D'ÉPAISSEUR VARIABLE

Ainsi la courbe des pressions passe très-près du centre de la section normale à la clef.

Remplaçons dans les équations (14) du n° 24 M par sa valeur — wX et I par f L'e 8 ou {ûe 3 ; elles deviendront

X / 3tvc\

a et donneront, dans la section à la clef,

(R'o = o, et, dans la section aux naissances,

L'aire û d'une section normale est égale à a L'e. La valeur de e est égale à e=i m à la clef et à ef= 2 m aux naissances. On a donc, pour la valeur de £2 à la clef,

n = 8,oo,

et aux naissances

L'effort tranchant R' est nul à la clef et est égal, aux naissances, à

R;=-39 9 oo 1 «,

l'unité étant égale au mètre carré. En prenant pour unité le centimètre carré, l'effort tranchant est

Le signe — de cette valeur provient du signe de la quantité Z„ qui représente une force appliquée à la voûte et provenant du massif de retombée situé à droite de la section normale de droite aux naissances. Cette force, dirigée de bas en haut, est négative, d'après les conventions du n° 6. Pour avoir les pressions ou tractions normales à Tintrados et à l'extrados à la clef, il faut faire, dans la formule (1) ci-dessus, v = e pour l'intrados et v = — e pour l'extrados. L'équation (2) donnera de même les valeurs de R aux naissances, en y faisant v = ef pour l'intrados et v = — e pour l'extrados. En employant les lettres e et 1 en exposant pour désigner l'extrados et l'intrados, on obtient, pour les valeurs de R,

R* = — 1039700**, K e = — 758300*8, Ri = — 1228000^, R*= 264ooo k «;

en prenant le centimètre carré pour unité, ces valeurs sont

R' Q =-io4 k i, R<=- 76^, R'. = — i23 kB , R e a =z+ 26K

Les trois premières quantités sont des pressions, parce qu'elles sont affectées du signe — . Elles représentent, en effet, des forces appliquées à la partie de voûte située à gauche et provenant de la partie située à droite de chaque section normale. Or le signe — , d'après les conventions du n° H, indique que les forces sont dirigées de droite à gauche; donc il y a pression dans les points où R est négatif.

Les résultats qui précèdent sont la conséquence rigou-

d'épaisseur variable. 127

reuse des hypothèses que nous avons faites pour établir notre théorie. Ainsi nous avons considéré la voûte comme un monolithe homogène lié invariablement à ses extrémités avec des massifs inébranlables et constituant une pièce prismatique telle que nous l'avons définie dans les n 08 1 et 3. Dans une pièce semblable, un déplacement relatif des sections normales, ayant pour effet d'augmenter Técartement de certaines molécules, ferait naître des forces attractives entre ces molécules. Les valeurs positives de R auxquelles nous sommes parvenu, et qui représentent une traction, montrent que, dans une voûte construite avec les données prises pour exemple et satisfaisant à nos hypothèses, un pareil déplacement des sections normales se produirait nécessairement.

Mais il s'agit de savoir si une voûte construite dans les conditions ordinaires de la pratique se comporterait de la même manière que la voûte hypothétique ou d'une manière peu différente, ou si, au contraire, l'hypothèse se trouve trop éloignée de la réalité pour que la théorie précédente puisse être appliquée avec utilité.

Remarquons d'abord que l'existence d'une traction à l'extrados aux naissances dans la voûte théorique est confirmée dans l'expérience de la pratique, par l'ouverture qui se produit presque invariablement dans le joint en ce point pour les voûtes surbaissées comme celle que nous avons prise pour exemple. Cette ouverture rend manifeste, il est vrai, la différence qui existe entre les deux voûtes théorique et pratique. Les tractions développées dans les parties de la section normale aux naissances voisines de l'extrados, qui existent dans la première, sont supprimées dans la seconde; il en résulte que la répartition des forces dans cette section est évidemment différente dans les deux voûtes et que cette répartition est plus ou moins différente

