DE FORME QUELCONQUE. 1 «J I

2° Les valeurs de $x données par l'équation (e) sont égales et de signes contraires quand on change x en — x. En effet, le premier ternie z$q change de signe sans changer de valeur, et je dis qu'il en est de même du second, c'est-à-dire que l'on a

J Ti ch=z "J m ds '

Il suffit de remarquer pour cela que l'on a

puisque Sx est nul à l'extrémité B, et la démonstration se terminerait comme dans le cas précédent.

On conclut de là que dq et dx sont nuls au sommet, car l'équation (g) donne pour x = o, en appelant àq la valeur inconnue de Sq au sommet,

<tyo = — <tyo* d'où résulte

On démontrerait de même que

<Lr = o.

3° Les valeurs de Sz données par l'équation (f) sont égales et de même signe pour deux points symétriques.

En effet, le premier terme x$q ne change pas, puisque ses deux . facteurs changent de signe sans changer de valeur, et je dis que le second ne change pas quand on

C x M.r remplace x par — x. En effet, l'intégrale I r=^ ds est

égale à zéro comme composée d'éléments égaux deux à deux

1^2 CBAPITRB Y. — ARCS MÉTALLIQUES

et de signes contraires ; donc l'intégrale 1 — ds est évidemment égale à I — ds.

Ainsi, les formules qui donnent les valeurs de ôq, dx et âz conduisent bien aux résultats de symétrie qu'elles doivent nécessairement donner pour les valeurs dont il s'agit. Les deux moitiés de la courbe dont la fibre moyenne affecte la forme dans le second état d'équilibre étant symétriques, il suffira donc de considérer les valeurs des variations correspondant aux points de l'une des moitiés, OB par exemple. Prenant pour première limite des intégrales x = oet remarquant qu'à cette limite on a âq = o, $x = o, $z = df, df désignant la variation de l'ordonnée z au sommet, il vient

tq=J o g*,

(in '**=-***+ r^f*,

La quantité âz étant nulle à l'extrémité B, le second membre de cette dernière équation doit s'annuler pour x = a ; mais dq s'annule aussi pour cette valeur de x : donc on a

(*) 5f-f^<ts = o,

équation qui fait connaître la valeur de l'inconnue êf.

56. Influence d'une variation de température. — Si la température de l'arc métallique n'est pas la même dans le

DB FORME QUBLCOKQUE. I 73

second état d'équilibre que dans le premier, en désignant par r le produit du coefficient de dilatation par le nombre de degrés dont la température a varié, on obtiendra la variation de Q à l'aide de la première équation (i i) du n° 52, dans laquelle on fera fi { = o, [x = o. En effet, d'après le principe du n° 17, pour trouver l'effet produit par une seule des causes qui agissent simultanément sur la pièce, il faut supposer qu'elle agisse isolément. Il faut donc supposer ici que les forces sont égales à zéro: on aura donc Z // = o, M /7 = o, et par suite p = o, f*i = o. La variation de Q, que nous désignerons par la même lettre, sera donc

Lorsqu'on aura calculé cette quantité, on en déduira celle de L donnée par la seconde équation (n), qui sera

M , valeur du moment M à la clef, étant donné par la formule

La valeur de M donnée par l'équation (12) sera simplement (3) M = Qz+N ,

et celle de X donnée par la première équation (a) du même numéro,

On ajoutera ces variations aux quantités M et X déjà