d'une montre. Il devra par suite, conformément à nos conventions, être affecté du signe — .
Considérons maintenant les actions moléculaires Rr. Celles
DE LA RÉSISTANCE DES PLAQUES PLANttS 253
qui agissent dans la section dont le rayon est x forment un couple dont le moment est, en tenant compte de (152) :
J m* — \ \ dx xj J
L'intégrale du membre de droite représente le moment d'inertie d'un rectangle de base xd(L et de hauteur h^ par rapport à un axe parallèle à la base et passant par le centre de gravité. L'expression précédente peut donc s'écrire :
mEA» / rf? \ , I inx -r + 9 jdcL.
i\ dx */
Les actions Rr qui agissent sur la section de rayon x-\- dx se ramènent à un couple de sens opposé à celui que nous venons de calculer. Il y a donc lieu de ne considérer que la différence des deux couples. Celle-ci n'est autre chose que la différentielle de l'expression précédente prise par rapport à x. Donc :
Moment des Rr :
= ^^' (^nx ^^ + m J -^ ?) dx rfa. (154) (12m« — i)\ dx* ^ dx^ dxj ^ ^
df Au sujet du signe, nous remarquerons que si ? et — sont
positifs, les actions moléculaires Rr sont des efforts d'extension dans la partie inférieure de la plaque ; le couple dans la section x tend par conséquent à faire tourner Télément en sens inverse des aiguilles d'une montre ; le couple qui agit dans la section x + dx tend à le faire tourner en sens inverse. Si donc la différentielle que nous venons de calculer est positive, le moment résultant des Rr est positif.
Enfin, il reste à calculer le couple résultant des efforts tangentiels S. Ce calcul n'est possible que si Ton introduit la loi de répartition des charges extérieures, tandis que tout ce qui précède est applicable à toute répartition symétrique des
charges.
Nous allons d'abord poursuivre le calcul en considérant
une charge uniformément répartie.
254 CHAMTRE VÎI
78. Charité uniformémeiit répartie »ar une plaqae encastrée »ur tout le pourtour. — Ce cas 86 présente dans la pratiquiB, lorsque le fond d'un cylindre est soumis à la pression d'un fluide. Pour calculer TefiFort tranchant, supposons que l'on fasse une section annulaire de rayon x. La partie de la plaque située à Tintérieur de cette section supporte une charge égale à :
p étant la charge par unité de surface. Les actions tangentielles qui agissent dans la section de rayon x doivent faire équilibre à celle charge ; en particulier, la partie de cette section située entre les deux plans méridiens, qui comprennent entre eux l'angle e/a, en supporte une fraction
égale à —, car les actions tangentielles sont évidemment uniformément réparties le long de la section. L'effort tranchant qui agit, dans la section ^, sur l'élément considéré précédemment est donc
Dans la section x + dx^ l'effort tranchant subit un accroissement infiniment petit, égala la différentielle de Texpression précédente. Cette différentielle est toutefois négligeable dans l'expression du moment; on a donc :
Moment résultant des S = — r — • (155)
Le signe de ce moment est positif ainsi que le montre immédiatement la hgure.
Pour que l'élément de volume considéré soit en équilibre, il faut que la somme des moments résultants des Ri, Rr et S soit nulle, d'où, en tenant comme des valeurs trouvées (153, 154 et 155), l'expression :
DE LA RÉSlSTANCIi DES PLAQUES PLANES 25é»
mEA' / 9 d9\ , , mEA» / rf*« e/o
(12m*— 1) \ jj dx/ (12OT«~i) V </a? dx
. d(f\ j 1 . px*dxdoL
OU, en simplifiant :
(12m»-i)\ rfj;» • rfx a:/ 2
Posons pour abréger :
N = ";;;rir7r^ , (156)
Téqualion précédente s'écrit alors :
^. Ë!?^. a; ^<p,+ Nx' = o. (157)
dx^ dx
L'intégrale générale de celle équation est de la forme :
^ = -^a:^^Qx^l (Î58)
où B et C désignent deux constantes d^intégration. En substituant cette expression dans fl57), on reconnaît facilement que cette équation est satisfaite ; de plus, (158) est bien Tintégrale générale, puisqu'elle contient deux constantes arbitraires.
Pour déterminer la valeur de ces constantes dans le cas particulier, nous faisons usage des conditions aux limites. On a évidemment :
(p = 0 pour X = 0.
Par conséquent G ss= o.
