D'ÉPAISSEUR VARIABLE

à — A 7 pour obtenir la valeur de Q [voir la formule (3o), même numéro], et les fonctions de a entre parenthèses sont les nombres désignés par m K , m 8 , m 4 dans les formules ( b ) (n° 41). En faisant usage de ces lettres ainsi que des lettres / 4 , / 2 , 4, dont la valeur est donnée par les trois dernières formules (£), la valeur de L s'exprime par une formule identique à la formule (io), que nous avons obtenue à la fin du n° 41 pour le cas des voûtes d'épaisseur constante, savoir

Lr=/w 1 rD-w 3 rM -h m w rB! — / 4 rD -t- /, rk! — l z rB'.

Mais ici les nombres / 4 , l 2 , h t au lieu d'être empruntés aux Tables numériques, se calculent à l'aide des valeurs obtenues plus haut pour les six quantités p , A, A', A"> A' t , A". Quant aux valeurs des fonctions de a, désignées par m K , tw 3 , m 4 , on les trouvera directement, la première dans la Table II, les deux autres dans la Table IV.

D = A'-t-Q — 900ooo kg

rD — 23688oooo k « m

m 1 rD — i023oooo

Pour i6°, m z o,ooo5o4

Pour 54', o , 90 A m z 128

m z o ,ooo632

rk! 1 656oooooo lgin

m z rk' . . 1 046000

Pour 16 , /w 4 0,000246

Pour 54'» o,9oA/w 4 60

m K o ,ooo3o6

rB' 61 64ooooooo kgm

m k rB' 18860000

Pu

i x rjy — 1 855ooo kgm

/i — — o,oooo5i5

Po

l t rM 853oo k ' m

l 3 = o,oooo2538

/ 3 rB' 1 565ooo kem

L 79593oo k8,n

§ IV. — Calcul de la valeur numérique :

i° Des composantes X, Z, normales et parallèles aux sections normales et du moment M de leur résultante par rapport au centre de la

section ; 2 de la quantité w = — — , qui représente la distance de

la courbe des pressions à Tare moyen de la voûte (n° 37); 3° des quantités R, R', données par les équations (14) dun°24, représentant, la première la pression ou traction normale, et la seconde l'action parallèle ou effort tranchant par unité de surface en un point quelconque des sections normales.

Les valeurs de TJ l qui entrent dans les valeurs (32) (n° 36) de X et Z sont données par la formule (i5) du n° 35 et se calculent à l'aide de la Table I (n° 42).

Celles de sino et cosw qui multiplient Q et TJ 1 dans les deux premières équations (32) se déduisent par différence des nombres p K et p 2 de la Table I et du nombre m K de la Table II. On a en effet p K =rjb^p 2 =(ù — sina, m K = 1 — cos&>, et l'on en tire smto=p i — p 2 , cosco = 1 — m K .

Les valeurs de M données par la formule (33) du n° 36 se calculent à l'aide des nombres m K de la Table II et des

d'épaisseur VARIABLE. 123

nombres m 3 et m 4 de la Table IV, m { ,m 3 , m A désignant les fonctions de w qui entrent dans les trois premiers termes de cette formule (33). Les trois derniers termes, identiques à ceux qui occupent la même place dans la valeur de L, ont une somme égale à la valeur du moment M à la clef, puisqu'en faisant co = o dans la formule (33), les trois premiers termes disparaissent, et, en désignant cette valeur par M , on a

(b) M ^-/irD-W 8 rA'— / 3 rB'

et, d'après les valeurs trouvées plus haut pour les trois termes du second membre de cette égalité,

M = 3753oo k 6 m .

On connaît ainsi la valeur de M dans la section à la clef. Dans la section aux naissances, cette valeur est égale à L.

Pour obtenir les valeurs de X et Z à la clef, il faut faire co= o dans la formule (i5) du n° 35, ce qui donne TJ' = o, substituer cette valeur dans les deux premières formules (32) et y faire w = o. En désignant ces valeurs par X , Z , il en résulte

Dans la section aux naissances , il faut faire w = « , 2!' = - = — P, et Ton obtient ainsi, en désignant par X 4 , Z a les nouvelles valeurs de X et Z,

X« = Q cosa -+- P sin a, Z a = — Q sin a -f- P cos a.

Le calcul de ces formules est le suivant :

Q cosa = Q — - m l Q.

Qcosa — 68854oo k *

&inoL=p l — pf 0,2907

Psina . . — 83oooo kg

X a * 7 7 ! 5 ooo kg

— Qsina 2092000

(1 — /WjJPzzrPcosa ... —2730700

On voit que la composante parallèle Z a est petite par rapport à la composante normale X a , et, par suite, que leur résultante fait un angle petit avec la perpendiculaire à la section normale. Ce résultat confirme donc l'observation qui termine le n° 24, relativement à la condition nécessaire pour que les sections normales à la fibre moyenne restent encore normales à cette fibre dans le second état d'équilibre delà pièce. La plupart des théories antérieures à la nôtre supposent a priori cette condition réalisée.

Les valeurs de X et M étant connues dans les sections normales à la clef et aux naissances, les distances w 0} w a de la courbe des pressions aux centres de ces sections sont données par les égalités suivantes :