P = -II

Ce résultat donne lieu aux mêmes observations que celui du n° 30.

En éliminant m K entre les équations (7) et (9), on obtient

Si l'on voulait tenir compte, dans le calcul de P, Q,L, des termes en X et Z des deux dernières équations (1) du n°25, il faudrait remarquer que ces deux composantes normale

et parallèle à la section normale en m le cosinus de

l'angle de la tangente à la courbe avec l'axe des x étant

— et le sinus du même angle — ) sont exprimées par les

équations suivantes :

dx dz

ds ds

* „ ^ dz nm dx

Z = — Q- — Z" — , ds ds

l4& CHAPIT1E IV. — PIÈGES DE POEME QUELCONQUE.

Z" étant le poids de la partie de la pièce et de sa charge située entre le milieu O et le point m {fig* i5). Substituant ces valeurs dans la deuxième équation ( i) et intégrant depuis x = — a jusqu'à x = a, on obtient, en désignant par les termes complémentaires de cette équation,

Cette expression est de la forme

(A) toQ + « + 2«Et

et doit être ajoutée au premier membre de la seconde des équations (6), qui, combinée avec la première, donnera pour Q une valeur différant de la valeur (7) par le changement de z 2 enz 2 -hm et celui de m K en m, -f-rc-f- aaEr, savoir

m \ — m o h « 4- 2ûEt

Or chacune des quantités m et n est petite par rapport z \ z

à z 2 L et à m 1 — m — • Pour le reconnaître, il faut

faire une hypothèse sur la forme de la fibre moyenne AmB. Supposons donc que la courbe OmB soit un arc de parabole, et que Taxe Ox soit la tangente au sommet O. Son équation sera

Z ~~ *P* dans laquelle

Supposons en outre que la charge par mètre courant de

DÉTERMINATION DE P, Q, L. l^g

l'abscisse soit une quantité constante -• Le moment M',

qui entre dans l'intégrale m h est donné par l'équation [voir formule (14), n° 35]

(g) M' = M ff fl -M"-(n-Z").r.

La charge par mètre courant d'abscisse étant égale à la constante - > les quantités M* , M" et Z" seront

il en résulte

la 1

M '= tiiTJZ^., ia

équation qu'on aurait pu écrire immédiatement, sachant que M'est le moment par rapport au point m [fig* i5), ayant pour abscisse x 9 de la charge de la partie m B de la

pièce. Multiplions par y et intégrons depuis x = — a jusqu'à x = a; nous aurons, en supposant I constant et ds égal à dx,

Multiplions ensuite M' par — et intégrons entre les mêmes limites; nous aurons

4 na* i5 pi

l5o CHAPITRE IV. — PIÈGES DE FORME QUELCONQUE.

Les valeurs de z , z K et z 2 que l'on obtient de même

sont

Il en résulte

* 2 ~ iop'I*

les lettres N et M étant employées pour abréger.

Les valeurs de m et n 9 calculées dans les mêmes hypothèses, sont

4 lia*

On en conclut, pour la valeur absolue des rapports -?-?

la lettre p désignant le rayon de gyration de Taire de la section normale, dont le carré est - • Les valeurs numériques de ces deux rapports dans le cas traité au n° 51 , où

USAGE DE L'ÉPURE DE MÊRY. l5l

la valeur de p est égale à o, 77, sont

- ~o,oo3,

Ainsi se trouve confirmée de nouveau l'observation que nous avons faite plusieurs fois sur la faible importance des termes en X et Z des équations (1) du n° 25. Nous en ferons donc abstraction, en sorte que nous prendrons l'équation (d) pour représenter la valeur exacte de Q ('). Les valeurs (e) de M et N donnent, t étant supposé nul,

formule identique à celle qui donne la tension horizontale des câbles dans les ponts suspendus. Le moment L donné par l'équation (10) est nul, et il en est de même de la valeur ( b) de M, qui est constamment nulle, en sorte que la courbe des pressions passe par le centre de toutes les

sections normales , puisque w = — — est constamment

nul.

§ II. — Usage de l'épure de Méry.

Laissons de côté les hypothèses particulières qui précèdent et cherchons, pour le cas général dont il s'agit dans ce Chapitre, à déterminer les intégrales qui entrent dans les valeurs de Q et L, après quoi nous déterminerons

(') Voir les n°" 60 et suivants.

l5a CHAPITRE 1Y. — PIÈCES DE FORMB QUELCONQUE.

la composante normale X de la résultante des forces appliquées à une section quelconque, le moment M de cette résultante par rapport au centre de la section et la distance, w = — =r' de la courbe des pressions à ce centre,

distance qui servira à déterminer ensuite les valeurs de la pression ou traction normale par unité de surface

R = — ( i H — - J en un point situé à la distance y du centre

de la section, cette distance étant comptée positivement dans le sens raG (fig* i5).

La valeur de X est donnée par la première équation (a), page 1 4 7 • La quantité Z" s'obtien dra graphiquement au moyen de l'épure deMéry. Cette épure est une coupe longitudinale de la pièce par le plan de la fibre moyenne. On y trace cette courbe, que l'on partage en un certain nombre de parties, et par les points de division on lui mène des normales. Soit m (fig. i5) l'un des points de division ; on porte sur la normale des longueurs égales m H, mG telles que le produit de GH par ds soit proportionnel à la charge appliquée à l'élément ds. On obtiendra ainsi pour le lieu des points G et H des arcs tels que RGD, LHF.