De mémo, à la périphérie, puisque la plaque est encastrée, l*angle f doit aussi s'annuler. Soit r le rayon de la plaque, nous avons par suite la condition :
d'où :
Donc finalement :
ce
- {rx~x) 4 m* E A» ^ '^
En substij^uant celle valeur de <p dans les formules (149) et (150), nous obtenons les dilatations élastiques exprimées explicitement en fonction d'x ; il vient :
Au centre de la plaque, c'est-à-dire pour a: = o, on a :
ei=ey == - r' s.
Il ne pourrait en être autrement, car la dilatation, qui est tangentielle pour un cerlain plan méridien, est évidemment normale pour le plan méridien normal au premier, ti croît
avec x^ tandis que sr diminue; à la périphérie e< s*annule,
N tandis que sr devient égal à r*z. Celle valeur est, ab-
straction faite du signe, double de celle trouvée au centre de la plaque. C'est donc sur le pourtour de la plaque que le travail élastique de la matière atteint sa plus grande valeur ; il y a donc lieu de s'attendre à voir s'y former en premier lieu les fissures qui précèdent la rupture de la plaque. Le travail élastique de comparaison qui sert de mesure au travail élastique maximum que subit la matière première, s'obtient en multipliant par E la valeur de tr pour x = r et js = A. En effet, nous avons admis, art. 28^ qu'il dépendait delà dilatation maximum.
de: la résistance des plaques planes 257
On a doûCv
^^ = E -iï—^^iTT^v^ (161)
iO ., . .
pour m = — - , il vient:
On pourrait Irouver aussi immédialement les valeurs de Rr et de Ri en remplaçant dans la formule (151) ou (152), les quantités er et ti par leurs valeurs. Celte transformation présente peu dlntérêl, puisqu'après tout, il s* agit simplement de connaître le travail élastique maximum et que celui-ci est absolument défini par «R.
Il reste à déterminer la forme de la surface élastique. L^angle <p que nous avons calculé, est égal à Tangle que la tangente au méridien de la surface élastique forme avec Taxe des X. En tenant compte des conventions faites au sujet des signes, nous avons donc :
dy
Comme Tangle ç est fort petit, nous pouvons remplacer la tangente de Tangle par Tangle lui-même ; il vient par suite, en tenant compte de la formule (159) :
d'où, en intégrant :
A la périphérie, soit pour x =^r,y = o; donc :
Nr*
et par conséquent :
Désignons par /, Tinflexion de la plaque au centre, nous trouvons, en faisant x -= o \
En metlanl pourN sa valeur et en prenant pour m = — , nous
obtenons :
/= :si^ f" = «■" £■ ('«*)
80. Plaqae eneasirée à la périphérie et •eumifte à l'iietion d'une feree unique P aKl»»ant au eentre. — Il
faut calculer les valeurs que prennent dans ce cas les actions moléculaires tangentielles, développées dans une section circulaire.
L'effort tranchant auquel elles font équilibre est P ; la résultante des actions moléculaires langentielles agissant sur la partie de la section qui correspond à Télément considéré précédemment sera par suite :
Le moment du couple formé par les actions moléculaires tangentielles est donc :
P Moment des S = —dadx. (*65)
Cette expression remplace la formule (155) de l'article précédent.
L'équation d'équilibre de l'élément de volume, considéré est donc ici :
~12(m«~l) V'^x"^rfi/'^12{m»-l) V^^rfJî'^^rfï'^ di)
DE LA RÉSlStAPiCE D£3 PLAQUES FLANES iSd
en posant pour abréger :
Téquation précédente peut s'écrire :
L'intégrale générale de cette équation est, comme on le vérifie facilement en substituant :
?=-|a: loga: 4-Ba? +^; (168)
les constantes B et C se déterminent à l'aide des mémos conditions que précédemment :
(p = 0 pour ar = 0, d'où C = o,
<p = o pour x=^r^ d'où B= - log r.
Oq peut donc écrire :
? =|a;Iog^- (169)
En inlroduisant celte valeur de 9 dans les formules pour tt et Er. nous trouvons .-
Q , r et =-zlog-.
Pour x=Oy ces expressions de viennent infiniment grandes : la plaque devrait donc se rompre, s'il était réellement possible de concentrer la charge P en un point, commme nous l'avons admis dans le calcul. En réalité, la charge est toujours répartie sur une certaine surface. Les formules précédentes ne permettent pas de déterminer le travail élastique au centre de la plaque puisque e^ et tr deviennent infiniment grands.
260 CHAPITRE Vil
Pour les points du pourtour, nous trouvons, en faisant X =r \
Pour z =-el en prenant m = --, il vient :
Le travail élastique à la périphérie est donc indépendant du rayon de la plaque.
