FORMULE DE THOMAS SIMPSON

ARTICLE IV

DÉTERMINATION DES VALEURS NUMÉRIQUES DES SIX QUAN- TITÉS p , A, A', A", A', , A" (n° 39), et des quatre quantités (7 , <7 2 , a", (7 4 (n° 40), PAR LA FORMULE DE THOMAS SIMPSON.

49. Dans le cas des voûtes d'épaisseur variable, les nombres p , A, . . . , a , o- 2 , ... qui entrent dans les valeurs de Q et L ont été obtenus par des méthodes d'intégration indiquées dans les n os 39 et 40. Les formules obtenues par ces méthodes exigent des calculs assez longs; aussi sera-t-il souvent plus simple et suffisamment exact de déterminer ces nombres par la méthode d'intégration approchée dite formule de Thomas Simpson.

Rappelons brièvement en quoi consiste cette formule.

Elle a pour but de trouver la valeur numérique approchée d'une intégrale définie / ydx, dans laquelle j" est la

dérivée d'une fonction dex que Tonne sait pas déterminer sous forme finie. A cet effet, on calcule un certain nombre de valeurs de y correspondant à des valeurs de x croissant en progression arithmétique. On obtient ainsi les ordonnées d'un certain nombre de points de la courbe dont l'aire est égale à l'intégrale définie cherchée. En joignant ces points par des lignes droites, on obtient un polygone inscrit dont l'aire diffère d'autant moins de celle de la courbe que les points sont plus multipliés. Mais, afin d'éviter le calcul d'un trop grand nombre d'ordonnées , tout en conservant une approximation suffisante, on remplace les côtés du polygone par des arcs de paraboles du

second degré passant par trois points consécutifs, et dont l'ordonnée, contenant trois paramètres indéterminés, est de la forme y = ax 2 -h bx -+- c.

Divisons la différence b — a des valeurs extrêmes de x en un nombre pair 2« de parties égales. Soient h Tune de ces parties, ytijujni • • • ->Jin l es valeurs dey correspondant aux 2n + i valeurs de xa,a-+-h, a-hzh, . . ., b\ Taire du polygone curviligne ainsi obtenu étant représentée par S, on aura

s = 3 l>oH-ri» + 4(riH-r8+---4-ri»-i) + a( i 7',-t- i r4-+----+jî»-î)L

dans laquelle la parenthèse est la somme des deux ordonnées extrêmes ayant pour indices zéro et 277, plus quatre fois la somme des ordonnées d'indice impair, plus deux fois la somme des ordonnées d'indice pair.

On pourra prendre généralement la valeur de S pour celle de l'intégrale cherchée.

Lorsque la courbe présentera des parties d'une courbure prononcée, il pourra convenir de partager l'intervalle [b — a) en deux ou plusieurs parties, auxquelles on appliquera séparément la formule précédente en augmentant ou diminuant le nombre des divisions suivant que les valeurs de y varieront plus ou moins rapidement.

ARTICLE V