V.- PROBLEMES du 4e ORDRE

1.-— Problème général.- Dans les deux premiers paragraphes de ce chapitre, l'opérateur différentiel L sera défini par l'égalité

Iy = (bp (G&)y")" + (p1G)y')'! + p,(x)y 3;

les fonctions p Pr et Po sont continues sur (a,b) par hypo-

thèse; on suppose de plus que les dérivées po D pe

et sont continues sur ce segment et que P, ne s'y annule pas.

et Pi existent

On a L'y = Ly et 0 py(a) pila) p(a) 0 0 0 0 ÉDT UN 20-60 (2) C0 0 0 0 ( -p!(a) p,(a) 0 0 0 0 0 0 (a) 00 0 0 0 0 0 0) Melo 0 0 0 o -pi(b) -pi(b) -p,(v) 0 0 0 0 p,(b) 0 p,(b) 0 0 0 0 0 p'(b) -p,(b) 0 0 (o) 0 (@ (o) P,(b) (@ (0) (0)

Soit f(x) une fonction généralement continue sur (an) nous considérerons le problème constitué par l'équation

(M) Ly + zy = £(x) |

et les conditions aux limites linéairement indépendantes

æ7(a) +... + 3" (a) + %5y(b) Horse 2Y"(b) =

D,(y) = dpyta) +... + dyyMla) + Dep) +... + deyn) = À.

Formons, comme on l'a expliqué au chapitre II, une matrice M et calculons N ; nous obtenons, en désignant par A le déterminant

de M et par M,, le mineur relatif à l'élément Dee ?

AU (x) = -[M,,p,(a) + Mspt(a) + MP. (8) |] v(a) +/[M4r,(e) | + ,3p,(2) ] v'(a) + [iupi(a) - 1,,p (a) ] v'(a) + M0 (a)v"(a] +) + 280) + gp) ] v) - [insp() | + 70 (6)]v'@) - ftp) - 6p(b) ]v") - Mn (b)v"(b).

Le problème associé est le suivant :

(VS) iv -Àv=0 , (v5) TZ =0 (TES see SE

2.— Problème self-adjoint.- Nous allons donner une condition nécessaire pour que le problème (VS + VS) soit self-ad joint.

Ix-rv=0 , VASE = 0 (j=5, ..., 8) soit adjoint à lui-même, il . faut que |

Théorème : Pour que le problème homogène du 1: ordre

(DL UNE) SR 0 DER a+ Lee

sont les coefficients de

En effet, note Z, 1e matrice à une colonne dont les éléième

ments sont ceux de la k ligne de M, 2} la matrice transposée

de 24 » ÏX» et T, des matrices à une colonne telles que

(1) Cette condition se généralise immédiatement aux problèmes d'ordre on.

DE 0 : XA=T, (£=1, 2, ee) Fo, est le symbole de Kronecker),

Les matrices M, (M Li et N s'écrivent alors

2 di ml U 2, ñ X! à qe Met mie » N = (M )'A=- Ÿ 28 fe T8 Si le problème est ut les ES sont des combinaisons linéaires des T, Ce tE RTC R)e 8 ” Paz !

re Es) ou ra (q) 24 = D cx'A Multiplions à droite par la matrice AL che

ZA = Des !

d'où, en prenant le conjugué de chaque membre,

re suuesn,

et, en multipliant à gauche par 3, ,

sl ZAC) 7) AD:

DA UDUZS == db)

Les produits scalaires du second membre sont tous nuls; donc Z' (A AL OE p( ) q

Cette condition nécessaire est aussi suffisante dans le cas particulier que nous allons envisager.

3+- Problème particulier.- Nous nous bornerons désormais à l'étude du problème

À À. ati à HS LS bd 2 AO TON ANY

TT = VF) yariTy tx) ;

L,(y) = %y(a) +... + ya) 20, L,(y) = Pay(a) + ... + fB,y"(a) 160 L;(y) = PS7) +... + Jay") = Ÿ, L,(y) = dsyCb) +... + y"(b) = à) Nous supposerons que les coefficients satisfont aux relations: Are ot ee 5 26 où on à posé | DD ER NE A

NE RE re il p " Ai; à $ 3 B; d. j

Ce sont là des conditions nécessaires (v. le théorème du pa-

ragraphe précédent) pour que le problème associé soït self-adjoint; ces conditions sont aussi suffisantes À :

L;,(v) = CT

et on peut faire des renarques analogues à celles du $ 2 äu chapitre

III et de la page 36; il existe notament encore un théorème d'équiconvergence (2 .

On prendra,pour matrice M,

PB, - À BR 0 (o) e) 0 Gin QE TOR SON SR EEE

022 LOMUENOE RO PERE de - à

La valeur du déterminant de M s'obtient aisément par la

> pe 284 [16], Dh. 5760277 Ie TRIER