Afin de nous rendre compte du travail élastique développé en réalité au cenlre de la plaque, supposons que la charge P se répartisse uniformément à Tinlérieur d'un cercle de rayon très petit a. La ligne méridienne de la surface élastique se compose dans ce cas de doux branches qui se raccordent : Tune allant de o^ = o à a: = a, et déterminée par Téquation (iS8), l'autre, définie par l'équation (168), allant de ar = « à ar = r.
Pour la première branche nous avons :
?= — g a:'H- Bx,
ol pour la seconde, en désignant les conslanles d'intégration par d'autres lettres que précédemment, pour éviter des confusions :
ç = — ja:loga: + M x +--
Ces deux branches se raccordent ; les constantes B, D. F doivent donc satisfaire aux deux équations de condition suivantes :
f» N - Q , wx F
Ba — -a: = — -a log a + ua H--»
B — - «' = — ^ log a — ^ 4- D .»
qui exprimenl qu'au point 2:= a, les valeurs de y et de
-T" doivent être les mêmes pour les deux branches.
dx ^
En résolvant par rapport à F et D, il vient :
F =1 (No- -s Q),
Enfin, pour la seconde branche, nous devons avoir encore :
çp = 0 pour X = r,
donc :
o = ■- r\o^r '\-\Sr "{ — •
Si Ton substitue dans cette équation les valeurs trouvées plus haut pour D et F, il vient, en résolvant par rapport à B :
B = §log^- + N^+g.(2Q-Na')-5.
Considérons les quantités N et Q, nous devons faire ici :
par suite, formule (1 56) :
^^6(in'-l) P
En comparant cette expression avec la valeur de Q (formule 166), qui n'a pas changé, on voit que :
Na» = Q ;
B = ^(41og^- + $). 072)
L*équalion delà première branche de la ligne méridienne (de X = 0 jusqu'à j: = a) est donc :
wm
Nous pouvons maintenant calculer les dilatations élastiques qui se produisent au centre de la plaque. Les formules (149) et (150) donnent :
8 \ ° a r* aV
Pour.2: = o, £( et er sont égales entre elles et atteignent leur plus grande valeur. Le travail élastique de comparaison au centre de la plaque est donc :
ou, si Ton introduit la valeur explicite de Q et si Ton fait h
87rm«
Le dernier terme de la parenthèse peut être négligé devant
le premier, a étant très petit; dans ces conditions, et si l'on
fait m = — , il vient :
s, = 0,43 j^ log r . (175)
On voit que le travail à la périphérie serait égal à la valeur ci-dessus, si r était égal ke a^ e désignant la base des logarithmes naturels {e = 2,718...). Si a est plus pelit, le travail élastique au centre est plus grand qu'à la phériphérie.
Pour a=0,l r, par exemple, on trouve :
^ = 1,00^,; pour a =0,01 r :
DE LA RÉSISTANCE DES PLAQUES PLANES SeS .:'4
On voit par là que le travail élastique au centre augmente en effet rapidement lorsque Taire de la surface de charge diminue ; on reconnaît d'autre part qu'il n'y a pas à craindre qu'il devienne infini comme le faisaient croire les formules (170). Du reste, les formules précédentes ne sauraient prétendre à une grande exactitude : il se produit toujours dans le voisinage du point d'application de la charge des actions locales, dont la théorie ne lient pas compte, mais qui modifient sensiblement les hypothèses faites sur les déformations et la répartition des actions moléculaires.
Déterminons encore la surface élastique et l'inflexion de la plaque au centre. Il n'est pas nécessaire, pour ce calcul, de considérer spécialement la branche intérieure de la ligne méridienne de la surface élastique, car elle n'a pas d'influence sensible sur la grandeur de la déformation au centre de la plaque.
De l'équation (169) nous tirons, comme à Tarticle précédent :
d'où, en intégrant :
y = - ^ logr-h Y ^^&^ - 8 + ^- ^*^^^
Or»
Pour a: = r, y = o, donc C = — ,
par suite :
y=Q—^ jiog-- (178)
Comme nous l'avons remarqué, cette équation est valable jusqu'au centre de la plaque. Pour x = o, le second terme
du membre de droite prend la forme indéterminée £. ; il est
cependant facile de reconnaître que la vraie valeur de ce terme
est 0 ; en efl'ct, le logarithme d'un nombre croît beaucoup plus
lentement que le nombre lui-même et a fortiori que son carré.
r Le produit x' log — s'annule donc pour x = o. C'est du reste
le résullat auquel on arrive, si Ton applique à celte expression la règle de L'Hospilal.
Nous trouvons donc pour Tinflexion / au centre de la plaque :
Qr» 3 (m' - i) Pr^.
8 47rm* EA»
pour m = —:
Pr*
En comparant celte valeur avec la formule (464) on reconnaii que la flèche, dans le cas où la force P est concentrée au centre, est quatre fois plus grande que lorsque F est répartie uniformément sur toute la surface de la plaque.
