AUX NAISSANCES

X a = Qcosa — Ilsina.

Q cosa — 3o 1 020 k *

sina o,32i2

Ilsina 3372Ô kg

X a -Ar 0.0080G

— 2 342 000 kg

il *

— ; i8qoo k *

Rî — 236ogoo k «

RJ — 2323 ioo k «

l8* CUAP1TRB V. — ARCS SURBAISSÉS.

En prenant pour unité de surface le millimètre carré, les pressions qui se produisent à la clef et aux naissances, tant à l'intrados qu'à l'extrados, sont exprimées par les nombres suivants :

Ri =2,35,

R<=2,io,

Rï = 2,36,

60. Valeur complète de la poussée dans les arcs surbaissés. — Dans les arcs métalliques surbaissés : i° la composante X, normale à chaque section normale, est à peu près constante et égale à la poussée horizontale Q, qui est la valeur de cette composante à la clef; 2° la composante parallèle Z est petite par rapport à X et peut être négligée.

En effet, X et Z sont les projections sur la tangente et la normale à la fibre moyenne de la résultante appliquée à la section normale que Ton considère. Les projections de cette résultante sur l'axe horizontal des x et l'axe vertical des z sont Q et — Z", car ces projections sont égales à X cos w — Z sin co et X sin o> H- Z cos co, et, en remplaçant X et Z par leurs valeurs (32) du n° 36, elles se réduisent à Q et — Z /; . Dans la/zg*. i3 de l'épure de Méry, les droites AB, Ai, A 2, ... représentent les directions de la résultante des forces — Q et -h Z", qui est égale et contraire à la précédente. Les droites Di, D2, ... représentent la direction des normales aux diverses sections normales aux points A, 1, 2, ... de la fibre moyenne, et l'on voit que chacune des droites du faisceau A fait un angle très-petit avec la droite correspondante du faisceau D.

Reportons-nous à l'équation (B) du n° 52, Chapitre IV, déduite de la deuxième équation (1) du n° 25, Chapitre II.

FORMULES COMPLÈTES. l83

Par suite de l'hypothèse X = Q, Z = o, elle se réduit

et les quantités désignées par les lettres m et n sont, page 148,

r " dx

L'équation (rf), donnant la valeur de la poussée, est alors

m x — m h 2rtEi

La valeur de L, donnée par l'équation (10), ne subit aucun changement, puisqu'elle ne renferme pas la quantité z 2 . Les équations (n) et (12) (§11 du Chapitre IV), qui donnent les valeurs de Q, L et M, seront donc

(2) L = -M;— Va +Q/-QÎL — Û,

(3) M = - M* -h Vjt + Q 3 — QÎ! — £î.

Dans le cas d'une pièce à fibre moyenne parabolique et

l84 CUAPITRE Y. — ARCS SURBAISSÉS.

de section constante, la valeur de Q, donnée par l'équalion (i), est

Cette valeur est un peu différente de la valeur (c), page i5i, puisque le rapport des deux termes i et -Mj*

f fr g

c'est-à-dire la quantité -Mj » est égal à o,o44> ainsi que

nous l'avons vu page i5o. Nous avons vu aussi, p. i5i, que le moment M était constamment nul dans une pièce parabolique et de section constante, lorsqu'on faisait abstraction des termes complémentaires des équations (i) du n° 25. 11 n'en est plus de même quand on introduit dans les équations (2) et (3) qui précèdent la valeur complète de Q. On trouve alors

ou.

a cause

ae ia

jetitesse c L =

et,

pour la

valeui

•de M,

qui pour x == a donne M = -t-j Ha = L, ainsi que cela

FORMULES COMPLÈTES. l85

doit être, et pour x=o donne, pour la valeur M du moment M à la clef,

Ces valeurs de M et L donnent, pour les distances w , %v a de la courbe des pressions aux centres des sections à la clef et aux naissances,

Dans le cas d'une section rectangulaire, d'une hauteur

égale à 2 e, on a p 2 = - = — et les valeurs précédentes deviennent

61. Revenons maintenant aux formules (g*) du Chapitre V, relatives au changement de forme de la fibre moyenne, qui ont été déduites des équations (a ) du n° 25. En complétant ces équations par l'addition aux seconds

membres des termes ljj=--+-x)dx pour la seconde, et

1 —^ -4- r ) dz pour la troisième, puis reprenant les calculs

et les raisonnements des n os 54 et 55, on obtient trois équations qui ne diffèrent des équations (g), p. 172, que par l'addition aux seconds membres des quantités / ( — -h ? ) dx

l86 CHAPITRE Y. — ARCS SURBAISSÉS.

pour la seconde, et / f =^- 4- zjdz pour la troisième, savoir :

Faisons a: = a dans la troisième de ces équations, et remarquons que $z et $q sont nuls pour cette valeur de x, * qui correspond au point B; cette équation donnera alors pour la valeur de l'inconnue $f, variation de la flèche ou de l'ordonnée du sommet de Tare,

Cette valeur diffère de la valeur donnée par l'équation { h ) ,

J(* a dz - zfj dont le premier o

terme est positif, puisque Q est négatif, et le second terme est négatif pour une augmentation et positif pour une diminution de température.

Dans le cas d'une pièce en arc de cercle et de section constante, il faut donc ajouter à la formule (a) du n° 57

la quantité — #•( i — cosa ) ( ^- H- r ) ; elle devient ainsi la

lettre m i9 désignant la quantité i — côsa, le signe de B'