aussi dans les autres sections normales. On pourrait atténuer ces différences par certaines précautions qui permettraient à la maçonnerie voisine de l'extrados aux naissances de résister à la traction : tel serait l'emploi d'un appareil de pierre en queue d'aronde ou de crampons reliant les pierres entre elles. Mais, sans avoir recours à d'autre procédé qu'à l'emploi des mortiers de ciment, dont la résistance à l'arrachement est presque égale à celle des pierres dures, nous pensons que les différences dont nous venons de parler ne seront jamais assez grandes pour que les pressions maxima, qui dans la voûte théorique auront été trouvées égales à une petite fraction de la pression de rupture, se rapprochent assez de cette pression de rupture, dans la voûte réelle, pour en compromettre la solidité.

Remarquons encore que l'application de la théorie précédente ne conduit pas toujours à des valeurs de R affectées du signe -f- et représentant par suite des tractions. Lorsque ces valeurs seront toutes négatives, il n'y aura pas de motif pour supposer que la voûte pratique se comporte autrement que la voûte théorique, et le problème jusqu'ici indéterminé de la situation réelle de la courbe des pressions dans une voûte en maçonnerie devra être considéré comme résolu.

Calcul d'un certain nombre de valeurs intermédiaires rfe X, M, w, ainsi que de R' et R*.

Nous calculerons les cinq valeurs de ces quantités correspondant aux valeurs de o>, croissant de 3° en 3° depuis 3° jusqu'à i5°. Les calculs sont disposés dans le Tableau suivant :

d'épaisseur variable.

Pi'

OT â .

Pt k<.

pfi'.

0,OOl37I

56oo,o

o,oo548

i5iooo,o

i3i8ooo,o

3585oo,o

wîjQ.

Qcoso».

sine*

Z"sinw.

o,io453

— 7o386oo,o

3485oo,o

555ooo,o

TO t rD.

bîjXio'.

m 4 xio*.

l3o CHAPITRE III. — STABILITÉ DES VOUTES EN ARC DE CERCLE

m t rk'.

ro 4 rB'.

io36,o

H-0,OIO

— 63oooo,o

645ooo,o

Al'

— 0,2ÔI

— 6i3ooo,o

-hi,3i8

par centim. carié.

par (

,enlim. carré.

-f-i858oo,o

d'épaisseur constante. l3f

Tous les calculs de ce Tableau ont été effectués avec une règle logarithmique.

La pression maximum par centimètre carré est donc de i22 kg ,8o et a lieu à l'intrados aux naissances.

Les pierres-marbres de Sampans (Jura) ne s'écrasent que sous une pression de i075 kg par centimètre carré, et plusieurs granits ont une résistance plus grande encore. Il serait donc possible de construire avec ces matériaux une voûte stable ayant les dimensions de celle que nous avons prise pour exemple, à la condition de recevoir les retombées sur le rocher naturel ou sur des massifs de maçonnerie assez solidement établis pour en tenir lieu.

Exemple de V application des Tables à une voûte d' épaisseur constante,

51. Prenons une voûte ayant même intrados que celle du numéro précédent et une épaisseur constante égale à la moyenne des épaisseurs de cette même voûte. Pour calculer cette épaisseur moyenne, on divisera l'aire de la section longitudinale de la voûte par la longueur de l'arc moyen. La demi-épaisseur variable e de la voûte précédente étant exprimée en fonction de l'angle w par l'équation *

s = e[ i -4- 772(1 — cosw)]

[voir les formules (3) et (4) du n° 33, (4) du n° 39 et

(a) du n° 50], l'aire / 2£/ , r/o)dela demi-section longitudi-

nale sera 2re[aH-/ra(a — sina)], et le quotient de cette

quantité par la longueur ra de la moitié de l'arc moyen sera

ie I 1 -f- m - 1 • .La quantité m, égale à ? a

(« — sin a \ T . , , ,