81. Plaque reposant librement sur (ont le pour* tear et Boumise à une ehari^e uniformément répar« tie. — Toutes les considérations de Tarticle 79, sont encore applicables au cas qui nous occupe maintenant ; la constante d'intégration C de Téqualion (158) est nulle, par contre la constante B de l'expression
? = — ^x' + Bj: (180)
prend une nouvelle valeur. Si Ton admet que la plaque ne dépasse qu'infiniment peu le cercle d'appui, Rr esl nulle à la périphérie; on détermine alors B à Taide de cette condition. Si la plaque dépasse le cercle d'appui d'une quantité notable, il faut étudier la forme de la ligne méridienne de la surface élastique àTextérieur du cercle d'appui et exprimer la condition que les actions moléculaires radiales s'annulent à la périphérie. Il faut, en effet, qu'il en soit ainsi, puisqu'il n'existe en ces points aucune force extérieure qui puisse leur faire équilibre.
Le calcul indiqué ne présente aucune difficulté, on trouve facilement l'équation de la partie extérieure de la ligue élas-
tique en faisant N = o dans les équations qui donnent la branche intérieure. Les opérations sont toutefois un peu longues, car Ton a, outre B, deux constantes d'intégration à déterminer (on utilise à cet effet les relations exprimant que la branche extérieure et la branche intérieure de la ligne élastique 6e raccordent).
Nous nous bornerons ici au premier cas, celui oîi la plaque ne dépasse que très peu le cercle d'appui, de sorte que Rr = o pour j: == r.
L'équation (152) donne :
^ m* — i \ dx œ)
En vertu de ce qui précède^ la parenthèse doit s'annuler pour x = r; or, d'après (180) :
m£ + ^ = - (3/72 + 1) ^' + (m + l)B, il faut donc que :
d'où
Nous obtenons donc pour les dilatations :
La plus grande dilatation se produit au centre de la plaque, on trouve :
d'où résulte pour le travail élastique de comparaison, si l'on fait
h z = - et si Ton met pour N sa valeur (156) :
et pourm = ~ :
 rinverse de ce qui a lieu pour une plaque encastrée, les actions moléculaires atteignent ici leur maximum au centre de la plaque.
Toutes choses égales d'ailleurs, le travail élastique maximum est, dans le cas présent, 1,28 fois plus grand que dans le cas de la plaque encastrée.
Afin de calculer l'inflexion / au centre de la plaque, nous posons :
d'où résulte :
y=l{^-'":rK'-]+C; (.86)
pour ar = r, y = 0, il faut donc que :
Si Ton fait a: = 0 dans l'équation (186), il vient y = C; la constante C n'est par suite autre chose que la flèche /. En introduisant la valeur de N, il vient :
' 16WEA' ^ m+1 ' ^ '
et en particulier pour m = — :
Cette flèche est un peu plus de quatre fois plus grande
que celle de la plaque encastrée supportant la même charge.
On pourrait donc^ dans les essais de résistance, se rendre compte de Tefficacilé de Tencastrement des plaques en mesurant la flèche.
S9, Plaque reposant librement «ur tout le pourtour et soumise à. nue forée eoueentrée as:i»sant nu centre.
— Nous nous bornons à déterminer l'équation du méridien de la surface élastique et à calculer Tinflexion au centre, sans quoi nous devrions reprendre toutes les discussions de l'article 80, sans qu'il en résulte grand profit pour le lecteur.
Nous partons de la formule (168) qui est valable quelle que soit la manière dont la plaque repose à la périphérie .
Nous avons donc :
o=~-x\ogx -f Ba:,
G étant nul, comme précédemment. Pour déterminer B, nous utilisons la même condition qu'à l'article précédent: il faut que l'expression
df f
m -7- + ax X
s'annule pour j: = r. Nous trouvons :
m? + "=— (m + l)hogœ + (m + l)B -^m\; ax X 4 2
d'où, en faisant x = r :
B = ^ log r +
Nous avons doue :
cp = ?:rlog^+— ^^^o:. (188)
L'équation différentielle du méridien de lasurface élastique est par suite :
du /Q , »• . W^Q \
d'où, en intégrant:
V = — - - off — h-r + r: — tt; + G. (189) Pourar = r, y= o, donc :
Q/r» mr* \
2 V 4 ^ 2 (m + ly '
c'est là aussi la valeur de la flèche /. En mettant pour Q sa valeur, il vient :
. ^ 3(m-4)(3m+i> ^ ^ ^jg^^
' Anm* Eh*
et pour m =-r-:
Pr*
