PIÈCES DE FORME QUELCONQUE
§ I. — Détermination de P, Q, L.
52. Reportons-nous au commencement du Chapitre II ; supposons'que, toutes les autres conditions indiquées au n° 25 étant d'ailleurs satisfaites, la fibre moyenne de la pièce, au lieu d'être un arc de cercle, soit une courbe plane quelconque, mais symétrique par rapport à la verticale Oz(Jîg. i5), et supposons que la ligne AOB représente cette courbe. Soit m un de ses points, centre de la section normale GH. Au lieu de rapporter ce point m à un système de coordonnées polaires qui, dans le cas d'une fibre moyenne circulaire, avait l'avantage de simplifier les calculs, nous conserverons les coordonnées rectilignes x et z, rapportées à l'horizontale Ox et à la verticale Oz du sommet de la courbe. Soient x = a, z =fles coordonnées du point B, centre de la section normale à l'extrémité droite de la pièce ; le moment M par rapport au point m de la résultante de toutes les forces appliquées à la pièce à droite de la section GH est
(b) M==M'-hL-+-P(a — jr)--Q(/--s).
Mettons cette valeur dans la première équation (2) du n° 25, et nous aurons
{I ) rf ^ = g f /, +(L+a p /Q )g|î^. h |f A .
déterhinàtiok de P, Q, L. i43
Multiplions par £ et intégrons depuis le point A jusqu'au point m, c'est-à-dire depuis x= — a jusqu'à x = x; nous aurons, en supposant dq nul au point A,
dans laquelle
[a] Ai=L + «P-/Q.
Multiplions par E les deux dernières formules (2), et remplaçons-y Eify par sa valeur précédente; elles deviendront
12) Y*d8x = —dz f -- A — Adzl y -h Pdz f y r/.v - Qeiz I " ffr.
/° X lVf' /•■* / /•" r l* X -
i 3) Erffc — dx \ - <fr -h A</x / j-Pd.r f y ,/.v + Q<Lc | 'fr.
Intégrons maintenant les trois équations (1), (î«) et (3) qui précèdent, depuis x = — a jusqu'à x = «, et supposons que les valeurs de cfy, &r et Jz soient toutes nulles aux extrémités A et B; nous aurons
i„T"'* A /;i-"lï'" + «/.,-."-=-
l44 CHAPITRE 1Y. — PIÈCES DB FORME QUELCONQUE.
Les intégrales doubles des deux dernières équations peuvent être ramenées à des intégrales simples au moyen de l'intégration par parties, qui donne les résultats suivants :
Posons, pour abréger,
I — cfr = w ,
DÉTBUMHATIOlf DB P, Q, L.
(/) [Suite.]
/ ^dsz=z l9
Désignons par S lf S 2 , S 3 , . . . , S 8 les premiers membres des équations (5), et remarquons que les termes sous le signe f qui contiennent en facteur la première puissance de x sans contenir M' ont une intégrale nulle comme composée d'éléments égaux deux à deux et de signes contraires, correspondant à deux points symétriques ayant pour abscisses x et — x\ nous aurons
S x =: m Q f— m if S 3 = o,
S 4 = Zj - 3„
S B — am Q -- m t ,
5 6 = az 09
5 7 ~ — ^2, S s --az lt
A l'aide de ces valeurs, les équations (4) deviennent
!As -f-Qsi-f- m z=z o, A [z x — z f) H- Q(* t — z x f) +m x - m /z=z o, x Aaz -\- Qaz l -4- Px, -f- am — m, = o.
l46 CHAPITRE IV. — PIÈGES DE FORME QUELCONQUE.
On tire des deux premières, qui ne renferment pas P explicitement,
et, en remplaçant dans la troisième A et Q par ces valeurs, on en tire
{8) P = ÏL,
et la seconde équation ( b') donne
La valeur de P, donnée par l'équation (8), se réduit, dans le cas de la symétrie des charges, à la demi-somme de ces charges. La démonstration est la même que celle du n°30.
En effet, la valeur de m a est celle de I — - ds; celle de
M' est M=(g — x)Z', Z' étant la résultante des forces appliquées à la partie mB de la pièce {Jig- 7), g sa distance à la verticale du sommet, et M' le moment de cette résultante par rapport au point m. En désignant par Z" et M", comme au n°30, les quantités analogues relatives au point m', symétrique du point m et par 2 II le poids total de la pièce et des charges qu'elle supporte, on a
Z'-4-Z"=2lI,
La somme des deux éléments de l'intégrale m 2 , corres-
DÉTERMINATION DE P, Q, L. ifa
pondant aux deux points m et m', qui ont pour coordonnées j: et — x 9 est donc
M' — M" ,, an tJ - xds = — x*ds 9
et, en intégrant cette expression seulement depuis x = o jusqu'à x = a, on formera évidemment l'intégrale m*. Or,
11 en résulte
nti — — nxj,
et par conséquent
