DE FORME QUELCONQUE

l'action : i° de la résultante verticale V des forces appliquées entre O et m ; 2° des forces appliquées dans la section RL à la clef, qui se composent dans le couple M et dans une résultante égale et parallèle à Q, appliquée au centre O de la section et dirigée de gauche à droite, 3° des forces appliquées à la section GH, qui se composent dans le couple M et dans une résultante appliquée au centre m de la section dont la composante parallèle à Taxe des x est égale à Q et dirigée de droite à gauche, et la composante parallèle à Taxe des z est égale à 71' et dirigée de bas en haut. Les deux équations de l'équilibre dites de translation sont évidemment satisfaites par ces forces. Formons la troisième équation dite de rotation ou des moments, en prenant les moments par rapport au point O.

Le moment de la résultante verticale Z"par rapport à ce point est égal à M"; celui de la résultante appliquée au point m est — TJ 1 x — Qz. Faisons la somme de ces moments et remarquons que, M désignant le moment d'un couple appliqué à la partie de la pièce située à gauche d'une section normale et provenant de l'action de la partie de la pièce située à droite de cette section, le moment du couple M doit être pris avec le signe — , puisqu'il est appliqué à la partie O/w de la pièce située à droite de la section RL et qu'il provient de la réaction de la partie située à gauche ; l'équation des moments sera

qui est identique à la précédente.

Les deux valeurs de M correspondant à deux points symétriques sont égales. En effet, soient m 1 (jîg* i5) le point symétrique du point m, H 7 G' la section symétrique de la section GH. Le moment M relatif à la section HG provient de l'action delà partie GHFD sur la partie GHH'G' et est

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appliqué à cette dernière partie. Le moment M' relatif à la section G'H' provient de l'action de la partie GHH'G' et est appliqué sur la partie G'H'EC. Réciproquement, la partie G'H'EC exerce sur la partie GHH'G' une action qui produit un couple égal et contraire appliqué à cette partie. Ainsi la partie GHH'G' est sollicitée par deux couples M et — M 7 . Elle est sollicitée, en outre, par des forces symétriques par rapport à la verticale O-z, dont la résultante est située sur cette verticale, et, la partie G H H' G' étant en équilibre sous l'action de cette résultante et des deux couples M et — M', il faut que cette résultante soit nulle et que M' soit égal à M. On arriverait à la même conclusion en remarquant que, en vertu de la symétrie, la partie centrale reçoit de la part des deux parties extrêmes deux actions symétriques ; donc le moment M provenant de la partie droite est égal et contraire au moment provenant de la partie gauche ; mais ce dernier est égal et contraire au moment M' provenant réciproquement de l'action de la partie centrale sur la partie gauche. Donc M = M'.

Nous allons examiner si la formule (a) conduit au même résultat. Dans cette formule, M" est le moment par rapport au point O de la résultante Z" appliquée à la partie de la pièce comprise entre l'origine O et le point m. En désignant par y le bras de levier de cette résultante, qui n'est autre que l'abscisse de son point d'application, on a donc

d'où l'équation (a) devient

[b) M = (*- 7 )Z' / -f-Qz-f-M .

La quantité y est négative à gauche du point O. La quantité Z", somme des charges réparties depuis le point O jusqu'au point m, doit être considérée aussi comme négative