Cela posé, la quantité Z" correspondant au point m sera mesurée par l'aire KGHL, comprise entre la normale à la clef et la normale en m. On formera le Tableau de ces valeurs pour tous les points de division m de la courbe.

Remplaçons, dans les expressions (/) dem et m if M/ par sa valeur (g) ; posons

Po =J 1 ds,

r a z".r-M ff ,

H = I ^ zdsy

DSAGI DB L'ÉPURE DE MÉ1Y. l53

et nous aurons

m = Ma « -4- f* »

Mettons ces valeurs dans les expressions de Q et L [formules (7) et (10)]; nous obtiendrons

Pi — Po

- +2ûEî

, = *C- Pu -f- Q/- Q ï! - ^.

La valeur de M est donnée par l'équation (&); remplaçons-y L par la valeur précédente, M' par sa valeur (g), et il viendra

(12) M =r. — M" -h Vx + Q* — Q?" — £î.

En faisant x = o dans cette dernière équation , on obtient, pour la valeur M du moment M dans la section normale à la clef,

(A) Mo =- Q J-p.

En y faisant x = a y on retombe sur la valeur (11) du moment M, désignée par L dans la section normale aux naissances.

L'épure de Méry servira à déterminer les valeurs de M", moment de l'aire RGHL par rapport au point O. Ce moment est égal à la somme des moments par rapport au même point des différentes parties de la pièce.

La même épure fournira les éléments des intégrales fjt 0> \>>\ qui entrent dans les expressions (1 1). A l'aide de ces

l54 CHAPITRE IV. — PIÈGES DE FORME QUELCONQUE.

éléments, on calculera les intégrales par la formule de Thomas Simpson, indiquée au n° 49. Ces intégrales sont au nombre de cinq. Leurs moitiés, que Ton obtient en remplaçant la limite inférieure x = — a par x = o, peuvent leur être substituées, conformément à l'observation du n° 39. Conservons les mêmes lettres z 0y z 4 , ... pour représenter ces moitiés, et nous aurons

r a ds

flQ = I dSy

Vx — VL" „ zdSy

§ III. — Exemple de l'application de la méthode précédente.

Appliquons la méthode que nous venons d'indiquer à la voûte qui nous a déjà servi d'exemple dans le n° 50.

Les données qui serviront à tracer l'épure de Méry sont les suivantes :

Corde de l'arc d'intrados il' = i52,oo

Flèche de l'arc d'intrados f = 12, 3o

Épaisseur de la voûte à la clef ie = 2,00

Épaisseur de la voûte aux naissances ie'=: 4 » °°

Épaisseur proportionnelle à la charge à la clef. . . E =r 2 , 3o Épaisseur proportionnelle à la charge aux naissances E l = 6, 00

USAGE DE L'ÉPURE DE MÉRY. l55

Les opérations numériques eflFectuées dans le n° 50 seront remplacées en partie ici par des opérations graphiques. Traçons sur l'épure (fig. 12), à l'échelle de o, oo5 = 2^, les courbes d'intrados, d'extrados et de fibre moyenne. Ces courbes sont ici des arcs de cercle, mais pourraient avoir une forme quelconque, anse de panier, ellipse, etc., sans qu'il y eût rien de changé dans la méthode. Traçons ensuite la courbe limitant, les épaisseurs proportionnelles aux charges; soit AB cette courbe. Menons aux points 2, 3, 4> 5 et 6 de la fibre moyenne les normales dont les angles avec la verticale croissent de 3° en 3°. Nous adoptons cette division, qui nous a déjà servi dans l'application du n° 50 et qui correspond à des valeurs de la variable s, qui est la longueur de l'arc, croissant en progression arithmétique, ainsi que l'exige l'application de la formule de Thomas Simpson. Si la fibre moyenne n'était pas un arc de cercle, il faudrait donc partager la courbe en arcs de longueur constante, en sorte que les angles des normales aux points de division avec la verticale croîtraient de quantités inégales . Mesurons les longueurs des normales comprises entre l'arc d'intrados et la courbe AB, et inscrivons-les dans la deuxième colonne du Tableau ci-après.

Dans ce Tableau, les nombres de la colonne 6 doivent être multipliés par io4oopour représenter des kilogrammes. Ce nombre est le produit de la largeur du pont L/= 4 m >°o P ar I e poids 7r= 2Ôoo kg du mètre cube de maçonnerie. Le dernier nombre de la colonne 6, qui représente le poids 11 = Z^ de la moitié delà construction,

est

n = — P = 1 970 ooo kg .

Les nombres de la colonne 7 sont les bras de levier y des poids AZ" mesurés sur l'épure.

l56 CHAPITRE IV. — PIÈGES DE FORME QUELCONQUE.

La valeur de Q déduite des valeurs de [x , [x i7 z , z {y z 2

obtenues à l'aide du Tableau doit être multipliée par le

même facteur 10400, pour exprimer des kilogrammes;

cette valeur est

Nous avions trouvé, pour la partie principale de la poussée, la seule qui entre dans la valeur précédente,

Q l =— 773a5io kg .

Ainsi la nouvelle méthode donne un résultat très-peu différent de celui que donne la première.

Calcul de L.

L = - Ml - Va -f- Q/-+- M ,

zo L

— M^— Va= le dernier nombre delà col. 22. 9032

et, en multipliant par 10400,

L=r 63i4ooo kgm .

Nous avions trouvé pour L (§ III du n° 50)

L = 795g3oo kg .