THÉORIE APPROCHÉE

83. Théorie approeliée de Bacb pour le* plaques eircnlaircs. — Les calculs qui précèdent ont la réputation de présenter de grandes difficultés mathématiques, et sont souvent, pour cette raison, laissés de côté dans les ouvrages de portée générale. Nous ne partageons pas cette opinion, caria résolution des problèmes précédentsne demande en somme que les connaissances les plus éléraenlaires des méthodes de résolution des équations différentielles. L'établissement de ces der-

Qtères est un peu délicat, il est vrai, mais ne présente cependant pas de difficultés que des techniciens ou des élèvesingénieurs ne puissent surmonter.

D'autre part, pour des raisons que nous dirons plus loin, nous ne rejetons pas les tentatives faites pour établir des théories approchées. Ces dernières peuvent,dans certains cas, rendre de réels services.

Nous admettrons dans ce qui suit que la plaque repose librement à la périphérie. Cette hypothèse est justifiée, puisque nous venons de voir que, toutes choses égales d'ailleurs, le travail élastique de la matière est plus grand dans ce cas que lorsque la plaque est encastrée. De plus, comme nous l'avons fait déjà remarquer pour les prismes, les encastrements ne sont jamais pratiquement assez parfaits pour qu'il ne se produise pas de petites déformations angulaires, qui, naturellement, entraînent des modifications très importantes dans la façon dont se comporte la plaque.

Faisons une section suivant un diamètre et considérons Tune des moitiés de la plaque. Par raison de symétrie, il n'y a évidemment pas d'actions moléculaires tangentielles ; il n'y a lieu de considérer que les actions moléculaires normales que nous avons désignées par la lettre R< dans les articles précédents. Ces actions moléculaires se réduisent à un couple résultant, exactement comme celles agissant dans une^ section transversale d'un prisme travaillant à la flexion.

Supposons de plus que les charges qui agissent sur la plaque soient uniformément réparties, leur résultante est égale à

et passe par le centre de gravité du demi-cercle. Les réactions de l'appui sont, par raison de symétrie, uniformément réparties ; leur résultante est égale et de sens opposé à la résultante des charges, et passe par le centre de gravité de la demi-circonférence de rayon r. Donc, les forces extérieures qui agissent sur la moitié considérée de la plaque se rédui-

m CHAPITRE vii

sent à un couple, qui doit naturellement faire équilibre à celui des actions moléculaires. Soit M le moment de ce couple ; le

4r centre de gravité d'un demi-cercle est distant de— du dia-

mètre de base, celui de la demi-circonférence de — , nous avons donc :

npr^ /2r 4r

~ 3 Jusqu'ici, lo calcul est absolument rigoureux ; il n'est cependant pas possible d'aller ainsi plus loin, parce que nous ne pouvons indiquer a prioriïd, loi suivant laquelle la répartition des actions moléculaires R varie avec la distance x du point considéré au centre de la plaque. Tandis que la théorie mathématique nous permettait de trouver cette loi, nous devons avoir ici recours à l'hypothèse : nous admettrons que cette répartition est indépendante de x^ c'est-à-dire que les actions moléciilaires R sont réparties absolument comme sur la section d'un prisme travaillant à la flexion. Pour déterminer la valeur de R dans les arêtes, nous pouvons par suite utiliser la formule trouvée pour un prisme de section rectangulaire :

dans laquelle b doit être remplacé par 2 r, le diamètre de la plaque ; h signifie l'épaisseur de la plaque. En remplaçant M par sa valeur (191), nous trouvons :

La valeur de R ainsi déterminée n'est qu'une limite inférieure de rintensité maximum du travail élastique. En effet, les actions moléculaires qui dépendent en réalité de <r, doivent être en certains points plus grandes, et en d'autres plus petites que la valeur moyenne que nous venons de calculer. Pour pouvoir appliquer avec quelque sécurité l'équation (192), il nous faut montrer que la différence entre les résultats qu'elle fournit et

vr

la valear maximum réelle n'est pas assez grande pour que son emploi entraîne de graves erreurs.

A cet effet, on peut poser :

et chercher à déterminer expérimentalement la valeur à donner au coefficient numérique t). Il résulte d'essais faits par M.v. Bach, que Ton peut poser pratiquement ce coefficient égal à Tunité.

La justification de la formule (192) est donc ainsi établie. Il se pourrait cependant que tj prenne dans certains cas présentant des conditions très différentes de celles dans lesquelles les essais ont été faits, des valeurs assez différentes de Tunité; il est donc bon de comparer la formule de Bach avec les résultats de la théorie mathématique. On a, équation (152) :

de plus, d'après la rclalion (182),