RÉSISTANCE DES ARCS MÉTALLIQUES

ARTICLE I

DÉTERMINATION DE LA NOUVELLE FORME DE LA FIBRE MOYENNE ET INFLUENCE DE LA TEMPÉRATURE.

53. Les arcs métalliques qui entrent dans la construction des ponts sont des pièces prismatiques conformes à la définition du n° 1 de cet Ouvrage et remplissant les conditions de symétrie indiquées dans le n° 25, leur fibre moyenne pouvant avoir d'ailleurs une forme quelconque.

Ces arcs sont des assemblages de ferronnerie avec boulons et rivets, qui permettent à l'arc de se comporter à peu près comme une pièce unique de matière homogène. Les piles ou culées, supposées inébranlables, reçoivent la retombée des extrémités de l'arc par l'intermédiaire de plaques d'appui scellées dans la maçonnerie et assemblées avec les sections extrêmes. Des cales d'acier interposées entre l'arc et les plaques aervent à régler la construction pendant la pose de ses différentes parties.

Le problème relatif à la détermination des efforts de pression ou de traction développés dans le mêlai par l'application de forces extérieures est identique à celui qui a été traité pour les voûtes dans les Chapitres précédents ; seulement, pour les métaux, le coefficient d'élasticité et le

DE FORME QUELCONQUE. l65

coefficient de dilatation étant des nombres connus, on pourra traiter ici deux questions dont la solution ne peut être obtenue pour les voûtes dans l'état imparfait de nos connaissances sur la valeur des deux coefficients dont il s'agit, applicable aux matériaux employés dans leur construction. La première est relative à la détermination des valeurs des variations $x et dz des coordonnées de la courbe de la fibre moyenne en fonction de l'une des coordonnées a: et z ou de toute autre variable indépendante liée à celles-là, ce qui fera connaître la nouvelle forme que prend la fibre moyenne par suite de l'application des forces extérieures. La seconde question est relative à l'influence qu'une variation de température exerce tant sur les efforts de pression ou traction qui se produisent dans la pièce que sur la forme de sa fibre moyenne.

Ces nouvelles questions sont importantes, parce que, leurs résultats étant susceptibles d'être assez facilement contrôlés par l'observation expérimentale, elles fournissent un moyen de reconnaître jusqu'à quel point les conditions de la pratique sont bien conformes aux hypothèses de la théorie.

54. Détermination de la nouvelle forme de la fibre moyenne. — Pour résoudre cette première question, il faut déterminer les valeurs de $x et dz, qui entrent par leurs différentielles dans les équations (2) du n° 25.

Prenons le même système de coordonnées que dans le n° 52. Intégrons la première équation depuis le point A jusqu'au point m (fig. i5), c'est-à-dire depuis x = — a jusqu'à x = x ; nous aurons, $q étant nul au point A,

l66 CUAPITRE V. — ARCS MÉTALLIQUES

Mettons cette valeur dans les deux autres équations, et

nous aurons

Intégrons ces deux équations depuis x = — a jusqu'à x = x ; nous aurons, en remarquant que $x et ôz sont nuls à l'extrémité A,

(e) *' = -/ *1*=-f'*fïï dg '

Les deux intégrales doubles qui précèdent peuvent être remplacées par des intégrales simples au moyen de l'intégration par parties, qui donne

La valeur du moment M est donnée par l'équation (12) du n° 52, savoir

(a) M = Z".r — M* -4- Qs + M .

La quantité M , mise à la place des deux derniers termes, est la valeur du moment M à la clef. On arriverait au même résultat par la démonstration suivante.

La partie Om de la pièce {fig* i5) est en équilibre sous